Pénétration de l'induction, champ électrique et pertes dans les supraconducteurs de seconde espèce impurs présentant un courant de surface

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Submitted on 1 Jan 1970

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Pénétration de l’induction, champ électrique et pertes dans les supraconducteurs de seconde espèce impurs

présentant un courant de surface

G. Fournet, A. Mailfert

To cite this version:

G. Fournet, A. Mailfert. Pénétration de l’induction, champ électrique et pertes dans les supraconduc-

teurs de seconde espèce impurs présentant un courant de surface. Journal de Physique, 1970, 31 (4),

pp.357-367. �10.1051/jphys:01970003104035700�. �jpa-00206914�

PÉNÉTRATION DE L’INDUCTION, ^CHAMP ÉLECTRIQUE

ET PERTES DANS LES SUPRACONDUCTEURS

DE SECONDE ESPÈCE IMPURS PRÉSENTANT UN COURANT DE SURFACE (*)

G. FOURNET et A. MAILFERT

Laboratoire de Génie

Electrique

^{L. C. I. E.}

(**)

de la Faculté des Sciences de Paris

33,

^{avenue du}

Général-Leclerc,

92, Fontenay-aux-Roses (Reçu

^{le 18 novembre}

1969)

Résumé. ²⁰¹⁴ Les auteurs analysent ^{en détail le} comportement ^d’un

supraconducteur

de deuxième espèce

impur

^en présence ^d’un champ magnétique alternatif. Alors _que les études antérieures sur

le même

sujet

admettaient _pour hypothèse l’existence d’une densité de courant

critique

^{en volume}

qui dépende

de l’induction en tout point ^au moyen d’une relation

algébrique

simple, ^{les auteurs} utilisent ici l’hypothèse ^{des états} critiques ^{sous la forme} générale ^{où la densité de courant} critique

est une fonction

quelconque

^de l’induction ; ^{un courant} de surface

critique

^est également pris

en compte. ^Des expressions rigoureuses ^du

champ électrique

^{en tout}

point

du matériau sont

indiquées,

^{et on en déduit une méthode de mesure} des densités critiques, ^ainsi que la

prévision

du comportement des matériaux _pour diverses formes

analytiques

des densités critiques. ^Des expé- riences réalisées en

particulier

^{sur le Nb - 25}

%

^{Zr ont confirmé les} prévisions

théoriques. Enfin,

le calcul rigoureux ^des

dissipations

^de puissance ^est effectué, ^{et les}

expressions

théoriques des pertes obtenues _pour

plusieurs

formes de la densité de courant

critique

^montrent que certaines des relations proposées par d’autres auteurs ne sont

qu’approchées.

Abstract. ²⁰¹⁴ The behaviour of hard superconductors ^{in a. c.}

magnetic

fields is studied. The other works on the ^same subject used the critical state model,

supposing

that the bulk critical current

density j depends

^{on the} magnetic induction B on each point by ^the way of a mere algebric relation;

in this _paper, the authors use the critical state model in the general ^form where j ^{is any function} of B ; ^a critical surface current is also considered. Rigourous

expressions

of the electric field at each point ^are

given,

^{and a method of} measurement of the critical current densities at low

magnetic

^{field is} deduced. The behaviour of hard superconductors ^{for several critical state laws}

are then calculated. Experiments,

performed

noticeably with Nb 2014 25 % Zr, ^{show a} good ^fit with the theoretical results. At last, ^{the losses are} calculated, ^{and the} rigourous theoretical relations obtained for some critical laws show that several expressions given by other works are very

approximated.

1. Introduction. ^- La

pénétration

de l’induction dans les

supraconducteurs

de seconde

espèce

^{a été}

déjà

étudiée de

plusieurs

^{manières :}

- soit en mesurant

directement,

^au moyen d’une sonde

sensible,

la valeur du

champ magnétique

^en

tout

point

d’une fente

ménagée

^dans

l’échantillon, perpendiculairement

^aux

lignes

d’induction

[1] [2] [3]

(cette

^{méthode permet} de connaître la variation de l’induction dans le

matériau,

^{avec une} résolution d’une fraction de

millimètre) ;

- soit en reliant à un modèle

théorique

les résultats de mesures d’aimantation en

régime

permanent

[4] [5]

ou

variable,

^{de mesures de} pertes ^{ou de} tension induite

en

régime

^variable

[6] [7] [8] [9] [10] ;

les modèles

théoriques

^{utilisés dans ce cas ont été celui du}

déplace-

ment des

lignes

de tourbillon par activation

thermique [11],

^ou

plus généralement [12]

^{le modèle des états}

critiques,

initialement

proposé

par Bean

[13].

^Ce

dernier modèle a en

particulier l’avantage

^{de rendre}

compte

^de la variation des

phénomènes

^{avec la fré-}

quence, observée dans les

supraconducteurs

^{de seconde}

espèce

^très

impurs.

^Il suppose

qu’en

^tout

point

^{à l’in-}

térieur du

supraconducteur,

^{la densité de courant}

macroscopique

^{n’est fonction} que de l’induction en ce

point.

^{La relation entre la densité de courant et l’in-}

duction

qui

permet ^{le meilleur accord avec} les résultats

expérimentaux

^est pour

beaucoup

de matériaux celle

proposée

par Kim ^et coll.

[5].

Indépendamment

^{de ces}

études, plusieurs

^travaux

ont mis en évidence l’existence d’un courant de surface

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01970003104035700

FIG. 1. ^- Montage expérimental permettant ^{la mesure du} champ électrique ^{et du flux} magnétique ^{dans un} cylindre supraconducteur

dans les

supraconducteurs

de seconde

espèce.

^Plusieurs

processus ^ont été

proposés qui

conduisent à un courant de surface :

- la barrière de surface

[14], qui

résulte de l’interac- tion des

lignes

de tourbillon et de la surface

géomé- trique

^de

l’échantillon ;

- la

supraconduction

de surface

[15]

^à

laquelle correspond

^{un courant}

critique

de surface même

en dessous du

champ critique H,, [16] [17] [18] ;

- le

piégeage

^en

surface,

^dans

lequel

^les

aspérités

et

hétérogénéités

de la surface interviennent pour

piéger

^les

lignes

^de tourbillon

[19].

^Ce processus semble le

plus probable

pour les

supraconducteurs

de deuxième

espèce

^très

impurs

^dans

lesquels

^{la surface est très}

perturbée.

Nous nous proposons, ^dans le

présent article,

^d’étu- dier

théoriquement

^et

expérimentalement

^le

phéno-

mène de

pénétration

de l’induction dans un supra- conducteur de seconde

espèce impur,

pour des

champs magnétiques

alternatifs à basse

fréquence d’ampli-

tude

faible, lorsqu’il

^{existe un courant} de surface.

Nous montrerons comment on peut, ^à

partir

^{de la}

mesure du flux

magnétique

ayant

pénétré

^le

matériau,

déduire la forme de la courbe de

pénétration

^{de l’induc-}

tion,

et comment les

renseignements

ainsi obtenus à

partir

^de

l’expérience

permettent ^de déterminer le

champ électrique

^{et les} pertes. Nous donnerons des

expressions rigoureuses

^du

champ électrique

^{en tout}

point

^{et à tout moment dans le}

supraconducteur,

^{et des} pertes pour différents modèles de

pénétration.

2.

Dispositif expérimental

d’étude de la

pénétration.

- Nous avons étudié la

pénétration

de l’induction dans des fils parcourus par ^{un courant} alternatif

sinusoïdal,

^{ou dans des} échantillons

cylindriques

(cylindres

^{à base}

circulaire,

^ou

lamelles) placés

^dans

un

champ magnétique

alternatif

appliqué parallèle-

ment à la surface. Le

principe

^{de notre}

dispositif expé-

rimental consiste à mesurer dans le

premier

^{cas la}

tension aux bornes des

fils,

^ou dans le deuxième cas la tension induite dans une bobine de mesure enroulée autour du

cylindre.

^{La tension} recueillie est

compensée

de manière à se débarrasser des termes

inductifs,

^{soit au}

moyen d’une inductance mutuelle

variable,

^{soit au}

moyen d’un

dispositif comportant

^en

particulier

^un

dérivateur

électronique (Fig. 1).

^{La tension}

compensée

est observée ^{sur un}

oscilloscope (Fig. 2),

^ce

qui

permet d’obtenir le

champ électrique

^à la surface du

fil, puis appliquée

^à l’entrée d’un

intégrateur électronique,

ce

qui

donne la variation au cours du

temps

^{du flux}

magnétique

^à l’intérieur du matériau

(Fig. 3).

La

fréquence

^{du courant} d’alimentation est variable de 10 Hz à 1 000 Hz. Nous avons observé _que les valeur du flux

magnétique

^{au cours d’un}

cycle

^sont

indépen-

dantes de la

fréquence

^{dans la} gamme

explorée.

FIG. 2. ^- Oscillogramme ^de la tension aux bornes d’un fil

supraconducteur parcouru par ^un courant sinusoïdal. Fil de Nb - 25 % Zr ; Longueur : 3,2 m ; Diamètre : 0,23 mm ;

Fréquence : ^{565 Hz ; Ieff : 50} A ; Echelle verticale : 5 mV/div ; Température : 4,2 °K.

FIG. 3. ^- Oscillogramme ^{du flux} magnétique ^{dans un fil} supraconducteur parcouru par ^{un courant} sinusoïdal. Fil de Nb - 25 % Zr ; Longueur : 3,2 m ; Diamètre : 0,23 mm ;

Fréquence : ⁵⁶⁵ Hz ; Ieff : 50 A.

3. Définitions et cadres de l’étude

théorique.

^-

Nous supposons que la surface de

séparation

^{entre le}

supraconducteur

^{et le vide est un}

plan,

^le

plan Oyz ;

l’axe Ox est

dirigé

^vers l’intérieur du

supraconducteur.

Nous supposons que la seule variable

spatiale

^entraî-

nant des variations des

phénomènes

^{est x.} Nous pre-

nons Oz

dirigé parallèlement

à la direction des induc- tions

magnétiques.

La relation entre l’induction

magnétique

^{B et la}

moyenne j

^{du courant}

microscopique [20]

s’écrit alors

la seule composante

de j est jy

^{telle que}

le

champ électrique

^ne

comporte

^alors

qu’une

compo- sante

Ey

^avec

Dans toute la suite de

l’article,

pour

simplifier,

^nous

noterons j

pour

jy,

^B

^{pour Bz}

^{et E pour}

Ey.

^{Le résultat}

de

l’intégration

^de

(2)

^sera donc écrit sous la forme

t)

^est

identiquement nul).

Les

hypothèses

^{ci-dessus ne sont} pas

trop

^contrai- gnantes : ^les

profondeurs

^de

pénétrations

^{sont de}

l’ordre de

quelques

^{microns et dans ces conditions}

l’examen des

phénomènes

^{à la}

superficie

^{d’un fil de}

125 Il

de rayon peut ^{être assimilé au}

problème

^semi- infini _que nous venons de définir.

Nous

notons ,j(x, t)

la densité moyenne de ^courant

microscopique ;

^{la densité de courant}

superficielle

^est

désignée

par

Js.

^Nous utiliserons le modèle des états

critiques [13]

^à l’intérieur du

matériau,

^{la valeur abso-}

lue I j(x, t) de

la densité moyenne de ^courant micros-

copique

^est

toujours égale

^{à la densité de courant}

qui

^ne

dépend

que de la valeur absolue de

B(x, t)

^soit

La

fonction,j(x, t)

peut ^être

positive

^ou

négative

^tandis

que la

fonction j(j B |)

^{ne peut être que}

^positive.

Nous supposons enfin que l’induction

magnétique qui règne

^à l’extérieur

juste

^{à la surface est} alternative

(pulsation a»,

^établie

depuis longtemps

^{et variant}

depuis BoM

⁼

0) jusqu’à - BOM

⁼

n).

4. Flux maximal. - 4 .1 EXPRESSION DU FLUX. ^-

Nous examinons la fonction

B(x, 0)

^{dans le}

^matériau,

au moment où l’induction extérieure vient d’atteindre la valeur

BoM.

^La

figure

^{4a montre} l’allure des

phé-

FIG. 4. ^- Profils de pénétration de l’induction magnétique dans un supraconducteur ^{soumis à une} excitation magnétique

alternative.

nomènes :

B(x, 0)

^est

positif

^et décroissant

et j, toujours positif (2) ;

^dans l’intervalle 0 x xl circule le courant

superficiel JS

tandis que pour xi ^x xM la loi des états

critiques

est vérifiée

soit,

qui

par

intégration

^fournit

La constante a se détermine en considérant le

point (x,,

^d’où

ce

qui

^montre que

Nous pouvons

également

^{évaluer le flux} d’induction

magnétique (dans

^la direction de

Oz),

par unité de

longueur

dans la direction

Oy,

pour

l’espace compris

entre x et

l’infini,

^soit

L’indice M

indique

que ^ce flux est évalué ^au moment où

Bo

^{atteint sa valeur maximale}

B,m.

^{En conservant}

la variable B et

grâce

^à

(8)

^nous obtenons ensuite

et en

particulier

Lorsque BoM

^{est assez}

grand

^devant

(Bom - B1M)’

c’est-à-dire

lorsque

^le

champ magnétique

^extérieur

Bomlyo appliqué

^{au matériau est}

grand

^{devant la}

densité

linéique

^{du courant de}

surface,

^on peut

négliger

xi devant _xM et

devant

Le flux

qui peut

être mesuré

expérimentale-

ment s’obtient alors par

D’après

^notre remarque

précédente

^cette

expression

ne

s’applique

que pour les valeurs assez élevées de

B1M.

^{Comme nous}

l’indiquons

^au

paragraphe suivant,

les données

expérimentales justifient

^cette

approxima-

tion.

4.2 MÉTHODE DE DÉTERMINATION DE LA DENSITÉ DE COURANT CRITIQUE

j(B).

^-

L’expression (15)

^{est inté-}

ressante parce

qu’elle

^{montre la}

possibilité

d’atteindre la

fonction j(B)

^au moyen de

Les données brutes de

l’expérience

permettent ^{de tracer} les deux courbes de la

figure

^{5 :}

pendant

l’intervalle 0 t t’ le flux unitaire reste constant ; ^{en confir-}

mant la validité de

l’approximation (15)

ceci tend à montrer que

B1

^reste

également

^{constant durant cette}

période.

^Les

figures 4a, 4b,

^{4c montrent} l’allure des courbes

B(x, t) pout t

⁼

0, t

^{= t’}

(cf. Fig. 5)

^et

t

> t’ ; l’allure générale

^{de ces courbes est bien connue}

([22]

^par

exemple)

^{et nous ne donnons pas}

^plus

^de

détails. L’ensemble des

figures

^{4a et 4b montre} que

FIG. 5. ^- Flux magnétique ^{et induction au} voisinage ^{de leur}

valeur maximale.

A titre de

première approximation

^nous pouvons

prendre

Cette relation revient à dire _que la valeur absolue

critique

^{du courant} de surface ne

dépend

pas du ^sens de ce courant,

lorsque B1M

^est

donné, hypothèse plau-

sible si l’existence de ce courant est liée au

piégeage

des

lignes

de tourbillon.

On peut ^{alors obtenir}

graphiquement

^{la fonction}

j(B)

^{de la}

façon

^{suivante :}

1 ° On connaît

expérimentalement

pour

chaque

^{valeur de}

BoM.

2° Pour

chaque

^{valeur de}

BoM on

^{mesure le}

temps t’

(Fig. 5) correspondant,

^ce

qui permet (connaissant Bo(t))

^d’évaluer

^j9o.

3° On calcule

B1M au

moyen de

l’approximation (18).

4° On peut ^{donc tracer la courbe en fonc-} tion de

B1M

^{dont la} pente

(16)

^{de la}

tangente

^en

chaque point

^{fournit en} définitive

j(B).

^,

4.3 MÉTHODE DE DÉTERMINATION DE LA DENSITÉ

SUPERFICIELLE DE COURANT revenant maintenant sur

(18)

^nous voyons que ^cette

approxi-

mation revient à supposer que,

pendant

l’intervalle de temps ^{0 t} t’ oû le flux est

maximal,

^{le module}

du courant

superficiel

^ne

peut

pas

dépasser

^{une cer-}

taine

valeur,

^soit

la valeur limite étant

précisément 2 (BoM - Bâ) ;

B(Xl’ t)

reste constante

(B1 == B1M)

durant cet intervalle de temps ^{et nous} pouvons donc

définir une fonction en rapportant ^{la valeur}

de JSM à

JsM(B1M)

fournit ainsi la valeur maximale _que peut atteindre le module de

J, quand

l’induction au

point

xl atteint sa valeur maximale

B1M.

4.4 RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX. ^- Nous avons étu- dié divers

échantillons ;

^{nous donnons à titre}

d’exemple

les résultats obtenus _pour un fil de Nb 25

%

^{Zr de}

0,25

^{mm de}

diamètre,

à diverses

températures.

^Sur les

figures

^{6 et 7 sont}

portées

les densités de ^courant déterminées au moyen des méthodes

exposées précédemment.

FIG. 6. ^- Densité de courant dans Nb - 25 % ^Zr

aux faibles valeurs de l’induction et pour diverses températures.

On remarque que la détermination de

j(B1M)

^est

entachée d’une

imprécision importante ;

^{en effet notre}

méthode permet d’obtenir indirectement la densité de

courantj(B)

^en effectuant la dérivation d’une courbe

expérimentale,

^{la courbe}

Çp(B1M).

^Ce

procédé

^est

généralement

^{moins exact} que des méthodes directes.

En

particulier,

la méthode des transitions résistives

[21 ],

permet d’obtenir

j(B)

^avec

plus

^de

précision.

^{Mais elle}

ne

s’applique

pas ^aux matériaux sous forme de fils

lorsqu’ils

^{sont encore fortement}

diamagnétiques,

c’est-à-dire _pour des valeurs faibles de l’induction.

On constate

également (Fig. 8)

que la variation

de j

FIG. 7. ^- Densité linéique ^{de courant} de surface dans Nb - 25 % ^Zr.

FIG. 8. ^- Variation de la densité de courant dans Nb - 25 %

Zr en fonction de la température.

en fonction de la

température,

^à

BiM donné,

^est pra-

tiquement

linéaire dans la _gamme

étudiée,

^{en accord}

avec les variations observées _pour ce

type

^{de matériaux} dans des inductions élevées.

Sur la

figure

^{9 sont}

portées

les courbes de

pénétra-

tion

B(x)

que l’on peut déduire de ces mesures pour la valeur

particulière Bl

⁼

BiM

⁼

0,143

^et

pour les

températures

étudiées. On vérifie _{que pour} la valeur de

B1M envisagée,

^les

profondeurs

^de

pénétra-

tion sont faibles devant le diamètre du fil.

FIG. 9. ^- Courbe de pénétration de l’induction dans le Nb - 25 % Zr, pour diverses températures, ^et pour

j8iM= 0,143 ^Wb.m-2.

5. Calcul du

champ électrique

^{E en tous les}

points

du matériau. ^- Nous n’effectuons maintenant aucune autre

hypothèse

que celles décrites dans la 3e section de cet article.

5.1 EVOLUTION DE

B(x, t).

^{- Avant de calculer E}

nous devons d’abord déterminer l’évolution au cours

du

temps

de la courbe

B(x, t).

^La

figure

^{4 montre}

quelques

^courbes

schématiques typiques ;

^{nous dési-}

gnons par

X2(t)

l’abscisse où est réalisée la valeur maximale de B et

B2(t)

^{cette valeur :}

de même

(la

^{valeur de xi étant très}

^petite

^{devant xM} les varia- tions éventuelles

xi(t)

n’interviennent

pas).

^Le

temps t"

est celui où

B1

^{est nul}

Dans ^ces conditions les

figures

^{4c et} 4d donnent les différentes courbes _pour un état défini

par t’

^t

t" ;

au-delà de t’ la valeur de

B1

^{diminue et} il faut donc

[cf. (4)]

^que

^{j(x, t)}

^ne

possède plus

exclusivement des valeurs

positives ;

par continuité le

changement

^de

signe apparaît

^{d’abord au}

voisinage

^{de x =} xl : pour xi ^x X2

j(x, t)

^est

négatif

^{et donné} par

pour x2 ^x xm

j(x, t)

^est

positif,

^{et donné} par +

j[B(x, t)].

On observe que

lorsque B1

^varie

(t’

^t

T/2),

^le

profil

de l’induction dans le matériau

comprend

^un

segment

^variable appartenant ^{à une courbe}

qui

^se

déplace

par translation

parallèlement

^à

Ox,

^et

qui

« efface » au fur et à mesure le

profil

de l’induction obtenu pour t ⁼ 0. Cette courbe variable est une

courbe

intégrale

^de

l’équation (2)

décrivant la loi des états

critiques.

^{Le module de la densité de courant}

(donc

le module de la

pente)

^ne

dépend

que de la valeur absolue de B, ^et par suite la

partie

^{de courbe}

variable

qui correspond

^{aux valeurs}

positives

^{de B}

est

symétrique,

par

rapport

^au

plan

d’abscisse _x2, du

profil piégé

pour t ^{= 0.}

Appelons X3(t)

^le

symétrique

de _{XM par}

rapport

à x2. Sur les

figures

^{4c et}

4d, X3(t)

^est

négatif,

^et

correspond

^{à un}

point

^{virtuel à}

l’extérieur du

supraconducteur.

Les

figures

^{4e et}

4f

^{sont relatives aux états observés}

pour t"

^t

T/2.

^{La valeur}

x3(t)

^{est telle} que

x3(t)

^{est alors}

positif,

^et

correspond

^{à un}

point

^{réel à}

l’intérieur ^du

supraconducteur ;

dans l’intervalle xi ^x X3,

j(x, t)

^est

négatif

^{et donné} par

les définitions

déjà

^{données restent bonnes} pour

Un

argument simple

permet d’obtenir

B2.

^En

effet,

dans tous les cas de

figure x2(t)

^est la demi-somme des abscisses _XM et

X3(t) -

A une variation

dB1

^de

Bl(t), correspond

^{une varia-}

tion

d’où une variation

A la variation

dx2

^on

^peut

^{associer une variation}

dB2

telle que :

Finalement :

Cette relation est valable à tout moment

quand B1

varie.

5.2 LA FONCTION

B2(B1, B1M).

^{-- Nous verrons}

par la suite le rôle essentiel de la connaissance de

B~.

On constate que

B2

^peut être calculé en fonction de

B1

(sans

^{avoir à connaître en}

^{intégrant (28).}

Il existe en

général,

suivant le

signe

^{de deux}

branches de la fonction

B2(Bl) :

^{chacune de ces}

branches est déterminée par l’une des conditions ^aux limites

(cf. Fig.

^{4a et}

4g)

suivantes :

Ceci met en évidence _que

B2 dépend

^de

Bi

^et

B1M

et doit être noté

B2(B1, B1M) ; la

^courbe

B2(Bl)

^n’a

de sens que si

B1M

^{est déterminé.}

A titre

d’exemple

^nous donnons les

expressions

^des

fonctions

B,(B,, B1M)

pour

quelques fonctions J(I B 1)

typiques.

5.3 LE CHAMP

E(x, t).

^{- 5.3.1}

Expression

^{de E.}

- Le

champ électrique E(x, t)

^s’obtient par l’inter- médiaire cf.

(3)

^de

(en remarquant

que

E(oo, t)

⁼

0).

Pour x > x2 ^nous

avons vu que

B(x, t)

^ne

dépend

pas du temps ^et par

conséquent

On

envisage

maintenant le cas oû t’ t

T/2

^et

où _xi x

x2(t).

^{La loi des états}

critiques

^étant

vérifiée

On

intègre

^cette

expression :

En dérivant

partiellement

par rapport ^au temps :

On déduit de

(33)

^et

(37),

^{en tenant} compte ^de

(34)

En utilisant

(35)

^et

changeant

^{de variable :}

Dans la couche

superficielle

les variations de B en fonction du temps ^{sont limitées}

et

quand

xi ^est très

petit

^devant xM le terme

(40)

^est

très

petit

^devant

E(xi, t).

^Cette

approximation

^est

très

proche

^{de celle} que nous avons effectuée en

(15)

où nous avons

négligé

le flux relatif à l’intervalle

Dans ces conditions

pour t’

^t

T/2

Cette

expression

^{est en} fait valable pour 0 ^t

T/2 puisque E(o, t)

~ 0 pour 0 ^t

t’,

intervalle

qui correspond

^à

B,(t)

^--_

B1Mo

5.3.2 Cas où

J,

^est

identiquement

^{nul. - Le cal-}

cul de

B2(B1, B1M)

^{est effectué comme}

indiqué

au

§

5.2. L’identité entre

Bo(t)

^et

Bi (t)

^{permet ensuite}

d’écrire

nos

calculs,

^{effectués avec}

(a) soit j(B) = j~ (constant), (b)

^soit

j(l B ~)

⁼

^{ajl B 1}

^{nous ont}

^permis

^{de retrouver}

les résultats de H. London

[23] ]

^{et Green et Hla-}

wiczka

[8] ;

^{notre calcul}

(c)

^lié

à j

⁼

al(1 B 1

⁺

C)

^est

nouveau.

Les courbes

représentatives

^{de ces} différents cas sont

portées

^{sur la}

figure 10a, b,

^c. On observe

un maximum _par

demi-période

pour la

première hypothèse,

^et deux maximums dans les autres cas. En outre, le

champ électrique

^{s’annule entre les deux}

maximums dans la seconde

hypothèse (Fig. 10b),

alors

qu’il

conserve une valeur finie dans le cas de la

figure

^lOc.

5.3.3 Cas où

J,

est constant. ^- Le calcul est très voisin du

précédent ; quand

^E n’est pas nul ^on sait que

mais par ^contre

1

d’où

Les

figures 10d, e, f correspondent respectivement

à

Jloj(B)

^{= ct,}

Byo j(B)

^{= ct,}

(B

⁺

C)

^{= ct.}

Les _remarques faites sur les

figures 10a, b,

^c

demeurent valables. On observe en

plus

^un

palier

^de

champ électrique

nul par

demi-période.

FIG. 10. ^- Champ électrique de surface en fonction du temps, pour diverses formes analytiques ^des densités de courant j ^et Js.

5.3.4 Cas

général

^et

Js(B1).

^{- Le cas}

général

^est

difficile à traiter _{parce que} le

champ E(o, t) s’exprime

en fonction de

Bl(t)

^et que

Bo(t)

^est la seule fonction directement connue. Pour _essayer de vérifier

l’ap- proximation (18) qui

^{nous a}

permis

d’obtenir à

partir

de

l’expérience

la fonction

j(B)

^et de définir la fonc- tion

JsM(B1M)

^{nous pouvons, en allant}

légèrement plus loin,

supposer que pour l’intervalle de temps

le courant

J,

^{est donné} par

L’introduction du

signe

^{« moins » ne fait} que traduire

l’aspect

des courbes des

figures

^{4b à}

4f ;

par ^contre l’identification de la relation entre et

B,(t)

^à

celle

qui régit JSM et

^{est une}

supposition nouvelle,

que l’on peut d’ailleurs

justifier

si l’on fait certaines

hypothèses quant

^à

l’origine

^{du courant} de surface

[24].

Nous pouvons alors obtenir :

d’où

d’où

ce

qui

^montre que le

champ électrique

^observable

pour t’

^t

T12

^est obtenu voir

(41)

par :

les

signes supérieurs

^{étant valables} pour

BI

> 0 soit t’ t

t",

^les

signes

inférieurs _pour

B1

⁰

soit t" ^t

T/2.

A

partir

des courbes

expérimentales

nous avons

déjà

^obtenu

j([

^B

1) ^(§ 4.2)

^et

JsM(B1M) (§ 4.3) ;

la fonction

j([ B [ ~

permet d’atteindre

(10)

la courbe

B(x, 0)

^{d’où nous pouvons} déterminer gra-

phiquement

^{les fonctions}

B2(B1, B1M).

^En

imposant (comme

^{dans nos}

expériences) Ba

⁼

ROM

^{cos cvt nous}

pouvons donc obtenir

graphiquement

^{- à}

partir

^de

la seule courbe

rPM(BoM)IL

relative à 0 t t’ ^- la fonction

E(t)

relative à l’intervalle t’ t

T/2.

^La

comparaison

entre cette courbe et le résultat

expéri-

mental est effectuée _pour une valeur

particulière

de

B,m,

^{sur la}

figure 11 ;

étant donnée

l’imprécision

des déterminaisons

graphiques

de la courbe « cal- culée » l’accord peut être considéré comme bon.

FIG. 1l. ^- Comparaison de la tension calculée (en ^trait plein)

et mesurée (en pointillé) ^aux bornes d’un fil de Nb - 25 % ^Zr traversé _par un courant alternatif sinusoïdal (Longueur ^{du fil :} 3,2 m ; Diamètre : 0,23 mm ; Fréquence : ⁵⁶⁵ Hz ; ^{Ieff : 55} A ; T ⁼ 4,2 -K).

6. La

puissance dissipée.

^- 6.1 EXPRESSIONS GÉNÉ-

RALES. ^- La

puissance dissipée

peut

toujours

^être

atteinte _par l’intermédiaire du vecteur de

Poynting

S=EnH

soit ici

Sx = Ey H, ;

^la moyenne de la densité

superfi-

cielle de

puissance dissipée (puissance

moyenne dis-

sipée

par unité de surface de

séparation

^{milieu exté-}

rieur -

supraconducteur)

^{est donc}

soit

grâce

^à

l’approximation (41)

puis

^en

changeant

de variable et en admettant _que la fonction est

univoque :

Cette

expression

peut aussi

s’écrire,

^{en tenant} compte du courant de surface :

Cette dernière forme a

l’avantage

^{de faire}

apparaître

distinctement les pertes

qui

^se

produisent

dans l’in- térieur du matériau _{pour x} > xi

(premier

^{terme du}

second

membre),

^{et les} pertes de surface se

produisant

pour 0 ^x xi

(second terme).

L’emploi

^de

(56)

nécessite la connaissance des courants

critiques j(Bl)

^et

puisque

^seul

BaM

est connu

directement ;

à l’intérieur des

hypothèses effectuées,

^les pertes ^sont

proportionnelles

^{à la fré-}

quence ^{et ne}

dépendant

que de

BoM (pertes

^de

type hystérétique),

^{dans le cas où}

Bo(t)

^{est une fonction}

périodique ayant

des valeurs maximales

opposées.

6.2 CAS OÙ

J,

^EST IDENTIQUEMENT ^{NUL. -} Nous

avons dans ce cas :

et

On peut réduire l’intervalle

d’intégration

^de

(58),

^ce

qui

^{donne :}

Nous avons

appliqué

^cette formule dans différents cas :

a) j(B) - je (constant)

résultat établi

depuis longtemps

par d’autres auteurs

[22], [23].

La valeur de

l’exposant

^de

BoM

^avait

déjà

été établie dans cette

hypothèse [8]

Cette

expression compliquée

^montre

qu’il

^serait

erroné de calculer les pertes dans ce cas en

rempla-

çant ^dans

l’expression (60)

la densité de courant

j,,

par

a/(BoM

⁺

C).

6.3 CAS ou

Ys

EST CONSTANT. ^- Dans ce cas, ^nous avons,

pour t’

^t

T j2 :

L’expression (56)

^{devient :}

On remarque que le

premier

^{terme est}

égal

^aux pertes

qui

existeraient _pour le même matériau ^avec

J.

^{--_ 0}

dans une induction alternative de valeur maximale

B1M (voir expression 58).

^{Soit Le deuxième}

terme peut ^se transformer de manière à faire _appa- raître le flux

magnétique

par unité de

longueur.

^{On a}

en effet

(voir § 4.1) : pour 0 t t’ :

pour t ^{‘ t} t"

{B1

¹ >

0) :

pour t"

Par

différenciation,

^{on obtient}

pour t’

^{1 t}

T/2 :

D’où,

^{en utilisant}

l’expression (28) :

L’expression (64)

devient finalement :

Soit :

L’application

^{de cette}

expression

^aux différents ^cas considérés au

paragraphe

6.2 conduit aisément ^aux résultats suivants :

On obtient les pertes ^en

ajoutant

^à

l’expression

de _P écrite en

remplaçant Bom

par

dans

(68),

^{le terme :}

6.4 CAS

OU Js

EST UNE FONCTION

Js(B1).

^{- Le}

résultat de

l’intégration

^-

analytique

^ou

numérique -

des

pertes

^{dans la}

profondeur

de surface

(expression 56) dépend

évidemment de la loi de variation

Js(B1).

Il suffit

cependant

d’examiner les

expressions (55)

et

(56)

pour ^constater que si dans ^un matériau déter-

miné,

^{sans courant}

superficiel,

^les pertes

s’expriment

par ^une fonction

f (B,m),

^les pertes relatives ^au même

matériau,

^{mais en tenant} compte ^{d’un courant} super-

ficiel,

^ne

s’expriment

pas ^en

général

par la fonction

On

négligerait

ainsi les pertes localisées dans _{la pro-} fondeur _xi.

Les mesures de pertes effectuées _par d’autres

expé-

rimentateurs sont en

général interprétées

^au moyen

d’expressions semi-empiriques [26],

^{et les variations}

avec l’induction des densités de courant et de surface

ne sont pas mesurées simultanément. Pour notre part,

nous n’avons _pas effectué sur nos matériaux de mesures

directes de pertes

qui pourraient

^être

comparées

^aux

résultats

théoriques

^donnés par les

expressions rigou-

reuses établies

précédemment.

Nous pensons ^en effet que les

comparaisons

effectuées entre les valeurs théo-

riques

^et

expérimentales

^du

champ électrique

^sont

plus probantes puisqu’elles

^peuvent être faites à

chaque

moment au cours d’une

période,

^alors que les mesures

habituelles de pertes ^{n’en donnent}

qu’une

^valeur

moyenne ^{au cours} d’une

période.

7. Conclusion. ^- Nous avons étudié la

pénétra-

tion de l’induction dans les

supraconducteurs

^de

2e

espèce

^très

impurs

traversés par ^{un courant} élec-

trique,

^{ou soumis à un}

champ magnétique,

^alternatif

de basse

fréquence.

^{Nous avons montré comment la}

connaissance du courant de surface et de la loi des états

critiques

de volume

j(B)

permet de calculer le

champ électrique

^{et les} pertes dans le matériau. Les

expériences

que nous avons effectuées ont

permis

^de

déterminer les courants

critiques

de surface et de volume _pour divers échantillons. Nous en avons

déduit

théoriquement

la valeur du

champ électrique

à tout moment au cours d’une

période

pour ^{un cou-} rant alternatif sinusoïdal dans le matériau. Les courbes

prédéterminées

^{sont en} bon accord avec les courbes relevées

expérimentalement.

Les

expressions analytiques

^obtenues pour le

champ électrique

^{nous ont}

permis

de calculer

rigoureusement

les pertes ^dans

plusieurs hypothèses.

Certaines des

expressions

^{obtenues avaient}

déjà

^été

indiquées

par d’autres auteurs. Les formules de pertes que ^nous trouvons pour les types ^de

pénétration

^observés pra-

tiquement (loi

^de

Kim)

^{sont nouvelles.}

Nous avons montré que les ^courants de surface interviennent dans

l’expression

^des pertes ^d’une manière

qui

n’est pas

simple,

^et

qu’une partie

^des

pertes ^est localisée à la surface même de l’échantillon.

Les

expressions

que ^{nous avons} données permettent

de

séparer

^les pertes ^se

produisant

^à la surface même de l’échantillon des pertes ^se

produisant

^{« en volume ».}

Dans le cas des

supraconducteurs étudiés,

^la

profon-

deur faible trouvée pour les pertes ^{« en} volume »

justifie l’hypothèse

^faite

[25]

pour des échantillons soumis à des

champs magnétiques

^de

répartition compliquée,

^{et où l’on considère} que ^toutes les pertes

sont localisées à la surface même de

l’échantillon,

pour des

champs magnétiques

extérieurs suinsam- ment faibles.

Ce travail a été effectué

grâce

^{au soutien}

apporté

au L. C. I. E. _par la D. G. R. S. T. et les membres d’un club comprenant ^{E. D.}

F.,

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liquide, Alsthom,

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