L'objet de l'étude est une corde AB de longueur L, parfaitement exible et sans frottements internes, de section négligeable, homogène de masse totalemT et de densité linéique uniformeµ. On l'étudie dans un plan vertical déni par le repère(O, x, z). On appelle Gle centre de masse de la corde.
I) Vibrations d'une corde xée à deux extrémités.
La corde est verticale, xée en ses deux extrémitésAet B (cf. gure).
L'axe des z est orienté vers le bas et l'origine est à l'extrémitéB : les pointsO et B coïncident. L'axe Ox est dans un plan horizontal. La tension de la corde au point A est très grande devant le poids de la corde : T(A)mT.g. La position d'un point M de la corde est repérée par sa cotez dans un référentiel galiléen lié à B.
I.1) Position d'équilibre.
I.1.a) Dénir ce qu'est la tensionT~(M)de la corde en un pointM. I.1.b) ExprimerT(M)en fonction deT(A),mT.g et µ.g.z.
I.1.c) Montrer qu'à l'équilibreT(M)est pratiquement constante le long de la corde.
I.2) Vibrations.
La corde vibre et le point M, de cotez à l'équilibre, se déplace transversalement. Ce déplacement, notéx, est fonction dez et du tempst. On note l'angleθ(z, t)que fait localement la corde avec l'axe vertical.
I.2.a) Déterminer l'équation des ondes suivie par la fonctionx(z, t)en négligeant les termes du deuxième ordre enθ (approximation des petits mouvements). Exprimer la céléritéc des ondes en fonction deT(A)et de la masse linéiqueµ. Calculerc pourµ= 10−3kg.m−1 et T(A) = 1N.
I.2.b) À l'instant initial, la forme de la corde est donnée parx(z,0) =asin π.zL , oùaest une constante positive. Les vitesses initiales de tous les points de la corde sont nulles. Déterminer la fonction d'onde stationnaire x(z, t)sous la formex(z, t) =X(z).A(t).
I.2.c) À l'instant initial, la corde est excitée selon deux modes propres :x(z,0) =asin π.zL
+bsin 4π.zL , oùaetbsont des constantes positives. Les vitesses initiales de tous les points de la corde sont nulles. Déterminer avec le minimum de calculs la nouvelle fonction d'ondex(z, t).
I.2.d) La gure suivante représente l'allongement relatif de la corde en fonction de l'amplitude initiale de la déformation. Commentez ce résultat, par exemple en discutant l'hypothèse (implicite !) que la masse linéique ne changeait pas au cours du mouvement.
Allongement relatif de la corde (en%) en fonction de l'amplitude relative de la corde II) Vibrations d'une corde xée à une extrémité.
Corde xée en une extrémité et libre à l'autre Désormais (cf. gure précédente), l'extrémité B est xe, l'extrémitéAest libre.
II.1) Position d'équilibre.
La corde est en équilibre. Montrer que la tension de la corde au pointM est donnée parT(z) =µ.g.(L−z). II.2) Vibrations.
La corde vibre.
II.2.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'élément dz de corde à la cote z, montrer que la fonction d'onde vérie l'équation :
∂2x
∂t2 =g.(L−z)∂2x
∂z2 −g∂x
∂z
II.2.b) Que devient l'équation d'onde si l'on tient compte de la force de frottement visqueux →− df =
−α∂x∂t∧x dz agissant sur l'élément de cordedz,αétant la constante de frottement ?
II.2.c) On cherche une solution à l'équation d'onde au voisinage du point de xation (zL). Montrer qu'une onde sinusoïdale de pulsationω et d'amplitude complexex(z, t) =x0.ej.(ω.t−k.z), oùkest une constante réelle, ne peut se propager que pour une certaine valeurα0 de la constante de frottement, que l'on exprimera en fonction deµ,get L.
II.2.d) Donner, pourα=α0, les expressions de la vitesse de phasevϕet de la vitesse de groupe vg de l'onde. Y a-t-il dispersion ?
II.2.e) On néglige maintenant le terme de frottement et on cherche une solution à l'équation
∂2x
∂t2 =g.(L−z)∂2x
∂z2 −g∂x
∂z
dans la région zLsous la forme x(z, t) =a.ej.(ω.t−k.z), avec k=k1+j.k2 complexe (k1 et k2 étant réels).
Exprimerk2. En déduire que l'amplitude de l'onde augmente pendant la propagation. Le résultat est-il cohérent avec les questions précédentes ?
II.2.f) On pose ω02 = 4.Lg . Établir alors et représenter graphiquement la relation k1 =f(ω). Montrer que la corde se comporte comme un ltre passe-haut.
II.2.g) Déterminer la relation entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
II.3) Considérations énergétiques.
II.3.a) Montrer que la puissance mécanique (moyenne ou instantanée) qui traverse la corde à la cotez dans le sens desz croissants est proportionnelle à la tensionT(z)et au carré de l'amplitude du mouvement de la corde.
II.3.b) En déduire que l'amplitude du mouvement augmente avecz dans cette portion de la corde.
I) Vibrations d'une corde xée à deux extrémités.
I.2.a) Le théorème de la résultante cinétique appliqué à l'élément compris au repos entrezetz+dz s'écritµ.dz.~a(Gz) =T~(z+dz)−T~(z) +µ.dz.~g. NB : en supposant qu'il n'y a pas de mouvement vertical, la projection sur ∧z redonne le résultat de la question précédente. La projection sur∧xdonneµ.dz∂∂t2x2 =T(z+ dz) sin (θ(z+dz, t))−T(z) sin (θ(z+dz, t)), soit : µ.dz∂∂t2x2 ≈ TA.(θ(z+dz, t)−θ(z+dz, t)) = TA.∂θ∂zdz,
C'est bien une équation de propagation (de d'Alembert) avec la célérité c=
s TA
µ = 32m.s−1
I.2.b) Comme on cherche x(z, t) = X(z).A(t), l'équation précédente devient X”(z).A(t) =
1
c2X(z).A00(t), d'où X”(z)X(z) = c12
A00(t)
A(t). Le premier membre est indépendant de t, le second indépendant de z, on en déduit que cette expression est une constante qu'on suppose négative (si on la prend positive, on ne peut pas annuler X(z)en0 etL). On la note−k2.
Nous obtenons X00(z) +k2X(z) = 0, donc X(z) = Xcos(k.z) +Y sin(k.z). Comme la corde est xée en B pour tout t, X(0) = 0, donc X = 0. Comme la corde est xée en A pour tout t, X(L) = 0, donc Y sin(k.L) = 0. Comme la solutionY = 0ne nous intéresse pas (elle donne la corde immobile), nous obtenons sin(k.L) = 0, d'où k.L=p.π oùpest un entier. DoncX(z) =Ysin(kp.z)
I.2.c) Maintenant deux modes sont excités,
x(z, t) = [A1.cos(ω1.t) +B1.sin(ω1.t)].Y1sin(k1.z) + [A4.cos(ω4.t) +B4.sin(ω4.t)].Y4sin(k4.z). Comme l'équation diérentielle est linéaire, on étudie séparément l'eet des deux termes. Le premier (mode 1) donne le résultat de la question précédente, le second (mode 4) donne bsin 4.π.zL , ce qui donne A4.Y4=b
I.2.d) Sur la courbe proposée, on constate que l'allongement relatif augmente lorsque La %, donc la masse linéique varie (carmT est constante). On pourra par exemple considérer la masse linéique constante, à moins de10%près tant que ∆LL <0,1, donc pour La <0,05.
II) Vibrations d'une corde xée à une extrémité.
II.1) Position d'équilibre. De la même façon que précédemment,T(z) =−µ.g.z+cste. On détermine la constante grâce àT(z=L) =T(A) = 0, doncT(z) =T(A) +µ.g.(L−z), soit :
T(z) =µ.g.(L−z)
II.2) Vibrations.
II.2.a) Le théorème de la résultante cinétique appliqué à l'élément compris au repos entre z et z + dz s'écrit µ.dz.~a(Gz) = T~(z + dz) −T~(z) + µ.dz.~g. La projection sur ∧x donne µ.dz∂∂t2x2 =
II.2.b) Le théorème de la résultante cinétique appliqué à l'élément compris au repos entre z et z+dz s'écrit maintenant µ.dz.~a(Gz) = T~(z+dz)−T~(z) +µ.dz.~g+−→
Il y a propagation sans atténuation si k est une constante réelle. La partie imaginaire de l'équation précédente donne αµω=g.k, d'oùα= µ.g.kω .
Commevϕ=cste, le milieu est non dispersif.
II.2.e) En remplaçant parx(z, t) =a.ej.(ω.t−k.z), on obtient la relation de dispersion
−ω2=−g.(L−z)k2+j.g.k=−g.(L−z) k12−k22+ 2.j.k1.k2
+j.g.(k1+j.k2). La partie imaginaire de l'équation précédente donne
−2.k1.k2.g.(L−z) +g.k1= 0. On en déduit :
L'amplitude augmente bien lorsquez%care2.Lz %dans le sens de la propagation. Ce terme d'amplication peut compenser les éventuels frottements, une propagation avec frottements est donc possible, ce qui est cohérent avec la question précédente.
II.2.f) La partie réelle de la relation de dispersion est :
−ω2=−g.(L−z) k21−k22
Courbek1=f(ω)
Les fréquences basses correspondant à ω < ω0 ne donnent pas de solution à k1, donc il n'y a pas de propagation : c'est donc un ltre passe-haut.
II.2.g) En diérentiant la relationk12= ω2g.L−ω20, on obtient2.k1.dk1= 2ω.dωg.L et donc vϕ.vg=g.L
II.3) Considérations énergétiques.
II.3.a) La puissance mécanique traversant la corde à la cote zest le produit scalaire entre la force et la vitesse :
P(z, t) =T ~~v=T(z, t) sin (θ(z, t))∂x∂t ≈T(z, t).θ(z, t)∂x∂t. Et commeθ≈ ∂x∂z, on trouve : P(z, t) =T ~~v=T(z, t) sin (θ(z, t))∂x
∂t ≈T(z, t).∂x
∂z
∂x
∂t
∂x
∂z et ∂x∂t sont tous les deux proportionnels à l'amplitude de x(z, t), donc P(z, t)et sa valeur moyenne sont proportionnelles à la tensionT(z)et au carré de l'amplitude du mouvement de la corde X.
II.3.b) La puissance moyenne reçue par l'élément de corde situé entre zet z+dz: est< P(z, t)>
−< P(z+dz, t)>est positive. Or< P(z, t)>−< P(z+dz, t)>∝X.∂X∂z On en déduit que ∂X∂z >0 : l'amplitude de l'élément de corde situé entrez etz+dz (X) augmente siz%. C'est bien ce que l'on avait on a vu dans la partie précédente (e2.Lz %dans le sens de la propagation).