Théorie du câble coaxial (suite)

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Théorie du câble coaxial (suite)

F. Pollaczek

To cite this version:

THÉORIE

DU

CÂBLE

COAXIAL

_(suite)

Par F. POLLACZEK. 6. Solution de

_quelques’

*

problèmes

aux limites. -- A l’aide du

champ

de Green

_(68),

nous établirons facilement les solutions des

pro-blèmes aux limites mentionnés dans l’introduction.

Considérons d’abord dans

_l’espace

du câble ,deux

champs quelconques

E, H,

et

_{El, Hl.}

En vertu des

équations (3)

auxquelles

ces deux

_champs

satisfont en

_général,

le 2e membre de l’identité

-est

_nul,

de sorte _{que l’on} a

Grâce au théorème de _Green

où S

_désigne

la

surface,

de normale intérieure n,

qui

limite le volume

_V,

il vient ensuite

En

_appliquant

cette formule à un _{espace V}

_coupé

par des surfaces où les

composantes

de ces deux

champs présentent

des

discontinuités,

il

faut,

en

général, incorporer

dans S les deux côtés de ces

surfaces sans toutefois tenir

_compte

des surfaces de discontinuité S’ de E, u; car, dans

_[

E,

H,

]~

ne

figurent

que des

composantes tangentielles, lesquelles

sont continues sur S’.

Appliquons

maintenant la dernière formule à la couche

limitée par les

plans So (z

=

o)

et

Si

(z

=

1),

et

prenons pour

E,

H un

_{champ électromagnétique}

qui

existe dans cette couche et _pour

_El,

_Hl,

le

_champ

de Green

-1..B -1_.B

selon

₍₆₈₎

dont la

_composante

_H~,

subit sur la surface

₍₆₉₎

la discontinuité

_(70).

La surface S se _{composera alors} des

_{plans So}

et

S,

et des deux côtés de la surface

₍₆₉₎

et nous

obtiendrons,

en

_multipliant

_par

à

e-111,

Grâce à

_{l’équation}

₍₇₀₎

et à la notation

_(74),

cette

_{équation prend}

la f orme

et en

_{remplaçant y}

_par -

y, on a

car

puisque

=

2 ;2W

Girl est une fonction

_paire

de y, les fonctions et

[voir (10)]

sont

respec-tivement

_paire

et

_impaire.

Nous utiliserons ces f ormules en

_premier

lieu

pour des y

imaginaires

et pour 1 = 00 où l’on

peut

supposer

dans cette

_hypothèse,

on

obtient,

en

_ajoutant

l’équation (90)

à

_(89),

Le 2 e membre de cette relation est la transformée

de Fourier d’une fonction

_{f (z) qui}

est

respecti-vement

_égale

à Ez

_(r’,

±

_z)

_{pour z}

_positif

et

_négatif;

en

appliquant

le théorème de Fourier sous la forme

nous avons donc

245

ou, en

_supprimant

les accents des variables r’ et

z’,

1

Pour les autres

_composantes

du

_champ,

on obtient

ces formules

_peuvent

être déduites de

₍₉₄₎

à l’aide des deux

_{premières équations (7)}

utilisées sous la forme

- " ~ ~ ,

Les formules

₍₉₄₎

à

_(96),

où il _{faut poser,}

d’après

(74),

permettent

de calculer le

_champ

d’un câble de

longueur

infinie

_(dont

la section normale est

repré-sentée

_figure

₁₎

en fonction des _{valeurs que la}

composante

Er

(r, z) prend

sur le

_{plan, z}

= o.

Remplaçons

maintenant E,~

_{(r, o)}

_[équ.

_(98)]

_par

une fonction

arbitraire,

continue par morceaux,

F (r)

qui

ait une

dérivée continue

_{(par morceaux)}

et soit

O ( 1 )

_pour r - oo; on, démontre alors sans

difficulté que les fonctions

₍₉₄₎

à

₍₉₆₎

satisfont

toujours

pour z > o, o ~ r oo aux

_équations

et

aux conditions

_{supplémentaires}

de la théorie de Maxwell et _{que pour} z --~ o,

E;(r, z)

tend vers la

fonction donnée

_F(r)

_partont

où celle-ci est continue.

Passons maintenant aux câbles de

_longueur

finie 1 et

_prescrivons

sur chacun des deux

_{plans qui}

limitent la couche

₍₈₇₎

les valeurs soit de

E,~,

soit de

_H~;

on est conduit ainsi à trois différents

_types

de pro-blèmes aux limites.

Pour

_exprimer

E~.

(r,

z)

par

exemple

en fonction

de E,.

_{(r, o)}

et de E,

_(r,1),

additionnons les

équa-tions

₍₈₉₎

et

_(90),

ce

_qui

élimine les termes en H

_{(r, o);}

il vient ,

Pour résoudre cette

_{équation intégrale}

_pour

_Ez(r,z),

où s > o

désigne

une

_grandeur

arbitrairement

petite;

pour des fonctions

paires,

(100)

est une

généralisation

du théorème de Fourier

_{[équ. (93)].}

Admettons,

pour la démonstration de

(100),

que

f (z)

possède

une dérivée continue

_{f’ (z),}

ce

_qui

sera le cas dans nos

_{applications;}

on a

_alors,

en

intégrant

par

parties,

1 1 - u

En

_intégrant

_{ensuite par}

_rapport

à

_dy,

on

_obtient,

pour le

premier

terme de

_(101),

,

B’ - - , V).

Pour

_intégrer

sur l’autre terme de

_(101),

décom-posons comme suit

et amenons le chemin

_{d’intégration}

_{respectivement}

vers l’infini des

_{demi-plans gauche (pôle}

en y =

o)

i

l

et _{droit pour la}

_partie

1 z

et _{pour le} reste de la fonction à

_intégrer.

Il vient ainsi

1

et en

_ajoutant

ceci à

_{f (1),}

on a la formule

(100).

Multiplions

maintenant

_{l’équation (99)}

_par

l’identité sinh« 1

il vient

imaginaire,

de sorte _que

_{l’opération}

les annule. Grâce à cette

_opération

et à

(100),

nous tirons donc de

(102)

la formule

qui

permet

de calculer la

_composante

axiale E.

_{(r, z)}

en fonction, des _{valeurs que} la

_composante

radiale

E,.

prend

sur les

_{plans-frontières z}

= o et z = 1.

De manière

_analogue,

on obtient les formules

qui

expriment

E.

_{(r, z) respectivement}

en fonction

de

_H,

_{(r, o)}

et

_H,,

_{(r, r),}

de Er

_{(r, o)}

et

_H.

_{(r, 1)}

et de

_H~

_{(r, o)}

et Er

_{(r, I).}

Les deux dernières for-mules se

_rapportent

au même

_type

de

_problèmes

et l’on obtient

₍₁₀₆₎

en

_remplaçant,

dans

_(105),

z _par

_{1 - z,}

en

_permutant

les

_arguments

o

_{et 1,}

et en retournant le sens

_positif

de l’axe

_{des z,}

ainsi

que celui du courant du

champ

de Green.

Comme

_{précédemment [voir (94)}

à

_(96)],

on _passe

des formules de E à celles de E,. et de

_Ha

en eff

ec-tuant,

sous le

signe

3

respectivement

les

d

et

_{ainsi, on}

tire

-

x (r) Z

_{i C,) 11 Y,’-}

dr par

exemple

de

(103)

les formules

- - , ,

B - .-r. W - 1

-

-Les derniers

_problèmes

_{sont caractérisés par le} fait

_qu’on

détermine le

_champ

E,

H au _moyen de

conditions aux limites non

_homogènes;

au cours du

prochain chapitre,

nous traiterons le

_problème

e

d’exprimer

le

champ

en fonction des valeurs

données

de

_o),

une condition aux limites

_homogène

étant,

en

outre,

prescrite

sur le 1.

7.

_{Développexnents}

e~, séries selon des

fono-tions _propres et des

_champs

_propres. - Revenons

à

_{l’équation}

₍₉₄₎

_{[avec (98)]}

_qui

est valable _pour le câble de

_longueur

infinie et

_{remplaçons-y}

au

moyen de

(68)

par en

_permutant

les lettres r

et

_r’,

donc

Déformons le chemin de cette

_intégrale

en une

courbe C~

_{(fig. Li) qui}

contourne sous forme d’un

petit

cercle le

_{point y}

= .-~ ik~

(où,

en

_général,

la

fonction à

_intégrer

sera

_{singulière),}

_épouse

ensuite les deux bords d’une

_partie

de la _coupure

₍₃₀₎

et

Fig. 4. --- Le chemin

d’intégration C,j.

est

_complétée

_par deux demi-droites

_parallèles

à

247

petit

cercle et des demi-droites à la valeur de

l’inté-grale

sont

nulles,

de sorte

_qu’on

obtient

où la somme sera étenaue à tous les Iv de

partie

réelle

_positive

du

_spectre

_ponctuel

et

_{l’intégration,}

à la branche droite du

_spectre

continu.

Ensuite,

les

_propriétés

de la fonction

_(56),

mentionnées

au

_Chapitre

IV,

nous

_permettent

de

_remplacer

dG("O (,.’,

r)

par

~

si bien

_qu’on

a, en

_supprimant

dorénavant le

signe

lim,

E=o

Cette formule fournit ie

_{développement}

de

E2

(r, z)

suivant les fonctions _propres de

_{l’équation (16),}

et en traitant les

_expressions

₍₉₅₎

et

₍₉₆₎

de la

même manière que

(94),

on obtient les

dévelop-pements

an,alogues

de E,.

_{(r, z)}

et de

_{H, (r, z).}

Grâce aux

_{équations (80)}

et aux notations

_(74),

(75),

(79),

la formule

₍₁₁₁₎

et ses

_analogues

_prennent

la forme

L’avant-dernière formule met en _{évidence que les}

coefficients de ces

_{développements}

sont formés à la manière de

Fourier;

en établissant

₍₁₁₃₎

d’abord

avec les mêmes coefficients que

_(111),

on

obtien-drait une autre démonstration des

_équations

_(80).

Pour

_développer

les formules

_qui

se

_rapportent

au câble de

_longueur

_finie,

on les traitera de la même manière _que

_(109).

_Ainsi,

on tire _par

_exemple

des formules

_{(103), (107), (108)}

le

_{développement}

suivant es

_champs

_propres

,

où la somme sera étendue à tous les

_{points y,}

et y-,, ^ -- ~yv du

_{spectre ponctuel,}

et

_{l’intégration,,}

aux deux branches du _{specire continu.}

Le

_{développement}

des formules des

_{types (104)}

et

₍₁₀₅₎

ne donne rien de nouveau;

d’ailleurs,

les

coefficients des différents

_{développements}

sont liés entre eux _{par les relations}

que l’on établit à l’aide de

(86);

les mêmes relations ont _{lieu pour} les fonctions _{propres de} 2 e

_espèce.

Posons maintenant le

_problème

de déterminer le

champ

E,

H en fonction de E,,

(r, o)

dans

l’hypo-thèse

_qu’en

outre,

_Ho

satisfasse à la condition aux

limites

_homogène

où les coefficients

_complexes

peuvent

dépendre

de M, mais non de r.

248

manière formelle dans le I er membre de

₍₁₁₈₎

et

en

_posant

pour les coefficients des

H~ ’ (r)

et

H~ ~ (r),

on obtient

une

_équation

linéaire entre E

_{(o) .}

Hlv) et E

_{(1) .}

[où

entre

_{E (o) . H 7 ’}

et

_E(7).HY].

_Ainsi,

on établit le

_{développement}

qui

satisfait aux conditions

_imposées

_{pour z =} o

et z = 1 et

résout,

par

conséquent,

notre

_problème

dans

_{l’hypothèse}

_{que les dénominateurs} des coeffi-cients ne s’annulent en aucun

point

du

_spectre.

Ce

_{problème r eut}

être

_regardé

comme une

généra-lisation du

_problème

de la théorie élémentaire

d’exprimer

le courant et la tension sur un câble en

fonction de la tension initiale et de

_{l’impédance}

terminale.

8. Valeur du

champ

à

_grande

distance de la

source

_{d’énergie.}

~- Revenons à

nouveau à la

formule

_{(109) [ou (94)].du}

câble de

_longueur

infinie

et étudions-la

_{particulièrement}

_{pour les}

_grandes

valeurs de z.

_Or,

les

_{développements}

₍₁₁₂₎

à

₍₁₁₄₎

montrent que pour z --~ oo, la

partie

de E et H

représentée

par des

champs

propres de Ife

_espèce

est de l’ordre de où yi est la constante de

propagation

de

_partie

réelle

minimum;

mais la

partie

réelle de

où o

_désigne

la conductibilité du

diélectrique

extérieur,

est

_plus

_petite

_{que Re}

_(yi).

_Donc,

_pour z-¿.oo,

l’ordre de

_grandeur

du

_champ

sera

_déterminé,

en

raison du facteur _{par la}

_partie

des

_intégrales

provenant

de la

_partie

du

_spectre

continu voisine du

_point

-ik,.

Pour

_développer

E=

asymptotiquement

pour z ~ oo,

remplaçons

le chemin

_{d’intégration}

de

₍₁₀₉₎

_par une

courbe C~l selon la

_figure

4,

et la variahle

d’inté-gration

par une nouvelle variable

qui

est

_petite

dans un

voisinage

de _y ==-

ik4;

la distance d sera choisie suffisamment

_petite

_{pour que,}

sur la

_partie

« horizontale » de la fonction à

intégrer

-- L 1- ~ 1 1

puisse

être

_développée

en une série suivant les

fonctions

(;JL.==0,I,...).

( 122)

On démontre ensuite sans difficulté que la contri-brution des

_parties

verticales de

C,/

à

I .

f

est

2L,, CI

de l’ordre de

e-1,

donc

_{négligeable,}

et _que le

déve-loppement

asymptotique

de

₍₁₀₉₎

est obtenu en

intégrant,

dans

_chaque

terme du

_{développement}

de

₍₁₂₁₎

suivant les fonctions

_(122),

_multiplié

par

depuis ~

=

Nous calculerons maintenant le

_premier

terme de

ce

_{développement.}

Avec

_(120),

on a, dans un

voisi-nage

de y

=---

ika,

en,suite,

on a à l’aide des

équations

(66), (32), (34)

pour le dernier facteur de

(121),

Il

_s’agit

maintenant de

_développer,

_{pour ~}

- o,

l’intégrale qui

figure

dans le 2e membre de

_(121),

ce

_qui

ne

_présente

aucune difflculté dans le cas où

car la fonction

_Eg71(r),

selon

_{(25), (28)}

est

_régulière

en y =-

ik4;

mais _au lieu de

(125),

_nous

admet-trons, dans ce

_qui

_suit,

une

_hypothèse

moins restrictive

_qui

ne

_porte

_que sur la fonction

primi-tive de

_{E,, (r, o).}

Dans le cas

_général,

la

_partie

_{1 ...dr’}

de

_{l’intégrale}

Jio

249

Posons

et _{supposons que les limites}

existent,

hypothèse

qui

est _{satisfaite par}

_exemple

dans le cas où

_{E,.(r, o)}

_{admet pour les}

_grandes

valeurs de r le

_{développement}

suivant

_(convergent

ou

asymptotique)

Ecrivons en outre

au lieu de

en

_supposant

_que

_{x,,~o, v}

=1, 2,

3;

nous

obte-nous

alors,

à l’aide de

₍₃₄₎

et de

_(128),

au _moyen

d’un calcul

_simple,

pour

l’intégrale (126),

et

pour

l’intégrale qui figure

dans

_(121).

A l’aide des formules

₍₁₂₄₎

et

_(131),

nous voyons que le

développement

de

(121)

suivant les fonc-tions

₍₁₂₂₎

est de la forme

d’après

ce

_qui

a été-

_exposé

_plus

_haut,

le

dévelop-pement

asymptotique

de

₍₁₀₉₎

commence _{donc par}

On obtient ainsi la formule

où W

_(Ro)

et

_d;,

sont

_{respectivement}

donnés par les

équations (127),

(128)

et

₍₁₃₀₎

et où

_A’6,

est le

mineur de l’élément _a~~ de la matrice

_(29),

formé pour

~~ _- ik,~.

Pour obtenir les formules

corres-pondantes

de

_{E,.(r, z)}

et

_{HBÇ(r, z),}

on

_remplacera,

dans le ze membre de

_(132),

le facteur

_{E~ (r)}

respec-tivement _par

_{E;, (r)}

et _par

_{H~, (r~.}

La dernière formule montre _{que pour} les

_grandes

valeurs de z,

les

_composantes

du

_champ

sont

_{proportionnelles}

, eikz

don

a ei, ,

donc

_[voir

_(12)],

avec les

valeurs E4

== [J-4 == l,

7 = _o

pour les constantes du

diélectrique

extérieur,

Appliquons

maintenant la formule

₍₁₃₂₎

à un

câble

_auquel

est

_imposé,

dans le

_{plan z}

=

o, le

champ

,

électrique

radial

Ce

_champ

sera

_produit

_par un condensateur

cylin-drique

selon la

_figure

5,

entre les

_plaques

_duquel

existe la tension car le

_champ

_électrique

E,.

du condensateur

_cylindrique

est de la forme

_{const. ’ 1*}

et en déterminant cette constante selon,

_(133),

on a

- ;..

1 1

Pour la fonction

_{(133), l’intégrale qui figure}

dans

₍₁₃₂₎

devient

_égale

au

_produit

des gran-2k22

deurs ’ *2 1’2

et

_{[voir (25)]}

", 2’log Î’i-

_{b ri}

et l’on a

_ainsi,

_par

exemple,

_pour

E, (r,

z)

De cette

formule,

on tire la valeur

_asymptotique

de la tension

_entre.

les deux

conducteurs,

donc de

en _y

_{remplaçant E’,. (r) [voir (10)}

et

(134)]

_par

On obtient ainsi

où

_a

et

ah

se calculent au _moyen des deux

_premières

équations

(28).

Admettons,

à titre

_d’exemple,

_{pour les constantes}

du câble les valeurs suivantes :

et attribuons à ce une telle valeur _{que les}

_inégalités

En raison des

_inégalités

_(139),

ces

_expressions

prennent

respectivement

les valeurs

_approchées

de sorte _que nous obtenons

_enfin,

_{pour la}

ten-sion

_(137),

la formule

_{approximative}

j/.B ( 1- .:: B 1

soient

_{satisfaites; ainsi,}

les fonctions

_cylindriques

de

_{~7B ~}

kTv

et de ,~

_krv

_pourront

être

rempla-cées, dans

_(137),

_{par les}

_expressions

_approchées

(23)-Fig. 5. - Production

du _{champ électrique} initial E,,(r, o) selon _(133).

Faisons d’abord

tendre,

dans

_(137),

_x2

vers

_zéro;

on obtient

où ies tensions

_V’,(z)

et

_Vo

seront

_exprimées

en

volts et les

_longueurs

r, et k-1 en centimètres.

La conductibilité u

_qui

_figure

dans k =

10 Il)

se ramène à la résistance

_spécifique

_p

_{(en n}

x mm

_m)

des conducteurs au _{moyen de la formule y} =

Ô

(2);

"

(2) La résistance _spécifique est _égale à p ( en Q x = _{IO-4 P (en 12} x _{cm )}

-

Io-I.iolo (en unités _{électromagnétiques}

C.G.S.)

. ~

10 c2 (en

unités électrostatiques C.G.S. );

donc, la conductibilité est _{égale à}

c 9

_(en unités

électro-lo.p statiques C. G. _S.).

251

avec la valeur peu

=- 1

1 on a alors

i

)7

1) =

w

étant la

fréquence

de la tension

imposée.

2 1-TT.

On

_peut

enfin établir la valeur

_asymptotique

du

champ

en un

_point

de

_l’espace

aux coordonnées

qui

se trouve à

_grande

distance R de la source

d’énergie.

En

traitant,

dans cette

_hypothèse,

les formules du

_champ

du câble de

longueur

infinie au

moyen de la méthode dite « du col », on obtient

le

col

_{correspondant}

au

_{point y}

_pour

e

les

_composantes

des

_expressions

de la forme

ici,

C(0) désigne

une fonction continue de 0

_qui

ne

s’annulle _{pas pour} 0 ~ o.

Notons finalement que pour établir la théorie du câble

coaxial,

nous avons utilisé de

_préférence

la

_composante

axiale E. du

_champ

_électrique,

ainsi que le

champ

de Green

_{[équ. (68)] qui}

est

_engendré

par une _nappe de courant

_électrique

sinusoïdal

_qui

s’écoule en direction axiale le

_long

de la surface r ~ i-.

Cependant,

nous aurions tout _{aussi bien pu}

_prendre

comme

_point

de

_départ

une formule

_qui

donne la

composante

radiale E,. du

_champ

_électrique

au

moyen d’un

champ

de Green

_qui

est

_engendré

_par une _«nappe)) de courant

_électrique

située dans la même

surface,

mais étant de direction radiale.

Enfin,

nous

aurions aussi _pu

_partir

d’une formule

_{qui exprime}

la

composante

H,

au _moyen d’un

_champ

de Green

qui

est

_engendré

_par un flux

_magnétique

sinusoïdal

(de pulsation

oo)

qui

s’écoule dans la surface r = r’

en direction

_{périphérique.}

Dans un autre ordre

d’idées,

on

_pourrait

fonder la théorie

directement,

sans l’intermédiaire de fonctions de

Green,

sur les

développements

en séries de fonctions

orthogonales;

en outre, on

_pourrait

aborder _{la théorie par l’étude}

des transformées de

Fourier,

par

rapport

à z,

des

_composantes

du

_champ

E,

H

_(calcul

«

symbo-lique »).

_

Manuscrit reçu le 27 mars _rg47.

SUR LE COMPORTEMENT D’UN

RÉSEAU

DE FILS

FERROMAGNÉTIQUES

DANS LE DOMAINE DES ONDES

_{CENTIMÉTRIQUES}

Par I.

_EPELBOIM,

Laboratoire

_{d’Enseignement}

de

_{Physique à}

la Sorbonne.

Sommaire. - La notion de

perméabilité magnétique complexe permet, dans le cas des _phénomènes

électromagnétiques sinusoïdaux, de _{généraliser} aux _{ferromagnétiques} la théorie élémentaire d’un réseau de Hertz. Les mesures sur de tels réseaux ont _permis à V. Arkadiev d’obtenir il _y a _plus de _vingt ans

l’allure de la variation de la perméabilité aux ondes centimétriques. Le comportement des

ferromagné-tiques est alors lié à la structure des domaines de Weiss superficiels et à un _phénomène de relaxation dû à la _fréquence de Larmor du spin. Mais l’étude _approfondie des _{ferromagnétiques} aux ondes

centimé-triques n’est _qu’à ses débuts et elle est actuellement en _{plein développement,} étant donné l’intérêt à la fois théorique et _technique de cette _question.

Int.roduction. - Pour

prouver la

polarisation

des ondes

_{électromagnétiques,}

Hertz a utilisé un

réseau de fils

_{métalliques (réseau}

de

_Hertz),

dont la

description

et les

_propriétés

sont données dans les ouvrages

classiques

de

_Physique.

Les bases

théoriques

de ces réseaux ont été

développées depuis

longtemps

par de nombreux

chercheurs,

tout

_{particulièrement}

_{par R.}

_Gans,

qui cependant

n’a établi sa _{théorie que} dans le cas

des réseaux

amagnétiques.

Cette théorie a _pu être

généralisée

aux réseaux en fils

_{ferromagnétiques,}

grâce

à la notion de

_{perméabilité complexe}

introduite par V. Arkadiev.

IJa. vérification

_{expérimentale}

de ces résultats

est délicate.

Pourtant,

l’étude de tels réseaux est