La diérence principale entre la théorie des circuits et la théorie des lignes de transmission est la taille électrique. L'analyse de type circuit suppose que les dimensions physiques d'un réseau sont beaucoup plus petites que la longueur d'onde électrique, alors que les lignes de transmission peuvent être une petite fraction
de longueur d'onde, voire plusieurs longueurs d'onde. Une ligne de transmission est donc un réseau distribué de paramètres où les tensions et les courants peuvent varier en amplitude et en phase le long de la ligne.
En basse fréquence lorsque la longueur d'onde est grande devant la longueur de la ligne, la diérence de potentiel entre les deux conducteurs est la même tout au long de la ligne. Par contre en haute fréquence lorsque la longueur d'onde est petite ou comparable à la longueur de la ligne, ce n'est plus le cas. Ce phénomène a été mis en évidence par le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz sur la ligne bilaire.
En haute fréquence une ligne de transmission peut se modéliser à l'aide de quatre paramètres qui constituent le modèle à constantes réparties. La Figure 1.19 montre une ligne de transmission qui est souvent représentée schématiquement comme une ligne bilaire et le modèle équivalent. Il n'est valable que pour une longueur innitésimale de ligne, à condition que la longueur L de la ligne de transmission soit inférieure ou égale au dixième de la longueur d'onde guidéeλg.
L'onde peut se propager grâce aux échanges d'énergie électrique et d'énergie magnétique. Ces eets se modélisent respectivement par la présence d'une capacité linéique C et une inductance linéique L. La capacité linéique C dépend de l'écart entre les deux conducteurs, du diamètre des conducteurs et de la permittivité du diélectrique et s'exprime en Farad/m. L'inductance linéique L dépend du diamètre des conducteurs, de l'écart entre les deux conducteurs et de la perméabilité des matériaux et s'exprime en Henry/m. La capacité et l'inductance modélisent les eets de propagation dans la ligne. Les pertes par eet de Joule sont modélisées par une résistance linéique R, qui est due aux pertes ohmiques dans les conducteurs, dépend des diamètres et matériaux des conducteurs et s'exprime en ohms/m. La conductance linéique G traduit les pertes dues au diélectrique. Elle dépend de la capacité linéique et de l'angle de perte du diélectrique et s'exprime en Siemens/m.
R et G représentent les pertes.
Les paramètres du modèle à constantes réparties sont appelés paramètres primaires. Ces quatre paramètres
susent pour modéliser le comportement d'une ligne de transmission en haute fréquence. Cependant certains paramètres sont sensibles aux variations de la fréquence. D'une façon générale, l'inductance et la capacité linéique dépendent de la fréquence jusqu'à environ 1 GHz. La résistance linéique augmente lorsque la fréquence augmente et la conductance linéique augmente également avec la fréquence mais reste négligeable en dessous de 1 MHz.
Pour une ligne de transmission réelle (avec pertes), l'impédance caractéristique est une grandeur complexe.
Cette impédance caractéristique est diérente selon le type de câble. En vidéo, les câbles utilisés sont des câbles coaxiaux d'impédance caractéristique 75 ohms. En hyperfréquence, les lignes de transmission utilisées ont pour la plupart une impédance caractéristique de 50 ohms. Le réseau CAN utilise une paire torsadée dont l'impédance caractéristique est de l'ordre de 120 ohms. FlexRay est un protocole qui véhicule des données sur une paire torsadée d'impédance caractéristique de 90 ohms. L'impédance caractéristique dépend de la géométrie et de la constitution du câble.
Chaque discontinuité dans un câble est associée à un coecient de réexion qui donne une information sur la polarité des champs dans le milieu de propagation et la quantité d'énergie renvoyée vers le plan le générateur.
Enoncé
1) A l'aide du modèle électrique équivalent donné dans le document, déterminer l'équation d'onde (dite
"des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans les câbles électriques.
2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas non résistif. En déduire l'expression de la céléritévp des ondes dans le câble en fonction deLet C.
3) A partir des données deLet deC de diérents câbles, vérier les valeurs des vitesses et des impédances caractéristiquesZc =
qL
C indiquées dans le tableau du document.
4) On s'intéresse au montage de la gure 1.20 (on supposera le câble sans résistance).
4.a) Donner la formes des OPPM complexes incidentes et rééchies sur le câble.
4.b) Rappeler la dénition des coecients de réexion en intensité et en tension enz= 0. 4.c) Ecrire les conditions aux limites enz= 0 et enz=−l.
4.d) Déterminer les coecients de réexion en intensité et en tension enz = 0 en fonction de ZL et ZC.
Correction
1) Une loi des mailles donne : L dz.∂I(z, t) On arrive à deux équations couplées :
C∂V
∂t +G.V(z, t) =−∂I
∂z et L∂I(z, t)
∂t +R.I(z, t) =−∂V
∂z
On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au tempstet à l'espace z commutant. En dérivant la seconde par rapport àz, on trouve :
∂2V
et en utilisant la première,
∂2V
Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" queI(z, t)suit aussi :
∂2V
3) Le tableau suivant donne les valeurs calculées :
câble C enpF·m−1 LenµH·m−1 vp enm·s−1 X= vcp Zc enΩ
Si les valeurs sont les bonnes pour le premier câble, elles dièrent sensiblement pour les suivants, même si l'ordre de grandeur est le bon.
4) 4.a) En règle générale :
ψ˜=ψ0.ej(k z−ω t+ϕ0)
donc pour l'onde se propageant vers lesz croissants :
V˜+= ˜V0+ej(k z−ω t) I˜+= ˜I0+ej(k z−ω t)
et pour l'onde se propageant vers les zdécroissants :
V˜−= ˜V0−ej(−k z−ω t)
I˜−= ˜I0−ej(−k z−ω t)
V˜+=ZcI˜+ pour une propagation selonz% V˜−=−ZcI˜− pour une propagation selonz&
4.b) On dénit le coecient de réexion en intensité :rI =
I˜−(z= 0, t)
I˜+(z= 0, t) et en tension :rV =
V˜−(z= 0, t) V˜+(z= 0, t)
4.c) Les conditions aux limites sont : enz= 0:
VL=ZLIL⇒
V˜0++ ˜V0−
e−jω t=ZL
I˜0++ ˜I0−
e−jω t⇒Zc
I˜0+−I˜0−
=ZL
I˜0++ ˜I0−
enz=−l:
VG−ZGIi=Vi⇒
V˜0+e−j k l+ ˜V0−ej k l
e−jω t=VG−ZG
I˜0+e−j k l+ ˜I0−ejk l e−jω t
4.d) Le coecient de réexion en amplitude pour l'intensité, enz= 0est donc rI =ZC−ZL
ZC+ZL
et en tension
rV =−ZC−ZL ZC+ZL