Mécanique de Solide
Z. HACHKAR
z.hachkar2000ster@gmail.com
Université Cadi Ayyad- Marrakech
Faculté Polydisciplinaire safi
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CH III GEOMETRIE DES MASSES
Z. HACHKAR, Phd Telecom
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1 Masse et inertie d’un système 1.1 Notions d’inertie.
1.2 Masse
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Dans le cas des solides modélisés par des surfaces, des lignes , l'élément de volume devient respectivement un élément de surface d'aire ds et un élément de ligne de longueur dl,
La masse est positive et additive pour deux systèmes disjoints :
1.3 Centre d'inertie – centre de gravité
On peut alors écrire :
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Dans la pratique comme on fait l’hypothèse d’un champ de pesanteur constant en tout point, le centre d’inertie GΣ est confondu avec le centre de gravité G.
1.4 Algorithme de calcul de la position du centre de gravité G d’un système matériel Σ
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2 Opérateur d’inertie et matrice d’inertie d’un solide
La masse suffit pour caractériser l’inertie dans le cas d’un mouvement de translation.
La masse m ne permet pas à elle seule de caractériser la difficulté de mettre un solide en mouvement de rotation ou de l’en empêcher…
On a besoin de connaître la façon dont cette masse est répartie sur le solide.
Les moments et produits d’inertie caractérisent cette répartition.
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2.1 Moment d’inertie
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Propriétés :
2.2 Produit d’inertie
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2.3 Matrice d’inertie
2.4 Base principale d’inertie – Base centrale d’inertie
Pour tout point O, la matrice d’inertie est symétrique. Il existe donc un système de trois vecteurs propres orthogonaux deux à deux formant une base. Dans cette base, appelée base principale d’inertie au point O, la matrice est diagonale (les produits d’inertie D, E, F sont nuls).
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2.5 Simplification par symétrie d’une matrice d’inertie
alors les produits d'inertie D et E sont nuls
Conséquence : L'axe oz est alors axe principal d'inertie
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Si deux plans sont plans de symétrie parmi les trois plans (O,x,y ) , (O,x,z) , (O,y,z) alors D = E = F = 0
Le repère (O,x,y,z) est alors un repère principal d'inertie
Si (O,z) est axe de révolution Si (O,z) est axe de révolution
D = E = F = 0 et de plus A = B
La matrice est inchangée pour tout changement de base par rotation autour de (O,z) .
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en effet
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2.6 Matrices centrales d’inertie de quelques solides élémentaires
Parallélépipède
Cylindre creux
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Sphère creuse
2.7 Transport et changement de base d’une matrice d’inertie
Besoin : exprimer la matrice d’inertie en un autre point
Besoin : exprimer la matrice d’inertie dans une autre base
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Théorème de Huygens Changement de base
Méthode globale On définit une matrice de passage de la base b vers la base b1
Bon courage
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CH IV : Torseur cinétique
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