Mécanique du solide

Mécanique  du  solide    

5.  THEOREME  du  MOMENT   CINETIQUE  

Sommaire  

1.  Éléments  ciné6ques  d’un  solide  

2.  Mouvement  de  rota6on  d’un  solide  autour   d’un  axe  fixe  Δ

3.  Théorème  du  moment  ciné6que   4.  Moment  d’une  force  

5.  Energie  ciné6que  

6.  Applica6ons  du  théorème  du  moment   ciné6que  

27/01/17   2  

– système  matériel  qcq    

1.   ÉLÉMENTS  CINÉTIQUES  d’un   SOLIDE  

a)   Solide  

•   Ensemble  de  points  matériels  tous  fixes   les  uns  par  rapport  aux  autres

 

– ensemble  de  N  par6cules  

ρ  :  masse   volumique  

janvier  17   4  

b)  DéfiniHons  

–  Masse  ponctuelle  m  en  P    

–  Solide  de  N  masses  ponctuelles  m_i  en  P_i    

janvier  17   6  

–  Solide  de  masse  volumique  ρ  

c)  Mouvement  d’un  solide  

•  Etude  du  mouvement  d’un  solide  soumis  à  un   ensemble  de  force  dans  un  référen6el  galiléen  

•  mouvement  d’ensemble  =  mouvement  du  

centre  d’iner6e  G  du  solide  (tous  les  points  du   solide  suivent  le  centre  d’iner6e  G)  =  

translaHon  du  solide  

•  mouvement  propre  du  solide  =  rota6on  du   solide  autour  de  G  avec  une  vitesse  angulaire   instantanée                autour  de  Δ  :  

avec    

et              vecteur  unitaire  suivant  Δ

27/01/17   8  

ω ^

u 

 ω

ω =

u 

2.   MOUVEMENT  de  ROTATION  d’un   SOLIDE  autour  d’un  AXE  FIXE   Δ  

•  direc6on  Δ →            (Oz   confondu  avec  Δ)

a)  masse  ponctuelle  m  en  P   P  tourne  autour  de  Oz.  

u 

b)  réparHHon  discrète  de   masses  :  N  masses  m_i   en  P_i  

Les  points  P_i  tournent   autour  de  Oz.  

27/01/17   10  

c)  réparHHon  conHnue   de  masses  :  masse   volumique  ρ

Le  solide  tourne  autour  de   Oz.  

3.   THÉORÈME  du  MOMENT   CINÉTIQUE  

a)  Pour  une  masse  ponctuelle  subissant  une   force  résultante  

janvier  17   12  

) ( )

(

. . ).

( )

( ) (

f dt M

et dL f

dt M L d

dt dL dt

u L

d dt

L u d

u f

M f

M

dt L f d

OP f

M

O O O O

O O

O O O

O O



 



 

 

 

 

 

 

Δ Δ

Δ Δ

=

=

=

=

=

=

⇒

=

∧

=

f

b)  Pour  une  masse  m_i  cons6tuant  du  solide  et   subissant  une  force  résultante

 

^fi

) ( )

(

. . ).

( )

( ) (

i O

O i

O O

O O

O i

O i

O

O i

i i

O

f dt M

et dL f

dt M L d

dt dL dt

u L

d dt

L u d

u f

M f

M

dt L f d

OP f

M

i i

i i

i i



 



 

 

 

 

 





Δ Δ

Δ Δ

=

=

=

=

=

=

⇒

=

∧

=

Pour  les  N  masses  cons6tuant  le  solide    

       

 avec                          résultante  des  forces  ext.  appliquées  au                          point  P_i  de  masse  m_i  

et                                    résultante  des  forces  int.  telle  que  :  

 

 

janvier  17   14  

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

+

=

=

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

⇒

=

i

i O i

ext i O O

i

i O i

i O

O O

i

O O

f M f

dt M L d

f dt M

L d dt

L d

dt L L d

L ^{i i}

i

) (

) (

) (

int

 

 

 

 

 



ext

fi

0 )

(

0 ^int

int    

 =

∑

=

∑

i

i O i

i et M f

f

int

fi

Alors  

∑

∑

∑

∑

Δ

Δ = =

⇒

=

⇒

=

i

ext i O

i

ext i O O

i

ext i O O

i

O O

f M

f M

dt u dL

f dt M

L L d

L i

) (

) (

.

) (



 



 

 



c)  Théorème  du  moment  cinéHque  pour  un   solide  de  masse  m  

Dans  un  référen6el  (

R

)  galiléen,  la  dérivée  par   rapport  au  temps  du  moment  ciné6que  d'un  

solide  par  rapport  à  un  point  fixe  O  est  égale  au   moment  par  rapport  à  O  des  forces  extérieures   appliquées  au  solide.  

janvier  17   16  

∑

= _O ( ^ext )

O M f

dt L

d  

Dans  un  référen6el  (

R

)  galiléen,  la  dérivée  par   rapport  au  temps  du  moment  ciné6que  d'un   solide  par  rapport  un  axe  fixe  Δ est  égale  au  

moment  par  rapport  à  Δ  des  forces  extérieures   appliquées  au  solide.  

dt I d

f dt M

dL

O ext

O O

ω

Δ Δ

Δ =

∑

^{( )} =

4.   MOMENT  d’une  FORCE  

a)  DéfiniHon  

•  Solide  soumis  à  une  force  mobile  autour  d’un   axe  fixe  Δ  passant  par  un  point  fixe  

•  Composante  de  la  force  située  dans  le  plan   perpendiculaire  à  l’axe  

•  Axe  Δ  confondu  avec  Oz  (vecteur  unitaire        )  

janvier  17   18  

u

O   Δ P’  

F '

F

P  

α H  

d   r  

janvier  17   20  

d F OH

F r

F M

F r F

OP F

OP M

u M

F OP

F M

O O

O O

. .

) sin

(

sin )

, sin(

. .

. )

(

=

=

=

=

=

=

∧

=

Δ Δ

Δ

α

 α



 





Bras  de  levier  d  :  d  =  OH  =  r  sin  α Solide  tourne  dans  le  sens  +  

Solide  tourne  dans  le  sens  -­‐  

0 0

<

⇒

>

⇒

Δ Δ O O

M

M

5.   ENERGIE  CINÉTIQUE  d’un  SOLIDE  

•  Solide  en  transla6on  :  vitesse  de  tous  les  

points  du  solide  =  vitesse  du  centre  d’iner6e  G   du  solide  

⇒      

•  Solide  en  rota6on  autour  d’un  axe  Δ  passant   par  le  centre  d’iner6e  

⇒    

 

2 ²

1 G

C mv

E =

1 ²

ω

= I E_C

•  Mvt  qcq  du  solide  =  mvt  tl  +  mvt  rota6on  

⇒      

•   Exemple  :  bille  pleine  de  masse  m  et  de  rayon  R   a.  La  bille  roule  sans  glisser  

b.  La  bille  glisse  sans  rouler  

27/01/17   22  

2 ²

² 1 2

1 + _Δω

= mv I

E_{C G}

G  

R  

ω

6.   APPLICATIONS  du  THÉORÈME  du   MOMENT  CINÉTIQUE  

•  Système  isolé  ou  pseudo  isolé  :      

⇒   Si  IΔ  ↗  au  cours  du  temps  alors  ω↘  et   inversement  :  

cte K

I cte

L

cte dt L

f dL M ^ext

=

=

⇒

=

=

⇒

=

⇒

=

Δ Δ

Δ Δ

∑

Δ

ω

0 0

) ( 

2 2

1

1

ω

_Δ

ω

Δ

= I

I