Mécanique du solide

(1)

Mécanique du solide

Les points du cours à connaître

I- Système de points matériels : le véhicule

1. Position du problème Centre de masse

le centre de masse G du système de masse M est tel que

−→ OG = P

i

m

_i

−→

OP

_i

M =

t

P∈V

µ(P ) −→

OP d

³

τ M

2. Caractéristiques des solides Solide

Un solide en mécanique est un cas particulier de systèmes de points matériels qui est tel que la distance entre deux points le composant est constante, quel que soit le couple de point M et N

d

M N

= M N = cste Torseur cinématique d'un solide (loi de Varignon) :

Quel que soit le couple de point M et N d'un solide, les vitesses de ces points ~ v

_M

et ~ v

_N

dans un référentiel R suivent la relation :

~

v

_M

= ~ v

_N

+ Ω ~ ∧ −−→

N M où Ω ~ est le vecteur rotation du solide.

3. Dynamique des solides

Loi de la quantité de mouvement :

Dans un référentiel galiléen R , la quantité de mouvement du solide P ~ = M ~ v

_G

suit : d P ~

dt = M d~ v

_G

dt = X

F ~ (ext)

où P F ~ (ext) est la résultante des actions extérieures subies par le solide.

Loi de la puissance cinétique

Dans un référentiel galiléen R , l'énergie cinétique E

_c

d'un solide suit la loi dE

_c

dt = X

P (ext) où P

P (ext) est la somme des puissances des actions extérieures exercées sur lui.

La puissance des actions intérieures P (int) exercée sur un système de points matériels est :

• P (int) = 0 dans le cas d'un solide ;

• P (int) 6= 0 si le système est déformable (si ce n'est pas un solide).

4. Contact ponctuel Vitesse de glissement :

La vitesse de glissement du solide S

₁

par rapport à S

₂

, si les deux solides sont en contact

ponctuel en M , et R est un référentiel, est :

(2)

La réaction normale au support N est dirigée depuis le support vers le système, sa norme est quelconque. La réaction tangentielle au support est T ~ .

• Si non frottement : T ~ = ~ 0 ,

• Si non glissement ( ~ v

_glis

= ~ 0 ) : k T ~ k < µ

_s

k N ~ k où µ

_s

est le coecient de frottement statique ( µ

_s

> 0 , sans unité).

• Si glissement ( ~ v

_glis

6= ~ 0 ) : T ~ = −µ

_d

k N ~ k

_k~^~^v_v^glis

glisk

où µ

_d

est le coecient de frottement dyna- mique ( 0 < µ

_d

≤ µ

_s

, sans unité) .

II- Solide en translation : véhicule à roue qui glisse

Puissance d'une force dans le cas d'un solide en translation

la puissance d'une force extérieure F ~ sur un solide en translation à la vitesse ~ v est P = F ~ · ~ v

Energie cinétique d'un solide en translation

l'énergie cinétique d'un solide de masse M en translation à la vitesse ~ v est E

c

= 1

2 M v

²

Dynamique d'un solide en translation

Un solide de masse M en translation à la vitesse ~ v , soumis à F ~ (ext) suit la loi : M d~ v

dt = X

F ~ (ext)

III- Solide en rotation : roues du véhicule non motorisé

Puissance dans le cas d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

la puissance d'une force de moment M

_Oz

par rapport à l'axe de rotation Oz d'un solide à la vitesse angulaire Ω = Ω ~

_z

~ u

_z

est

P = M

_Oz

Ω

_z

Liaison pivot parfaite :

La liaison pivot est parfaite si la puissance des actions de contact est nulle si : P ( pivot parfait ) = 0 ⇔ M

_Oz

( pivot parfait ) = 0

Moment cinétique par rapport à l'axe de rotation d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

la projection suivant Oz du moment cinétique d'un solide en rotation par rapport à l'axe Oz xe est

σ

Oz

= J Ω

z

avec J = y

P∈V

µ(P ) r(P )

²

d

³

τ

Energie cinétique d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

l'énergie cinétique d'un solide de moment d'inertie J par rapport à l'axe Oz , en rotation par rapport à l'axe xe Oz à la vitesse angulaire ~ Ω = Ω

_z

~ u

_z

est

E

_c

= 1 2 J Ω

²_z

Dynamique d'un solide en rotation par rapport à un axe xe

Un solide en rotation autour d'un axe xe Oz à la vitesse angulaire Ω

_z

, avec un moment d'inertie J , soumis aux moments extérieurs M

_Oz

(ext) par rapport à Oz , suit la loi :

J dΩ

_z

dt = X

M

Oz

(ext)

(3)

Exercice traité en n de cours

exo 9.1) Chariot

On s'intéresse à un chariot à roues modélisé par une barre C

1

C

2

de centre C et de masse M , parallèle à ~ u

x

, munie de deux roues de masse m et de rayon R articulées par des liaisons pivots parfaites d'axes C

1y

et C

2y

. La barre est en translation rectiligne uniforme à vitesse V ~ = V ~ u

_x

dans le référentiel terrestre (R

_g

) supposé galiléen, les roues se déplaçant sur une route horizontale xe dans (R

g

) .

Le référentiel (R

^∗

) lié à la barre est par construction en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre galiléen, donc il est lui-même galiléen. Dans ce référentiel, la barre est xe et les roues tournent avec les vitesses angulaires respectives Ω

1

et Ω

2

autour des axes xes respectifs C

1y

et C

2y

.

Les frottements uides exercés par l'air sur le chariot sont pris en compte sous la forme simpliée d'une force F ~

a

= −F

a

~ u

x

appliquée au point C , puisque la vitesse est constante.

1) Chariot tiré avec les deux roues bloquées

On suppose que les roues sont bloquées et glissent sur le sol. Un opérateur exerce une force motrice F ~

_m

= F

_m

~ u

_x

sur la barre au point C .

1.a) Déterminer les vitesses de glissement sur le sol.

1.b) Quelles sont les forces extérieures qui s'exercent sur le chariot ? 1.c) Appliquer la loi de la quantité de mouvement au véhicule.

1.d) En déduire la valeur de F

m

nécessaire pour maintenir un mouvement uniforme.

2) Chariot tiré avec les deux roues qui roulent

Les roues roulent sans glisser sur le sol. Un opérateur exerce une force motrice F ~

_m⁰

= F

_m⁰

~ u

x

sur la barre au point C .

2.a) Déterminer alors les relations liant V , R , Ω

1

et Ω

2

.

2.b) Quelles sont les forces extérieures qui s'exercent sur le chariot ? 2.c) Appliquer la loi de la quantité de mouvement au véhicule.

2.d) Appliquer la loi du moment cinétique aux roues dans le référentiel du véhicule.

2.e) En déduire la valeur de F

_m⁰

nécessaire pour maintenir un mouvement uniforme.

3) Chariot automobile avec les deux roues qui roulent

Le véhicule n'est plus désormais mû par un opérateur extérieur mais par un moteur intérieur solidaire de la barre et qui exerce sur la roue avant un couple moteur Γ

m

~ u

y

. Par ailleurs on se place dans le cas du non glissement des deux roues.

3.a) Bilan de forces : appliquer la loi de la quantité de mouvement au véhicule. Les frottements sont-ils systématiquement nuisibles ? Appliquer la loi du moment cinétique aux roues dans le référentiel du véhicule.

Exprimer le couple moteur nécessaire.

3.b) Bilan énergétique : faire un bilan énergétique. Exprimer le couple moteur nécessaire. Quel est le

rôle du moteur ?

(4)

Techniques à maîtriser

I- Cinématique du solide

Reconnaître et décrire une translation rectiligne, une translation circulaire.

Dans le cas d'une rotation autour d'un axe xe, décrire la trajectoire d'un point quelconque du solide et exprimer sa vitesse en fonction de sa distance à l'axe et de la vitesse angulaire.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Quel que soit le couple de point M et N d'un solide, les vitesses de ces points ~ v

M

et ~ v

N

dans un référentiel R suivent la relation :

~ v

M

= ~ v

N

+ Ω ~ ∧ −−→

N M

Appliquer la relation de Varignon ^méthode

La vitesse de glissement du solide S

1

par rapport à S

2

, si les deux solides sont en contact ponctuel en M , est :

~ v

gliss

(S

1

/S

2

) = ~ v

_M₁_∈S₁_/R

− ~ v

_M₂_∈S₂_/R

Calculer une vitesse de glissement méthode

II- Dynamique du solide en translation

Exploiter les lois de Coulomb fournies dans le cas d'une mise en mouvement ou d'un freinage.

Formuler une hypothèse (quant au glissement ou non) et la valider.

Exprimer la condition de non-glissement des roues d'un véhicule.

Appliquer la loi de la quantité de mouvement et la loi de l'énergie cinétique à un véhicule à roue.

Expliquer qualitativement les rôles respectifs du moteur et des actions de contact exercées par la route selon qu'on envisage un bilan énergétique global ou un bilan de quantité de mouvement global.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On connaît la direction et le sens de la réaction normale : N ~ , mais c'est plus compliqué avec la réaction tangentielle. Aussi, il vaut mieux utiliser des grandeurs algébriques qui sont les projections de T ~ .

Réaction tangentielle en cas de non glissement méthode

Il faut d'abord caractériser le glissement :

~ v

_glis

6= ~ 0

pour connaître sa direction et son sens ~ e

_glis

(vecteur normé). On connaît alors la direction et le sens de

Réaction tangentielle en cas de glissement méthode

(5)

la réaction tangentielle T ~ :

T ~ = −µ

d

N ~ e

glis

On connaît la direction et le sens de la réaction normale : N ~ , mais c'est plus compliqué avec la réaction tangentielle. Aussi, il vaut mieux utiliser des grandeurs algébriques qui sont les projections de T ~ . La condition dynamique revient à écrire

k Tk ~ < µ

s

k N ~ k

Condition dynamique de non glissement méthode

On peut utiliser le fait que le contact entre deux solides est perdu dès que la réaction normale de l'un sur l'autre s'annule :

N ~ = ~ 0 ⇒ perte de contact

Condition dynamique de contact méthode

III- Dynamique du solide en rotation autour d'un axe xe

Relier la direction et le sens du vecteur moment cinétique aux caractéristiques du mouvement.

Maîtriser le caractère algébrique du moment cinétique scalaire.

Exploiter la relation pour le solide entre le moment cinétique scalaire, la vitesse angulaire de rotation et le moment d'inertie fourni.

Relier qualitativement le moment d'inertie à la répartition des masses.

Calculer le moment d'une force par rapport à un axe orienté en utilisant le bras de levier.

Dénir un couple.

Dénir une liaison pivot et justier le moment qu'elle peut produire.

Reconnaître les cas de conservation du moment cinétique.

Appliquer la loi du moment cinétique aux roues d'un véhicule en translation rectiligne uniforme, dans le référentiel du véhicule.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Le moment d'une force F ~ projeté sur l'axe Oz est M

_Oz

= ±F d où d est le bras de levier de la droite d'action ( M

_Oz

> 0 si cela tend à faire tourner dans le sens trigonométrique, négatif sinon).

Calculer le moment d'une force grâce à la méthode du bras de levier méthode

(6)

Le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe de rotation Oz tout comme le théorème de la puissance cinétique donne :

J

Oz

dΩ

z

dt = M

O_z

(ext)

On rappelle d'autre part que la liaison pivot étant supposée parfaite, la puissance de cette action est nulle.

Dynamique du solide en rotation par rapport à un axe xe méthode

IV- Statique du solide

Exploiter les lois de Coulomb fournies dans le cas d'un équilibre.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Un solide Σ est immobile si tous les points matériels le composant sont immobiles :

~ v

M

= ~ 0 ∀M ∈ Σ

D'après le torseur cinématique du solide, un solide Σ est immobile ssi

• un de ses points matériels le composant est immobile ∃A ∈ Σ tel que ~ v

A

= ~ 0 ;

• son vecteur rotation est nul : Ω ~

Σ

= ~ 0 .

Conditions cinématiques d'immobilité méthode

si un solide Σ est immobile alors, nécessairement

P F ~ (ext) = ~ 0 P M ~

O

(ext) = ~ 0

Conditions dynamiques d'immobilité méthode

(7)

Les techniques mathématiques à connaître

Produit vectoriel :

~

v ∧ w ~ = k~ vk k wk ~ sin θ ~ u où ~ u est un vecteur unitaire perpendiculaire à ~ v et w ~ :







~ u⊥~ v

~ u⊥~ w

|~ u| = 1 .

Son sens est obtenu par la règle du tire bouchon, ou bien celle de la main droite ou bien encore celle du bonhomme d'Ampère.

Dans un repère cartésien direct (x, y, z) ,

~ v ∧ w ~ =



 v

_x

v

_y

v

_z



 ∧



 w

_x

w

_y

w

_z



 =





v

_y

.w

_z

− w

_y

.v

_z

v

_z

.w

_x

− w

_z

.v

_x

v

_x

.w

_y

− w

_x

.v

_y





~ v

~ w

~ u

θ

Dénition du rotationnel : H

C

−

→ A · − → d` = s

S

−→ rot − → A

· −−→

d

²

S pour une surface S délimitée par un contour fermé C (formule de Stokes).

Calcul dans le repère cartésien : pour une surface élémentaire −−→

d

²

S = dy dz ~ u

z

,

−→ rot A ~ −−→

d

²

S = −→

rot A ~

· ~ u

x

dy dz = C A ~

Si on prend un rectangle entre y et y + dy et z et z + dz C

A ~

= +A

y

(x, y, z) dy +A

z

(x, y + dy, z ) dz

−A

y

(x, y, z + dz) dy

−A

z

(x, y, z) dz

⇒ C A ~

= +

^∂A_∂y^z

dy dz

−

^∂A_∂z^y

dz dy Donc −→

rot A ~

· ~ u

x

= +

^∂A_∂y^z

−

^∂A_∂z^y

.

y y + dy z

z + dz

−−→ d

²

S

Expressions avec l'opérateur nabla : −→

rot − → A

= − → O ∧ A ~ avec l'opérateur nabla : − →

O = ~ u

_x_∂x^∂

+ ~ u

_y_∂y^∂

+ ~ u

_z_∂z^∂

en coordonnées cartésiennes seulement ! ! ! Expressions dans un repère quelconque :

dans n'importe quel repère, on peut écrire en utilisant

Coordonnées − → u

₁

− → u

₂

− → u

₃

s

₁

s

₂

s

₃

µ

₁

µ

₂

µ

₃

cartésiennes − → u

_x

− → u

_y

− → u

_z

x y z 1 1 1 cylindriques − → u

r

− → u

θ

− → u

z

r θ z 1 r 1

sphériques − → u

r

− → u

θ

− → u

ϕ

r θ ϕ 1 r r sin θ

−→ rot − → A

=







1 µ₂µ₃

h

_∂_(µ

3A3)

∂s₂

−

^∂(µ_∂s²^A²⁾

3

i

1 µ₃µ₁

h

_∂_(µ

1A1)

∂s₃

−

^∂(µ_∂s³^A³⁾

1

i

1 µ1µ2

h

_∂_(µ

2A₂)

∂s1

−

^∂(µ_∂s¹^A¹⁾

2

i







Produit vectoriel et calcul de l'opérateur rotationnel méthode

(8)

Programmation en python

exo 9.2) Etude de l'ensoleillement sur Terre

On repère un point à la surface de la Terre par sa latitude λ .

Soit un repère sphérique xe dans le référentiel géocentrique. (Oz) est suivant l'axe polaire. (Ox) est l'axe de référence dans le plan équatorial par rapport auquel on compte l'angle ϕ .

La Terre tourne dans le référentiel géocentrique en un jour (24 heures) autour de l'axe polaire : ϕ varie alors de - π à +π .

(Oz) pointe vers l'étoile polaire et fait un angle α

₀

= 23

^◦

27

⁰

avec la normale au plan de l'écliptique. Le Soleil, toujours dans le plan (xOz) , envoie ses rayons avec un angle α par rapport à (Ox) : α ∈ [−α

0

; +α

₀

] . Aussi, on repère le moment de l'année par l'angle α : α = −α

₀

au solstice d'hiver (21 décembre), α = +α

₀

au solstice d'été (21 juin) et α = 0 aux équinoxes (de printemps le 21 mars et d'automne le 22 septembre). On supposera que la vitesse de révolution de la Terre est constante au cours de l'année.

1) Montrer que le Soleil se lève ou se couche pour l'angle ϕ

0

= Arc cos (− tan α. tan λ) u . 2) Montrer que l'éclairement théorique d'une journée est de la forme :

I = 2.I

0

. (sin ϕ

0

. cos α. cos λ + ϕ

0

. sin α. sin λ)

3) Pour l'équateur ( λ = 0) , Paris ( λ = 50

^◦

) et le pôle Nord ( λ = 90

^◦

) , donner les heures de lever et coucher

du soleil au cours de l'année. Comparer ensuite l'éclairement théorique pour ces trois latitudes (sur un même

graphique , au cours de l'année, et numériquement pour l'année entière).

(9)

Résolution de problème

Les volant d'inertie

Extraits de l'article "Fonctionnement d'un système de stockage inertiel par volant d'inertie"

issus du site "www.ecosources.info"

Stocker de l'énergie en faisant tourner un solide

Longtemps utilisé pour la régulation des machines à vapeur, le principe du volant d'inertie permet aujourd'hui de stocker temporairement l'énergie sous forme de rotation mécanique.

Le stockage d'énergie par volant d'inertie ou système inertiel de stockage d'énergie (SISE) est utilisé dans de nombreux domaines : régulation de fréquence, lissage de la production éolienne et solaire, stockage et restitution de l'énergie de freinage des véhicules...

Un volant d'inertie moderne est constitué d'une masse (anneau ou tube) en bre de carbone entraînée par un moteur électrique.

L'apport d'énergie électrique permet de faire tourner la masse à des vitesses très élevées (entre 8000 et 16000 tour/min pour le modèle ci-contre) en quelques minutes. Une fois lancée, la masse continue à tourner, même si plus aucun courant ne l'alimente.

L'énergie est alors stockée dans le volant d'inertie sous forme d'énergie cinétique, elle pourra ensuite être restituée instantanément en utilisant le moteur comme génératrice électrique, entraînant la baisse de la vitesse de rotation du volant d'inertie.

Le système est monté sur roulements magnétiques et conné sous vide dans une enceinte de protection an d'optimiser le rendement du dispositif (temps de rotation) et ainsi prolonger la durée de stockage.

Avantages :

- Haut rendement (environ 80% de l'énergie absorbée pourra être res- tituée)

- Phase de stockage très rapide par rapport à une batterie électrochi- mique

- Aucune pollution : ni combustible fossile, ni produits chimiques - Technologie able, peu d'entretien

Inconvénients :

- Temps de stockage limité (environ 15 minutes).

On donne la masse volumique de la bre de carbone : 1, 7 g · cm

⁻³

à 1, 9 g · cm

⁻³

.

exo 9.3) Enoncé

1) Estimer l'ordre de grandeur du couple résistant exercé par la liaison pivot sur le volant d'inertie présenté.

(10)

Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 9.4) La bobine de l

On considère une bobine de l, posée sur un sol horizontal, cylindrique, de rayon R . Sa masse est m , et son moment d'inertie par rapport à son axe est J . Le l est enroulé à une distance r de l'axe. On tire sur ce l avec une force F ~ , qui fait un angle α avec l'horizontale.

1) Montrer que la bobine se met à rouler sans glisser, dans un sens qui dépend de la valeur de α .

exo 9.5) L'archet de violon

Un archet de violon de masse m , se déplace à vitesse constante ~ v = v ~ e

_x

sur une corde (parallèle à Oy ) à l'abscisse x (t) . La corde tendue à ses extrémités est soumise à une force de rappel F ~ = −k x (t) .~ e

x

( k est proportionnelle à la tension de la corde) ainsi qu'à la réaction de l'archet (le coecient de frottement statique est noté µ

s

et on supposera que le coecient de frottement dynamique µ

d

est rendu nul grâce au colophane).

A l'instant initial t = 0 la corde se trouve en position x (t) = 0 .

1) Montrer que lors d'une première phase l'archet entraîne avec lui la corde.

2) A quelle date s'arrête cette phase ?

3) Quel est ensuite le mouvement de la corde ?

exo 9.6) L'échelle

On considère une échelle de longueur l

0

, appuyée le long d'un mur vertical et posée sur un sol horizontal, faisant un angle α avec le sol. On modélise un homme qui grimpe sur cette échelle par une masse ponctuelle m posée sur une marche à une distance l de l'extrémité basse de l'échelle. On négligera le poids de l'échelle devant celle de l'homme.

1) On suppose que le sol a pour coecient de frottement statique µ

s

et le mur est glissant ( µ

_m

= 0 ).

1.a) Montrer que les conditions de non glissement de l'échelle aboutissent à : l < l

_max

. Que vaut l

_max

en fonction de l

₀

, µ

_s

, µ

_m

et α ? AN : µ

_s

= 1 , α = 30

^◦

, donner

^l^max_l

.

1.b) Comment être sûr de ne pas glisser en montant sur l'échelle ?

2) On suppose maintenant que le sol et le mur ont pour coecients de frottement statique respectifs µ

s

et µ

m

.

2.a) Montrer que les conditions de non glissement de l'échelle aboutissent à : l < l

max

. Que vaut l

max

en fonction de l

0

, µ

s

, µ

m

et α ? AN : µ

s

= µ

m

= 1 , α = 30

^◦

, donner

^l^max_l

.

2.b) Montrer que, pour faire tenir l'échelle, le sol est prépondérant.

2.c) Comment être sûr de ne pas glisser en montant sur l'échelle ?

3) Dans le cas où l'échelle glisse, quelle est la courbe parcourue par la masse

ponctuelle ?

(11)

exo 9.7) Limite de roche

Le phénomène selon lequel un satellite peut se disloquer explique l'existence d'anneaux autour de certaines planètes.

Une planète de masse M possède un satellite en rotation circulaire uniforme dans le référentiel lié à la planète, considéré comme galiléen. Ce satellite est modélisé par deux sphères de masse

^m₂

chacune, négligeable devant M . On considèrera pour l'étude que les deux masses forment un solide, immobile dans le référentiel R

⁰

lié au repère (O, OX

⁰

, OY

⁰

, OZ) .

L'objectif de cet exercice est de déterminer une condition sur la distance D an que le satellite ne se disloque pas. 1) Déterminer l'expression de ω en fonction de M , D et G la constante de gravitation.

2) On note F la norme des actions de contact entre les deux masses.

2.a) Eectuer le bilan des forces dans le référentiel R

⁰

pour la masse de centre O

1

et appliquer le théorème de la quantité de mouvement.

2.b) Eectuer la même étude pour la seconde masse.

3) En déduire la condition sur D an que les deux masses restent bien en contact.

(12)

Approche documentaire (DNS)

La science du frottement

Etienne Guyon

Matière et matériaux - Belin.

Frotter, rouler, glisser, freiner... que d'exemples au quotidien pouvons-nous trouver de ces actions simples ! Le véhicule qui roule, tout comme le serpent qui rampe, avancent en frottant sur un support. Une science appliquée du frottement, que l'on appelle la tribologie et qui repose sur les notions fondamentales d'adhérence et d'adhésion, permet de mieux décrire certains aspects du déplacement en énonçant quelques principes universels.

Adhérer ou frotter ?

Léonard de Vinci a été le premier à eectuer une étude scientique du frottement, en observant le glissement d'un bloc posé sur un plan incliné (Fig. 1a). Il nota que la force de frottement était proportionnelle au poids. À cette occasion, il t une observation étonnante et paradoxale : un parallélépipède solide glisse toujours à partir du même angle limite d'inclinaison du sol, quelle que soit la face sur laquelle il est posé : peu importe donc la taille de la surface de contact !

L'adhérence d'un solide sur un autre se caractérise simplement à l'aide d'un livre posé sur une table (Fig.

1b). Il ne bouge pas tant que celle-ci reste horizontale. Il ne s'enfonce pas plus car son poids - appelons-le P - est équilibré par des forces de réaction de la table.

Tirons le livre en l'attachant avec une celle qui déborde de la table, reliée à une masse à l'autre extrémité.

Tant que la force exercée T reste faible, le livre reste immobile. Il existe donc d'autres forces, au niveau du contact avec la table, qui s'opposent au mouvement. Le livre commence à glisser lorsque la force dépasse une valeur limite T

⁰

. Si on pose un second livre sur le premier, la valeur nécessaire pour mettre la charge en mouvement double : le rapport de la tension au poids µ

s

=

^T_P⁰

est le même dans les deux cas et est appelé coecient de frottement statique. Il caractérise l'adhérence. Une autre manière de mesurer µ

s

consiste à incliner la table : dans ce cas, une partie du poids du livre appuie sur la table, une autre le tire vers le bas (Fig. 1c). Tant que l'angle d'inclinaison n'est pas trop grand, le livre reste immobile. L'angle φ pour lequel le livre commence à glisser caractérise lui aussi l'adhérence à la table via la relation µ

s

= tan(φ) . Ce coecient dépend uniquement de la nature des matériaux en contact. Ni l'aire de contact, ni la charge n'ont d'inuence sur celui-ci.

Que se passe-t-il si l'inclinaison de la table augmente encore ? Le livre glisse, d'autant plus vite que ces

valeurs sont dépassées. Un phénomène appelé frottement s'oppose alors au mouvement. Son eet est mesurable

par une méthode analogue à celle utilisée pour déterminer le coecient d'adhérence µ

_s

. On appelle T ” la force

de traction minimum permettant d'entretenir le mouvement de glissement du solide, et N la composante du

poids perpendiculaire au support. Le rapport µ

_D

=

^T”_N

de la force de traction et de la composante du poids est

le coecient de frottement dynamique.

(13)

Le tableau 1 donne des exemples d'ordre de grandeur de coecients de frottement statique µ

_s

et dynamique µ

_D

. On remarque que µ

_D

est tou- jours inférieur à µ

_s

: il est plus facile de pous- ser quelque chose qui bouge déjà que de le mettre en mouvement ! On le constate lorsque le livre glisse : il ne s'arrête pas quand l'angle d'incli- naison reprend sa valeur initiale. Cela s'explique par le fait qu'au repos, les contacts microscopiques entre deux solides s'écrasent légèrement au cours du temps, augmentant l'adhérence. Au contraire, lorsqu'un solide est en mouvement, son énergie ci- nétique lui permet de surmonter les petits obs- tacles rencontrés. Une roue met en jeu ces eets d'adhérence et de frottement (Fig. 2). Le caou- tchouc des pneus répond à des demandes a priori contradictoires : une résistance faible en roulement continu et un frottement élevé pour un bon frei- nage.

Comment deux solides adhèrent-ils ou frottent-ils ?

On parle d'adhérence entre deux solides quand ils ne glissent pas l'un sur l'autre. Lorsqu'un pneu adhère au sol, son mouvement relatif sur la zone de contact est nul : on a beau pousser raisonnable- ment fort sur une voiture à l'arrêt freins bloqués, elle ne bougera pas. L'adhérence entre les deux solides s'explique par deux phénomènes qui inter- viennent à des échelles diérentes. La première échelle est celle de la rugosité de la surface des matériaux, c'est-à-dire de défauts de planéité. Ces défauts sont à l'origine d'engrènements de matière et de contacts ponctuels qui s'opposent, comme un obstacle résistant, au mouvement relatif des deux solides. À très petite échelle (celle des atomes) in- tervient le phénomène de l'adhésion moléculaire, qui provient de forces microscopiques (appelées forces de Van der Waals) s'exerçant directement entre les atomes des deux surfaces en contact. Ces forces de nature électrique exercent une attraction entre les solides. Bien qu'elles soient beaucoup plus faibles que les forces de cohésion des solides (qui sont cent fois plus fortes), elles sont à même de s'opposer au soulèvement d'un solide posé sur une surface (ce qui n'est pas le cas dans l'adhérence due à la rugosité).

Un petit animal, le gecko, exploite ce phé- nomène d'adhésion moléculaire pour s'agripper à

n'importe quelle surface (Fig. 3). Il possède au bout de ses doigts de nombreux poils (environ 5000 par mm

²

)

(Fig. 3c) à l'extrémité desquels se situent d'autres poils encore plus petits (Fig. 3d et 3e). Chacun est attiré par

la surface sur laquelle il est posé : la force d'adhésion ainsi créée est susante pour maintenir le reptile sur la

paroi ! Cette observation a inspiré un chercheur californien, Ron Fearing, pour réaliser des structures synthé-

tiques utilisant des nanostructures en forme de poils à une échelle submicrométrique (Fig. 3f). Cette démarche

biomimétique n'est pas sans rappeler l'histoire des bandes auto-agrippantes (velcro, système velours-crochet),

mises au point en 1948 par un chercheur du Jura suisse soucieux de comprendre comment les eurs de bardane

s'accrochaient à ses chaussettes... Quels sont au juste les eets du frottement ? Le déplacement relatif des deux

corps produit un échauement par lequel l'énergie cinétique du mouvement est transformée en chaleur. James

P. Joule l'a illustré en 1843 dans une expérience devenue classique, où un ensemble de pales tournaient dans un

liquide contenu dans un calorimètre. C'est en étudiant la transformation en chaleur de l'énergie cinétique du

(14)

les hommes préhistoriques mettaient plus simplement cet eet à prot pour produire du feu, en faisant pivoter l'extrémité d'un morceau de bois dur sur un bois plus tendre.

En outre, le frottement produit une usure car il détruit certains obstacles au déplacement (rugosités ou liai- sons moléculaires). On voit donc apparaître, sur le solide le plus tendre, des traces d'usure. Cet endommagement des surfaces se manifeste souvent par un enlèvement de matière, progressif ou brutal.

Une histoire de tribologie

Cent cinquante ans après Léonard de Vinci, les lois du frottement statique sont redécouvertes indépendamment par Guillaume Amontons. Plus tard, un autre scientique français, Charles Au- gustin Coulomb, ingénieur des fortications plus connu pour ses études sur les forces électrosta- tiques, s'est intéressé à l'angle de stabilité des ta- lus. En 1780, il introduisit la notion du frottement résistant au glissement. C'est nalement son nom que l'Histoire retiendra pour qualier la limite de frottement entre deux solides.

Les lois de la tribologie (voir encadré) n'ont été bien comprises que dans les années 1950, grâce au mécanicien Denis Tabor qui en a donné une in- terprétation microscopique : il comparait l'échelle

nanométrique de deux surfaces en contact à deux cartes en relief de la Suisse et de l'Autriche, posées à l'envers

l'une contre l'autre ! Les deux solides se touchent par des minuscules pointes où la pression locale est particu-

(15)

lièrement forte (leur surface étant très petite). Le nombre de points de contact dépend peu de la surface totale de l'objet, mais beaucoup de la charge appliquée. Ce qui compte, c'est la surface réelle de contact de l'ensemble des pointes. Mais nous verrons certaines exceptions concernant les corps souples tels les pneus en caoutchouc sur une chaussée, pour lesquels les eets d'adhésion moléculaire sont essentiels.

La lubrication

Glisser sur une surface solide, c'est un peu comme freiner, mais l'objectif est opposé ! La glissance optimale correspond à un faible coecient de frottement : on l'atteint en limitant les aspérités des surfaces en regard.

Une stratégie consiste à interposer un troisième corps entre les deux surfaces, qui glissent l'une par rapport à l'autre. L'écoulement d'un liquide ou d'un gaz placé entre deux surfaces parallèles facilite alors le mouvement relatif de celles-ci : on parle de lubrication. Cependant, ce mouvement produit de la chaleur, du fait de la viscosité. En particulier, les forces de viscosité peuvent devenir très élevées si les deux solides sont très proches.

Les sports de glisse sont fondés sur cette stratégie. Lorsque le ski glisse sur la neige, celle-ci est soumise à un cisaillement qui induit un réchauement local et la fusion de l'eau. La semelle du ski est revêtue d'un lm non mouillant (en silicone par exemple) qui empêche l'eau liquide de s'étaler sur la surface. Il se forme donc une série de très nes gouttelettes qui roulent le long des microrainures de la semelle (elles remplacent la rainure centrale des skis plus anciens). Cet écoulement, rappelant celui qui intervient dans un roulement à billes, favorise le glissement du skieur.

De même, dans le cas du patineur qui se dé- place sur la glace, le glissement de la surface mé- tallique du patin s'opère sur une très ne couche continue d'eau liquide présente naturellement sur toute la surface de la glace (cette couche ne résulte ni d'un eet d'échauement sur le patin, ni de la pression du patin sur la glace, ce qui dière du cas du skieur). Le même phénomène est mis à prot dans le skimboard (Fig. 4). Un n lm d'eau s'établit entre la planche et le sable tout près du bord de l'eau. L'écoulement du lm de uide entre la planche et le sable passe dans un régime ap- pelé hydrodynamique. Il est caractérisé par un très faible coecient de frottement. La lubrication n'est cependant pas toujours un phénomène dé- sirable. Ainsi, l'aquaplanage sous forte pluie, tant redouté des automobilistes (perte d'adhérence des roues même en ligne droite), survient si le relief des pneus est insusant pour éliminer l'eau sous les roues.

La lubrication joue par ailleurs un rôle es- sentiel dans les réalisations techniques où inter- viennent des mouvements relatifs, ce qui fait dire que l'huile est l'amie de la mécanique. Dans les paliers de lubrication, par exemple, un cylindre est en rotation par rapport à un second cylindre xe, entraînant un liquide visqueux. C'est le dés- équilibre de pression introduit par le déplacement liquide entre les cylindres qui soutient le cylindre mobile.

Citons d'autres exemples : le corps humain,

dont les articulations doivent pivoter avec le moins de frottement possible, fait aussi appel à la lubrication. Le liquide synovial, lubriant des articulations, autorise le déplacement relatif des os. Les paupières se meuvent sur la cornée grâce au liquide lacrymal présent à sa surface. Les déplacements relatifs au sein des organes sont tribu- taires de l'existence de mucus, une sécrétion visqueuse présente par exemple dans les poumons et les intestins.

La pénétration des racines dans le sol est facilitée par un mucus produit par la pointe de la racine.

exo 9.8) Enoncé

On s'intéresse à un solide S

1

en contact avec un autre solide S

2

. Ce dernier applique sur S

1

une force normale

~ et une force tangentielle ~ .

(16)

~

v

_gliss

(S

₁

/S

₂

) = ~ v

_M₁_∈S₁_/R

− ~ v

_M₂_∈S₂_/R

où R est un référentiel quelconque, avec :

• le point géométrique M du contact entre S

₁

et S

₂

;

• le point matériel M

₁

∈ S

₁

qui coïncide avec M à l'instant t ;

• le point matériel M

₂

∈ S

₂

qui coïncide avec M à l'instant t . 1) Lois de Coulomb

1.a) En utilisant le document, donner la forme de T ~ dans le cas du non glissement. Faire de même dans le cas du glissement.

1.b) Utiliser ces lois pour démontrer que l'angle φ pour lequel S

1

commence à glisser vérie la relation µ

s

= tan(φ) .

2) Etude énergétique

2.a) Montrer que le travail des forces de contact exercées sur un solide dépend du référentiel considéré.

En déduire que les forces de contact peuvent être motrices.

2.b) Montrer que le travail total des forces de frottement exercées entre deux solides en contact ne dépend pas du référentiel considéré. Il est toujours négatif (ou nul s'il n'y a pas de glissement).

2.c) Expliquer pourquoi, dans une voiture, il faut :

• limiter les frottements entre les pièces du moteur (en les lubriant),

• mais augmenter les frottements entre les roues et la route (grâce aux pneus).

(17)

Problème (DNS)

La chute d'une tartine beurrée

Ce problème propose une étude simpliée de la chute d'une tartine beurrée posée sur le bord d'une table an de déterminer la face qui rencontre le sol. Pourquoi est-ce toujours la face beurrée ?

1) Etude préalable

Une tartine modélisée par un parallélépipède rectangle droit, homogène, de dimensions 2.a , 2.b , 2.c , de centre d'inertie C , de masse m est posée sur le bord d'une table dans la position du schéma de la gure ci-dessous ( C à la verticale de I ). Pour les applications numériques, on prendra : a = 4, 0cm et b = 0, 40cm .

Dans cette position instable, elle subit une action très faible qui provoque son basculement autour de I , sans lui donner de vitesse initiale. On admettra qu'au début du mouvement il n'y a pas de glissement en I , l'action de la table sera représentée par une force R ~ = T.~ u

θ

+ N.~ u

r

, orthogonale à l'arête du coin, dans le plan contenant C :

Soit ∆I l'axe parallèle au coin de la table passant par I . Le moment d'inertie de la tartine par rapport à cet axe est

I = m a

²

+ b

²

3 1.a) La tartine est elle un système conservatif ? 1.b) Déterminer

^dθ_dt

en fonction de θ .

1.c) En déduire

^d_dt²^θ2

en fonction de θ .

1.d) Ecrire le théorème de la résultante dynamique.

1.e) En déduire

_{m g}^T

et

_{m g}^N

en fonction de a , b et θ . 1.f) Représenter

_{m g}^T

et

_{m g}^N

en fonction de θ .

1.g) La tartine peut elle quitter le coin de la table sans glisser ?

1.h) La tartine commence à glisser pour θ

0

=

^π₄

. Evaluer le coecient de frottement f . 2) Chute de la tartine

On s'intéresse maintenant à la chute de la tartine. A partir du moment ou elle commence à glisser, la tartine quitte très rapidement la table et se trouve en chute libre à partir de θ

0

=

^π₄

. On néglige les frottements de l'air.

2.a) Montrer que C reste dans un plan vertical que l'on dénira.

2.b) Montrer avec beaucoup de soin que la vitesse de rotation θ ˙ reste constante. La déterminer.

2.c) On négligera (comme dans la première partie) la vitesse initiale (en θ

₀