Simulation de la perturbation thermique dans un câble coaxial : proposition d'un nouveau type de capteur de température

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coaxial : proposition d’un nouveau type de capteur de température

Hatem Mokhtari

To cite this version:

Hatem Mokhtari. Simulation de la perturbation thermique dans un câble coaxial : proposition d’un nouveau type de capteur de température. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1992. Français.

�NNT : 1992METZ003S�. �tel-01775953�

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I n f o r m a t i q u e . M é c a n i q u e

THESE

Présentée à I'Université de M,ETZ e n v u e d ' o b t e n i r l e

DOCTORAT D'UNIVERSITE DE METZ p a r

Hatem MOKHTARI

Maitre ès-Sciences S u j e t

S i m u l a t i o n d e l a P e r t u r b a t i o n T h e r m i q u e

dans un Câble Coaxial: Proposition d'un Nouveau Type d e C a p t e u r d e T e m p é r a t u r e

S o u t e n u e p u b l i q u e m e n t le 23 Janvier L992

d e v a n t l a c o m m i s i o n d ' e x a m e n J u r Y

Président: M. A. TOSSER-ROUSSEY, Professeur à METZ.

R a p p o r t e u r s : M M . M . R O U S S E L , P r o f e s s e u r à T r o y e s .

A. VANOVERSCHELDE, Professeur à Longwy.

E x a m i n a t e u r s : M M . E . Y V R O U D , D i r e c t e u r d e R e c h e r c h e s C N R S - INPL, NANCY.

G. KUGEL, Professeur à METZ.

L. RACZY, Professeur à LILLE.

Vg ?q r{tt{ sl(s

3Ll3

3 t . l

Université de METZ

P r é s i d e n t : M . A .

Ban-p-orleus. MM'

E x a m i n a t e u r s : M M .

U F R M a t h é m a t i q u e s I n f o r m a t i q u e .

M é c a n i q u e

Présentée à I'Université de M.ETT' e n v u e d ' o b t e n i r l e

DOCTORAT D'UNIVBRSITE DE MEl 16rHÊeuc rrNrvERSrrÀtRË p a r

Hatem MOKHTARI

Maitre ès-Sciences

S i m u l a t i o n d e l a d a n s u n C â b l e C o a x i a l :

d e C a p t e u r

S o u t e n u e P u b l i q u e m e n t le 23 Janvier 1992

d e v a n t l a c o m m i s i o n d ' e x a m e n J u r Y

TOSSER.ROUSSEY, Professeur à METZ' M. ROUSSEL, Professeur à TroYes'

A. VANOVERSCHELDE, Professeur à Longwy' E. YVROUD, Directeur de Recherches CNRS- INPL, NANCY.

G. KUGEL, Professeur à METZ.

L. RACZY, Professeur à LILLE'

9920+k-ç

S u j e t

P e r t u r b a t i o n T h e r m i 4 u e

Proposition d'un Nouveau TYPe

d e T e m P é r a t u r e

ce travail a été réalisé au Laboratoire de Mécatonique Industrielle de l'(Jniversité de Metz, sous Ia direction du Professeur A. TOSSER-ROUSSEY. Qu'il me soit permis de lui exprimer ma profonde gratitude pour la confiance qu'il m'a témoigné en m'acceptant dans son laboratoire ainsi que l'aide et les conseils qu'il m'e prodigués. Je lui suis profondément reconnaissant de me faire I'honneur de présider mon iury de thèse'

J'ai le vif Plaisir de remercier:

MONSIEUR M. ROUSSEL, Professeur à I',lnstitut universitaire de Technologie de Troyes, d'avoir accépté de iuger ce travail et pour en avoir effectué une analyse approfondie'

MONSIEUR A. VANOVERSCHELDE, Professeur à I'lnstitut (Jniversitaire de Technologie de Longwy, d'avoir accepté de iuger ce travail et de participet' à la constitution de mon jury de thèse'

MONSIEUR MONSIEUR MONSIEUR L.

Technîques de

E. YVROUD, Directeur de Recherches G. KIJGEL, Professeur à l'Universtté RACZY, Professeur à I'IJniversité des Lilles

au CNRS, de Metz et Sciences et

A t o u s m e s c o l l è g u e s d u l a b o r a t o i r e , i ' a d r e s s e m e s remerciements Ies plus sincères pour les marques de sympathie

qu'ils nt'ont touiours témoignées et pour I'ambiance conviviale et

chaleureuse dans laquelle i'ai travaillé'

C h a P i t r e I

Introduction

1 - 1 - L a d é m a r c h e . . . " " " " " " " ' 1 I - 2 - L a p r o b l è m a t i q u e . . . " " " " " " " ' 1 1 - 3 - M o d é l i s a t i o n s A n t é r i e u r e s d e s L i g n e s d e T r a n s m i s s i o n . . . . " 2 1-3-1- Modèle de J. KERGOMARD t3l """""""""'2

t-3-2- Modèle de R. L. WIGINGTON, N. S. NAHMAN et D. R. HOLT

l4l, tsl """""""'4

l-4- critique du Programme de simulation PSpice ...7

C h a p i t r e 2

Modélisation d'un Gradient

Câble Coaxial dans un de Température

2 - 1 - P r o g r a m m e d e S i m u l a t i o n P S p i c e a v e c G r a d i e n t d e T e m p é r a t u r e . . . " " " " " ' : " " " " " " " " " 8

} - l r - L M o d è l e P S p i c e e n B a s s e s F r é q u e n c e s a v e c G r a d i e n t d e

T e m p é r a t u r e " " ' L 0

2 - l - 2 - M o d è l e P S p i c e e n H a u t e s F r é q u e n c e s a v e c G r a d i e n t d e T e m p é r a t u r e . . . " " " " " " " " ' " " ' 2 0

2 - 2 - L e M o d è l e d e s D i f f é r e n c e s F i n i e s a v e c G r a d i e n t d e

T e m p é r a t u r e " " ' 4 1

2 - 2 - I - I n t r o d u c t i o n " " " " " " 4 1 2 - 2 - 2 - R a p p e l s u r l a r é s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n d e s

T é l é g r a p h i s t e s " ' 4 4

2-2-3- Modèle des Différences Finies pour le câble coaxial en B a s s e s F r é q u e n c e s . . . . . . " " " " " " " " " ' 4 6

2-2-4- Modèle des Différences Finies pour le câble coaxial en H a u t e s F r é q u e n c e s a v e c G r a d i e n t d e T e m p é r a t u r e

2 - 2 - 5 - V é r i f i c a t i o n d e s R é s u l t a t s d e s R é s u l t a t s d e s d e u x

M o d è l e s d e B a s s e s e t H a u t e s F r é q u e n c e s a v e c P S p i c e

Détection d'une Irrégularité le Long d'un Câble Coaxial

2-2-7 - Conclusion . 8 2

C h a p i t r e 3

Application de la Méthode des Différences Finies à la

Thermique

3 - 1 - I n t r o d u c t i o n

3 - 2 - D é t e c t i o n e t L o c a l i s a t i o n d e s D é f a u t s e n L i g n e s Transmission

3 - 3 - F o r m u l a t i o n M a t h é m a t i q u e d e l a M é t h o d e I n d i r e c t e M e s u r e d e T e m P é r a t u r e

8 6 d e 8 9 d e 9 L 3 - 5 - E x t e n s i o n o u L i m i t e d e

3 - 6 - M é t h o d e I m P u l s i o n n e l l e 3-7 - Simulation du Gradient de la Méthode des Différences

d e T e m p é r a t u r e à I ' a i d e 1 0 8

Fonctionnement L 0 0

L07

1 1 0 Linéaire

Finies 3 - 8 - R é s u l t a t s

3 - 9 - C o n c l u s i o n B i b l i o g r a p h i e

C o n c l u s i o n G é n é r a l e e t P e r s p e c t i v e s

L t 2

Ll.4

1 1 5

A n n e x e s t2L

C h a p i t r e

INTRODUCTION

si l'étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial est un.u:rt classique Il], beaucoup de questions relatives aux conditions d'eiploitation des liaisons coaxiales, simples ou multiples, en vue de mesures industrielles n'ont pas été résolues p a r d e s m o d é l i s a t i o n s s i m p l e s ; o n p e u t c i t e r n o t a m m e n t l a 'perturbation

introduite dans lés mesures par des inhomogéneÏtés de température et par les diaphonies des longs câbles multibrins; un staje effectué

'à la sociéié Schlumberger m'a sensibilisé à ces âuJriiont et m'a conduit à refléchir à quelques analyses théoriques' dont les premiers chapitres de ce mémoire sont I'objet.

Les méthodes de simulation utilisées (dont une méthode n o u v e l l e i n f o r m a t i q u e m e n t l é g è r e ) p o u r t e n i r c o m p t e d u c o m p o r t e m e n t d ' u n l o n g c â b t l c o a x i a l e n p r é s e n c e d ' u n e pertrirbation thermique tocalisée ont permis de montrer qu'une méthode simple et nouvelle de repérage de température était ainsi autorisé, notament en des endroits d'accés difficile; si on peut' à cet égard, parler d'un nouveau capteur de température, son principal interêt serait, semble-t-il, qu'il permettrait, dans quelques cas de mesures, de t" dispenser à'int"itt des capteurs traditionnels de t e m p é r a t u r e e t d e t r a n s m e t t r e e t d e t r a i t e r l e s d o n n é e s c o r r e s p o n d a n t e s .

Ainsi, à partir d'une interrogation à visée pragmatique, des études théoriques de simulation conduisent à proposer une nouvelle méthode métrologique.

Le problème particulier sur lequel nous nous sommes penché est celui du câble côaxial dont les paiamètres dits "primaires" R,L,C,G présentent une dispersion fréqueniielle !:f{.1. de peau) et spatiale du fait de I'existence d'une variation linéaire de température du milieu dans lequel est plongé le câble'

Dans un premier temps, l'étude est consacrée à la résolution du

problème de l; dispersion-spatiale et fréquentielle du câble coaxial

ptonge dans un gradient linéajre de température; nous proposons un

modèle en basser" fréqu.nces dans lequel I'effet de peau est négligé'

Ensuite, nous physiques ; I'effet gradient linéaire de

N o u s n o u s i n t e r e s s o n S p a r l a s u i t e a u d é v e l o p p e m e n t d ' u n e méthode de mesure d'irrégularité de température qui pourrait se manifester le long d'un câble coaxial. Seules sont connues, la distance du générateur à I'irrégularité thermique, la fréquence fixe du signal e n ô n d e p r o p a g é e a i n s i q u e I ' e x t e n s i o n o u l a l o n g u e u r d e c e t t e i r r é g u l a r i t é ( p a r t i e d u c â b l e c o a x i a l p r é s e n t a n t u n e v a r i a t i o n d e température par rapport à la température supposée constante du restant du câble ).

L e c â b l e c o a x i a l , t r a v e r s é p a r u n c o u r a n t a l t e r n a t i f ( o n d e sinusoidale) de très faible niveau, a servi de sonde évitant I'auto- échauffement existant en courant continu.

Nombreux sont les auteurs qui ont contribué à l'étude de la propagation guidée et notamment de la transmission par câble.

bifierénts modèles ont été établis pour la résolution du problème de la transmission guidée en général et par câble coaxial en particulier.

K t-l-l- tvloaet. a. .1. xpRcounRn rst

En référence [3], J. KERGOMARD a modélisé une ligne de transmission par une chaîne de quadripôles identiques (température uniforme) en cascade pour laquelle a été développé un formalisme mathématique basé sur les équations de récurrence qui régissent les courants et tensions aux différentes interfaces des quadripôles préalablement cités. Par la suite l'auteur simplifie les calculs, en établissant une loi de récurrence entre courants et tensions aux interfaces de chaque quadripôle élémentaire et discute les notions de fréquence de coupure, attenuation et déphasage. L'étude est rigoureuse puisque les calculs ne font appel à aucune approximation;

, * l " r n " n t d e s c a l c u l s m a t r i c i e l s p e r m e t t e n t l a r é s o l u t i o n d u p r o b l è m e d e n o t i o n d ' o n d e s é v a n e s c e n t e s . L ' é t u d e e S t m a l h e u r e u s e m e n t r e s t r e i n t e a u c a S d ' u n e t e m p é r a t u r e uniformément répartie le long de la ligne.

n o u s i n t e r e s s o n s a u c a s o ù l e s d e u x e f f e t s de peau en plus hautes fréquences [2] et le

température se suPerPosent.

L'auteur utilise, finie, comme modèle en cascade (cf figure

pour la modélisation équivalent une chaîne

r).

d ' u n e l i g n e d e l o n g u e u r

de quadripôles associés

L'étude a été effectuée en régime permanent et les équations' pour un quadripôle défini est donnée par:

V n = B V n - t * A I n - t I n = D V n - t + C I n - t

Par la suite, Kergomard têécrit ces deux équations récurrentes, s'appuyant sur la cond-ition d'impédance telle que ZO=V 0/I0, de la forme suivante:

(Eq-I) (Eq-II)

V n = B n V o + A n I g I n = D n V o + C n I s

Pour simptifier, I'auteur se place dans I'hypothèse où BC-AD=1' par conséqueni , le calcul des variables de récurrence An, Bn, Cn €t Dp donne les équations suivantes:

A n ='Asin n0 sin Q

n ^ s i n n Q

IJn = cos nQ +A- sin Q

^ ^ s i n n Q

C n = c o s n Q - A - sin Q

(Eq-trI)

(Eq-I-a) (Eq-II-a)

(Eq-IV)

(Eq-v)

Dn = DI!jE ^(Eq-VI)

sin ô

Les constantes utilisées dans (Eq-III), (Eq-IV)' VI) sont données Par:

0 = Arccos tf) ^(Eq-vID

(Eq-VIII) Cette méthode est

ne tient pas compte, a ligne R, L, C et G (ex:

peut être prise comme peut convenir au cas dans lequel est Plongé

(Eq-V) et (Eq-

très utile pour des lignes homogènes car elle priori, des paramètres intrinsèques à chaque câble coaxial, guide d'ondes ou autres, etc...) et théorie générale. L'inconvénient est qu'elle ne du gradient linéaire ou autre de température la ligne de transmission de manière générale.

, r - B - C 2

HOLT t4l. tsl

En références tal, [5], les auteurs ont étudié la réponse temporelle du câble coaxial à température ambiante en tenant .orpt" des approximations sur la résistance lin_eique dûe à l'effet de p.uu (quand

^ il s'agit d'étudier I'influence des composantes de

^huut",

fréquences du signal sur la réponse du câble en régime transitoire). Les études sont similaires mais différent par [es fonctions d'approximation des équations de Bessel (équations de la résistance et de I'inductance de manière générale décrites par la théorie de la propagation des ondes électromagnétiques dans un conducteur cylindri[ue) introduites dans le modèle. Le principe était d e s u b s t i t u e r d a n s l e s f o r m u l e s g é n é r a l e s d e s p a r a m è t r e s secondaires (constante de propagation, impédance caractélistique) les expressions de la résistance en fonction de la fréquence, etr utilisant les transformées de Laplace. D'autres approximations ont été établies en vue de simplifier les calculs de la transformée inverse de Laplace donnant ainsi la réponse temporelle. Les modèles c o n c e r n a i e n t é v i d e m m e n t l e s h a u t e s f r é q u e n c e s p o u r p o u v o i r utiliser les approximations de I'effet de peau t6l. L'inductance, la c a p a c i t é a i n i i q u e l a c o n d u c t a n c e li n e i q u e s s o n t s u p p o s é e s i n â é p e n d a n t e s d e l a f r é q u e n c e , i l s ' a g i t n a t u r e l l e m e n t d ' u n e approximation du Premier ordre.

N. S. NAHMAN I4I

considérant I'effet de peau présent dans les conducteurs (central et e x t e r n e ) . A i n s i , i l é c r i v e n t : p o u r u n e l i g n e d o n n é e d e l o n g u e u r L , t e r m i n é e p a r s o n i m p é d a n c e c a r a c t é r i s t i q u e Z c ' e t a v e c u n e constante de propagation T, la relation entre la tension d'entrée E1 et c e l l e d e s o r t i e E 2 c o m m e f o n c t i o n d e l a " v a r i a b l e f r é q u e n c e c o m p l e x e " d u f o r m a l i s m e d e l a t r a n s f o r m é e d e L a p l a c e , s o u v e n t notée p:

Ez = E1e-rL où, en général:

(Eq-IX)

T = (Eq-x)

et I'impédance caractéristique donnée par:

7 n = (Eq-XI)

P o u r l e s h a u t e s f r é q u e n c e s ( é p a i s s e u r d e devant le rayon du conducteur), I'impédance dûe d'un conducteur cylindrique s'écrit de la forme:

peau très faible à I'effet de peau

7n=K'{P (Eq-XII)

o ù K e s t u n e c o n s t a n t e d é p e n d a n t d u m a t é r i a u c o n s t i t u a n t le conducteur ainsi que de ses dimensions et est donnée par:

*=#l* ^(Eq-XIr)

o ù r e s t l e r a y o n d u c o n d u c t e u r c e n t r a l , ! r S a p e r m é a b i l i t é magnétique, et o sa conductivité.

En hautes fréquences la résistance série est exprimée par l ' é q u a t i o n d e I ' e f f e t d e p e a u . P o u r d e s d i é l e c t r i q u e s e n polypropylène, les pertes par conduction transverse sont très faibles (G=0) et par conséquent (Eq-X) et (Eq-XI) deviennent:

e t

T = (Eq-XIV)

Kfp+pL (Eq-XV)

A i n s i , l a f o n c t i o n d e t r a n s f e r t d ' u n e p o r t i o n d e l i g n e d e longueur L est désormais écrite dans la forme:

Ez-31e-L@c*ncxvO- (Eq-XVD

La transformée inverse de Laplace de la fonction de transfert (Eq-XVI) n'est autre que la réponse impulsionnelle de la ligne de iottgu"rt L. Pour simplifier, les auteurs ont développé, en séries entières, la constante de propagation ainsi obtenue:

y(p) = v,f-rc-rd !2

^lar"r?_( - r ; n - t

,Ë1ff't-ntz ^(Eq-XVII)

Les auteurs calculent alors cette réponse impulsionnelle tenant compte des termes de hautes fréquences existants dans I'expression de la fonction de transfert. L'approximation sur les hautes fréquences pour la résistance (ou impédance) série est du premier ordre (voir fonctions de Bessel Lzl).

L'étude est fort interessante mais se limite à une ligne homogène seulement en hautes fréquences,

N. HOLT I5I

Leur méthode est I'aPProximation résistance en fonction de la fréquence.

en utilisant sa valeur asymptotique:

du deuxième ordre de la Ils approchent la résistance

R ( p ) = A + B f P (Eq-XVil)

De même qu'en [4], ils substituent cette valeur aux paramètres

secondaires, la cbnstante de propagation en occurence, valeur dont

dépend I'attenuation en fonction de la fréquence complexe P=jo.

Le résultat de de superposition de --> 0):

l a r é p o n s e im p u l s i o n n e l l e e s t d o n n é s o u s f o r m e la fonction-erreur erfc(t) donnée par (quand A--

(Eq-XIX)

L'inconvenient que nous avons pu constaté lors des simulations est !e fait que I'effet de peau ne pouvait, de façon explicite, être pris en compte par Pspice. Pspice ne simule que les circuits, passifs ou a c t i f s i o i e n t - i l s , d o n t l e s c o m p o s a n t s s o n t i n v a r i a n t s a v e c l a fréquence; ce n'est évidemment pas le cas du câble coaxial en hautes fréquences. Aussi, afin de comparer avec le modèle numérique, nous util-isons des domaines fréquentiels très restreints pour considerer comme constante la valeur de la résistance.

Le programme de simulation Pspice ne peut, de façon automatiquè, prédire la température; puisque lui même a besoin de données des paramètres lineiques R, L, C et G pour établir la simulation des courants, tensions et éventuellement phases. Il a donc

été utilisé comme moyen de vérification de I'attenuation du signal propagé après que la température ait été, mesurée.

h(t; = erfctrfir/rcl t'' ('- t)-'t'l

Modélisation d'un câble coaxial dans un gradient de temPérature

t e m p é ra t u r e :

S P I C E veut dire en anglais: Simulation Integrated Circuit EmPhasis.

P r o g r a m w i t h

Le programme de simulation PSpice permet de simuler tout circuit électrique. Il permet la connaissance de la réponse temporelle du circuit à n'importe quel type de signal d'entrée, de la réponse fréquentielle, ainsi que du bruit qui pourrait se manifester dans le circuit électrique.

Les programmes de cette famille Sont issus du programme de simulation SPICE2 t7lt81 développé à I'Université de Berkeley, Californie durant les années 70. Les algorithmes de SPICE2 étaient considérablement plus puissants que leurs prédécesseurs.

PSpice utilise les mêmes algorithmes numériques que SPICE2 et est conforme aux formats d'entrée-sortie de celui-ci.

PSpice est basé sur la description et la définition du circuit réel traduit en circuit fictif écrit dans un fichier text qui sera compilé et executé, comme tout programme, par la suite.

Le circuit fictif représentant le circuit réel est défini par des noeuds entre lesquels viennent s'interposer, pour la simulation, les c o m p o s a n t s ( r é s i s t a n c e s , c o n d e n s a t e u r s , b o b i n e s , a m p l i f i c a t e u r s opérationnels, transistors, diodes, etc...). Différentes analyses sont possibles, à savoir:

-L'analyse temporelle ou transitoires des courants et tensions dans le circuit ( réponse impulsionnelle, retard, distorsion, etc..);

-L'analyse des circuits dont la fonction de transfert de Laplace

est connue analytiquement, la fonction peut être définie directement

en fonction de la variable complexe de Laplace usuellement utilisée;

-L'analyse fréquentielle ou la réponse fréquentielle du circuit Soumis, à Son entrée, à un signal de Spectre connu (Attenuatiot1S, bJphurug"r;, ainsi que I'analyse spectrale de Fourier, impédances d'entrée

-et impédances de sorties;

-L'analyse statistique de Monte Carlo;

-L'analyse et l'étude du bruit thermique existant dans les circuits, actifs en I'occurence, est possible;

-L'analyse des circuits ou systèmes asservis, Diagramme de Bode, Lieux

-des

pôles et des zéros, Diagramme de Nichols;

-L'analyse des circuits non linéaires ainsi que leurs fonctions de transfert;

- L ' a n a l y s e , e n c o u r a n t c o n t i n u , d e s c i r c u i t s s o u m i s à l e u r entrées plusieurs types de signaux;

-L'analyse de la distorsion d'intermodulation;

-L'analyse des circuits dont la température est décrite par une fonction donnée par Son expression analytique ou issue d'un tableau de valeur évoluant dans le temPs.

La syntaxe de PSpice est parfaitement adaptée aux notations issues des normes universelles de la physique en gén&al et de l'électricité en Particulier.

Tout fichier text décrivant le circuit fictif à simuler doit avoir l,extension .cIR (circuit File) pour spécifier qu'il s'agit bien du fichier contenant le circuit proprement dit. Après sa compilation' celle-ci crée automatiquement un autre fichier text dit de sortie ayant pour extension .OUt ( Output Fite) contenant les résultats s u i v a n t s :

- temps total d'execution,

nombre de comPosants simulés, - nombre total de noeuds,

- les messages d'erreurs éventuellement à la compilation, (par exemple: quand il y a dans le circuit un noeud flottant ou une quelcOnque erreur de syntaxe, d'unité ou autres, ceux-ci Sont déclarés dans le fichier de sortie .OUT, indiquant la ligne dans le fichier texte .CIR à coniger).

Après que la compilation ou la simulation ait êtê achevée, les

d o n n é e i r e C h e r c h é e s ( c ' e s t à d i r e l e s d i f f é r e n t e s r é p o n s e s

temporelles ou fréquentielles, courants ou tensions, gain ou plrase, etc.:.) sont disponibles et peuvent être stockées, à la demande de I'utilisateur, dans un fichier ayant pour extension 'DAT (Data File)'

La commande PROBE NomFichier.DAT permet de visualiser les données demandées par I'utilisateur lors de la création du fichier de données NomFichier. La commande PROBE représente pour le p r o g r a m m e d e s i m u l a t i o n P S p i c e l a " s o n d e d e I ' o s c i l l o s c o p e ii.t'if " qui permet, de façon analogue à I'oscilloscope réel, d'établir des mesures ou des points de test en temporelle'

Concernant le domaine fréquentielle, la commande P R O B E p e r m e t d e v i s u a l i s e r d e s d i f f é r e n t s s i g n a u x p o u r s e r v i r d ' a n a l y s e u r d e s P e c t r e .

Il est certes exhaustif de citer toutes les commandes de simulation PSpice alors que nous n'avons utilisé que peu de celles-ci puisque l'étudè portait sur la modélisation du câble coaxial dans un lradient linéairè de température et par conséquent une simple fonnaissance de la syntaxe des circuits passifs ( résistance, capacité, inductance, conductance) suffit pour comprendre le fonctionnement de PSpice; quant à la création des fichiers CIRCUIT NomFichier.CIR des fièhiers-de SORTIE NomFichier.OUT ainsi que les fichiers de DONNEES Données.DAT, elle sera expliquée en détail.

Comme pour tout programme' dans le fichier de commande (texte), les cônstantes, variables, tableaux, fonctions, routines ou procedures, etc..., doivent être soit déclarées soit préalablement d é f i n i e s .

Ainsi, le programme de Simulation PSpice reconnait, comme en notation Universelle, les résistances, capacités et inductances, Pâr, respectivement leurs premières lettres, R, C, L. La tension entre deux noéuds par exemples est définie, dans le fichier .ClR, par la lettre V suivie de n'importe quel nom alphanumérique'

L e c â b l e c o a x i a l p l o n g é d a n s u n g r a d i e n t l i n é a i r e d e température peut être remplacé par un ensemble fini de quadripôles associés en cascades et dont les " paramètres dits primaires " varient selon une fonction en escalier de la profondeur donc de la température également.

d e t e m p é r a t u r e

L e s i m u l a t e u r P S p i c e p e u t d o n c t r a i t e r c e s q u a d r i p ô l e s e n c a s c a d e s q u i n e S o n t

" n f a i t q u e d e s c o m p o s a n t s p u r e m e n t p a s s i f s ; s e u l s l e s a s p e c t s f o n c t i o n n é l s d e c r o i s s a n c e d e s p a r a m è t r e s pritnuitrr sont à introduire dans un fichier-circuit .CIR' Nous verrons p . t l a s u i t e q u ' i l e s t p o s s i b l e , c o m m e l e m a n u e l d ' u t i l i s a t i o n d e

^tspi."

Ul noui I'indiquè, de faire varier un ou plusieurs paramètres primaires en fonction de la distance'

La variation des paramètres primaires avec la fréquence et la température a fait I'objèt d'une étude très complète et très génétale pu, t.Vt. HEBBERT t9i. Nous examinerons, pour les mêmes raisons qui ànt été citées au Chapitre l, les variations de I'inductance et la r é s i s t a n c e .

Etant donné seule la variation p r i s e e n c o m P t e .

que I'effet de peau est négligé dans cette sectlon, o. la résistance en fonction de la température est

L a v a r i a t i o n d e l a r é s i s t a n c e e n f o n c t i o n d e l a température est donnée Par l ' é q u a t i o n :

Re = Rarnu[ I +ctn(O -Ouru)] ( 1 )

L e s p a r a m è t r e s d a n s ( l ) r e p r é s e n t e n t : Re : La résistance à la température 0 o C

Ramt : La résistance à température ambiante (température de rêférence en général).

Cln : Le coefficient de température supposé constant pour les relativement basses températures (en dessous du point de fusion du materiau conducteur).

g et 0amu : ResPectivement, température ambiante.

u n e t e m p é r a t u r e d o n n é e e t l a

L'équation (l) montre en toute évidence que la variation de la r é s i s t a n c e e s t l i n é a i r e e n f o n c t i o n d e l a t e m p é r a t u r e ' N o u s appelerons k, le coefficient de proportionnalité entre la variation de température  0 = 0 - 0 amb Êt la distance que nous noterons' pour s i m p l i f i e r , z . P a r c o n s é q u e n t , n o u s é c r i v o n s e x p l i c i t e m e n t l a résistance en fonction de z comme:

R(z) = Ra*u[1+ap.k.zl (2)

Il est ainsi claire, vue sa croissance continue en fonction de z, que la résistance doit être remplacée fictivement, pour toute similation pspice, par une fonction " quantifiée " ou en escalier.

Notons que l; fonction en escalier permet d'approximer la résistance

des fils constituant le câble coaxial et de la maintenir constante, pour

l e m o d è l e d e s b a s s e s f r é q u e n c e s é v i d e m m e n t , d a n s c h a q u e

q u a d r i p ô l e é l é m e n t a i r e . L e s d e u x v a r i a t i o n s e n f o n c t i o n d e l a

distance z sont illustrées en figure la et figure lb'

R(n.Az)

O Lz 2Lz (N-1).^ z N.Az

Le coefficient de proportionnalité crR pour le cuivre recuit à 20 oC, par exemple, est de 0.00393/oC. Le coefficient de proportionnalité t.rpéruture-distance noté k est de 0.03 oC/m, ce qui correspond appioximativement au coefficient de température dans la croûte terrestre où le câble pourrait servir de moyen de transmission de d o n n é e s e n v u e d ' e f f e c t u e r u n e é t u d e d ' a c t i v i t é s i s m i q u e d e s plaques (tectonique des plaques, géophysique) ou alors comme n.loy.n de détectiôn de présence d'une éventuelle nappe pétrolière.

A v a n t d ' e n t a m m e r le p r o b l è m e d e l a s i m u l a t i o n d e l a propagation des ondes électromagnétique dans le milieu dont nous n"nïnî de préciser les paramètres (coefficient de proportionnalité, constantes, etc...), il t..ble fort important de souligner qu'une étude de I'influence des variations de température sur I'affaiblissement en l'occurence, a êté effectuée tlQl où I'auteur a simplement consulté le cas du câble totalement plongé dans un milieu dont la température est constante.

En ce qui concerne les simulation, compte tenu de la variation

de la résistance selon le schéma de la figure la, le câble peut être

remplacé par une succession de quadripôles'

Chaque - U n e conducteurs

quadripôle élementaire est formé de:

r é s i s t a n c e t r a d u i s a n t l e s p e r t e s J o u l e d a n s l e s interne et externe du câble coaxial, et dont la valeur dépend de la distance selon l'équation (2)'

- Une inductance en série avec la résistance totale, traduisant 1 e c o u p l a g e m a g n é t i q u e e n t r e l e s c o n d u c t e u r s , l e s i n d u c t a n c e s internei dues à I'effet de peau tlll sont évidemment négligées en basses fréquences et feront I'objet d'une étude ultérieure dans les prochains paragraPhes,

- Une capacité due au couplage électrique entre les conducteurs entre lesquels existe un milieu diélectrique différent de I'air,

- En général, une conductance traduisant les pertes transverses d a n s l e d i é l e c t r i q u e , m a i s c e l l e s - c i s o n t s o u v e n t n é g l i g e a b l e s

t12l,tl3l (propriétés rhermiques de I'isolant constituant le milieu d i é l e c t r i q u e ) .

La capacitê et la conductance sont associées en parallèle et I'ensemble est en série avec la résistance, variable en fonction de la distance, et I'inductance.

Le schéma de La figure 2 illustre le modèle équivalent de

I'ensemble du câbte dans le milieu préalablement cité.

Conducteur Externe

ZL

Q(n+1)

n . L z (n+l). z (N-1).^ z N.^z

Le pas de discrétisation est choisi de telle manière à ce que sa valeur Soit très petite devant la longueur d'onde. Par conséquent, plus les fréquences de travail sont hautes et plus nous aurons interêt à discretiser en plus fin le câble coaxial ainsi immergé dans le gradient de temPérature.

Il est aussi important de noter que la longueur total du câble joue un rôle non négligeable quant au choix du pas de discretisation -L,2.

Ainsi, les câbles relativement longs (par rapport à la longueur d'onde) necessitent moins de subdivision que les câbles plus courts par exemple.

Conducteur Interne

Notons que clraque quadriPôle figure 2 est représenté, par sa forme figure 3.

Ro=R(n.A z)

é l é m e n t a i r e a i n s i d é f i n i d a n s l a récurrente en fonction de D, en

Vn Vn+1

" ï

n.Lz ( n + 1 ) . 4 z

Le quadripôle élémentaire étant défini, les paramètres primaires cbnnus, la simulation est ainsi possible en respectant la iyntaxe imposée par le Simulateur PSpice. Il ne reste plus qu'à tiaduire le circuit du modèle équivalent en figure 2 par le fichier- circuit .CIR dont la description a étê détaillée au préalable.

Etant donné Sa Structure récurrente, le modèle équivalent du câble, pour être simulé, nécessite I'utilisation:

1o) d'une instruction traduisant la "fonction résistance", et elle est donnée Par:

. FUNC RESISTANCE(Z) ( A + B * Z )

Les constantes A et B Sont respectivement, la résistance à température ambiante et un coefficient donné par l'équation (2). Ces constantes sont déclarées par I'instruction:

. PARAM A=0.036, B=1.1e-4 ; pour le cuivre par exemple t

Z

dans le Modèle Equivalent du Câble Coaxial

2 o ) d ' u n e p r o c e d u r e d é f i n i s s a n t , p a r s o n a p p e l , t o u s l e s q u a d r i p ô l e s e n c a s c a d e t e n a n t c o m p t e d e l a v a r i a t i o n d e l a r é s i s t a n c e d é f i n i e p a r l a f o n c t i o n c i - d e s s u s . C e t t e p r o c e d u r e e s t n o t é e :

. SUBCKT CELL I 3; de I'anglais SUBCIRCUIT CELL est son nom, 1 et 3 son les noeuds délimitant

Pour qu'elle puisse être opérationnelle, il I'appeler pour économiser l'écriture. L'appelle commence toujours par la lettre X et s'effectue par:

Une des Puissances de PSPice être écrites dans n'importe quel ordre

Nous câble

e s t q u e l e s i n s t r u c t i o n s Peuvent dans le fichier texte .CIR.

à la lettre près et le circuit de base ; faudrait pouvoir d e l a p r o c e d u r e

et la phase Pour dans un gradient X q u a d r i p o l e 1 3

X q u a d r i p o l e 3 5

Pour mieux comprendre le processus syntaxique du SUBCKT et ses appels, iI convient de donner le fichier texte du câble coaxial en le commentant pour expliquer chaque instruction (cf annexe 2).

L e s v a l e u r s n u m é r i q u e s q u e n o u s a v o n s u t i l i s é e s p o u r l e s s i m u l a t i o n s , s o n t c e l l e s d u c â b l e c o a x i a l d u t y p e R G 5 8 U préalablement utilisées. Seuls la longueur du câble ainsi que le pas de subdivision L,z changent du cas simple du câble coaxial de 500 m de long. Nous avons néanmoins étudié le cas du câble relativement court ùur fixer I'idée du fait que plus le câble se raccourci et plus on aura interêt à discretiser en plus fin.

avons simulé le gain (ou I'attenuation) long de 500, 1000 et 1500 m Plongé

linéaire de température (i.e: la résistance est de la forme R(z)=aa5'2, a et b sont des réels positifs). Les résultés sont portés en figures 6 et

D'autres part, nous avons également étudié variation quadratique de la résistance en fonction de

l e c a s d ' u n e

l a d i s t a n c e z

(i.e: R(z)=a+b.z+c.z^2, où c=2e-7 Qlm^2).Le principe est exactement le

même; seule la fonction-résistance change. Les résultats, pour

I'attenuation et la phase pour les mêmes longueurs du gradient

linéaire, sont portés en figures 8 et 9.

+ 1500 m PSpice-GT + 1000 m PSPice-GT .+t- 500 m PSpice-GT -

v 4 0 Eo 5 3 0

cÉ t? 20

0

1 o

F r é q u e n c e ( k H z )

1 o o

Figure 6: Atten.=f(Fréquence). L=500. 1000 et 1500 m.

en BF avec Gradient de TemPérature

F r é q u e n c e ( k H z )

(t)

\Q)

Lê0

q)

o -400

€)(t) cll

or -600

'...æ 500 m PSpice-GT

# 1000 m PSpice-GT

# l500mPSpice-GT

+ 1500m PSPice +t_ 1000 m PSPice

# S O O m P S P i c e ,^ 80

-€ 60 o Ë 4 0

q)

1 0 0

F r é q u e n c e ( k H z )

Figure 8: Atten.=f(Fréq.\. L=500. 1000 et 1500m.

1 0

0 - 1 0 0

G -2oo

\q) lià0 q) -300 -

o) -400 (â

6t

f -5oo

-

-600

-700 1 0 0

F r é q u e n c e ( k H z )

..'.''....€- 500mPSpice

* l 0 0 0 m P S p i c e .+ 1500 m PSpice

Les résultats de c h a r g e a n t s u r u n e

la simulation PSPice ont i m p é d a n c e r é s i s t i v e é g a l e

été obtenus en

à I ' i m p é d a n c e

(â

(J

N

c a r a c t é r i s t i q u e d u c â b l e c o a x i a l à t e m p é r a t u r e a m b i a n t e . I l e s t c e r t e s d i f f i ô i l e d e d é f i n i r u n e i m p é d a n c e it é r a t i v e d a n s c e c a s d e propagation vue la dispersion spacial des paramètres primaires R, L,

^C, 'et-

G éventuellt*.nt. Nous avons, néanmoins, à titre indicatif, porté en figure 10, les variations de I'impédance caractéristique en ionction de la fréquence à différentes température (câble totalement ptongé dans un rnilitu à température uniformèment répartie)'

* Zc(125'l

..-...r- Zc(75'l 4r- Zc(25")

1 0 0

F r é q u e n c e ( k H z )

Il est bien claire que la valeur de I'impédance caractéristique ainsi définie en figure 1ô ne peut adapter le câble coaxial dans le g r a d i e n t d e t e m p é r a t u r e . L e f o r m a l i s m e m a t h é m a t i q u e q u i p e r m e t à . p o s e r l e s c o n d i t i o n s d ' a d a p t a t i o n d e l a p u i s s a n c e t r a n s m i s e à t r a v è r s l e c â b l e n é c e s s i t e d e s c a l c u l s f a s t i d i e u x n o t a m m e n t n u m é r i q u e s [ 1 4 ] , [ 1 5 ] , t l 6 l . N o u s a v o n s , c o m m e m e n t i o n n é p r é c é d e m m e n t , c h a r g é l e c â b l e p a r u n e r é s i t a n c e s ' a p p r o c h a n t d e i'impédance caractéristique aux hautes fréquences donnée par:

^=48 ⁽³⁾

c o m p a r a i s o n a v e c l e m o d è l e et qui sera détaillé dans le seulement Pour avoir une idée de

numérique que nous avons développé prochain chaPitre.

2 - l - 2 - M o d è l e P S p i c e d u c â h l e c o a x i a l e n h a u t e s

f r é q u e n c e s a v e c s r a d i e n t d e t e m p é r a t u r e

(_ Il est fort évident, à l c o n d u c t e u r s , q u e l e c â b l e

\hautes fréquences [2].

cause de I'effet de peau présent dans les c o a x i a l s e c o m p o r t e d i f f é r e m m e n t a u x

Avant d'aborder tout calcul, il est d'utt interêt capital de rappeler ce qu'est I'effet de peau dans un milieu conducteur quelconque et cylindrique, qui est le cas de notre câble coaxial, en particulier. En basses fréquences ou en courant continu, le champ êlectrique et magnétique induit par, respectivement, la tension et le courant, sont répartis de telle manière à ce que la densité de courant soit uniformèment distribué sur la surface du conducteur. Les schémas des figures l1 et 12 illustrent les situations du conducteur cylindrique en basses et hautes fréquences.

Densité de Charges

1.0

Diamètre

Densité de Charges

1.0 1.le

Diamètre

Epaisseur de peau

ô .-

? - ' - -

- - - a-

- -

conducteur cylindrique en hautes fréquences.

L'effet de peau ou effet pelliculaire est présent sous

certaines conditions de fréquence et de dimensions des conducteurs et il n'est pris en compte que si la fréquence dépasse une certaine limite imposée par ces conditions [2].

Comme il est indiqué également en l2l, non seulement la résistance lineïque des conducteurs varie avec Ia fréquence mais I ' i n d u c t a n c e l i n e ï q u e a u s s i e s t s u j e t t e à c e t t e d i s p e r s i o n fréquentielle. Nous tiendrons compte de ces deux paramètres primaires en particulier, car, comme nous le verrons en détails, I'effet de peau de par son lien analytique avec la conductivité des conducteurs, varie en fonction de la température et par conséquent de façon implicite, puis explicite par la suite, en fonction de la d i s t a n c e .

Pour le modèle PSpice des hautes fréquences, la dispersion fréquentielle ne peut être, de façon explicite, introduite dans les

l - -

simulations parce que PSpice n'effectue, ou du moins actuellement, que I'analyse et la simulation des circuits ou composants constants Ën fréquence. Nous avons tout de même contourné le problème en calculant, à une fréquence donnée, les valeurs de la résistance et de I'inductance que nous avons introduites dans le fichier-circuit en effectuant des analyses fréquentielles très fines de façon à maintenir constants ces deux paramètres primaires'

Ainsi, pour connaître la "vraie" valeur de l'attenuation ou de la phase du signal propagé en hautes fréquences, nous effectuons dans i r f i c h i e r q u e n b r r a p p e l o n s , p a r e x e m p l e , H A U T B S . C I R , l e s instructions suivantes:

. A C D E C 1 0 0 L . O M e g 1 . 2 M e g

ce qui nous donne, de façon approximative, l'analyse autour des 1. 1M eg , chose qui est théoriquement impossible pour PSpice car celui-ci ne tient pas compte des variations fréquentielles lors des s i m u l a t i o n s e t p a r c o n s é q u e n t le s i m u l a t e u r c o m m e t t r a i t d e s abérrations quant lu calcul de la vraie valeur de I'attenuation ou de la phase autour des 1.1 MHz. Il est bien clair que plus nous utilisons des intervalles fréquentiels fins et plus la précision est meilleure.

Nous allons, après une description qualitative des deux effets physiques (effet dq peau, gradient de température), -donner les èquatiôns qui régissent les variations, en fonction de la fréquence et de Ia distance, de I'inductance et de la résistance de chaque cellule ou quadripôle élémentaire comme nous l'avons préalablement établi en illJ f St. Nous rrairerons chaque paramètre primaire (résistance ou inductance) à Part.

Le conducteur central du câble coaxial est repréSenté en figure

13, où est schématisée l'épaisseur de peau illustrant la "fuite" des

porteurs de charges vers la surface du conducteur:

ù(z) = La substitution

(6)

(4) donne alors, .dz (7)

d e ( 5 ) d a n s

P i Q )

ôi(z) << 2a (8)

reste valable quelque soit la profondeur a l o r s s i m p l i f i é e . E n r e m p l a ç a n t c h a q u e valeur, tenant compte de I'approximation

dRl(z) =

æôi(z)(ô 1@) + 2a)

l'équation (7) est exacte et toutes les fonctions qui y figurent sont analytiquement connues. Nous Supposerons, par la suite, que les fréquences sont assez hautes pour que I'approximation,

dRi

z . L ' é q u a t i o n ( 7 ) s ' a v è r e f o n c t i o n d a n s ( 7 ) p a r s a (8), nous obtiendrons,

2 n a (e)

Les paramètres présents dans (9) sont:

p i0 : la résistivité du conducteur central (interne) à température a m b i a n t e ;

f : la fréquence du signal sinusoïdal propagé;

ki : le coefficient de proportionnalité traduisant la variation de la résistivité en fonction de z;

a : le rayon du conducteur central.

Pour calculer la résistance du conducteur central pour une cellule élémentaire de longuer Lz, il convient tout d'abord de calculer la résistance total d'une portion de câble de longuev Z.

La résistance de la cellule élémentaire du conducteur central comprise entre n et n+l (cf figure 2) est donnée par une équation de récuirence faisant intervenir la valeur de la résistance totale pour la longueur Z. Il est donc nécessaire de calculer analytiquement cette résistance totale d'une portion de longueur finie Z.

k1z.dz

L'intégration de l'équation (9) entre 0 et Z (Z est arbitraire et f i n i ) d o n n e , p o u r l e i o n d u c t e u r c e n t r a l d a n s l e g r a d i e n t d e température, la formule ci-dessous,

Ri(z)=#ki ^{. { ( 1} + k i . Z ) z - 1 } ^L ( 10)

E t a n t d o n n é q u e l e s r é s i s t a n c e s e n s é r i e s s ' a j o u t t e n t , la r é s i s t a n c e d ' u n e c e l l u l e é l é m e n t a i r e d e l o n g u e u r L , z e S t s i m p l e m e n t l a d i f f é r e n c e d e l a r é s i s t a n c e d ' u n e p o r t i o n d e c â b l e d e l o n g u e u r ( n + l ) . A , 2 e t d e l a p o r t i o n d e l o n g u e u r n . Â 2 , c e q u i n o u s m è n e r a p a r l a suite à écrire l'équation de récurrence pour le conducteur central,

= Ri((n+ 1 ) . L z ) - Ri(n.Âz) (1 I )

La valeur de cette résistance varie bien en fonction de n' la c o o r d o n n é e l o n g i t u d i n a l e ( d i s p e r s i o n s p a c i a l e ) , e t d e l a f r é q u e n c e (dispersion fréquentielle) comme le montre explicitement l'équation ( 1 0 ) d o n t d é p e n d d i r e c t e m e n t l' é q u a t i o n ( l l ) '

La situation pour le conducteur externe est quelque peu différente du point àe vue géométrique mais le principe de calcul demeure inchangé. Les dimensions ainsi que la forme creuse du conducteur externe font intervenir d'autres équations que nouS poserons par la suite.

Il est ainsi clair que, du fait de la différence de dimensions entre les conducteurs interne et externe, la fréquence "Seuil" pour laquelle les approximations de I'effet de peau (cf équation (8)) deviennent vatàbles est complètement différente pour le conducteur e x t e r n e .

Le conducteur externe, appelé aussi armure' est représenté en figure 14. Le courant de haute fréquences est ainsi distribué à I'interieur et I'exterieur du cylindre creux.

t i"t

Le conducteur externe Sert de retour du courant de haute fréquence . La partie qui nous interesse eSt la partie interne du conducteur externe. La résistance infinitésimale du conducteur externe selon la figure 14 est donnée par:

dRs(z) = ^{P o ( z ) .dz} (r2)

æôs(ôe + 2b)

Comme précédemment nous appellons, pour les paramètres d a n s ( I 2 ) , r e s p e c t i v e m e n t , P O (z ) l a ' r é s i s t i v i t é d u c o n d u c t e u r externe (fonction de z également), ôO(z) l'épaisseur de peau interne du conducteur externe et b le rayon interne (cf figure l4).

Nous effectuerons les mêmes approximations concernant le diamètre interieur 2b par rapport à l'épaisseur de peau. La résistance de la cellule élémentaire pour le conducteur externe, qui sera ajoutée à celle du conducteur interne, est donnée, après des calculs similaires, par:

(t 3)

r8 = Rs((n+l).Lz) - Rs(n.Âz)

N o t o n s q u e l a r é s i s t a n c e t o t a l e , p o u r u n e l o n g u e u r Z d o n n é e , d u c o n d u c t e u r e x t e r n e R o ( Z ) a é t é o b t e n u e e n i n t e g r a n t l a r é s i s t a n c e i n f i n i t é s i m a l e e n t r e z = 0 e t z - - Z a p r è s a v o i r e f f e c t u é t o u t e s s i m p l i f i c a t i o n s p o s s i b l e s ( a p p r o x i m a t i o n s , s u b s t i t u t i o n s d e s f o n c t i o n s de z, etc...).

La connaissance de quadripôle du modèle de d o n n é e , s e l o n (1 1 ) e t ( 1 3 ) ,

la résistance totale " élémentaire " du récurrence est ainsi possible; et elle est

dans sa forme condensée, par l'équation:

(r4)

La croissance de la résistance totale élémentaire en fonction de la racine carrée de la fréquence est implicite dans l'équation (14), traduisant ainsi I'effet de peau dans les conducteurs.

B ) I n d u c t a n c e s

Il est bien évident que I'inductance soit composée de la somme d e t r o i s i n d u c t a n c e : I n d u c t a n c e d e c o u p l a g e e n t r e l e s d e u x c o n d u c t e u r s i n t e r n e e t e x t e r n e [ 1 9 ] , I ' i n d u c t a n c e i n t e r n e d u conducteur interne et I'inductance interne du conducteur externe dûes à I'effet de peau qui, de part la distribution des courants qu'il modifie, induit des champs magnétiques dans les conducteurs et par conséquent des inductances internes, d'après le théorème d'Ampère [20], sont à prendre en considération.

Nous traiterons d'abord les inductances internes dûes à I'effet de peau combiné au gradient linéaire de température. L'inductance de couplage, terme majoritairement dominant, sera simplement ajoutée puisque son calcul a été déjà traité tl9l.

B ) - 1 - I n d u c t a n c e i n t e r n e d u c o n d u c t e u r c e n t r a l

Le schéma de la figure 13 illustre la distribution du courant de haute fréquence dans le conducteur central ou interne. Nous allons faire appel au théorème d'Ampère pour calculer: la densité de courant, le champs magnétique induit, le flux magnétique induit, et enfin I'inductance.

Comme nous I'avons effectué avec les résistances, nous utiliserons le calcul différentiel puisque nous considérons toujours l e s m ê m e s é t a p e s d e c a l c u l q u ' a u p a r a v a n t ( i n d u c t a n c e infinitésimale, intégration, discretisation, etc...).

r[ =/n+4r

dQi(r,z) = Bi(r,z)drdz ( 1 5 )

Bi(r,z) est le champs magnétique interne,

R e m a r q u o n s d a n s ( 1 5 ) l a d é p e n d a n c e d u c h a m p s m a g n é t i q u e d e l a d i s t a n c e z p u i s q u e l e c o u r a n t , c o m m e n o u s l e v e r r o n s u l t é r i e u r e m e n t , v a r i e e n f o n c t i o n d e z d u f a i t d e l a v a r i a t i o n l'épaisseur de peau (dispersion spaciale de la densité de courant).

Utilisant le théorème d'Ampère pour le conducteur représenté en figure 13, le champs rnagnétique est donné par:

Bi(r,z) = Ë-.i{r,z)

Le courant interne i(r,z) g é n é r a l e :

i(r,z) = it@).si(r) (17)

La section efficace Si(r), à fréquence circule, dans l'équation p a r :

d ' i n t r o d u i r e c e t t e h y p o t h è s e d a n s l e c a l c u l d u f l u x i n f i n i t é s i m a l i n d u i t p a r l e c h a m p s m a g n é t i q u e in t e r n e :

( 1 6 )

dans (16) peut être écrit sous sa forme

travers laquelle le ( 1 7 ) e s t , s e l o n l a

courant de haute figure 13, donnée

s1(r) = rc(r2 - az) (18)

La densité de courant donnée par (17), tenant compte de I'effet de peau, est alors:

l +

(te)

nô1(fi + 2a)

Il est ainsi clair que le calcul du flux total, pour une longueur Z du conducteur central, est donné par une intégrale double sommant sur les distances z et sur les rayons r.

D'une rnanière générale, cette intégrale double du flux magnétique induit, est donnée par:

jr@)

B i(r,z)dr ô i ( z )

(20)

Utilisant les mêmes approximations que pour la résistance, nous écrivons le flux total, après plusieurs simplifications et une première intégration, comme étant:

oî = f^,Ë

ol = Eyv.^.[ - 4na Jo

l n ( 1 - Q & \ . a d z l ôi(z)

(2t)

L'épaisseur de Peau fonction de z et Peut être

est, comme pour la résistance, variable en écrite de la forme:

(22)

gue, dans I'intégrale donnée en (2I), utilisée comme la variable d'intégration variable approprié utilisant (22).

sur l'épaisseur de peau faite en la considérant rayon a du conducteur interne permet d'écrire, flux total:

ce s o i t

d e

(23) ô i ( z ) = ô i O / l + t i ,

de telle manière à l'épaisseur de Peau après un changement

L'approximation très faibte devant le après tous calculs, le

rÀg;)=;H {z- 2;u .(F(z)-F(0))}

4na r<iaitoI

où la fonction F(z) est donnée Par:

F(z) = (1 - Qi(').l.rn(r Y, ⁽²⁴⁾

L'inductance interne élémentaire d'une portion de fil interne de longueur Lz est donc donnée par une équation de récurrence similaire à celle de la résistance:

Li = Li((n+ l).Lz)-Li(n.Az) (25)

La situation est similaire que pour le l e s b o r n e s d ' i n t é g r a t i o n c h a n g e n t d u f a i t c o n d u c t e u r .

L'intégration sur le rayon r s'effectue f i g u r e l 4 ) , a v e c ô o ( z ) e s t l ' é p a i s s e u r profondeur donnée z.

N o u s mathématiques une portion de

conducteur central, seules d e l a s t r u c t u r e c r e u s e d u

e n t r e b e t b + ô o ( z ) ( c f

d e p e a u i n t e r n e à u n e

donnerons le résultat après que tous les calculs aient été achevés. L'inductance totale interne, pour câble de longueur Z, est alors:

et les constantes dans (26) sont:

b: le rayon interne du conducteur externe (figure A);

ko: coefficient de proportionnalité entre la résistance et la distance z qui est le même que pour le conducteur interne (cuivre)' Il pourrait ètrc différent pour lei câbles dont le blindage (armure) est en acier pour des raisons purement mécanique' Le type de câble que nous avons étudié (i.e: RG58U) fait exception'

ô o ( 0 ) : é p a i s s e u r d e p e a u à I ' o r i g i n e d e s d i s t a n c e s z d u conducteur externe.

(26)

La fonction G(z) est donnée Par:

G(z)- (1 + Q@o ).tn(l +

Y, ⁽²⁷⁾

élémentaire, inductance de L'inductance total de la cellule

couplage incluse [19], est alors:

Ltn=lL*lT+u.P.rnP

2 n a

(28)

où p0 est la perméabilité magnétique du vide usuellement êgale à p0=4rc* 10-7 S.I

A présent les inductances ainsi que les résistances du modèle

discret P-Spice sont connues et définies par des fonctions analytiques

aisèment intégrables, comme nous I'avons fait pour le modèle en basses fréquences, dans des fichiers de commande 'cIR pour le circuit passif à une fréquence donnée'

P S p i c e p r é s e n t e l ' h a n d i c a p d e n e p l s p o u v o i r ' d e . f a ç o n

automatique, tenir compte de la dispersion fréquentielle dûe à I'effet de peau. Néanmoins, nous pouvons fixer la fréquence, utilisant les équâtions (14) et (28), poui effectuer une analyse fréquentielle très fine.

Le principe en lui même est simple: Soit à déterminer une grandeur (t"nriôn, courant, impédance ou autres) à la fréquence f0 Ëut "*6pi". Nous utilisons les fonctions inductance et résistance de iu fréquence à f=fO, puis à la simulation nous demandons une analyse dans une bande très étroite entre f0-Af et fO+^f, avec Âf très faible pour pouvoir connaître, à I'approxiamtion près, I'attenuation ou la Phase à f=fO.

Nous effectuerons par la suite les simulations pour d'autres fréquences pour pouvoir lassembler I'ensemble des résultats en vue d'obtenir une réponse fréquentielle beaucoup plus représentative au lieu d'effectue ùne étude temporelle nécessitant l'utilisation de la Transformée de Fourier RaPide.

Les équations qui régissent les variations de la résistance et de l,inductance de chaque quadripôle élémentaire en fonction de la distance et de la fréquence étant développées, la simulation, compte i"nu du problème de la dispersion fréquentielle de ces paramètres primaires, est ainsi possible. Pour ce fait nous donnerons en détail le prog.urn-" de simulation concernant les hautes fréquenceS sous ..ràin", conditions entre la longueur d'ondes, pour ce cas précis de domaine fréquentiel, et longueur totale du câble coaxial et la longueur de chaque quadripôle élémentaire'

Nous représentons en figure 15, la variation en 3D de la densité de couiant j(r,z) pour f=lMHz. Le domaine de r est: 0< r <al2 et le domaine de i ..t b< z <Zmax=100.000 m (valeur assez grande p o u r p o u v o i r r e p r é s e n t e r q u a l i t a t i v e m e n t l e s v a r i a t i o n s iongitudinales de la àensité de côurant). Le tracé automatique a été effe-ctué grâce au programme de calculs MathematicarM.

P l o t 3 D [ E x p t 6 6 . 0 8 9 4 8 5 * ( '

r ) / S q r t i f + - 0 . O 0 0 I t * z I l , { r , 0 , 0 . 0 0 0 5 }, { 2 , 0 , 1 0 0 0 0 0 } l

Le programme de simulation PSpice contiendra, en plus des o p t i o n s d è c - o m m a n d e s . o P T I O N S , . P R O B E , e t c . . . , le s f o n c t i o n s résistances et inductances traduisant la dépendance spaciale et f r é q u e n t i e l l e .

qui concerne la fréquence, puisqu'elle ne peut être a u t o m a t i q u e m e n t , n o u s l a d é c l a r e r o n s c o m m e c o n s t a n t . L e p r o g r a m m e c i - d e s s o u s e x p l i q u e l e m o d e d e f o n c t i o n n e m e n t d e c e t t e d é l i c a t e En ce

i n c r é m e n t é e p a r a m è t r e c o n c r é t e m e n t s i m u l a t i o n .

Nous appellons, pour le fichier de commande GIRCUIT' le fichier HAUTÉS.CIR. Nous nous bornerons au cas du câble de 500m de long pour illustrer, de manière qualitative, la procedure de création- du fichier. Les constantes que nous allons utiliser dans le programme sont:

- La résistivité du cuivre, qui, d'après les équations de la

résistance et de l'inductance, eSt la plus utilisée que la résistance

lineique à température ambiante comme pour le modèle des basses

f r é q u e n c e s ;

- L'inductance et la capacité à température ambiante s o n t respectivement: L=0.25 pH/m, C=100 pF/m;

- L e s d i m e n s i o n s d e s c o n d u c t e u r s i n t e r n e e t e x t e r n e respectivement sont: a=R1=0'5 ffiffi, b=R2=I'745 mm;

nous nous proPosons d'étudier la coaxial est de I MHz;

- La fréquence à laquelle réponse ainsi que la Phase du câble

- La bande de fréquence êgale à: Âf=100 kH4 soit alors de 950 kHz à 1050 kHz;

est très étroite, nous la Prendrons un intervalle relativement fin allant

- Pour le conducteur central comme pour le conducteur externe, nous utiliserons le même coefficient de température, soit a l o r s : k i - k o - k - l . l e - 4 Q . m - l . o c - l .

- E t a n t d o n n é q u e l e c u i v r e , m a t é r i a u q u i c o n s t i t u e l e s c o n d u c t e u r s d u c â b l è é t u d i é , e s t n o n f e r r o m a g n é t i q u e , s a p e r m é a b i l i t é r e l a t i v e e s t é g a l e à I ' u n i t é . N o u s a v o n s a i n s i s i m p l i f i é l e s c a l c u l s e n s u b s t i t u a n t d i r e c t e m e n t la v a l e u r n u m é r i q u e p 0 = 4 n x 1 0 - 7 S.I. dans les équations de la résistance et de I'inductance;

cable coaxial de 500m de long ; Ligne de titre du texte ; . PROBE

. OPTIONS RELTOL=0'001 NUMDGT=8

. A c D E C 1 0 0 9 s 0 k 1 0 5 0 k

. P A R A M k = 1 . I e ' 4 , L 0 = 0 ' 2 5 u H : C = 1 0 0 p F , F r e q = 1 e 0 6 ' + P i = 3 . 1 4 L 5 g 2 7 , R l . = 5 e - 4 , R 2 = I . 7 4 5 e ' 3 , D e l t a z = 5 0 , + M u 0 = 1 . 2 5 6 6 3 7 l e ' 6 , R h o = 1 . 7 2 4 e ' 8

*

*

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3

* Definition de la fonction H(z) = (l+k'z)z - 1

â € { . * * * * * * : N € * { € ! t € ! $ d . * * * { . * * * * * * * * * * { € * { Ê * * { . { € * * { G { € c c * * { ' * { < * { € * * * { € * * € * * * * * { € * *

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. FUNC H(Z)

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( P W R ( 1 + k * 2 , 3 1 2 ) ' l )

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* Definition de la fonction de la resistance totale du

* c o n d u c t e u r i n t e r n e

*