C OMPLÉMENT CI-3-1 :
Q UEL SENS PHYSIQUE ONT LES PRODUITS D ’ INERTIE ?
Soit une application linéaireI(O,S)deR37→R3qui à #»
Uassocie : #»
U 7→I(O,S)
h#»
Ui
=
$
S
# » OM∧#»
U∧# » OM
.dm Soient le pointM∈S de coordonnées (x,y,z) dansR et #»
U =ux.#»x +uy.#»y +uz.#»z :
I(O,S)h#»
Ui
=
$
S
# » OM∧#»
U∧# » OM
.dm
alors
I(O,S) =
IOx −POxy −POxz
−POxy IOy −POyz
−POxz −POyz IOz
R
=
A −F −E
−F B −D
−E −D C
R avec :
• le produit d’inertiepar rapport au planOxy
POxy(S)=
$
S
x.y.dm
• le moment d’inertiepar rapport à l’axe (O,#»x)
IOx(S)=
$
S
(y2+z2).dm
On montre que le moment d’inertie du solideS
par rapport à un axe (O,#»u) s’écrit : IOu(S)= #»u.I(O,S)#»u
et POuv(S)= #»u.I(O,S)#»v Si on prend les 3 vecteurs unitaires de la base #»x,#»y,#»z alors :
Ixx = #»x.I(O,S)#»x=A ; Iyy= #»y.I(O,S)#»y= B et Izz = #»z.I(O,S)#»z=C
On appelle ∆1 et ∆2, les bissectrices du plan (x,O,y) de vecteurs unitaires :
#»u1= 1
√ 2
1 1 0
et #»u2 = 1
√ 2
−1 1 0
#»x
#»y
#»z
45◦ ∆1
P1
∆2
P2
⇒
I∆1 = #»u1.I(O,S)#»u1= 1
2.(A+B−2.F) I∆2 = #»u2.I(O,S)#»u2= 1
2.(A+B+2.F)
⇒ F = 1
2. I∆2 −I∆1
Fpeut donc être vu comme la différence entre les moments d’inertie sur les axes∆2et∆1. Une autre façon de l’écrire est la suivante :
POxy(S)=
$
S
x.y.dm=
$
S
x.y.dm= 1 2.
$
S
x+y
√ 2
!2
+z2− −x+y
√ 2
!2
−z2dm= 1
2. I∆2−I∆1
LYCÉECARNOT(DIJON) 1/0 MP - COMPLÉMENTCI-3-1
avec x+y
√
2 , la distance àP2et x+y
√
2 , la distance àP1.
#»x
#»u
#»y
#»v
I∆2 >I∆1 ⇒ F >0
dF = Z l
x=0
Z l y=0
x.y.dx.dy+ Z 0
x=−l
Z 0
y=−l
x.y.dx.dy
= 2.
"
x2 2
#l
0
.
"
y2 2
#l
0
= l4 2
#»x
#»u
#»y
#»v
I∆2 < I∆1 ⇒ F<0
dF = Z 0
x=−l
Z l y=0
x.y.dx.dy+ Z l
x=0
Z 0
y=−l
x.y.dx.dy
= 2.
"
x2 2
#0
l
.
"
y2 2
#l
0
=−l4 2
LYCÉECARNOT(DIJON) 2/0 MP - COMPLÉMENTCI-3-1
