Produits d’inertie
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Texte intégral
(2) Masse et inertie Masse. La masse caractérise la quantité de matière d’un système « matériel », c’est une grandeur complétement additive. Soit, Σ1 ,Σ2 deux systèmes matériels disjoints alors : m (Σ1 ∪ Σ2 ) = m (Σ1 ) + m (Σ2 ) avec Σ1 ∩ Σ2 = 6 φ. La masse mΣ de l’ensemble Σ est définie par : Z Z dm = ρ(P) dv mΣ = Σ. (1). (2). V. avec ρ(P) masse volumique au point P et dv un élément de volume.. Masse et inertie Masse. Masse volumique : Si le système matériel est assimilable à un volume, on parle de masse volumique ρ(P) au point P : dm = ρ(P)dv ; Masse surfacique : Si le système matériel est assimilable à une surface on parle de masse surfacique σ(P) au point P : dm = σ(P)ds; Masse linéique : Si le système matériel est assimilable à une ligne, on parle de masse linéique λ(P) au point P : dm = λ(P)dl.. Masse et inertie Masse. On admet en mécanique classique que la masse est une grandeur indépendante du temps, ainsi pour deux instants t1 et t2 quelconque : m (Σ, t1 ) = m (Σ, t2 ) . (3) On en déduit une relation importante : Z Z # » » d d # f (P, t) dm = f (P, t) dm. dt dt R P∈Σ. R. (4). P∈Σ. qui permet d’inverser la dérivation par rapport au temps et l’intégration par rapport à la masse.. Masse et inertie Centre d’inertie. On appelle centre d’inertie du système matériel Σ , le point G défini par : Z #» #» GP dm = 0 . (5) P∈Σ. En faisant intervenir le point O, la relation devient Z Z Z # » # » # » # » #» GO dm + OP dm = 0 avec OP dm = mΣ · OG Σ. Σ. Σ. finalement 1 # » OG = mΣ. Z P∈Σ. # » OP dm. (6).
(3) Masse et inertie Centre d’inertie - Centre d’inertie dans un repère cartésien. Dans un repère cartésien, on note (xG , yG , zG ) les coordonnées de # » # » OG et (x, y , z) les coordonnées de OP , on peut donc écrire : Z 1 x · dm, xG = mΣ Σ Z 1 y · dm, yG = mΣ Σ Z 1 zG = z · dm. mΣ Σ. Masse et inertie Centre d’inertie - Propriétés du centre d’inertie I. I. I. Si le système matériel est un solide indéformable, le centre d’inertie est un point fixe du solide ; Si le système matériel possède un élément de symétrie matérielle, plan ou axe de symétrie, aussi bien du point de vue géométrique que du point de vue de la répartition des masses, le centre d’inertie appartient à cet élément de symétrie ; Le centre d’inertie est confondu avec centre de gravité dans le cas d’un champ de pesanteur uniforme.. Masse et inertie Centre d’inertie - Centre d’inertie d’un ensemble de corps. Un ensemble matériel Σ est composé de n sous-ensembles matériels Σi . A chaque sous-ensemble Σi est associé sa masse mi et son centre d’inertie Gi , alors. Gi × Σi G. G1 ×. ×. Σ1. Gn × Σn. G2 × Σ2. Σ n 1 X # » # » OGΣ = mi · OGi . mΣ i=1 (7) Le centre d’inertie d’un ensemble de corps est le barycentre des centres d’inertie. Si les corps sont des solides indéformables immobiles les uns par rapport aux autres, le centre d’inertie de l’ensemble est fixe dans un repère lié à cet ensemble.. Masse et inertie Centre d’inertie - Théorème de Guldin 1- Centre d’inertie d’une courbe plane. (∆). (C ). r dl r G × G. #» r. Soient (C ) une courbe du plan (P) et (∆) une droite du plan ne coupant pas (C ). L’aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe (C ) autour de la droite (∆) est égal au produit de la longueur de la courbe L par le périmètre décrit par son centre d’inertie 2π · rG . S = 2π · rG · L. (8).
(4) Masse et inertie Centre d’inertie - Théorème de Guldin 1- Centre d’inertie d’une courbe plane. On associe à la courbe (C ) une masse linéı̈que λ constante, dm = λ · dl d’où la masse totale de la courbe mc = λ · L. La position du centre Z d’inertie de la courbe est calculée par la relation # » # » OP · dm générale : mc · OG = C Z # » # » Cette relation devient : λ · L · OG = OP · λ · dl. C #» Après simplification puis en ne prenant Z Z que la projection suivant r : # » # » L · OG = OP dl ⇒ L · rG = r dl C. C. Calculons maintenant la surface Z Z 2π Z engendrée par Z la rotation de la courbe : S = r · dθ· dl = dθ · r · dl = 2π r · dl En substituant 0. S. C. C. Z r · dl = L · rG dans cette égalité on retrouve bien le résultat cherché. C. Masse et inertie Centre d’inertie - Centre d’inertie d’une surface plane. Soient (S) une surface du plan (P) et (∆) une droite du plan ne coupant pas (S). Le volume engendré par la rotation de la surface plane tournant autour de l’axe (∆) est égal au produit de l’aire de la surface par la longueur du périmètre décrit par son centre d’inertie.. (∆). (C ). r. ds. rG × G. V = 2π · rG · S. #» r. (9). Masse et inertie Centre d’inertie - Centre d’inertie d’une surface plane. On démontre cette égalité comme la précédente. On associe à (S) une masse surfacique dm =Z σ · ds constante et mS = σZ· S. # » # » # » # » Par définition : mS · OG = OP · dm ⇒ S · OG = OP · ds S ZS soit en projection S · rG = r · ds S. Le volume engendré par la rotation de la surface (S) Z Z 2π Z Z s’écrit :V = r · dθ·ds = dθ · r · ds = 2π r · ds v. 0. S. S. d’où la relation cherchée :V = 2π · rG · S.. Moments et produits d’inertie Moments d’inertie. La masse suffit pour caractériser l’inertie dans le cas d’un mouvement de translation. Pour un mouvement de rotation ou un mouvement plus complexe, il faut prendre en compte la répartition de cette masse sur le solide. Les moments et produits d’inertie caractérisent cette répartition..
(5) Moments et produits d’inertie Moments d’inertie - Moment d’inertie par rapport à un point. On appelle moment d’inertie du solide S par rapport à un point A la quantité positive : Z #» IA (S) = AP 2 dm kgm2 ) S. avec : S un solide, A un point, P un point du solide et dm la quantité de matière :. #» y. P×. × A #» x #» z. Moments et produits d’inertie Moments d’inertie - Moment d’inertie par rapport à une droite. On appelle moment d’inertie du solide S par rapport à une droite (∆) la quantité positive Z # »2 ~δ ∧ AP I∆ (S) = dm kgm2 . (10) S. #» y. (∆). projection de P sur la droite (∆) (dP distance du point P à la droite(∆)) la relation devient :. P×. × A. H #» x. Z I∆ (S) =. #» z. #» HP 2 dm =. S. Z. dP2 · dm.. S. En faisant intervenir le point H, Le moment d’inertie par rapport à une droite est le même en tout point de la droite.. Moments et produits d’inertie Moments d’inertie - Rayon de giration. Le moment d’inertie étant homogène au produit d’une masse par une distance au carré, il est toujours possible d’écrire le moment d’inertie autour d’un axe d’un solide quelconque sous la forme : I = M · Rg2 avec M la masse du solide et Rg le rayon de giration.. Figure : Rayon de giration. Moments et produits d’inertie Moments d’inertie - Moments d’inertie par rapport à un point dans R. Soit un repère R (O, #» x , #» y , #» z ). Un point P de coordonnées x, y , z dans R. Par définition on peut écrire le moment d’inertie du solide S par rapport au point O à l’aide des coordonnées cartésiennes : Z Z # » IO (S) = OP 2 dm = x 2 + y 2 + z 2 dm S. S.
(6) Moments et produits d’inertie Moments d’inertie - Moments d’inertie par rapport à un axe dans R. Déterminons le moment d’inertie du solide à l’axe Z S par rapport # »2 #» (O, #» x ) : Par définition : I(O, #» x ∧ OP dm = x ) (S) = S Z ( #» x ∧ (x · #» x + y · #» y + z · #» z ))2 dm S Z I(O, #» y 2 + z 2 · dm, moment d’inertie du solide par x ) (S) = S rapport à (O, #» x ); De mêmeZ : I(O, #» z 2 + x 2 · dm , moment d’inertie du solide par rapport y) = S à (O, #» y )Z; I(O, #»z ) = x 2 + y 2 · dm , moment d’inertie du solide par rapport S à (O, #» z ).. Moments et produits d’inertie Moments d’inertie - Moment d’inertie par rapport au plan. Par extension, on définit les moments d’inertie par rapport au plan : #» #» Moment d’inertie du solide Z par rapport au plan (O, x , y ) : z 2 · dm. I(O #» x #» y) = S. #» #» moment d’inertie du solide Z par rapport au plan (O, y , z ) : I(O #» x 2 · dm y #» z) = S. #» #» moment d’inertie du solide Z par rapport au plan (O, z , z ) : 2 I(O #»z #» y · dm x) = S. Moments et produits d’inertie Moments d’inertie - Relations entres les moments d’inertie. Quelques relations entre les moments d’inertie d’un solide : I IO = I(O #» x #» y ) + I(O #» y #» z ) + I(O #» z #» x) 1 I IO = I(O, #» x ) + I(O, #» y ) + I(O, #» z) 2 I I(O, #» x ) = I(O #» x #» y ) + I(O #» z #» x) #» #» #» #» I I(O, y ) = I(O x y ) + I(O y #» z) I I(O, #» z ) = I(O #» z #» x ) + I(O #» y #» z). Moments et produits d’inertie Théorème de Huygens. Soit un solide S de centre d’inertie G et de masse m, avec : I. (∆1 ), une droite passant par #» A de vecteur unitaire δ ;. I. (∆2 ), une droite parallèle passant par G ;. I. I. G× × A (∆1 ). P. K d. (∆2 ). H #» x. #» z. d, la distance entre les deux On sait que : Z #» # »2 droites. #» I I (A, δ ) = S δ ∧ AP dm , H la projection du point P du solide S sur (∆1 ). I. #» y. K la projection sur (∆2 ).. I. I(G , #»δ ) =. Z #» # »2 δ ∧ GP dm, S.
(7) Moments et produits d’inertie Théorème de Huygens. Cherchons une relation entre I(A, #»δ ) et I(G , #»δ ) nous savons que : Z Z #» # »2 #» I(A, #»δ ) = δ ∧ AP dm = HP 2 dm S. S. Z # » # »2 En faisant intervenir le point K : I(A, #»δ ) = HK + KP dm soit Z Z ZS # » # » #» #» I(A, #»δ ) = HK 2 dm + 2HK · KPdm + KP 2 dm S SZ S # » Le premier terme s’écrit : HK 2 dm = m · d 2 SZ #» On reconnaı̂t le troisième : KP 2 dm = I(G , #»δ ) S. Moments et produits d’inertie Théorème de Huygens. # » #» 2HK · KPdm en faisant intervenir. Z Il ne reste plus qu’à déterminer S. le centre d’inertie G : # » #» # » 2HK · KPdm = 2HK ·. Z S. Z. # » = 2 · HK · # » = 2 · HK ·. #» KPdm. SZ. ZS. # » #» KG + GPdm # » # » KG dm + 2 · HK ·. Z. S. #» GPdm. S. R #» # » # » # » R # » HK ⊥ KG ⇒ 2 · HK · S KG dm = 0 et S GPdm = 0 Finalement I(A, #»δ ) = I(G , #»δ ) + m · d 2 .. Moments et produits d’inertie Théorème de Huygens. Énoncé du Théorème de Huygens. #» Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe A, δ est #» égal au moment d’inertie par rapport à l’axe G , δ , parallèle et passant par le centre d’inertie du solide, augmenté du produit de la masse du solide par le carré de la distance séparant les deux axes. I(A, #»δ ) = I(G , #»δ ) + m · d 2. (11). Corollaire De tous les axes parallèles à une direction donnée, celui par rapport auquel le moment d’inertie est minimum est l’axe passant par G .. Moments et produits d’inertie Théorème de Huygens - Relation entre les moments d’inertie par rapport à deux droites parallèles. On se propose de déterminer une relation entre les moments d’inertie par rapport à deux droites parallèles. #» y. I(G , #»δ ) (S) + m · dB2 D’où la relation entre les moments d’inertie. P. B (∆B ) ×. dB K dA G× H (∆G ) × A (∆ A) #» z. #» x. On sait que : I. I(A, #»δ ) (S) = I(G , #»δ ) (S) + m · dA2. I. I(B, #»δ ) (S) =. I(A, #»δ ) (S) − I(B, #»δ ) (S) = m · dA2 − m · dB2 (12) avec dA et dB respectivement distance entre les droites ∆A , ∆B et ∆G ..
(8) Moments et produits d’inertie Produits d’inertie. Les produits d’inertie caractérisent l’absence de symétrie dans la répartition des masses. La détermination des produits d’inertie sera déduite du calcul de l’opérateur d’inertie dans le chapitre suivant..
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