annéescolaire2018-2019 Mécanique Référentielsnongaliléens

(1)

Référentiels non galiléens

Mécanique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

(2)

Introduction Référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen Référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen

Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre Exercice

Problématique Plan

Comment créer une gravité articielle dans un vaisseau spatial ?

Mécanique Référentiels non galiléens

(3)

1) passer à un référentiel en translation accélérée

(4)

Problématique Plan

2) passer à un référentiel en rotation uniforme

(5)

3) étudier les eets propres au référentiel terrestre

(6)

Lois de composition des vitesses et des accélérations Force d'inertie d'entraînement

Exemples de translations

Référentiel galiléen

un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie s'applique : un objet isolé (c'est à dire ne subissant aucune force) suit un mouvement rectiligne uniforme.

Dans un référentiel galiléenR, le principe fondamental de la dynamique s'applique :

m~a_/R(M) =X

~f→M

(7)

Exemples de référentiels

Le référentiel de Copernic : dans lequel le centre du système solaire et trois étoiles lointaines sont xes

Galiléen avec une excellente approximation.

Le référentiel héliocentrique a pour point xe le centre du Soleil.

Galiléen avec une excellente approximation.

Le référentiel géocentrique : dans lequel le centre de la Terre et trois étoiles lointaines sont xes.

Il est en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic.

Galiléen pour des expériences de durées courtes devant 1 an.

Le référentiel terrestre : lié à la Terre.

Il est en rotation uniforme autour d'un axe xe du référentiel géocentrique.

Galiléen pour des expériences de durées courtes devant 24 h.

(8)

Deux référentiels en translation

• R est le référentiel galiléen muni d'un repère(O, ~u_x, ~u_y, ~u_z)et d'une horloge ;

• R⁰ est un autre référentiel muni d'un repère O⁰, ~ux⁰, ~uy⁰, ~uz⁰

et d'une autre horloge.

(9)

Position du problème

Si l'on néglige les eets relativistes, le temps s'écoule de la même façon dans les deux référentiels.

D'autre part, on suppose queR⁰ est en translation par rapport àR. Aussi, on peut choisir







~ u_x⁰ =u~x

~ u_y⁰ =u~_y

~uz⁰ =u~z

Un point matériel enM est repéré par

• −−→

OM(t) =x(t) ~u_x +y(t) u~_y+z(t) u~_z dansR;

• et−−→

O⁰M(t) =x⁰(t) ~u_x +y⁰(t) ~u_y +z⁰(t) ~u_z dansR⁰.

(10)

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en translation La vitesse du point matériel enMest

• ~v_/R(M) = d−→

OM(t) dt

/R

= ˙x(t)~ux+ ˙y(t)~uy+ ˙z(t)~uz dansR;

• et~v_/R0(M) = ^d

−−→ O0M(t)

dt

!

/R0

= ˙x⁰(t)~u_x+ ˙y⁰(t)~u_y+ ˙z⁰(t)~u_z dansR⁰. Aussi,

~ v_/R(M) =



 d−−→

OO⁰(t) dt



 /R

+



 d−−→

O⁰M(t) dt



 /R

⇒~v_/R(M) =~v_/R(O⁰) + d x⁰(t)~ux+y⁰(t)~uy+z⁰(t)~uz dt

!

/R

⇒~v_/R(M) =~v_/R(O⁰) +

x˙⁰(t)~u_x+ ˙y⁰(t)~u_y+ ˙z⁰(t)~u_z

(11)

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en translation

La vitesse~v_/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v_/R⁰(M)du point M dans le référentielR⁰ par

~

v_/R(M) =~v_/R⁰(M) +~v_e

où ~v_e est la vitesse d'entraînement du référentielR⁰ par rapport à R.

~ve est la vitesse, dansR, du point coïncidentP, qui se trouve au même endroit queM mais qui est xe dansR⁰.

(12)

Exemple de point coïncident

si un train (assimilé au référentielR⁰ se déplace par rapport au sol (le référentielR) et qu'on y lance une balle (le point matérielM), la trace laissée sur le sol à l'instantt est le point coïncidentP.

(13)

Attention !

Le point coïncident change : à un instantt⁰ ultérieur, le pointP est diérent du pointM. On peut alors dénir un nouveau point coïncidentP⁰.

(14)

Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en translation L'accélération du point matériel enMest

• ~a_/R(M) = _d~_v

/R(M)(t) dt

/R

= ¨x(t)~ux+ ¨y(t)~uy+ ¨z(t)~uz dansR;

• et~a_/R0(M) = _d_~_v

/R0(M) dt

/R0= ¨x⁰(t)~ux+ ¨y⁰(t)~uy+ ¨z⁰(t)~uzdansR⁰. Or~v_/R(M) =~v_/R0(M) +~v_e⇒

~a_/R(M) = d~v_/R0(M) dt

!

/R +

d~ve dt

/R

⇒~a_/R(M) =



 d

x˙⁰(t)~u_x+ ˙y⁰(t)~u_y+ ˙z⁰(t)~u_z dt



 /R

+~ae

⇒~a_/R(M) =

x¨⁰(t)~ux+ ¨y⁰(t)~uy+ ¨z⁰(t)~uz

+~ae

(15)

Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en translation

L'accélération ~a_/R(M) du pointM dans le référentiel R est reliée à l'accélération~a_/R⁰(M)du point M dans le référentiel R⁰ par

~

a_/R(M) =~a_/R⁰(M) +~a_e

où ~a_e est l'accélération d'entraînement du référentiel R⁰ par rapport à R.

~ae est l'accélération, dans R, du point coïncidentP, qui se trouve au même endroit queM mais qui est xe dansR⁰.

(16)

Expression de la force d'inertie d'entraînement :

En partant du principe fondamental de la dynamique dansR

m~a_/R(M) =X~f→M=m~a_/R0(M) +m~ae

(17)

Expression de la force d'inertie d'entraînement : dansR⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forcesF~ la force d'inertie d'entraînement :

f~ie =−m.~ae

(18)

Loi galiléenne de composition des vitesses

SiR⁰ est en translation rectiligne uniforme par rapport à R, la vitesse d'entraînement est partout la même et constante au cours du temps :~ve(M) =~v₀ =−−→

cste

~v_/R(M) =~v_/R⁰(M) +~v₀

(19)

Ensemble des référentiels galiléens

SiR⁰est en translation rectiligne uniforme dansRgaliléen alors il n'y a pas de forces d'inertie à considérer dansR⁰. En eet,~v_e=−→

cste⇒~a_e=~0.

(20)

Ensemble des référentiels galiléens

Tout référentiel R⁰ en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléenR est lui même galiléen.

(21)

Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une translation uniformément accélérée

Si~a_e=a₀~u_x, alors

~f_ie=−m.~a_e=−m.a₀~u_x=−−−→ grad(m.a₀x)

(22)

Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une translation uniformément accélérée

Dans le cas d'une translation uniformément accélérée

~

a_e =a₀~u_x, alors la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielleEp=m a₀x.

(23)

Voiture qui freine

une voiture (le référentielR⁰) qui est en translation rectiligne dans le référentiel (R) du sol (~ve = +v(t)~ux), mais qui freine :

~ae =−a~ux. La force d'inertie d'entraînement "pousse" les passagers vers l'avant du véhicule.

(24)

Grande roue

une cabine (le référentielR⁰) de grande-roue (de rayon R₀) qui est en translation circulaire uniforme dans le référentiel (R) du sol (~v_e = +v₀~u_θ) : ~a_e=−_R^v⁰²

0 ~u_r.

(25)

référentiel géocentrique

le référentiel géocentrique est en translation par rapport au référentiel héliocentrique

(26)

Forces de marées (exercice)

On s'intéresse à la Terre de centreO seule dans l'univers avec un astreA(ce peut être la Lune ou le Soleil) de masseM_A à la distance d₀ deO.

En utilisant le fait que O est xe dans le référentiel géocentriqueRG, déterminer l'accélération

d'entraînement ~ae deR_G dans un référentiel galiléen.

On dénit la force de marée comme la somme de l'attraction gravitationnelle deA et de la force d'inertie d'entraînement exercée sur une particule de masse mà la surface de la Terre (de l'eau par exemple).

Montrer que l'eet de la force de marée est de générer deux "bourrelets" d'eau à la surface du globe terrestre. En déduire qu'il existe environ deux marées hautes par 24 heures.

(27)

Oest xe dans le référentiel géocentriqueR_G, donc la somme des forces est nulles :

−GM_AM_T

d₀² ~u_AO−M_T~ae=~0⇒~ae=−GM_A d²₀~u_AO La force de marée au pointPest :

~f_m=−GM_Am

AP²~u_AP−m~a_e=−GM_Am

AP²~u_AP+GM_Am d²₀ ~u_AO

SiPest plus près deAqueO,~fmest versAet crée un bourrelet.

SiPest plus loin deAqueO,~fmest opposé à la direction deAet crée un bourrelet.

Comme la Terre tourne en 24 heures dans le référentiel géocentrique, il existe

(28)

Lois de composition des vitesses et des accélérations Force d'inertie d'entraînement axifuge

Force d'inertie de Coriolis

Deux référentiels en rotation

• R est le référentiel galiléen muni d'un repère(O, ~u_x, ~u_y, ~u_z)et d'une horloge ;

• R⁰ est un autre référentiel muni d'un repère O⁰, ~u_x⁰, ~u_y⁰, ~u_z⁰ d'une autre horloge. et

(29)

Position du problème

Si l'on néglige les eets relativistes, le temps s'écoule de la même façon dans les deux référentiels.

D'autre part, on suppose queR⁰ est en rotation par rapport à un axe xe dansR. Aussi, on peut choisir :

O⁰ enO etu~_z⁰ =~u_z

~Ω = Ωzu~z avecΩz = ^dθ_dt

Un point matériel enM est repéré par

• −−→

OM =x~u_x +yu~_y+z~u_z dansR;

• et−−→

O⁰M =x⁰u~_x⁰ +y⁰u~_y⁰ +zu~z dansR⁰.

(30)

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en rotation La vitesse du point matériel enMest

• ~v_/R(M) = d−→

dtOM

/R

= ˙x~u_x+ ˙y~u_y+ ˙z~u_zdansR;

• et~v_/R0(M) = ^d

−−→ O0M(t)

dt

!

/R0

= ˙x⁰~u_x0+ ˙y⁰~u_y0+ ˙z~u_z dansR⁰. Aussi,

~ v_/R(M) =



 d−−→

O⁰M dt



 /R

=



 d

x⁰~u_x0+y⁰~u_y0+z~u_z dt



 /R

⇒~v_/R(M) =

x˙⁰~u_x0+ ˙y⁰~u_y0+ ˙z⁰~u_z

+ x⁰d~u_x0 dt +y⁰d~u_y0

dt

!

or ~u_x0= cosθ~ux+ sinθ~uy

~

u_y0=−sinθ~u_x+ cosθ~u_y

⇒





 d~ux0

dt = Ω_z −sinθ~u_x+ cosθ~u_y

= Ω_z~u_y0 d~uy0

dt = Ωz −cosθ~ux−sinθ~uy

=−Ω_z~u_x0

⇒~v_/R(M) =~v_/R0(M) + Ωz

x⁰~u_y0−y⁰~u_x0

=~v_/R0(M) +~Ω∧−→

OM

(31)

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en rotation

La vitesse~v_/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v_/R⁰(M)du point M dans le référentielR⁰ par

~

v_/R(M) =~v_/R⁰(M) +~v_e

où ~ve est la vitesse d'entraînement, c'est-à-dire la vitesse du point coïncident.

(32)

Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en rotation L'accélération du point matériel enMest

• ~a_/R(M) = _d~_v

/R(M) dt

/R

= ¨x~ux+ ¨y~uy+ ¨z~uzdansR;

• et~a_/R0(M) = _d_~_v

/R0(M) dt

/R0= ¨x⁰~u_x0+ ¨y⁰~u_y0+ ¨z~u_z dansR⁰. Or~v_/R(M) =

x˙⁰~u_x0+ ˙y⁰~u_y0+ ˙z~uz

+ Ωz

x⁰~u_y0−y⁰~u_x0 ⇒

~ a_/R(M) =

x¨⁰~u_x0+ ¨y⁰~u_y0+ ¨z~u_z +

x˙⁰^d~^u_dt^x⁰ + ˙y⁰^d~^u_dt^y⁰

+ ˙Ωz

+Ω_z

x˙⁰~u_y0−y˙⁰~u_x0

+ Ω_z

x⁰^d~_dt^u^y⁰ −y⁰^d~_dt^u^x⁰

~

a_/R(M) = ~a_/R0(M) +

x˙⁰Ω_z~u_y0−y˙⁰Ω_z~u_x0

+ ˙Ω_z

+Ω_z

x˙⁰~u_y0−y˙⁰~u_x0

+ Ω_z

−x⁰Ω_z~u_x0−y⁰Ω_z~u_y0

Si on pose

~a_C=2~Ω_R0/R∧~v_/R0(M) =2Ω_z

x˙⁰~u_y0−y˙⁰~u_x0

(33)

Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en rotation

L'accélération ~a_/R(M) du pointM dans le référentiel R est reliée à l'accélération~a_/R⁰(M)du point M dans le référentiel R⁰ par

~

a_/R(M) =~a_/R⁰+~a_e+~a_C(M) où l'accélération de Coriolis est

~

a_C =2Ω~_R⁰_/R ∧~v_/R⁰(M)

et l'accélération d'entraînement est l'accélération du point coïncident :

~a =~a (P)

(34)

Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen en rotation : Puisque dansRgaliléen

~a_M/R=~a_M/R0+~a_C(M) +~a_e(M) = 1 m

X~f_→M

donc

m~a_M/R0=X

~f_→M−m~a_C(M)−m~ae(M)

(35)

Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen en rotation :

dansR⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forcesf~→M la force d'inertie d'entraînement :

f~_ie =−m~a_e =−m~a_/R(P) et la force d'inertie de Coriolis :

~fiC =−m~aC =−2mΩ~_R⁰_/R ∧~v_M/R⁰

(36)

Tige tournant par rapport au sol

On s'intéresse à une tige (le référentielR⁰), qui fait à l'instant t un angleθ(t) avec l'axeOx xe dans le référentielR du sol supposé galiléen. Cette tige tourne autour de l'axeOz avec une vitesse angulaireθ˙. Une perle est assimilée à un point matériel M sur cette tige à une distancer(t)deO à l'instantt.

(37)

Tige tournant par rapport au sol (exercice) Déterminer le mouvement du point coïncidentP dansR et celui de M dansR⁰.

En déduire dansR⁰ la vitesse du pointM et dansR la vitesse du point coïncident P et celle du point M.

Vérier la loi de composition des vitesses.

Déterminer dansR⁰ l'accélération du pointM et dansR l'accélération du point coïncident P et celle du pointM. Vérier la loi de composition des accélérations.

(38)

Tige tournant par rapport au sol (exercice)

Le pointMest en mouvement rectiligne dansR⁰selon la tige. Le point coïncident est xe dansR⁰, à la distancerdeO. Il a donc un mouvement circulaire avec la vitesse angulaireθ˙.

~v_/R0(M) = ˙r~ur. et~v_/R(P) =rθ~˙u_θ. DansR, la vitesse deMest

~

v_/R(M) = ˙r~u_r+rθ~˙u_θ+ ˙z~u_z= ˙r~u_r+rθ~˙u_θ=~v_/R0(M) +~v_/R(P)

On a bien la loi de composition des vitesses.

~v_/R0(M) = ˙r~ur⇒~a_/R0(M) = ¨r~ur

D'autre partPen mouvement circulaire dansR

~v_/R(P) =rθ~˙u_θ⇒~a_/R(P) = +rθ~¨u_θ−rθ˙²~u_r DansR, l'accélération deMse calcule directement :

~a_/R(M) = ¨r~ur+ ˙rθ~˙u_θ+ ˙rθ~˙u_θ+rθ~¨u_θ−rθ˙²~ur+¨z~uz= (¨r~ur)+

−rθ˙²~ur+rθ~¨u_θ +

2r˙θ~˙u_θ

On a bien la loi de composition des accélérations car :

~

a_C=2.~Ω_R0/R∧~v_/R0(M) =2.θ~˙u_z∧~v_/R0(M) =2.θ~˙u_z∧r~˙u_r=2r˙θ~˙u_θ

(39)

Force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante On reprend les calculs précédents avecθ˙=ωetθ¨=0. On trouve

~a_/R(P) = +rθ~¨u_θ−rθ˙²~ur=−rθ˙²~ur

soit~f_ie=m rω²~ur.

(40)

Force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante

Dans le cas d'un référentielR⁰ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel galiléenR autour de son axe xeOz, la force d'inertie est axifuge (H est le projeté de M sur l'axe de rotation) :

f~_ie =mω²−−→

HM =m rω²~ur

en coordonnées cylindriques d'axeOz.

(41)

Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante

Si~f_ie=m rω²~u_r, alors

~f_ie=m.r.ω²~ur=−−−→ grad Ep

=−dE_p dr ~ur

⇔dEp=−m rω²drqu'on peut intégrer en

Ep=−1 2m r²ω²

(42)

Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante

Dans le cas d'un référentielR⁰ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel galiléenR autour de son axe xeOz, la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle Ep=−¹₂m r²ω² en coordonnées cylindriques d'axe Oz.

(43)

Propriétés de la force d'inertie de Coriolis

La force de Coriolis s'appliquant toujours orthogonalement à la vitesse, cette force ne travaille pas.

(44)

Propriétés de la force d'inertie de Coriolis La force d'inertie de Coriolis n'existe que :

• si le référentiel non galiléenR⁰ est en rotation par rapport àR galiléen

• et si le point matériel M se déplace dans le référentiel non galiléenR⁰.

Le travail de la force d'inertie de Coriolis est toujours nul.

(45)

Calcul de la force d'inertie de Coriolis sur un manège : (exercice)

On s'intéresse à un manège qui tourne à une vitesse angulaireω par rapport à un référentiel galiléen autour de son axe xeOz vertical.

Montrer que la force d'inertie de Coriolis ressentie par un point matériel de massem qui se déplace avec une vitesse ~v horizontale tend à faire tourner le point matériel vers la droite si le manège tourne dans le sens trigonométrique, vers la gauche si le manège tourne dans le sens horaire.

(46)

Calcul de la force d'inertie de Coriolis sur un manège : (exercice) Si~v= +v~u_xet~Ω = +Ω~u_z, alors la force d'inertie de Coriolis est :

~f_iC=−2m~Ω_R0/R∧~v_M/R0=−2mΩ~u_z∧+v~u_x=−2m vΩ~u_y

qui est suivant−~u_ydonc vers la droite.

(47)

Référentiels terrestre et géocentrique

Le repère(O, ~ex, ~ey, ~ez) est xe dans le référentiel géocentrique.

Le référentiel terrestre tourne autour de l'axe polaireOz avec un

(48)

Eets de la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel terrestre Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre

Calcul de la force d'inertie d'entraînement à la surface de la Terre : (exercice)

On peut supposer le référentiel géocentrique galiléen.

Par rapport à celui-ci, le référentiel terrestre est en rotation autour de l'axe polaire, avec un vecteur rotationΩ = ₂₄²^π_hu~_z, où u~_z est orienté du Pôle Sud vers le Pôle Nord.

Soit un point à la surface de la Terre, de coordonnées dans le repère sphérique de centreO, le centre de la Terre : r=RT (le rayon de la Terre),θ= ^π₂ −λ(λ est la latitude) etϕ, la longitude.

Montrer que la force d'inertie d'entraînement ressentie par un point matériel de masse men ce point estf~ie =mω²R_T cosλ(cosλ ~er −sinλ ~e_θ).

(49)

Calcul de la force d'inertie d'entraînement à la surface de la Terre : (exercice) La force d'inertie d'entraînement ressentie par un point matériel de massemen ce point est

~f_ie=mω²−→

HM Or

−→HM=HM

−→HM

HM =R_T cosλ

−→HM

HM =R_T cosλ(cosλ ~er−sinλ ~e_θ)

(cqfd).

(50)

Le poids : (dénition)

On dénit le poids comme la somme de deux forces : - l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet ~f_G;

- la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre ~f_ie.

(51)

Direction du poids

~f_G =−G^{m M}^T

R³

−→OP et ~f_ie =mΩ²−→

HP. La direction indiquée par un l

(52)

Inhomogénéités du champ de pesanteur à la surface de la Terre :

La force d'inertie d'entraînement est la plus grande à l'équateur, là où l'on est le plus éloigné de l'axe de rotation. C'est donc à

l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôle qu'il est le plus grand.

De la même façon, plus l'altitude est élevée, plus l'attraction gravitationnelle est faible, et plus la force d'inertie est forte : un objet est moins lourd en altitude.

(53)

Le pendule de Foucault

Foucault met au point au XIXième siècle un pendule qui oscille susamment longtemps pour qu'on ait le temps de voir son plan d'oscillation tourner dans le référentiel terrestre.

(54)

Le pendule de Foucault au Pôle Nord (exercice) On peut supposer le référentiel géocentrique galiléen.

On s'intéresse à un pendule simple très long oscillant sans frottement accroché au Pôle Nord.

Rappeler son mouvement dans le référentiel géocentrique. En déduire le mouvement de son plan d'oscillation dans le référentiel terrestre.

En supposant que la masse accrochée au pendule se déplace dans un plan horizontal, déterminer le mouvement de son plan d'oscillation dans le référentiel terrestre.

(55)

Le pendule de Foucault au Pôle Nord (exercice)

Dans le référentiel géocentrique, galiléen, mouvement d'oscillation dans un plan xe. Comme la Terre tourne en 24 h, le plan d'oscillation du pendule tourne aussi en 24 h dans le référentiel terrestre.

Dans le référentiel terrestre, il faut prendre en compte la force d'inertie de Coriolis, comme dans un manège qui tourne en 24 h. Si~v= +v~u_xet~Ω = +Ω~u_z, alors la force d'inertie de Coriolis est :

~f_iC=−2m~Ω_R0/R∧~v_M/R0=−2mΩ~u_z∧+v~u_x=−2m vΩ~u_y

qui est suivant−~u_ydonc vers la droite. Le plan d'oscillation du pendule tourne donc vers la droite dans le référentiel terrestre.

(56)

La déviation vers l'est à l'équateur (exercice) Un point matériel de masse mest lâché en altitude sur l'équateur, sans vitesse initiale dans le référentiel terrestre R⁰. On néglige les frottements.

Montrer que le mobile est dévié vers l'est lors de sa chute en étudiant le mouvement :

dans le référentiel géocentrique dans le référentiel terrestre.

(57)

La déviation vers l'est à l'équateur (exercice)

Dans le référentiel géocentrique, il s'agit d'une chute libre.

La vitesse horizontale du mobile se conserve donc. Or, la vitesse initiale dans le référentiel géocentriqueRsupposée galiléen est non nulle et plus importante que celle du sol (en B), plus proche de l'axe de rotation.

Dans le référentiel terrestre, si on suppose que la vitesse est principalement verticale :~v=v_x(t)~e_x. On intègrem~a=−m~e_x−2Ωv_x~e_y:

v_x(t) =−g tetv_y=2Ωg t>0 : déviation vers l'est.