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Mécanique Rationnelle 1 2015-2016 EPST Tlemcen ECOLE PREPARATOIRE EN SCIENCES ET TECHNIQUES – TLEMCEN
Département de Technologie
C
ORRIGE DE L’E
XAMENF
INALExercice 01 :
1. Centre d’inertie du demi disque seul :
A cause de la symétrie xG 0(le centre d’inertie est situé sur l’axe Oy)
2 3
0 0
1 1
( )
2
sin sin 2
3 4
3
G s D
R
G s
G
y ydm y disque
M
y r rdrd r dr d R
M M M
y R
2. Centre d’inertie de la plaque rectangulaire est : ( )
G 2 P
y b y plaque 3. Centre d’inertie du solide :
2 2 3
2 2
4 2
. .
. . 2 2 3 2 3
2 2
P P D D
G
P D
b R R ab R
M y M y ab
y M M R R
ab ab
4. La matrice tenseur d’inertie
Oxyzdu demi-disque : Par raison de symétrie les produits d’inertie sont nuls.
4 2 . s in 4
2
0 0
4 2
3 2
2 R MR
d dr
r dm
z y
IOx
R
4 2 . cos 4
2
0 0
4 2
3 2
2 R MR
d dr
r dm
z x
IOy
R
2 4
2
0 0
4 3
2
2 R MR
d dr r dm
y x
IOz
R
Oxyz=2 2
2
0 0
4
0 0
4
0 0
2 MR
MR MR
5. La matrice tenseur d’inertie
Oxyzde la plaque seule : Par raison de symétrie les produits d’inerties sont nuls.
3 3
2 0
2 2
3 2
2
2 ba Mb
dx dy y dm
z y
I b
a a
Ox
12 12
2 2
2 0
3 2
2
2 ab Ma
dy dx x dm
z x I
a a
b
Oy
2 2 3
2
2 0
3 2
2 2 0
2 2
2
4 3 3
12b ba M a b dx a
dy y dy dx x dm
y x I
a a
b a
a b
Oz
6. La matrice tenseur d’inertie
Oxyzdu solide :Page 2
Oxyz= 2 2 2 22 2 2
0 0
3 4
0 0
12 4
0 0
12 3 2
Mb MR
Ma MR
a b MR M
=
3 4
3 4
3 3 4
0 0
3 8
0 0
12 8
0 0
12 3 4
ab R
a b R
a b ab R
7. Le moment d’inertie par rapport à un axe () passant par les points O et C : Les coordonnées du point C : ( , )
2
a b avec
1
2 2
2
2
4 ai b j u OC
OC a
b
3 4
3 4
2
3 3 4
2
0 0
2 2
3 8
. . 1 0 0
12 8
0 0 0 0
4 12 3 4
Oxyz
a a
ab R
a b R
I u u b b
a b a b ab R
3 3 4 2 3 3 4 2
2 2
. . 1
12 32 12 8
4
Oxyz
a b R a a b R b
I u u
a b
Exercice 02 :
(S0) (0) : Oxyz repère fixe
(S1) (1) : Ax1y1z1 repère lié à la barre AB
(S2) (2) : Ox2y2z2 repère lié à OA avec (Ox2//OA).
On a
1 2 .
1,2
0 0 w
; 2 0
. 2,0
0 0 w
et 1 0 1 2 2 0
. . 2,1
0 0
w w w
1. Les vecteurs vitesse de G
1et G
21. Projection Sur (S0) :
.
1 1
.
1 1 1
1 0
0
0 0
cos sin
2 2
/ sin cos
2 2
0 0
l l
d OG d l l
V G dt dt
. . .
2 2
1 1
. . .
2 2 2
2 0 1 1
0
0 0
cos cos( ) sin ( ) sin( )
2 2
/ sin sin( ) cos ( ) cos( )
2 2
0 0
l l
l l
d OG d l l
V G l l
dt dt
2. Projection Sur (S1):
1 1
1 1 2 1
1
1
1 0
0 1
1
2cos
OG OG
OG sin ( ) / OG
2 2
0 l
l
OA d d
V G dt dt
Page 3
1 1
1 1 0 1
1
1
1 0
0 1
1
2cos
OG OG
OG sin ( ) / OG
2 2
0 l
l
OA d d
V G dt dt
. . . . .
1 1 1 1 1
. . . . .
1 1 1 1 1
1 0
. .
1
1 1 1 1
sin cos sin ( ) sin sin
2 0 2 2 2 2
( ) / cos 0 sin cos ( ) cos cos
2 2 2 2 2
0 0 0 0
l l l l l
l l l l l
V G
2 2
2 2 1 0 2
2 2
1 1
1 1 2 0
0 1
1
1 1
cos 2 cos 2
OG OG
OG sin 0 sin ( ) / OG
0
0 0
l l
l l
d d
OA AG l l V G
dt dt
. .
2 1
1 1
. . . .
2
2 0 1 1 1
. .
1
1 1 1
sin cos sin
0 2
( ) / cos 0 sin cos ( )
2
0 0
0
l l
l l
V G l l l l
3. Projection Sur (S2):
1 1
1 2 0 1
1 1
. 1
1 0
0 2 .
2 2
2 2
0 0
2 2
OG OG
OG 0 ( ) / OG 0 0
2
0 0
0
l l
l
d d
V G dt dt
2 2
2 2 2 0 2
2 2
1 1
2 2
2 0
0 2
2
2 2
cos cos
2 2
OG OG
OG 0 sin sin ( ) / OG
2 2
0 0 0
l l
l l
l l d d
OA AG V G
dt dt
2 2
. . . .
2 2 2
. . . . . .
2 2 2
2 0 1 1
2
sin sin ( ) sin
2 2 2
( ) / cos cos ( ) cos
2 2 2
0 0 0
l l l
l l l
V G l l
2. Les vecteurs accélération de G
1et G
21. Projection Sur (S1):
Page 4
1 0
1 0 1 0
1 0 1 0
0 1
.. .2
.. . . .
1 1
1 1 1
.. . . . .. .2
1 1 1 1 1
1 0 1
. .
1
1 1
( ) / ( ) /
( ) / ( ) /
sin cos
sin cos sin
2 2
2 2 0 2
( ) / cos sin 0 cos cos sin
2 2 2 2 2
0 0 0
dV G dV G
G w V G
dt dt
l l
l l l
l l l l l
G
1 0
2 0 2 0
2 0 2 0
0 1
.. .2 . .
2 2
.. . . .
1 1
1 1 1
.. . . .. .. . . . ..
2 2
2 0 1 1 1 1
. .
1
1 1
( ) / ( ) /
( ) / ( ) /
sin cos ( )
sin cos sin 2
0
( ) / cos sin ( ) 0 cos ( ) cos
2 2
0 0
dV G dV G
G w V G
dt dt
l l l
l l l
l l
G l l l l
.2 .. ..
2 1
1
sin ( )
2 0
l l
2. Projection Sur (S2):
2 0
.2 1
.. . ..
1 0 1 0 1 1 1
1 0 1 0
0 2 .
2
2 2
2
0 0 0 2
( ) / ( ) /
( ) / ( ) / 0
2 2 2
0 0 0
l
dV G dV G l l l
G V G
dt dt
2 0
2 0 2 0
2 0 2 0
0 2
( ) / ( ) /
( ) / dV G dV G ( ) /
G V G
dt dt
2 2
.. .. . . . . .
2 2 2
.. .. .. . . . . . .
2 2 2
2 0 1 1
. 2
.. .. . . . .2 . . .
2 2 1 2
1 ..
2 0
( ) sin ( ) cos ( ) sin
2 2 0 2
( ) / ( ) cos ( ) sin 0 ( ) cos
2 2 2
0 0
( ) sin ( ) cos ( ) cos
2 2 2
( ) /
l l l
l l l
G l l
l l l l
l
G
2
.. .. . . . . . .
2 2 2
1 ( ) cos ( ) sin ( ) cos
2 2 2
0
l l l
l
