exo 11.4) Modélisation de la propagation d'un tremblement de terre
On donne l'enregistrement du tremblement de terre de La Rochelle du 28 avril 2016, en trois endroits :
1) On assimile le milieu de propagation à une tige solide de masse volumique µ, qui suit la loi de Hooke avec le module d'YoungE. On néglige la pesanteur.
1.a) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :
∂2ψ
1.b) Montrer qu'une OPPM est solution d'une telle équation diérentielle.
1.c) Les enregistrements font-ils apparaître une OPPM ? 2) En s'appuyant sur les enregistrement donnés, estimer :
2.a) la vitesse de phaseVp des ondes P (repérées sur les enregistrements par "Pg") ; 2.b) la vitesse de phaseVsdes ondes S (repérées sur les enregistrements par "Sg") ; 2.c) la vitesse de groupe (à dénir).
2.d) Le milieu de propagation (la Terre !) est-il dispersif ?
3) Pour déterminer la position du séisme, il sut de connaître les distances (notéesd1,d2etd3) de celui-ci à trois stations qui l'ont enregistré : trois sphères de rayond1 ,d2 et d3 se croisent en un seul point qui est le foyer du séisme.
On pose, pour une station d'enregistrement : d, la distance à l'épicentre (à déterminer) ; t0, la date du séisme (inconnue) ;
la vitesse de phaseVp des ondes P (supposée connue) ; la vitesse de phaseVsdes ondes S (supposée connue aussi).
3.a) Exprimer les dates d'arrivée des ondes P (tp) et S (ts) à la station.
3.b) Exprimerden fonction de variables connues (Vp, Vs,ts ettp).
1) 1.a) La longueur du système à vide est
`= [(x+dx)]−[x] =dx La longueur du système allongé est
`0= [(x+dx) +ξ(x+dx, t)]−[x+ξ(x, t)] =`+∂ξ
∂xdx⇒∆`= ∂ξ
∂xdx Le théorème de la résultante cinétique donne
µ S dx∂2x
∂t2 =µ S dx∂2ξ
∂t2Fx(x+dx, t)−Fx(x, t) = ∂Fx
∂x dx Enn la loi de Hooke donne
∂Fx
On a donc bien
c0= s
E µ 1.b) On remplace par une OPPM et ça marche !
1.c) Les enregistrements font apparaître des paquets d'OPPM (groupes).
2) 2.a) Entre le premier enregistrement àd1= 49 kmet le second àd2= 92 kms'est écoulé∆t= 7,0 s. Soit la vitesse de phase des ondes P : vp= (92−49)×107,0 3 = 6,1×103 m·s−1;
2.b) la vitesse de phase des ondes S : vs= (92−49)×1013,9 3 = 3,1×103 m·s−1; 2.c) la vitesse de groupe vg≈ (134−49)×103
30 = 2,8×103m·s−1.
2.d) Le milieu de propagation est dispersif car l'enveloppe du paquet d'ondes s'élargit.
3) On a pu déterminer le foyer du séisme, en connaissant les vitesses des ondes P et S. Cela nécessite l'utilisation d'au moins 3 stations d'enregistrement situées en des lieux diérents et qui enregistrent les ondes P et S. L'onde emprunte le trajet le plus court. On considère que la propagation de l'onde se fait en ligne droite.
3.a) Avec une seule station, on peut écrire : le temps d'arrivée de l'onde P est :tp=t0+Vd
p, le temps d'arrivée de l'onde S est :ts=t0+Vd
s.
3.b) En faisant la diérence entre les deux relations précédentes, on arrive à : ts−tp=d
exo 11.5) Corde avec frottement
On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axeOx, de masse linéiqueµlsoumise à une tensionT0 avec une force de frottement uide par unité de longueurf~f =−λ.~v.
On note T~(x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l d'abscisse inférieure àx.
1) Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.
2) Déterminer alors l'équation de dispersion.
3) Chercher des solutions et interpréter.
1) Le petit élément de longueur dx entre les abscissesxet x+dx est à l'altitude y(x, t) à l'instantt. Cet élément fait avec l'axe Oxun angle
α(t)≈ y(x+dx, t)−y(x, t)
dx = ∂y
∂x car cet angle est petit. Le théorème du centre de masse s'écrit :
µl.dxd2~r
dt2 =T~(x+dx, t)−T~(x, t)−λ.dx.~v dont la projection suivant~uxdonne :
µl.dxd2x
dt2 ≈0 =Tx(x+dx, t)−Tx(x, t)−λ.dx∂x
∂t ≈ ∂Tx
∂x dx
car le déplacement de la corde se fait selon une directionOyperpendiculaire àOx. Aussi, on pourra considérer Tx= ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :
µl.dx∂2y
∂t2 =T0α(x+dx, t)−T0α(x, t)−λ.dx∂y
∂t =T0∂α
∂xdx−λ.dx∂y
∂t Comme l'angle est α(t)≈∂y∂x, soit une équation de propagation
∂2y
avec la célérité de l'ondec0=qT
0
µl et le temps caractéristique d'amortissementτ= µλl. 2) Cela donne l'équation de dispersion
(−j.ω)2+−j.ω 3) Il y a amortissement (milieu absorbant) et dispersion.
exo 11.6) Chaîne de pendules couplés
On réalise une chaîne de pendules simples couplés par des ressorts de torsion, schématisée sur la gure ci-contre.
Chaque pendule n, accroché en On, d'abscisse xn =n a, est constitué d'une barre homogène de masse m, de lon-gueur ` et de moment d'inertie J = m `32 par rapport à l'axeOx.
Il oscille dans un planzOnypar rapport à l'axe horizontal Ox. On repère parθnla position angulaire du pendule par rapport à sa position d'équilibre verticale. Les liaison entre les pendule et l'axe sont supposées de type pivot parfaites.
Chaque pendule est relié à ses voisins par un l de tor-sion de constanteK, confondu avecOx. Ainsi, le pendule n−1 exerce un coupleΓn−1→n =−K(θn−θn−1)sur le pendulenqui tend à ramener le l vers une torsion nulle.
On néglige tout frottement avec l'air.
1) Quelle est l'équation diérentielle liant les petits angles θn,θn−1,θn+1?
2) Montrer que, dans l'approximation des milieux continus, l'équation d'onde est ∂∂t2ψ2 +ω2pψ=c20∂∂x2ψ2. On donnera les expressions dec0 etωp.
3) Quelle est la relation de dispersion ?
4) Préciser la bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés.
5) Calculer en fonction deω,ωp et c0 : 5.a) la vitesse de phasevϕ, 5.b) la vitesse de groupevg. 6) Exprimervg en fonction decet vϕ. 7) Comparer chacune des vitesses àc0.
1) Système : pendulen(solide) Référentiel : sol (galiléen)
Bilan des forces :
Poids de moment MOnx=−2`m gsinθn; Liaison pivot de moment nul ;
Action du pendulen−1 de momentΓn−1→n =−K(θn−θn−1); Action du pendulen+ 1de momentΓn−1→n =−K(θn−θn+1).
Le théorème du moment cinétique s'écrit donc : J d2θn
dt2 =−`
2m g sinθn−K(θn−θn−1)−K(θn−θn+1)≈ −`
2m g θn+K(θn+1−2θn+θn−1) 2) Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformationθnvarie lentement devant a : θn(t) = ψ(x ≈ n a, t). Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n−1)a et en
En posantc0=
q3K a2
m `2 etωp= q3g
2`, on trouve bien ∂∂t2ψ2 +ωp2ψ=c20∂∂x2ψ2. 3) En injectant une solution de type OPPM (ψ(x, t) =ψ
0ej(ω t−k x), dans l'équation d'onde, on obtient
−ω2+ωp2=−c20k2
4) La bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés :ω > ωp. 5) 5.a) la vitesse de phase :
vϕ= c0
q
1− ωωp2
5.b) la vitesse de groupe :
vg=c0 r
1−ωp ω
2
6)
vg= c20 vϕ
7) vg< c0< vϕ.