annéescolaire2018-2019 Mécanique Mécaniquedusolide

(1)

Mécanique du solide

Mécanique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

(2)

Introduction Système de points matériels : le véhicule Solide en translation : véhicule à roue qui glisse Solide en rotation : roues du véhicule non motorisé Exercice

Problématique Plan

Quelles sont les forces qui font avancer une voiture ?

Mécanique Mécanique du solide

(3)

1) étudier une voiture tractée, roues bloquées

(4)

Problématique Plan

2) étudier une voiture tractée, qui roule

(5)

3) étudier une voiture automobile, qui roule

(6)

Position du problème Caractéristiques des solides Dynamique des solides Contact ponctuel

Systèmes discrets ou continus

on peut considérer un système discret deN points matérielsP_i, de massemi, où i ∈[1;N]

ou bien considérer un système continu de points matérielsP (P ∈V), de masseµ(P) d³τ.

(7)

Masse du système

la masse totale du système est M =X

i

mi =y

P∈V

µ(P) d³τ

(8)

Centre de masse (dénition)

le centre de masseG du système de masse M est tel que

−→OG = P

i

mi

−→OPi

M =

t

P∈V µ(P)−→

OP d³τ M

(9)

Propriété du centre de masse

le centre de masseG vérie la relation caractéristique suivante X

i

mi.−→

GPi = Z Z Z

P∈V

µ(P).−→

GP.d³τ =~0

(10)

Détermination expérimentale du centre de masse

Le centre de masseG se trouve sur la verticale au centre d'accroche, en dessous.

(11)

Solide (dénition)

Un solide en mécanique est un cas particulier de systèmes de points matériels qui est tel que la distance entre deux points le composant est constante, quel que soit le couple de pointM et N

d_MN =MN =cste

(12)

Notion de solide :

Il s'agit d'un solide au sens thermodynamique, qui serait indéformable (rigide).

solide (indéformable)

⇒ 6⇐

système de points matériels (ensemble de solides par exemple) D'autre part, fondamentalement, un solide et un référentiel, c'est la même chose.

(13)

Torseur cinématique d'un solide (loi de Varignon) :

Quel que soit le couple de pointM et N d'un solide, les vitesses de ces points~v_M et~v_N dans un référentiel R suivent la relation :

~

v_M =~v_N +Ω~ ∧−−→

NM où ~Ωest le vecteur rotation du solide.

(14)

Loi de la quantité de mouvement :

c'est la même que pour un système de points matériels quelconque.

(15)

Loi de la quantité de mouvement : Dans un référentiel galiléenR, la quantité de mouvement du solideP~ =M~v_G suit :

dP~

dt =Md~v_G dt =X

F~(ext)

où PF~(ext) est la résultante des actions extérieures subies par le solide.

(16)

Loi de la puissance cinétique

contrairement au cas d'un système de points matériels quelconque, la puissance des actions intérieures exercées sur un solideP(int)est nulle

P(int) =0

Il n'y a plus à considérer les actions intérieures.

(17)

Loi de la puissance cinétique

Dans un référentiel galiléenR, l'énergie cinétiqueE_c d'un solide suit la loi

dEc

dt =X P(ext) où P

P(ext) est la somme des puissances des actions extérieures exercées sur lui.

(18)

Attention !

La puissance des actions intérieuresP(int) exercée sur un système de points matériels est :

• P(int) =0 dans le cas d'un solide ;

• P(int)6=0 si le système est déformable (si ce n'est pas un solide).

(19)

Deux solides en contact ponctuel

deux solidesS₁ et S₂ en contact ponctuel. On discerne :

• le point géométriqueM du contact entreS₁ et S₂;

• le point matérielM₁ ∈S₁ qui coïncide avec M à l'instantt;

• le point matérielM₂ ∈S₂ qui coïncide avec M à l'instantt.

(20)

Attention !

Les deux points matérielsM₁ et M₂, bien qu'étant au même endroit, n'ont pas la même vitesse : dans le référentiel oùS₂ est xe,~v_M₂ =~0, mais~v_M₁ 6=~0 a priori.

(21)

Vitesse de glissement : (dénition)

La vitesse de glissement du solideS₁ par rapport àS₂, si les deux solides sont en contact ponctuel enM, et R est un référentiel, est :

~v_gliss(S₁/S₂) =~v_M₁_∈S₁_/R −~v_M₂_∈S₂_/R

(22)

Propriétés de la vitesse de glissement :

Si on passe deR à R⁰,~v_M₁_∈S₁_/R⁰ =~v_M₁_∈S₁_/R +~ve(R⁰/R)où

~v_e(R⁰/R) est la vitesse d'entraînement enM. De même,

~v_M₂_∈S₂_/R⁰ =~v_M₂_∈S₂_/R +~v_e(R⁰/R)avec la même vitesse d'entraînement (car on est encore enM). Aussi,

~v_M₁∈S₁/R⁰−~v_M₂∈S₂/R⁰ =~v_M₁∈S₁/R−~v_M₂∈S₂/R

D'une part

~vgliss(S₂/S₁) =−~vgliss(S₁/S₂)

D'autre part, la vitesse de glissement ne dépend pas du choix du référentiel :

~

v_gliss/R₁(S₂/S₁) =~v_gliss/R₂(S₂/S₁) ce qui est exceptionnel pour une grandeur cinématique !

(23)

Lois de Coulomb du frottement solide

La réaction normale au supportN~ est dirigée depuis le support vers le système, sa norme est quelconque. La réaction tangentielle au support estT~.

• Si non frottement : T~ =~0,

• Si non glissement (~vglis =~0) : kT~k< µskNk~ où µs est le coecient de frottement statique (µ_s >0, sans unité).

• Si glissement (~v_glis 6=~0) : T~ =−µ_dkNk~ _k~^~^v_v^glis

glisk où µd est le coecient de frottement dynamique (0< µ_d ≤µs, sans unité) .

(24)

Cône de non glissement (exercice)

On s'intéresse à un solideS sur un plan incliné qui fait un angle α avec l'horizontale. Démontrer que la condition de non glissement deS revient àα < α_max, qu'on exprimera en fonction deµ_s, le coecient de frottement entre les deux solides.

(25)

Cône de non glissement (exercice)

Les forces qui s'appliquent sur le système sont : N~= +N~e_y,

T~= +T_x~e_x,

m~g=−m gcosα ~ey+m g sinα ~ex

A la limite de glissement,|T_x|=µ_sNet l'accélération est encore nulle.

N=m gcosαetTx=−m gsinα, soit

tanα=µs

(26)

Champ de vitesse dans le cas d'un solide en translation (exercice)

Montrer que pour un solide en translation

−→

rot(~v) =~0

(27)

Champ de vitesse dans le cas d'un solide en translation (exercice) les vitesses de deux pointsAetBsont reliées par :~v_A=~v_B+~Ω∧−→

AB=~v_B. On peut calculer le rotationnel d'un tel champ vectoriel, et on trouve ce qui était demandé.

(28)

Puissance d'une force dans le cas d'un solide en translation

Comme tous les points du solide ont même vitesse (~v_k=~v), la puissance est

P=X

~f_→k~v_k=~vX

~f_→k=~vF~

(29)

Puissance d'une force dans le cas d'un solide en translation

la puissance d'une force extérieureF~ sur un solide en translation à la vitesse ~v est

P =F~·~v

(30)

Energie cinétique d'un solide en translation

E_c=X1 2m_k~v_k²= 1

2~v²X m_k=1

2Mv²

(31)

Energie cinétique d'un solide en translation l'énergie cinétique d'un solide de masse M en translation à la vitesse ~v est

Ec = 1 2Mv²

(32)

Dynamique d'un solide en translation

Qu'on utilise la loi de la quantité de mouvement ou bien celle de l'énergie cinétique, on trouve la même relation

(33)

Dynamique d'un solide en translation

Un solide de masse M en translation à la vitesse~v, soumis àF~(ext)suit la loi :

Md~v

dt =XF~(ext)

(34)

Liaison pivot

La liaison pivot entre un solideS₁ et un solide S₂ est réalisée an que le solideS₁ soit en rotation autour d'un axe xe Oz dans le référentiel du solideS₂.

(35)

Vitesses des points d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

Dans ce cas, tous les points deS₁ sur l'axe Oz sont xes (en particulier~v_O =~0) et ~Ω = Ωzu~z. La loi de Varignon donne alors :

~

v_M =~v_O +Ω~ ∧−−→

OM = Ω_zu~_z∧−−→

OM = Ω_z~u_z∧(ru~_r +z~u_z) =rΩ_zu~_θ en coordonnées cylindriques.

Donc, siM(r, θ,z)en coordonnées cylindriques d'axe Oz, l'axe de rotation alors

~

v_M =rΩz~u_θ

(36)

Rotationnel de la vitesse dans le cas d'un solide en rotation autour d'un axe xe (exercice) Montrer que pour un solide en rotation autour d'un

axe xe −→

rot(~v) =2~Ω

(37)

Rotationnel de la vitesse dans le cas d'un solide en rotation autour d'un axe xe (exercice)

les vitesses de deux pointsAetBsont reliées par :~v_A=~v_B+~Ω∧−→ AB. On peut calculer le rotationnel d'un tel champ vectoriel, et on trouve ce qui était demandé.

(38)

Puissance dans le cas d'un solide en rotation par rapport à un axe xe La puissance de la force est :

P=X~f→k~v_k=X~f→k ~Ω∧−→

OM

CommeA.~

~B∧C~

=C~. A~∧B~

on peut écrire

P=X

~f_→k~v_k=X

~Ω−→

OM∧~f_→k

=~ΩX −→

OM∧~f_→k

= Ωz~uzM~_O= ΩzM_Oz

(39)

Puissance dans le cas d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

la puissance d'une force de momentMOz par rapport à l'axe de rotationOz d'un solide à la vitesse

angulaireΩ = Ω~ _z~u_z est

P =M_OzΩz

(40)

Liaison pivot parfaite : (dénition)

La liaison pivot est parfaite si la puissance des actions de contact est nulle si :

P(pivot parfait) =0⇔M_Oz(pivot parfait) =0

(41)

Réalisation pratique d'une liaison pivot parfaite

Une "bonne" liaison pivot est réalisée à l'aide de roulements à bille (photo : société SKF).

(42)

Moment cinétique par rapport à l'axe de rotation d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

~ σ_O=X

i m_i−→

OP_i∧~v_i=y P∈V

µ(P)−→ OP∧~v(P)

d³τ

⇒~σ_O= x P∈V

(µ(P) (r~ur+z~uz)∧~v(P))·d³τ

en coordonnées cylindriques. Or comme dans le cas d'une rotation autour de l'axe Oz,

~

v_P= Ω_z~u_z∧−→

OP= Ω_z~u_z∧(r~u_r+z~u_z) =rΩ_z~u_θ en coordonnées cylindriques, on peut écrire

~ σ_O=

Z Z Z

P∈V

(µ(P) (r~u_r+z~u_z)∧(rΩ_z~u_θ))d³τ

⇒σ_Oz=~σ_O~uz=y P∈V

µ(P)r²Ωz

d³τ= Ωz y P∈V

µ(P)r²d³τ

(43)

Moment cinétique par rapport à l'axe de rotation d'un solide en rotation par rapport à un axe xe la projection suivantOz du moment cinétique d'un solide en rotation par rapport à l'axeOz xe est

σOz =JΩz avec J=y

P∈V

µ(P)r(P)² d³τ

(44)

Moment d'inertie d'un cylindre homogène (exercice)

Démontrer que le moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à son axe de symétrie est

J= 1 2M R² où R est son rayon etM sa masse.

(45)

Moment d'inertie d'un cylindre homogène (exercice)

J=y P∈V

µ(P)r(P)²d³τ= M πR²h2πh

Z_r=R r=0 r(P)²rdr

⇒J=2M R2

"

r⁴ 4

#r=R r=0

=1 2M R²

(46)

La chaise qui tourne

Si on fait varier le moment d'inertie par rapport à l'axe, c'est la vitesse de rotation qui change.

(47)

Energie cinétique d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

Ec=X i

1 2.m_i.v_i²=

Z Z Z

P∈V 1

2.d³m.v(P)²= 1 2

Z Z Z

P∈V

µ(P).v(P)².d³τ

Or comme dans le cas d'une rotation autour de l'axeOz,

~

v_P= Ωz~uz∧−→

OP= Ωz~uz∧(r~ur+z~uz) =rΩz~u_θ

en coordonnées cylindriques, on peut écrire

E_c= 1 2

Z Z Z

P∈V

µ(P).r².Ω²_z.d³τ=Ω²_z 2

Z Z Z

P∈V

µ(P).r²..d³τ

On reconnaît

E_c=1 2JΩ²_z

(48)

Energie cinétique d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

l'énergie cinétique d'un solide de moment d'inertieJ par rapport à l'axeOz, en rotation par rapport à l'axe xe Oz à la vitesse angulaire~Ω = Ωzu~z est

Ec= 1 2JΩ²_z

(49)

Dynamique d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

Qu'on utilise la loi du moment cinétique ou bien celle de l'énergie cinétique, on trouve

(50)

Dynamique d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

Un solide en rotation autour d'un axe xeOz à la vitesse angulaire Ωz, avec un moment d'inertieJ, soumis aux moments extérieursM_Oz(ext) par rapport àOz, suit la loi :

JdΩz

dt =X

MOz(ext)

(51)

Bras de levier

la distanced de l'axe de rotation (Oz) à la droite d'application de la force (F~). Le moment de la forceF~ projeté sur l'axeOz est MOz =±F d où d est le bras de levier de la droite d'action.

M_Oz >0 si cela tend à faire tourner dans le sens trigonométrique (ce qui est le cas ici), négatif sinon.

(52)

Pendule pesant (exercice)

On s'intéresse à un pendule de moment d'inertieJ par rapport à son axe de rotation, de massem, dont le centre d'inertieG est une distancea sous l'axe de rotationOz. Montrer que le pendule est synchrone aux petits angles et déterminer la périodeT des oscillations libres.

(53)

Pendule pesant (exercice)

Jθ¨=−m.g.asinθ qui devient aux petits angles :

Jθ¨+m.g.a.θ≈0

qui est l'équation d'un oscillateur de pulsationω=q_m.g.a

J =^2π_T, donc

T=2π s J

m.g.a

(54)

Chariot

On s'intéresse à un chariot à roues modélisé par une barreC₁C₂ de centreC et de masse M, parallèle à ~ux, munie de deux roues de massem et de rayonR articulées par des liaisons pivots parfaites d'axesC₁_y etC₂_y.

(55)

La barre est en translation rectiligne uniforme à vitesseV~ =Vu~x

dans le référentiel terrestre(Rg) supposé galiléen, les roues se déplaçant sur une route horizontale xe dans(R_g).

Le référentiel(R^∗)lié à la barre est par construction en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre galiléen, donc il est lui-même galiléen. Dans ce référentiel, la barre est xe et les roues tournent avec les vitesses angulaires respectivesΩ₁ et Ω₂ autour des axes xes respectifsC₁y et C₂y.

Les frottements uides exercés par l'air sur le chariot sont pris en compte sous la forme simpliée d'une forceF~_a=−F_a~u_x appliquée au pointC, puisque la vitesse est constante.

(56)

Chariot

1) Chariot tiré avec les deux roues bloquées

On suppose que les roues sont bloquées et glissent sur le sol. Un opérateur exerce une force motriceF~m=Fm~ux sur la barre au pointC.

1.a) Déterminer les vitesses de glissement sur le sol.

1.b) Quelles sont les forces extérieures qui s'exercent sur le chariot ?

1.c) Appliquer la loi de la quantité de mouvement au véhicule.

1.d) En déduire la valeur deFm nécessaire pour maintenir un mouvement uniforme.

(57)

2) Chariot tiré avec les deux roues qui roulent

Les roues roulent sans glisser sur le sol. Un opérateur exerce une force motriceF~_m⁰ =F_m⁰ u~_x sur la barre au pointC.

2.a) Déterminer alors les relations liantV,R,Ω₁ et Ω₂. 2.b) Quelles sont les forces extérieures qui s'exercent sur le chariot ?

2.c) Appliquer la loi de la quantité de mouvement au véhicule.

2.d) Appliquer la loi du moment cinétique aux roues dans le référentiel du véhicule.

2.e) En déduire la valeur deF_m⁰ nécessaire pour maintenir un mouvement uniforme.

(58)

Chariot

3) Chariot automobile avec les deux roues qui roulent

Le véhicule n'est plus désormais mû par un opérateur extérieur mais par un moteur intérieur solidaire de la barre et qui exerce sur la roue avant un couple moteurΓ_m~u_y. Par ailleurs on se place dans le cas du non glissement des deux roues.

3.a) Bilan de forces : appliquer la loi de la quantité de

mouvement au véhicule. Les frottements sont-ils systématiquement nuisibles ? Appliquer la loi du moment cinétique aux roues dans le référentiel du véhicule. Exprimer le couple moteur nécessaire.

3.b) Bilan énergétique : faire un bilan énergétique. Exprimer le couple moteur nécessaire. Quel est le rôle du moteur ?

(59)

1) Force nécessaire pour un déplacement avec les deux roues bloquées 1.a) Dans le référentiel(Rg), le pointJ₁de la route qui coïncide avec le pointI₁ de la roue arrière possède une vitesse nulle :

~v_/Rg(J₁) =~0

La roue arrière est en rotation à vitesse angulaireΩ₁=0 autour de l'axe xeC_1y dans le référentiel(R^∗)donc le pointI₁lié à la roue arrière et qui se trouve au niveau du sol à l'instant considéré possède une vitesse :

~

v_/Rg(I₁) =~v_/Rg(C₁) +Ω~₁∧−−→

C₁J₁=V~u_x+~0=V~u_x

En adoptant la même démarche pour la roue avant (avecΩ₂=0), on trouve

~v_gliss=V~ux pour les deux roues.

1.b) Le chariot est soumis :

• aux frottements uides exercés par l'air~Fa=−F_a~ux;

• à la force motrice de l'opérateurF~m=Fm~ux;

• au poids de résultante−(M+2m)g~u_z;

• aux action de contact sur la roue arrièreT_1x~ux+N₁~uz;

• aux action de contact sur la roue avantT_2x~u_x+N₂~u_z.

1.c) La loi de la quantité de mouvement appliquée au chariot complet dans le référentiel(Rg)(ou(R^∗)) s'écrit donc en projection sur~ux:

0=T_1x+T_2x+F_m−F_a(1)

De même en projection sur~u_z:

0=N₁+N₂−(M+2m)g(2)

1.d) En utilisant les lois de Coulomb :

T_1x=−fN₁ T₂x=−fN₂

(1)donne : 0=−f(N₁+N₂) +F_m−F_aet comme(2)donne N₁+N₂= (M+2m)g, on trouve Fm=Fa+f(M+2m)g . 2) Force nécessaire pour un déplacement sans glissement

2.a) Dans le référentiel(R^∗), le pointJ₁de la route qui coïncide avec le pointI₁ de la roue arrière possède une vitesse qui s'obtient immédiatement via la loi de composition des vitesses en remarquant que sa vitesse dans le référentiel(R_g)est nulle :

~v_/Rg(J₁) =~0=~v_/R∗(J₁) +~v_R∗/R(J₁) =~v_/R∗(J₁) +V~u_x donc~v_/R∗(J₁) =−V~ux.

La roue arrière est en rotation à vitesse angulaireΩ₁autour de l'axe xeC_1ydans le référentiel(R^∗)donc le pointI₁lié à la roue arrière et qui se trouve au niveau du sol à l'instant considéré possède une vitesse :

~v_/R∗(I₁) =~v_/R∗(C₁) +Ω~₁∧−−→

C₁J₁=~0+ Ω₁~u_y∧(−R)~u_z=−RΩ₁~u_x

Par dénition, la roue arrière ne glisse pas sur le sol si les pointsI₁lié à la roue et J₁lié à la route qui sont au contact ont la même vitesse soit :

~

v_/R∗(J₁) =~v_/R∗(I₁)⇔V=RΩ₁

En adoptant la même démarche pour la roue avant, on trouve V=RΩ₁=RΩ₂ . Il résulte de ces relations que les vitesses angulairesΩ₁etΩ₂des roues sont constantes puisqueVest constante.

2.b) Le chariot est soumis :

• aux frottements uides exercés par l'air~F_a=−F_a~u_x;

• à la force motrice de l'opérateurF~_m⁰ =F_m⁰~u_x;

• au poids de résultante−(M+2m)g~uz;

• aux action de contact sur la roue arrièreT_1x~u_x+N₁~u_z;

La loi de la quantité de mouvement appliquée au chariot complet dans le référentiel(Rg)(ou(R^∗)) s'écrit donc en projection sur~ux:

0=T_1x+T_2x+F_m⁰ −F_a(1⁰)

De même en projection sur~u_z:

0=N₁+N₂−(M+2m)g(2⁰)

2.c) Les roues tournent à vitesse angulaire constante autour des axes xesC_1yet C_2y, donc leur moment cinétique ne varie pas dans le référentiel(R^∗). La roue arrière est soumise :

• à son poids de moment nul (qui s'applique enC₁) ;

• à l'action du chariot de moment nul (liaison pivot parfaite) ;

• à la composante normale des actions de contact du sol de moment nul (bras de levier nul) ;

• à la composante tangentielle des actions de contact du sol de moment M_y=−RT_1y.

La loi du moment cinétique appliquée à cette roue dans le référentiel galiléen(R^∗) s'écrit alors : 0=−RT₁(3⁰).

En opérant de manière analogue pour la roue avant, il vient : 0=−RT₂(4⁰). 2.d) En remplaçantT₁=T₂=0 dans(1⁰)on obtient alors : F_m⁰ =Fa. Intérêt des roues : la confrontation entre les deux derniers résultats est éloquente (F_m⁰ F_m) et illustre l'intérêt d'un chariot à roues pour déplacer une charge : les roues permettent de s'aranchir de l'eet néfaste du frottement de glissement.

3) Chariot automobile avec les deux roues qui roulent 3.a) Bilan de forces. Le chariot est soumis :

• aux frottements uides exercés par l'air~Fa=−F_a~ux;

• au poids de résultante−(M+2m)g~u_z;

• aux action de contact sur la roue arrièreT_1x~ux+N₁~uz;

NB : le couple moteur n'intervient pas puisqu'il décrit des forces intérieures au système. La loi de la quantité de mouvement appliquée au chariot complet dans le référentiel(R_g)(ou(R^∗)) s'écrit donc en projection sur~u_x:

0=T_1x+T_2x−F_a(1)

De même en projection sur~uz:

0=N₁+N₂−(M+2m)g(2)

En dénitive, d'un point de vue dynamique, ce sont les forces de frottements exercées par la route sur la roue motrice qui font avancer le véhicule. On retiendra de cette étude qu'il convient de ne pas attribuer un rôle systématiquement nuisible aux frottements.

Les roues tournent à vitesse angulaire constante autour des axes xesC_1yetC_2y, donc leur moment cinétique ne varie pas dans le référentiel(R^∗). La roue arrière est soumise :

• à la composante tangentielle des actions de contact du sol de moment My=−RT_1y.

La loi du moment cinétique appliquée à cette roue dans le référentiel galiléen(R^∗) s'écrit alors : 0=−RT₁(3)La roue avant est soumise :

• au couple moteur de momentΓ_m;

• à la composante tangentielle des actions de contact du sol de moment My=−RT₁_y.

La loi du moment cinétique appliquée à cette roue dans le référentiel galiléen(R^∗) s'écrit alors : 0= Γ_m−RT₂(4)Ainsi la roue arrière ne joue aucun rôle alors que la roue avant sert à transformer un couple moteur intérieur en force motrice extérieure.

L'équation(1)fournit alors l'expression du couple moteur nécessaire :

0=T_1x+T_2x−F_a=0+Γ_m R −F_a

soit Γ_m=RF_a . 4) Bilan énergétique.

Dans le référentiel(Rg)lié à la route, les mouvements de chacun des points du véhicule sont uniformes donc on peut armer sans même chercher à la calculer que l'énergie cinétique du véhicule est indépendante du temps. La loi de l'énergie cinétique appliquée au véhicule complet dans le référentiel(Rg)s'écrit alors

dE_c

dt =0=P_ext+P_int La puissance des actions du sol sur la roue arrière vaut

P_sol→₁= (T_1x~u_x+N₁~u_z)~v(I₁) =0

car il n'y a pas glissement (~v(I₁) =~0). De même, la puissance des actions du sol sur la roue avant est nulle. La puissance du poids est nulle car les déplacements sont horizontaux. La puissance de la force de l'air est

P_air=−F_a~uxV~ux=−F_aV

Ainsi,Pext=−F_aV. La puissance des forces intérieuresP_ints'identie naturellement à la puissance du moteur :

P_int= Γ_mΩ₂= Γ_mV R

La loi de l'énergie cinétique donne ^V 0, soit . Mécanique Mécanique du solide