Les objectifs :
— Définition de centre d’inertie.
— Comprendre la différence entre l’inertie et la masse .
— Déterminer le centre d’inertie en utilisant les éléments de symétrie.
— Savoir déterminer le centre d’inertie d’un ensemble de solides.
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: Réalisé par SEGGAOUI Lhoussine.
SEGGAOUI Lhoussine Prof. agrégé en S2I et IM Ingénieur en génie mécanique et structure
1 Masse et inertie :
1.1 Notion d’inertie :
Nous savons, par expérience, qu’il est plus « difficile » d’accélérer un camion qu’une moto comme il est plus « difficile »de le freiner. L’inertie caractérise la résistance qu’oppose un corps par sa nature propre à une variation de mouvement.
Pour un mouvement de translation, la masse suffit pour définir cette quantité, par contre pour un mouvement de rotation, il est nécessaire de préciser la répartition de cette masse.
La cinétique est l’étude des caractéristiques d’inertie d’un solide.
1.1.1 Masse :
La masse caractérise la quantité de matière, c’est une grandeur complètement additive.
La masse mΣ de l’ensemble Σest définie par :
mΣ = Z
Σ
dm= Z
Σ
ρ(P)dv
avec ρ(P)masse volumique au point P etdv un élément de volume.
— Si le système matériel est assimilable à un volume, on parle de masse volumique ρ(P) au point P : dm =ρ(P)dv
— Si le système matériel est assimilable à une surface on parle de masse surfacique σ(P)au point P : dm =σ(P)ds
— Si le système matériel est assimilable à une ligne, on parle de masse linéique λ(P) au point P : dm =λ(P)dl
1.1.2 Centre d’inertie : Définition :
On appelle centre d’inertie du système matériel Σ, le point G défini par : Z
P∈Σ
−→GPdm=−→ 0
En faisant intervenir le point O, la relation devient Z
Σ
(−→
GO +−→
OP)dm=−→ 0 Z
Σ
−→GOdm+ Z
Σ
−→OPdm=−→ 0
avec mΣ·−→
OG = Z
Σ
−→OPdm et finalement :
−→OG = 1 mΣ
Z
P∈Σ
−→OPdm
Dans un repère cartésien, on note (x , y , z ) les coordonnées de −→
OG et (x, y, z) les coordonnées de
— Si le système matériel est un solide indéformable, le centre d’inertie est un point fixe du solide ;
— Si le système matériel possède un élément de symétrie matérielle, plan ou axe de symétrie, aussi bien du point de vue géométrique que du point de vue de la répartition des masses, le centre d’inertie appartient à cet élément de symétrie ;
— Le centre d’inertie est confondu avec centre de gravité dans le cas d’un champ de pesanteur uniforme.
Détermination du centre d’inertie d’un carré de côté a (Σ=Carré) : on a xG = 1
mΣ Z
Σ
x·dm, avec dm=σds
— σ est la densité surfacique de masse.
— ds un petit élément de surface, ds = dx·dy dans les coordonnées cartésiennes.
— mΣ = σS avec S est la surface total du carrée, donc S =a2
Ainsi xG= 1 mΣ
Z
Σ
x·dm= 1 σa2
Z
Σ
x·σds= 1 a2
Z
Σ
x·dxdy Lorsque on parcoure le carré, x varie entre 0 et a et y aussi entre 0 et a.
xG = 1 a2
Z a
0
Z a
0
x·dxdy = 1 a2
Z a
0
xdx Z a
0
dy= 1 a2
a2 2a= a
2 en fusant la même chose avec yG, on trouve yG = a
2 finalement −→
OG= a 2
−
→x +a 2
−
→y
Les éléments de symétrie :
Si le système matériel possède un élément de symétrie matérielle, plan ou axe de symétrie, aussi bien du point de vue géométrique que du point de vue de la répartition des masses, le centre d’inertie appartient à cet élément de symétrie ;
La carré possède deux axes de symétrie (D) et (∆), ainsi le centre d’inertie appartient à l’intersection des deux axes.
on en déduit facilement que xG = a
2 et yG = a 2 Finalement le vecteur −→
OG= a 2
−
→x + a 2
−
→y
1.1.3 Centre d’inertie d’un ensemble de corps :
Un ensemble matériel Σest composé den sous-ensembles ma- tériels Σi À chaque sous-ensemble Σi est associé sa masse mi et son centre d’inertie Gi, alors
−−→OGΣ = 1 mΣ
n
X
i=1
mi·−−→
OGi
Le centre d’inertie d’un ensemble de corps est le barycentre des centres d’inertie.
Si les corps sont des solides indéformables immobiles les uns par rapport aux autres, le centre d’inertie de l’ensemble est fixe dans un repère lié à cet ensemble.
L’objectif est de déterminer le centre d’inertie du solide à côté.
On peut remarque que le solide est constitué de deux solide sous forme de carré un de côté "a" et l’autre de côté "b".
Le centre d’inertie du solide est le barycentre des centres d’inertie de chaque carré.
On a −−→
OG1 = a 2
−
→x + a 2
−
→y et−−→
OG2 = (a+ b
2)−→x + a 2
−
→y
m−→
OG=m1−−→
OG1+m2−−→
OG2
avec m=σS =σ(a2+b2) m1 =σa2 m2 =σb2 (a2+b2)−→
OG=a2−−→
OG1+b2−−→
OG2
1.1.4 Théorème de Guldin :
Énoncé (Centre d’inertie d’une courbe plane) Soient (C) une courbe du plan (π) et (∆) une droite du plan ne coupant pas (C)
L aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe (C) autour de la droite (∆) est égal au produit de la longueur de la courbe L par le périmètre décrit par son centre d’inertie 2π·rG
S = 2π·rG·L
On applique le théorème pour déterminer le centre d’inertie d’un demi-cercle de rayon R.
Le plan (O,−→x ,−→z ) est un plan de symétrie du demi-cercle, ainsi le centre d’inertie G appartient à l’axe (O,−→x), ce qui donne
−→OG=rG−→x.
La rotation du demi-cercle autour de l’axe (O,−→y) génère une sphère creux de surface S = 4πR2
La langueur de demi-cercle est L=πR
d’après le premier théorème de Guldin on : S = 2π·rG·L. En remplaçant chaque élément, on obtient : 4πR2 = 2π·rG·π·R finalement : rG = 2R
π
Énoncé (Centre d’inertie d’une surface plane homo- gène)Soient (S) une surface du plan (π) et(∆) une droite du plan ne coupant pas (S)
Le volume engendré par la rotation de la surface plane tour- nant autour de l’axe (∆) est égal au produit de l’aire de la surface par la longueur du périmètre décrit par son centre d’inertie.
V = 2π·rG·S
L’objectif est de déterminer le centre d’inertie G de demi- disque. Le plan (O,−→x ,−→z ) est un plan de symétrie du demi- cercle, ainsi le centre d’inertie G appartient à l’axe (O,−→x), ce qui donne −→
OG=rG−→x.
La rotation du demi-disque autour de l’axe (O,−→y) génère une sphère plaine de volume V = 4
3πR3 La surface de demi-disque est S = πR2
d’après le deuxième théorème de Guldin on :2 V = 2π·rG·S. En
remplaçant chaque élément, on obtient : 4
3πR3 = 2π·rG·πR2 2 finalement : rG = 4R
3π
