Mécanique classique

Mécanique classique

o.castera@free.fr

http ://o.castera.free.fr/

30 décembre 2021

Chapitre 1. Les fondements de la mécanique classique 1

1.1 Introduction 1

1.1.1 Espace et temps 1

1.1.2 Vitesse et accélération 1

1.1.3 Rotation sur soi 2

1.1.4 Force 2

1.2 Mouvement rectiligne 2

1.2.1 Principe d’inertie et référentiel galiléen 2

1.2.2 Masse inerte et quantité de mouvement 4

1.2.3 Relation fondamentale de la dynamique 10

1.2.4 Masse grave et force de gravitation 12

1.2.5 Énergie 15

1.3 Mouvement de rotation 20

1.3.1 Inertie en rotation 20

1.3.2 Moment cinétique 21

1.3.3 Moment de force 23

1.3.4 Un seul axiome pour la mécanique 24

1.4 Annexes 26

1.4.1 Exemples de systèmes avec transfert de masse 26

1.4.2 Travail et énergie potentielle 28

1.4.3 Axiome du moment cinétique 29

Chapitre 2. Les forces fictives 31

2.1 Loi de composition des vitesses 31

2.2 Loi de composition des accélérations 34

2.3 Forces dans un référentiel non galiléen 37

2.4 Exemple de force fictive : la force centrifuge 37

2.4.1 Dans le référentiel galiléen 38

2.4.2 Dans le référentiel non galiléen 38

2.5 Annexes 39

Chapitre 3. Le pendule balistique 41

3.1 Description 41

3.2 Théorème du moment cinétique 42

3.3 Conservation de l’énergie mécanique 43

3.4 Conservation de l’énergie totale 44

3.5 Condition pour annuler la percussion 44

Chapitre 4. Équation de Poisson 47

4.1 Théorème de divergence 47

4.2 Théorème de Gauss 49

4.3 Loi de Gauss pour la gravitation 50

i

Les fondements de la mécanique classique

1.1 Introduction

À partir d’expériences ou d’observations, la physique consiste à établir des hypothèses (rai- sonnement par induction) pour modéliser la nature, et à en tirer des conséquences (raisonnement par déduction) par une démonstration (succession d’inférences logiques). La mécanique générale peut être construite à partir d’axiomes successifs de plus en plus puissants, le dernier incluant tous ceux qui le précèdent.

Les notions d’espace, de temps, de vitesse linéaire, d’accélération linéaire, de changement de direction, de rotation sur soi-même et de force sont supposées intuitives, c’est-à-dire issues de notre expérience quotidienne. Nous les prendrons dans leurs sens commun avant d’éventuel- lement les définir plus précisemment. Ces notions amènent les remarques suivantes.

1.1.1 Espace et temps

Ils n’ont pas d’existence propre, ce sont des modèles de la réalité créés par notre cerveau.

Ces modèles sont par exemple probablement très différents pour les insectes. En physique non relativiste les modèles d’espace et de temps sont ceux très simples de la vie de tous les jours, ils sont indépendants de la vitesse de l’observateur. Nous reprenons la définition du temps donnée par Isaac Newton :

Définition 1.1.1 . Temps

Le temps absolu, vrai et mathématique, sans relation à rien d’extérieur, s’écoule uniformément et s’appelle durée.

Un repère de l’espace physique est la donnée d’un point et d’une base de trois vecteurs, (O, i, j, k). Nous appelerons référentiel une référence spatiale et une référence temporelle.

Définition 1.1.2 . Référentiel

Un référentiel R est un repère pour mesurer les distances et une horloge pour mesurer le temps.

L’observateur est fixe dans le référentiel choisi.

1.1.2 Vitesse et accélération

Dans le langage courant la vitesse et l’accélération sont des scalaires. En physique la vitesse est modélisée par un vecteur ayant un module, une direction et un sens. La variation dans le temps du vecteur vitesse est le vecteur accélération. Un changement de direction (du vecteur vitesse) est alors une accélération.

La vitesse n’est pas ressentie. Dans un laboratoire fermé, la cale d’un bateau pour reprendre l’exemple donné par Galilée, aucune expérience ne permet de mettre en évidence la vitesse du laboratoire. Elle est observée donc relative, ce qui signifie que parler de vitesse n’a de sens que si l’on précise par rapport à quoi. Par exemple la vitesse d’un conducteur est nulle par rapport à son véhicule.

1

L’accélération est ressentie. Selon Ernst Mach elle est ressentie « par rapport au reste de l’Univers » (sinon quoi ?).

1.1.3 Rotation sur soi

La rotation d’un système sur lui-même est un changement d’orientation par rotation autour d’un axe passant par le centre du gravité du système. Elle est modélisée par le pseudovecteur vitesse angulaire confondu avec l’axe de rotation. Elle n’est pas ressentie car l’observateur doit à chaque instant être parfaitement sur l’axe de rotation et ne jamais le quitter sinon ce n’est plus une rotation sur soi. S’il n’est pas parfaitement sur l’axe de rotation il acquiert une vitesse qui change constamment de direction et ressent une force, mais dans ce cas il ne s’agit plus de vitesse angulaire mais d’un changement de direction de son vecteur vitesse. Un déplacement à vitesse constante en tournant sur soi montre bien que vitesse et vitesse angulaire sont deux notions distinctes.

La vitesse angulaire est relative mais pas symétrique, ce que j’observe en tournant sur moi n’est pas ce que vous observez en me regardant. L’observateur étant fixe dans le référentiel, ce dernier tourne avec l’observateur. Les corps fixes dans le référentiel tournant subissent une force centrifuge dont le centre est sur l’axe de rotation. La rotation sur soi est donc facilement mise en évidence en mesurant cette force. Les corps isolés ont des trajectoires circulaires de centre l’observateur, ou des trajectoires qui s’enroulent ou se déroulent autour de l’observateur (changement continue de cercle). Là encore la rotation sur soi est facilement mise en évidence, les corps semblent subir des forces que l’on appelle fictives.

1.1.4 Force

La notion de force est prise dans son sens commun, tirer ou pousser. Pour la suite nous avons besoin des deux définitions suivantes liées à la notion intuitive de force :

Définition 1.1.3 . Corps isolé

Un corps est isolé s’il n’a aucune interaction avec l’extérieur. Il n’échange ni matière ni rayon- nement et ne subit aucune force (de contact, gravitationnelle, électromagnétique,...).

Définition 1.1.4 . Corps pseudo-isolé

Un corps est pseudo-isolé s’il n’échange ni matière ni rayonnement, et si la somme des forces qui s’exercent sur lui est nulle.

La force de gravitation est particulière. Les corps en rotation subissent tous une force cen- trifuge contrecarrée par une force centripète (la tension dans un câble par exemple), excepté pour la force gravitationnelle. Un corps en chute libre (quelle que soit sa vitesse initiale donc sa trajectoire, circulaire, elliptique, parabolique, hyperbolique ou rectiligne) ne ressent ni force centrifuge, ni force gravitationnelle. L’accélération subit dans un champs de gravitation n’est pas ressentie. La modélisation de la gravitation par une force a donc ses limites.

1.2 Mouvement rectiligne

1.2.1 Principe d’inertie et référentiel galiléen

Expérience 1.2.1 . Lorsqu’un corps est mis en mouvement rectiligne sur une surface plane

(le corps pouvant tourner sur lui-même), la distance parcourue par rapport à l’observateur qui

a mis en mouvement le corps est d’autant plus grande que les frottements sont petits. Nous

supposerons que lorsque les frottements de contact et les frottements de l’air tendent vers zéro,

la distance parcourue tend vers l’infini et la vitesse du corps reste constante par rapport à

l’observateur.

Cette expérience montre l’inertie du mouvement rectiligne d’un corps pseudo-isolé (le poids du corps et la réaction de la surface plane s’annulent), donc a fortiori d’un corps isolé. De toute évidence, on ne peut l’observer que si l’on n’est ni accéléré ni en rotation sur soi, d’où la définition suivante :

Définition 1.2.1 . Référentiel galiléen

Un référentiel est galiléen si et seulement si il se déplace d’un mouvement de

— translation (pas de mouvement de rotation sur lui-même)

— rectiligne (pas d’accélération normale au mouvement)

— uniforme (pas d’accélération tangentielle au mouvement)

Un référentiel lié à un corps est galiléen si et seulement si le corps est isolé et n’est pas en rotation sur lui-même. On vérifie que l’on est bien dans un référentiel galiléen grâce à des accéléromètres selon trois axes orthogonaux. Nous pouvons donner une définition alternative :

Définition 1.2.2 . Référentiel galiléen

Un référentiel est galiléen si et seulement si l’on peut y observer le principe d’inertie du mou- vement rectiligne d’un corps isolé.

Réciproquement, il faut avoir défini les référentiels galiléens pour définir le principe d’inertie puisqu’il n’est valable que dans ces référentiels. Autrement dit dans ce cas, les deux notions sont indissociables, l’une n’existe pas sans l’autre et il faut poser les deux en même temps.

On vérifie que l’on est bien dans un référentiel galiléen grâce au principe d’inertie. Un corps pseudo-isolé reste immobile ou bien se déplace à vitesse constante par rapport à nous.

Ces deux définitions posent un problème. Dans un satellite gravitant autour d’un astre les accéléromètres indiquent zéro, la force de gravitation et la force centrifuge s’annulent ¹ , laissant penser que le référentiel est galiléen. Pour autant la trajectoire des satellites est elliptique et n’est donc pas rectiligne. De plus on y observe le principe d’inertie en translation que très localement.

Pour définir correctement les référentiels galiléens il faut donc toujours préciser loin de toute masse, ce qui n’a pas beaucoup de sens puisque la force de gravitation a une portée infinie. La définition d’un référentiel galiléen est donc théorique, elle s’applique à un espace dépourvu de force de gravitation. Nous donnons une nouvelle définition purement opérationnelle :

Définition 1.2.3 . Référentiel d’inertie

Un référentiel est d’inertie si et seulement si les accéléromètres indiquent zéro.

Nous verrons au paragraphe 1.3 p. 20 que le principe d’inertie en translation sera remplacé par un principe plus général d’inertie en rotation.

Expérience 1.2.2 . Lorsque nous nous déplaçons dans un train, notre vitesse par rapport à la gare est la somme vectorielle de notre vitesse dans le train et de la vitesse du train par rapport à la gare.

Nous supposerons donc l’additivité vectorielle des vitesses. Soient R un référentiel galiléen et R ^′ un référentiel se déplaçant en translation à vitesse v R

dans R constante dans R. Pour tout corps, isolé ou non :

v R (t) = v ^′ R

(t) + v R

dans R

Si dans R supposé galiléen on observe le principe d’inertie du mouvement rectiligne d’un corps isolé

v corps isolé = c ^ste v ^′ corps isolé + v R

dans R = c ^ste v ^′ corps isolé = c ^ste

1. En relativité générale ces deux forces n’existent pas, l’espace-temps est déformé par la présence de matière

ou d’énergie et le satellite suit une géodésique de l’espace-temps

alors on observe également dans R ^′ le principe d’inertie du corps isolé. Ce référentiel est aussi galiléen ² . Les référentiels galiléens se déplacent d’un mouvement de translation (sans rotation) rectiligne uniforme (à vecteur vitesse constant) les uns par rapport aux autres.

Axiome 1.2.1 . Principe d’inertie du mouvement rectiligne

Tout corps isolé se déplace à vitesse constante ou nul, pour un observateur dans un référentiel galiléen :

v corps isolé = c ^ste dans R galiléen (1)

Nous verrons que cet axiome ³ peut être remplacé par des axiomes plus puissants, et, bien qu’il devienne alors un théorème ⁴ , nous continuerons de l’appeler « principe » pour des raisons historiques. Les axiomes suivants seront à leur tour remplacés par des axiomes plus puissants au fur et à mesure que nous construirons la mécanique. Présentés comme des axiomes, ils deviendront des théorèmes, excepté le dernier.

1.2.2 Masse inerte et quantité de mouvement

Expérience 1.2.3 . Plaçons nous dans un référentiel galiléen et faisons interagir deux corps précédemment isolés. Imaginons par exemple un choc élastique (choc « dur » de boules de billard) ou inélastique (choc mou de boules de pâte à modeler), ou une interaction électrostatique (corps chargés) ou magnétique entre deux aimants. Nous observons que les variations des vecteurs vitesses des corps sont proportionnelles et opposées, quelle que soit la matière constituant ces corps.

Dans un premier temps l’interaction est supposée sans échange de matière entre les deux corps pour qu’ils gardent leur intégrité et que l’on puisse les désigner par les indices 1 et 2 avant et surtout après l’interaction. Pour un observateur dans un référentiel galiléen les vecteurs variation de vitesse ∆v 1 et ∆v 2 sont colinéaires lors d’une intéraction sans échange de matière,

∆v 1 = −k∆v 2 dans R galiléen (2) où k est un réel positif supposé indépendant ⁵ de v ₁ et de v ₂ . On vérifie que si cette relation est valable pour un observateur dans un référentiel galiléen R alors elle est aussi valable pour un observateur dans un autre référentiel galiléen R ^′ :

∆v 1 = −k∆v 2

∆(v ^′ ₁ + v) = −k∆(v ^′ ₂ + v)

∆v ^′ ₁ + ∆ v = −k∆v ^′ ₂ − k∆ v La vitesse relative v des référentiels galiléens étant constant

∆v ^′ ₁ = −k∆v ^′ ₂ dans R galiléen Nous retrouvons bien la relation (2).

Expérience 1.2.4 . Prenons le corps 1 comme corps de référence et faisons le interagir avec d’autres corps. Notons b la première expérience, c la deuxième, etc. Les coefficients de

2. L’additivité des vitesses n’est plus valable en relativité mais les référentiels galiléens se déplacent quand même avec des vitesses relatives constantes

3. Un axiome est une proposition non démontrable, à la base d’un système hypothético-déductif. Dans le langage courant, axiome est synonyme d’hypothèse, de principe, ou de postulat.

4. Un théorème est une proposition démontrable à partir d’axiomes.

5. En relativité k est fonction de la vitesse relative (v ¹ − v 2 ) avant l’interaction.

proportionnalité sont alors notés k b , k c , etc. Dans tout référentiel galiléen nous avons :

∆v 1 = −k b ∆v 2 (3)

∆v 1 = −k c ∆v 3

∆v 1 = −k _d ∆v 4

...

Dans ces relations les ∆v 1 ne sont pas égaux mais correspondent à des expériences différentes.

Lorsque l’on fait interagir les corps 2 et 3 l’expérience montre le fait remarquable suivant : k b ∆v 2 = −k c ∆v 3

Nous pouvons alors associer les coefficients de proportionnalité aux différents corps. Ces coefficients sont appelés masses inertes ou masses inertielles ou masses dynamiques, ou inertie.

On les notera m, ou m i , ou encore I comme inertie. La masse inerte du corps 1 de référence est de fait prise égale à l’unité, m 1 = 1. La masse inerte du corps 2 est m 2 = k b , etc.

Expérience 1.2.5 . L’expérience montre que quelle que soit la matière utilisée (fer, sable, eau,...), si l’on double la quantité de matière d’un corps alors on double sa masse inerte. Elles sont proportionnelles.

Expérience 1.2.6 . L’expérience montre que la quantité de matière, donc la masse inerte qui lui est proportionnelle, se conserve lors de toute interaction.

La masse inerte est un coefficient qui traduit la résistance d’un corps à la modification de son état de mouvement. On peut la mesurer par comparaison directe, en désignant un corps de référence qui aura une masse inerte unité, avec laquelle les masses inertes des autres corps sont comparées en les faisant se percuter ou interagir. On peut aussi la mesurer par comparaison indirecte, en passant par une valeur intermédiaire. Avec une corde on attache un corps un dynamomètre et on fait tourner l’ensemble dans le plan horizontal. Le dynamomètre mesure la force centripète qui dépend de la masse inerte. Si la vitesse angulaire et la longueur de la corde sont fixes, on peut comparer les masses inertes des différents corps grâces aux valeurs données par le dynamomètre.

Définition 1.2.4 . Masse inerte

La masse inerte mesure la résistance d’un corps au changement de son état de mouvement.

Avec m 1 = 1 et en notant v ⁱ la vitesse initiale avant le choc et v ^f la vitesse finale après le choc, la relation (3) p. 5 devient :

m 1 ∆v ⁱ ₁ = −m 2 ∆v ⁱ ₂ m 1 (v ^f ₁ − v ⁱ ₁ ) = −m 2 (v ^f ₂ − v ⁱ ₂ )

m 1 v ^f ₁ + m 2 v ^f ₂ = m 1 v ⁱ ₁ + m 2 v ⁱ ₂ dans R galiléen (4) La définition que nous avons posé de la masse inerte nous permet de dire que la somme initiale des produits des masses inertes par leur vitesse respective se conserve lors de toute interaction sans échange de matière.

Lorsqu’il y a échange de matière entre les corps 1 et 2 nous ne pouvons plus désigner les corps par les mêmes indices après l’interaction. La matière échangée peut être considérée comme un corps de masse ∆m 1 ayant pour vitesse initiale v ⁱ ₁ . Les corps finaux ont pour masses respectives m 3 = m 1 − ∆m 1 et m 4 = m 2 + ∆m 1 . Peut-on à partir de la relation (4) obtenir la relation de conservation suivante :

m ₁ v ⁱ ₁ + m ₂ v ⁱ ₂ = (m 1 − ∆m 1 )v ^f ₃ + (m 2 + ∆m 1 )v ^f ₄

Injectons-la dans la relation (4) :

m 1 v ^f ₁ + m 2 v ^f ₂ = (m 1 − ∆m 1 )v ^f ₃ + (m 2 + ∆m 1 )v ^f ₄ (m 1 − ∆m 1 )v ^f ₁ + ∆m 1 v ^f ₁ + m 2 v ^f ₂ = (m 1 − ∆m 1 )v ^f ₃ + (m 2 + ∆m 1 )v ^f ₄ (m 1 − ∆m 1 )(v ^f ₁ − v ^f ₃ ) + m 2 (v ^f ₂ − v ^f ₄ ) + ∆m 1 (v ^f ₁ − v ^f ₄ ) = 0

Cette relation doit être vraie quels que soient les coefficients m 1 − ∆m 1 , m 2 et ∆m 1 . Nous avons alors :



 

 

 

 

v ^f ₃ = v ^f ₁ v ^f ₄ = v ^f ₂ v ^f ₄ = v ^f ₁

⇒ v ^f ₄ = v ^f ₃ = v ^f ₂ = v ^f ₁ C’est à dire :

m 1 v ⁱ ₁ + m 2 v ⁱ ₂ = (m 1 − ∆m 1 )v ^f ₃ + (m 2 + ∆m 1 )v ^f ₃

= (m 1 + m 2 )v ^f ₃

Les deux corps de départ doivent fusionner en un seul puisqu’il n’y a qu’une vitesse finale.

C’est la condition pour obtenir la conservation de la somme des mv à partir de la relation (4) p. 5 lorsqu’il y a échange de matière. Cette relation est trop restrictive, comme le montre une nouvelle expérience.

Expérience 1.2.7 . L’expérience montre que pour un observateur dans un référentiel gali- léen, la somme initiale des produits des masses inertes par leur vitesse respective se conserve lors de toute interaction y compris lors d’échange de matière.

Cela amène la définition suivante :

Définition 1.2.5 . Quantité de mouvement

Le produit de la masse inerte d’un corps par sa vitesse est appelé sa quantité de mouvement : p , mv

De façon plus précise il faudrait parler de « quantité de mouvement en translation », car nous verrons qu’il existe une « quantité de mouvement en rotation ». Tout comme la vitesse, la quantité de mouvement est toujours relative, parler de quantité de mouvement n’a de sens que si l’on précise par rapport à quoi. La masse inerte d’un corps isolé étant constante, le principe d’inertie du mouvement rectiligne d’un corps isolé (1) p. 4 se réécrit :

Axiome 1.2.2 . Principe d’inertie du mouvement rectiligne

Tout corps isolé se déplace à vecteur quantité de mouvement constant ou nul pour un observateur dans un référentiel galiléen :

p corps isolé = c ^ste dans R galiléen (5)

En notant p ⁱ la quantité de mouvement avant le choc et p ^f celle après le choc, la relation (4) p. 5 devient :

p ^f ₁ + p ^f ₂ = p ⁱ ₁ + p ⁱ ₂ dans R galiléen (6) Dans un référentiel galiléen, la somme des quantités de mouvement du système isolé formé des corps 1 et 2 se conserve au cours du temps, elle est identique avant, pendant et après l’interaction entre les deux corps. Pour l’instant cette relation n’est valable que si l’on retrouve les corps 1 et 2 après l’interaction, autrement dit lorsqu’il n’y a pas d’échange de matière.

Définition 1.2.6 . Un système est un ensemble quelconque de corps en interaction entre-eux ou non. Un système est isolé s’il n’a aucune interaction avec l’extérieur. Il n’échange ni matière ni rayonnement et ne subit aucune force (de contact, gravitationnelle, électromagnétique,...).

Un système est pseudo-isolé s’il n’échange ni matière ni rayonnement et si la somme des forces

qui s’exercent dessus est nulle. Un système est fermé s’il n’échange ni matière ni rayonnement mais sur lequel peuvent agir des forces. Un système est ouvert s’il évolue dans le temps en recevant ou en perdant de la matière ou de l’énergie, des forces pouvant ou non agir sur lui.

Référentiel et système sont des notions séparées bien que l’on puisse associer un référentiel à tout système. L’observateur est fixe dans le référentiel, ce qui est observé est le système.

La variation de quantité de mouvement d’un système donne deux termes :

∆p = ∆(mv)

= m∆v + v∆m (7)

Le premier est indépendant du choix du référentiel galiléen dans lequel on le mesure. En revanche le second dépend de ce choix, la quantité de mouvement du système passe de mv à (m + ∆m)v et dépend donc de v. Si à un instant précis on se place dans le référentiel galiléen lié au système alors ce terme est nul car la vitesse est nulle. Ce terme n’est pas un simple gain ou perte de matière par le système car il dépend de la vitesse relative entre le système et l’observateur.

Lorsque la masse varie le système est ouvert, il évolue dans le temps et n’est plus lié à un ou plusieurs corps physiques (voir l’exemple 1 p. 8 de la fusée et en annexe 1.4.1 p. 26).

Lorsque la masse inerte du système est constante :

∆p = m∆v La relation (3) p. 5 dans laquelle m 1 = 1, devient :

∆p ₁ = −∆p ₂

L’interaction entre deux corps correspond donc à un transfert de quantité de mouvement car la variation de quantité de mouvement du corps 1 est égale et opposée à la variation de quantité de mouvement du corps 2.

Définir la masse inerte c’est poser la conservation de la quantité de mouvement pour un observateur dans un référentiel galiléen, et réciproquement.

Les quantités de mouvement étant des vecteurs, la somme de deux quantités de mouvement est encore une quantité de mouvement. Appelons quantité de mouvement totale d’un système, notée p _système , la somme des quantités de mouvement des corps constituant ce système :

p _système ,

2

X

j=1

p _j

L’expérience a donc montré que la quantité de mouvement totale de ce système isolé constitué de deux corps se conserve pour un observateur dans un référentiel galiléen,

p ^f _système = p ⁱ _système dans R galiléen

y compris lorsqu’il y a des interactions dans le système (sans quoi tout se conserve lorsqu’il ne se passe rien). En considérant l’interaction de ce système avec un troisième corps, nous formons un nouveau système tel que :

p ^f _système + p ^f ₃ = p ⁱ _système + p ⁱ ₃ p ^f ₁ + p ^f ₂ + p ^f ₃ = p ⁱ ₁ + p ⁱ ₂ + p ⁱ ₃

3

X

j=1

p ^f _j = ^{X 3}

j=1

p ⁱ _j

En généralisant à n corps :

n

X

j=1

p ^f _j =

n

X

j=1

p ⁱ _j

n

X

j=1

p _j = c ^ste dans R galiléen Nous pouvons énoncer l’axiome suivant :

Axiome 1.2.3 . La quantité de mouvement totale d’un système isolé se conserve au cours du temps pour un observateur dans un référentiel galiléen,

p système isolé = c ^ste dans R galiléen d

dt p système isolé = 0 dans R galiléen

(8) (9) y compris lorsqu’il y a des interactions entre les corps constituant le système isolé.

À partir d’une nouvelle expérience, nous avons obtenu l’axiome de conservation de la quan- tité de mouvement d’un système isolé (8) p. 8. Il inclut le principe d’inertie (5) p. 6 d’un système constitué d’un unique corps.

Exemple 1 . Dans l’espace, une fusée allume son réacteur avec un débit de gaz µ(t). La vitesse v gaz d’éjection des gaz relativement à la fusée est supposée constante. Quelle est l’accé- lération de la fusée ? Quelle est la vitesse maximale atteinte ?

Pour pouvoir appliquer la relation (8) p. 8, l’observateur doit se trouver dans un référentiel galiléen et le système considéré doit être isolé. Nous supposons que nous sommes en tant qu’ob- servateur dans un référentiel galiléen. On pourra par la suite préciser lequel. La fusée n’est pas un système isolé car elle éjecte du gaz, en revanche la fusée, le propergol et le gaz constituent un système isolé (le seul). Dans notre référentiel galiléen, la quantité de mouvement de ce système isolé se conserve au cours du temps :

d dt

p _{f usée} + p _propergol + p _gaz = 0 dp _{f usée}

dt + dp _propergol

dt + dp _gaz

dt = 0 (10)

Le système étant isolé, sa masse inerte se conserve. On note cependant que les différentes parties du système n’ont pas la même vitesse ni une masse constante. Le gaz n’a pas la même vitesse que la fusée et le propergol, et le propergol et le gaz ont des masses variables. Le premier terme s’écrit :

dp _{f usée}

dt = m f usée

dv _{f usée}

dt + v f usée (t) dm _{f usée} dt La masse de la fusée sans propergol étant constante :

dp _{f usée}

dt = m f usée

dv f usée

dt Le second terme s’écrit :

dp _propergol

dt = m propergol (t) dv propergol

dt + v _propergol (t) dm propergol

dt

Choisissons pour notre référentiel galiléen celui qui a l’instant t 0 est confondu avec celui non

galiléen de la fusée. Une fois fixé notre référentiel galiléen nous ne pouvons plus en changer. De

même on se fixe à l’instant t 0 , lorsque la vitesse du propergol est nulle dans notre référentiel : dp _propergol

dt

t

= m propergol (t 0 ) dv _propergol dt

t

+ v _propergol (t 0 ) dm _propergol dt

t

= m _propergol (t 0 ) dv _propergol dt

t

À l’instant t 0 le troisième terme s’écrit : dp _gaz

dt

t

= m gaz (t 0 ) dv gaz

dt

t

+ v _gaz (t 0 ) dm gaz

dt

t

Remarque. Si la vitesse d’éjection des gaz est supposée constante par rapport à la fusée, alors dans notre référentiel elle varie dans le temps. En effet, soit a(t) l’accélération de la fusée à l’instant t, alors dans notre référentiel v _gaz (t) = a(t)t où t est le temps qui s’écoule après t 0 : d _t v _gaz | t

= a(t ⁰ )

La masse de gaz créée à l’instant t 0 (durée nulle) est nulle : dp _gaz

dt

_t

0

= v gaz (t 0 ) dm gaz

dt

_t

0

Dans notre référentiel à l’instant t ₀ , la relation (10) devient : m f usée

dv f usée

dt

_t

0

+ m propergol (t 0 ) dv propergol

dt

_t

0

+ v gaz (t 0 ) dm gaz

dt

_t

0

= 0 Isoler le terme concernant la fusée c’est la prendre pour système :

m _{f usée} dv f usée

dt

_t

0

= −m _propergol (t 0 ) dv propergol

dt

_t

0

− v _gaz (t 0 ) dm gaz

dt

_t

0

Le terme de droite est non nul, la fusée n’est donc pas un système isolé. La vitesse du propergol est égale à celle de la fusée, nous pouvons regrouper deux termes. Le système devient la fusée et le propergol encore à son bord :

(m f usée + m _propergol (t 0 )) dv _{f usée} dt

t

= −v _gaz (t 0 ) dm _gaz dt

t

(11) Nous voyons avec cet exemple que vdm/dt est bien une force. La masse du système (fusée plus propergol) est variable, le système est ouvert. Au départ le système c’est la fusée avec le plein de propergol, à chaque instant il est redéfini avec moins de propergol, à la fin le système c’est la fusée seule. Le système n’est pas lié à des corps physiques.

µ(t) = dm _gaz /dt est le débit de gaz éjecté par la fusée à l’instant t : a _{f usée} (t 0 ) = − µ(t 0 )v gaz (t 0 )

m f usée+propergol (t 0 )

ce qui répond à la première question. Comme on pouvait s’y attendre, l’accélération est propor- tionnelle au débit et à la vitesse d’éjection des gaz, et inversement proportionnelle à la masse restante à l’instant t 0 .

Pendant le temps dt, la masse de propergol diminue, il se transforme en gaz dm propergol = −dm gaz

où la variation infinitésimale de masse dm propergol est négative puisque le propergol perd de

la masse et dm _gaz est positive puisque du gaz est créé. Nous pouvons remplacer dm _propergol

par dm f usée+propergol car dm f usée est nulle. En reprenant (11) et en remplaçant −dm gaz par dm f usée+propergol :

(m f usée + m _propergol (t 0 )) dv f usée

dt

_t

0

= v _gaz (t 0 ) dm f usée+propergol

dt

_t

0

dv _{f usée} | _t

= v _gaz (t 0 ) dm f usée+propergol

m f usée+propergol

_t

0

Cette relation est valable pour toutes les valeurs du paramètre t 0 . Nous pouvons intégrer la relation pour t 0 variant entre 0 et T (le paramètre t 0 est noté comme une variable t) :

ˆ T 0

dv = ˆ T

0

v gaz (t) dm f usée+propergol

m f usée+propergol (t)

Pour pouvoir intégrer il nous faut la vitesse d’éjection des gaz par rapport à la fusée. Nous supposons qu’elle est constante :

[v(t)] ^T ₀ = v gaz [ln (m f usée+propergol )] ^T ₀ v(T ) − v(0) = v _gaz ln m _{f usée} + m _propergol (T )

m f usée + m propergol (0)

!

Si à l’instant T tout le propergol est consommé, m propergol (T ) = 0 et la vitesse est maximale : v _max = v(0) + v _gaz ln m f usée

m f usée + m propergol (0)

!

= v(0) − v gaz ln 1 + m f usée

m propergol (0)

!

La vitesse maximale est proportionnelle à la vitesse d’éjection des gaz et dépend de la quantité de propergol embarquée. En revanche elle est indépendante du débit de gaz.

Un système isolé ne peut pas changer sa quantité de mouvement sauf en éjectant ou en recevant de la matière. Deux exemples de systèmes ouverts sont donnés en annexe 1.4.1 p. 26.

1.2.3 Relation fondamentale de la dynamique 1.2.3.1 Définition d’une force

Nous avons vu que la quantité de mouvement totale d’un système isolé se conserve au cours du temps lorsqu’elle est mesurée par un observateur dans un référentiel galiléen. Lorsque le système n’est plus isolé et que nous agissons dessus, par exemple en le poussant ou en le tirant, nous faisons varier sa quantité de mouvement dans le temps. Nous dirons que nous exerçons une force sur ce système, cette force étant bien sûr extérieure au système. Réciproquement, lorsque la quantité de mouvement d’un système varie c’est qu’une force s’exerce sur lui. En revanche, si la somme des forces exercées sur le système est nulle, le système n’est pas isolé mais pseudo-isolé, sa quantité de mouvement se conserve.

Nous voyons ici l’importance de définir le système pour distinguer ce qui est intérieur de ce qui est extérieur au système. En considérant d’abord un corps unique, nous posons la définition suivante :

Définition 1.2.7 . Force s’exerçant sur un corps

On appelle force s’exerçant sur un corps, toute action faisant varier dans le temps la quantité de mouvement de ce corps (qui sinon est constante pour un observateur dans un référentiel galiléen si le corps est isolé) :

f ⇒ dp

dt

Nous ne pouvons pas écrire cette définition sous la forme f , dp/dt comme nous l’avons fait pour définir la quantité de mouvement p , mv. Le symbole f n’est pas une façon simple et rapide de désigner ˙ p, comme c’est le cas pour p qui désigne mv, car la force est la cause et la variation de la quantité de mouvement est la conséquence.

Les variations de quantité de mouvement étant des vecteurs, nous modélisons les forces par des vecteurs. Elles s’additionnent. Soit m forces s’exerçant sur un corps :

f ₁ + f ₂ + · · · + f _m ⇒ d 1 p

dt + d 2 p

dt + · · · + d m p dt où d 1 p, d 2 p, ... sont des différentielles de p distinctes.

m

X

i=1

f _i ⇒

m

X

i=1

d i p dt = dp

dt

La somme des forces exercées sur un corps fait varier dans le temps la quantité de mouvement de ce corps.

Soit un système de constitué de n corps, supposons que des forces s’exercent sur chacun des n corps :

X f ₁ + ^X f ₂ + · · · + ^X f _n ⇒ dp ₁

dt + dp ₂

dt + · · · + dp _n dt Notons F _i la somme des forces s’exerçant sur le corps i :

n

X

i=1

F _i ⇒ d dt

n

X

i=1

p _i = d

dt p _système

La somme des forces fait varier dans le temps la quantité de mouvement totale du système.

1.2.3.2 Action-réaction

L’axiome de conservation de la quantité de mouvement total d’un système isolé (9) p. 8 donne :

dp ₁

dt + dp ₂ dt = 0 f ₁ + f ₂ = 0

où f ₁ est la force exercée par le corps 1 sur le corps 2, et f ₂ est la force exercée par le corps 2 sur le corps 1. Pour le système isolé constitué des corps 1 et 2, la somme des forces intérieures au système est nulle. Nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Théorème 1.2.1 . Loi de l’action-réaction

Lors de toute interaction, la force exercée par le corps 1 sur le corps 2 est égale et opposée à celle exercée par le corps 2 sur le corps 1 :

f ₁ = −f ₂ (12)

Pour un système de plusieurs corps, en les considérant deux à deux on déduit que la somme des forces intérieures à tout système isolé est nulle. Il peut y avoir des forces à l’intérieur d’un système, mais elles s’annulent toutes deux à deux :

X f ^int = 0 1.2.3.3 Modèle de force

Définition 1.2.8 . Modèle de force

On appelle modèle de force la représentation théorique d’une force physique réelle.

Exemple 2 . Une masse est attachée à un ressort et oscille sans frottements sur une surface horizontale. Le modèle de force du ressort est habituellement supposé proportionnel et de sens contraire à l’allongement du ressort par rapport à sa position de repos

−kx

Cette modélisation n’est plus valable lorsque l’on arrive aux limites élastique d’allongement du ressort. De plus ce modèle donne une oscillation sinusoïdale sans amortissement, très loin de la réalité. C’est le travail du physicien ou de l’ingénieur de trouver un bon modèle de force pour le problème posé, tout en restant conscient des limites du modèle choisi.

−kx n’est pas la force physique réelle exercée par le ressort, c’est un modèle. Pour connaitre la force réelle exercée à chaque instant par le ressort il faut peser la masse attachée au ressort et mesurer son accélération en fonction du temps, puis effectuer la multiplication des deux.

Remarque. Pour la loi de l’action-réaction et dans l’exemple 1 p. 8 de la fusée, nous n’avons pas eu besoin de modéliser de forces. En revanche nous avons utiliser une théorie physique avec ses limitations, par exemple la masse inerte est supposée indépendante de la vitesse relative.

1.2.3.4 Relation fondamentale de la dynamique (RFD)

La définition 1.2.7 p. 10 devient une équation du mouvement dont on peut chercher une solution lorsque l’on écrit que le modèle de force F de la force réelle f exercée sur le système provoque une variation dans le temps de la quantité de mouvement du système.

Axiome 1.2.4 . Relation fondamentale de la dynamique

La somme des modèles de force s’exerçant sur un système est égale à la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement totale du système pour un observateur dans un référentiel galiléen :

X F ^ext = d

dt p système isolé dans R galiléen (13)

Ce nouvel axiome inclut l’axiome de la conservation de la quantité de mouvement (8) p. 8.

En effet, lorsqu’aucune force extérieure n’agit sur un système, ^P F ^ext = 0, sa quantité de mouvement se conserve, ^P p = c ^ste . La RFD est écrite comme une égalité stricte entre des modèles de forces et une variation de quantité de mouvement représentative de la réalité dans l’approximation de la théorie (non d’un modèle). Il faut garder à l’esprit que ces termes ne sont qu’approximativement égaux.

1.2.4 Masse grave et force de gravitation

Comme pour la masse inerte, la masse grave ou masse pesante ou encore charge gravita- tionnelle, est un coefficient que l’on associe à la quantité de matière contenue dans un corps. Ce coefficient se mesure par exemple par comparaison directe grâce à une balance de Roberval, ou par comparaison indirecte grâce à une balance piezoélectrique, ou un dynamomètre. Ces deux instruments de mesure donnent le poids du corps qui dépend de l’endroit sur Terre où l’on se trouve. En revanche, le rapport des poids de deux corps, directement donné par la balance de Roberval, est indépendant du lieu et des autres conditions extérieures. Pour que la masse grave soit un coefficient intrinsèque au corps, autrement dit pour qu’il ne dépende pas des conditions extérieures mais seulement du corps considéré, nous définissons le rapport des masses de deux corps comme égal au rapport de leurs poids lorsqu’ils sont pesés au même endroit. On désigne alors un corps de référence qui aura une masse grave unité, avec lequel les masses graves des autres corps sont comparées.

Définition 1.2.9 . Masse grave

La masse grave m g d’un corps mesure l’intensité du champ gravitationnel créé par ce corps, rôle

actif, et la réponse de ce corps aux champs gravitationnels créés par d’autres corps, rôle passif.

Appelons vecteur position d’un système (ou d’un corps unique) dans un référentiel galiléen de centre O, le vecteur r = OG où G est le centre de gravité du système. Appelons rayon- vecteur le vecteur reliant deux centres de gravité.

Soient deux corps de masses gravitationnelles m ₁ et m ₂ , et r ₁₂ le rayon-vecteur de la masse 1 vers la masse 2. L’expérience montre que la force de gravitation s’exerçant entre deux corps a pour direction la droite passant par les deux corps et est proportionnelle aux masses. En suivant l’intuition de Robert Hooke, la force d’attraction gravitationnelle est supposée inversement proportionnelle à la distance au carré. Il reste à déterminer le sens de la force, autrement dit son signe. m 1 , m 2 , et la constante de proportionnalité sont positifs, et l’expérience montre que la force de gravitation est attractive :

m _g

m _g

r 12

F 12

Fig. 1. Détermination du signe de la force de gravitation

La force est de sens opposé à r ₁₂ , donc le signe est négatif. Le modèle de force exercée par un corps 1 (rôle actif) sur un corps 2 (rôle passif) est alors

−G m g

m g

r ²

r 12

r est noté F 12 (14)

où la constante de proportionnalité G est appelée constante de gravitation. r 12 /r est un vecteur unitaire de direction 1 vers 2.

La loi de l’action-réaction donne :

F 21 = −F 12

Par exemple la force exercée par la Terre sur un corps est égale et opposée à la force exercée par ce corps sur la Terre. Les rôles actif et passif sont échangés, le rôle passif correspond au système étudié, celui sur lequel s’exerce la force.

On définit le champ gravitationnel créé par m g

indépendamment de m g

, par g ₁ = − G m _g

r ² r ₁₂

r (15)

D’où la relation entre force et champ gravitationnel,

F ₁₂ = m _g

g ₁ (16)

En utilisant la RFD (13) p. 12 pour un corps tombant à la surface de la Terre

−G m _g M _g

r ³ r ≈ d(mv) dt

où M g

est la masse gravitationnelle de la Terre. La masse inerte du corps est supposée constante :

−G m g M g

r ³ r ≈ m a (17)

Expérience 1.2.8 . L’expérience montre que si l’on se place dans le vide pour s’affranchir

des frottements de l’air, tous les corps tombent vers la Terre avec la même accélération a

indépendamment de leur masse (grave ou inerte).

Nous devons alors simplifier l’égalité (17) par m et m g , c’est à dire supposer leur égalité, pour obtenir une accélération indépendante de la masse du corps considéré. On choisit le même corps de référence pour la masse inerte et la masse grave ce qui permet de ne pas introduire une constante de passage arbitraire entre les deux, et qui fixe par conséquent la constante de gravitation :

−G M g

r ³ r ≈ a

On mesure alors la constante de gravitation (Loránd Eötvös vers 1885) grâce à une masse connue :

G ≈ 6, 670 × 10 ^{− 11} Nm ² kg ^{− 2} Et tant qu’aucune expérience ne montre le contraire :

m inerte = m grave

Exemple 3 . Reprenons l’exemple 2 p 12 avec une masse attachée à un ressort dans le plan vertical, en présence d’un champ de gravitation g. Prenons comme système la masse. La position d’équilibre x 0 de la masse par rapport à la position de repos du ressort, est déterminée par sa masse grave m g (la position d’équilibre est fonction de l’intensité du champ de gravitation).

L’expérience montre que si l’on double la masse grave, la position d’équilibre est proche de 2x 0 , ce qui justifie le modèle statique de force de rappel du ressort linéaire en x. Déterminons la position d’équilibre x ₀ de la masse :

X F ^ext ≈ 0 T 0 + P ≈ 0

T ₀ est le modèle de force de rappel statique du ressort pour la masse en question, P est le modèle de force de pesanteur de cette masse. Remplaçons par leur modèle respectif :

−kx 0 + m g g ≈ 0

−kx 0 j − m g gj ≈ 0 kx 0 + m g g ≈ 0

x 0 ≈ − m g g k

L’oscillation x(t) de la masse autour de sa position d’équilibre est déterminée par sa masse inerte car en l’absence de champ de gravitation la masse oscille quand même autour de la position de repos du ressort. Lorsque la masse oscille le modèle dynamique de rappel du ressort est le même qu’en statique car nous avons supposer l’égalité entre masse inerte et masse grave.

Déterminons le mouvement de la masse grâce à la RFD :

X F ^ext ≈ dp dt T (t) + P ≈ ma(t)

−k[x(t) + x 0 ] + m g g ≈ m x(t) ¨ [−kx(t) − kx 0 + m g g] j ≈ m¨ x(t)j

¨

x(t) + k

m x(t) ≈ 0

Le problème n’est maintenant plus « que » mathématique. Supposons l’égalité stricte pour trou- ver une solution. Les fonctions circulaires sinus et cosinus (et les exponentielles complexes) changent de signe lorsque dérivées deux fois. La solution a donc pour forme générale :

x(t) = A cos(ωt + ϕ ₀ )

où A est l’amplitude maximale, ϕ = ωt + ϕ 0 est la phase, ω est la pusation et ϕ 0 est la phase à l’origine des temps.

˙

x(t) = −Aω sin(ωt + ϕ ₀ )

¨

x(t) = −Aω ² cos(ωt + ϕ 0 ) si bien que :

−Aω ² cos(ωt + ϕ 0 ) + k

m A cos(ωt + ϕ 0 ) = 0 ⇔ ω ² = k m Si l’amplitude x(t) est maximale à t = 0 alors ϕ 0 = 0 et :

x(t) = A cos



 s k

m t





1.2.5 Énergie

Intégrons la RFD (13) p. 12 par rapport à l’espace parcouru par le système sous l’action des forces exercées sur ce système :

ˆ B A

dp

dt · dr ≈ ˆ B

A

X F · dr

≈ ^X ˆ B

A

F · dr dans R galiléen (18) Le produit scalaire permet de ne prendre en compte que les forces ou les composantes de force qui créent le déplacement ou qui s’y opposent.

Définition 1.2.10 . Travail

On appelle travail d’une force l’intégrale curviligne sur le trajet de cette force.

On note W comme « work » l’intégrale curviligne du modèle de force sur le trajet de cette force :

ˆ B A

F · dr est noté W

Remarque. Le travail est positif si le déplacement est dans le sens de la force, le produit scalaire est alors positif. C’est toujours le cas lorsque la force crée le déplacement. Le travail est négatif si le déplacement et la force sont de sens contraire, comme pour toutes les forces de frottements. Il est nul si le déplacement et la force sont perpendiculaires, comme pour les forces de réaction.

Remarque. Le travail des forces intérieures d’un système isolé peut être positif. Prenons par exemple un système isolé constitué de deux corps en interaction, d’après la loi de l’action-réaction 12 p. 11, les deux forces intérieures sont égales et opposées :

f 1 = −f 2

Si les deux corps se déplacent, le déplacement est de même direction mais en sens opposé, car les forces étant opposées, elles sont toutes les deux attractives ou répulsives. Le travail intérieur de ces deux forces s’écrit

ˆ B

A

f 1 · dr + ˆ B

A

f 2 · (− dr) = 2 ˆ B

A

f 1 · dr

6= 0

Dans la relation (18), pour simplifier le raisonnement sans perdre en généralité, posons dr = dx i + dy j . Le terme de gauche purement théorique s’écrit :

ˆ B A

dp

dt · dr = ˆ B

A

dp _x

dt dx + dp _y dt dy

!

dans tout réf érentiel

= ˆ B

A

d(mv x ) dt dx +

ˆ B A

d(mv y ) dt dy

= ˆ B

A

dm

dt v x + m dv _x dt

!

dx + ˆ B

A

dm

dt v y + m dv _y dt

!

dy La masse du système est supposée constante :

ˆ B A

dp

dt · dr = ˆ B

A

m dv x

dt dx + ˆ B

A

m dv y

dt dy

= m ˆ B

A

dv x

dx dt + m

ˆ B A

dv y

dy dt

= m ˆ B

A

v x dv x + m ˆ B

A

v y dv y

= ¹ ₂ m ^h v ² _x ^{i B}

A + ¹ ₂ m ^h v ² _y ^{i B}

A

= ¹ ₂ m ^h v ² _x + v _y ^{2 i B}

A

= ^{h 1} ₂ mv ^{2 i B}

A dans tout référentiel (19) Définition 1.2.11 . Energie cinétique

Le terme ¹ ₂ mv ² , noté E c , est appelé énergie cinétique.

E c , ¹ ₂ mv ² Avec cette définition l’équation (19) devient :

ˆ B A

dp

dt · dr = E c

− E c

dans tout référentiel

Revenons à la relation (18) p. 15. Pour intégrer la somme des travaux des modèles des forces exercées sur le système, nous devons faire des hypothèse sur ces modèles de force.

Définition 1.2.12 . Gradient

Soit f (x, y, z) une fonction scalaire de trois variables, habituellement les coordonnées spatiales, qui en tout point de son espace de définition renvoie un scalaire. f définit donc un champ de scalaires. On appelle grad l’opérateur différentiel gradient, tel qu’appliqué à f on ait en coordonnées rectangulaires :

grad f = ∂f

∂x i + ∂f

∂y j + ∂f

∂z k

L’opérateur gradient est une dérivée spatiale (ici tridimensionnelle) qui en chaque point

de l’espace de définition d’une fonction scalaire donne son taux de variation selon chaque

coordonnée. C’est la généralisation à plusieurs dimensions de la notion de dérivée. L’opéra-

teur vectoriel gradient a pour coordonnées cartésiennes (∂ x , ∂ y , ∂ z ). Lorsqu’il s’applique à f

on le nomme gradient de f. Il prend en entrée la fonction f et renvoie le champ de vecteurs

grad f (∂ x f, ∂ y f, ∂ z f ). Un champ de vecteurs est une fonction qui en tout point de son espace

de définition renvoie un vecteur. Cette notion fût inventée par Michael Faraday par analogie

avec les champs de blé, chaque pied représentant un vecteur.

Définition 1.2.13 . Potentiel d’un champ vectoriel

La fonction scalaire f est dite potentielle du champ vectoriel A ssi : A = − grad f

Réciproquement, le champ vectoriel A dérive de la fonction scalaire f . Exemple 4 . En coordonnées rectangulaires, cylindriques et sphériques :

A _x i + A _y j + A _z k = − ∂f

∂x i + ∂f

∂y j + ∂f

∂z k

!

A ρ e ρ + A θ e φ + A z e z = − ∂f

∂ρ e ρ + 1 ρ

∂f

∂φ e φ + ∂f

∂z e z

!

A r e _r + A θ e _θ + A φ e _φ = − ∂f

∂r e _r + 1 r

∂f

∂θ e _θ + 1 r sin θ

∂f

∂φ e _φ

!

Lorsque le champ vectoriel est un modèle de force, la fonction scalaire est une énergie potentielle.

Définition 1.2.14 . Énergie potentielle

Un modèle de force dérive d’une énergie potentielle E _p lorsque l’on peut écrire :

F = − grad E p dans tout réf érentiel (20) F étant un modèle de force, E _p est un modèle d’énergie potentielle adapté au problème.

La convention de signe négatif rend compte du fait que la force est dirigée selon les potentiels décroissants.

Exemple 5 . Potentiel d’une force de gravitation

Soit E pp l’énergie potentielle de pesanteur de la force gravitationnelle F . D’après la défini- tion 1.2.13 p. 17, en coordonnées sphériques :

F = − grad E pp

F e _ρ = − ∂E pp

∂ρ e _ρ F = − ∂E pp

∂ρ Avec la relation (14) p. 13 :

E pp = − ˆ

F dρ

=

ˆ G m 1 m 2

ρ ² dρ E pp = − G m 1 m 2

ρ (21)

Exemple 6 . Énergie potentielle d’un champ de gravitation

Soit V le potentiel scalaire du champ gravitationnel g. D’après la définition 1.2.13 p. 17, en coordonnées sphériques :

g = − grad V Ee ρ = − ∂V

∂ρ e _ρ E = − ∂V

∂ρ

Avec la relation (15) p. 13 :

V = − ˆ

E dρ

=

ˆ G m ρ ² dρ V = − G m

ρ (22)

V est le potentiel de gravitation. En partant de la relation (16) p. 13, nous trouvons la relation entre énergie potentielle et potentiel :

F ₁₂ = m 2 g ₁

− grad E p

= −m 2 grad V 1

E p

= m 2 V 1

que l’on retrouve directement en utilisant les relations (21) et (22).

Lorsque plusieurs forces s’exercent sur le système, les modèles étant des vecteurs, nous pou- vons les additionner. Par linéarité de l’opérateur gradient, nous pouvons de même additionner les énergies potentielles correspondantes à ces forces :

F 1 + F 2 = − grad E p1 − grad E p2

= − grad (E p1 + E p2 ) Donc les énergies potentielles s’additionnent :

E p = ^X

i

E pi

Dans le cas général la force et son modèle associé dépendent du temps (eg : particule chargée dans un champ électrique variable) et de la position (eg : champ de gravitation). Par conséquent le modèle d’énergie potentielle aussi,

F (r, t) = − grad E p (r , t)

et la différentielle totale exacte (dte) de l’énergie potentielle s’écrit : dE p (r, t) = grad E p · dr + ∂E p

∂t dt

Si la force est indépendante du temps, elle dérive (spatialement) d’une énergie potentielle elle aussi indépendante du temps, et dans ce cas la dte s’écrit :

dE p (r) = grad E p · dr

Supposons que chaque modèle de force dérive d’une énergie potentielle et soit indépendant du temps. Le terme de droite de la relation (18) p. 15 devient :

X

ˆ B A

F · dr = ^X

i

ˆ B A

− grad E pi · dr

= − ˆ B

A

grad E p · dr

= − ˆ B

A

∂E p

∂x dx + ∂E p

∂x dy

!

= − ˆ B

A

dE _p

= − [E p ] ^B _A

= E _p (A) − E _p (B) dans tout référentiel