M1 Physique et Chimie, Phys. Stat., 06–07 1
E
XAMEN DEM
ARS2007 1
Séparation isotopiqueOn étudie la séparation isotopique de l’Uranium sous la forme chimique d’hexaflorure d’Uranium UF6. Pour simplifier on ne considérera que deux isotopes, le235Uet le238U. La masse molaire du Fluor est 19, si bien qu’on aura, en phase gazeuse, des molécules de masse m, de masse molaire M = 349, en proportion initialex= 0,01, et d’autres de massem′, de masse molaireM′ = 352, en proportion initialex′, avecx+x′ = 1. On cherche à renforcer la proportion des molécules les plus légères.
1.1 Effusion
Le mélange gazeux est dans un récipient à la températureT.
a) Quelle est la distribution des vitesses pour chaque espèce ?
b) Quel est le rapport des vitesses moyennes, v/v′? (Noter qu’on ne demande pas les vitesses moyennesvetv′, mais seulement leur rapport).
c) On perce un petit trou dans la paroi du récipient, on recueille le premier jet et on analyse.
Quelle sera la proportion de l’isotope le plus léger ?
1.2 Gravitation
Le récipient est un cylindre de hauteurh.
a) Quelle sera la distribution de densité de chaque espèce en fonction de l’altitudez, qui varie de 0àh? On insistera plus sur la variation en fonction dezque sur la nomalisation.
b) Dans quelle région l’isotope léger sera-t-il en léger excès par rapport à la moyenne ?
c) Sih = 1m,g= 10 m/s2 etT = 300◦K, pourra-t-on utiliser la gravitation pour un enrichis- sement isotopique ?
1.3 Ultracentrifugation
Le récipient est un cylindre de révolution, de rayon R, qui tourne autour de son axe avec une vitesse angulaireω. Du fait de la viscosité, les molécules sont entraînées dans la rotation, et dans le référentiel du récipient, subissent une force centrifuge, qui dérive d’une énergie potentielleEP.
a) Montrer que pour la première espèce,EP =−mω2r2/2, oùrest la distance à l’axe.
b) En absence de rotation, on aurait une densité uniforme pour la première espèce,n/(πR2h), dont l’intégrale est le nombre de molesn∝x, et de même pour l’autre espèce. Les moles comprises entre les rayonsretr+ drsont donc en nombre
n
πR2h2πhrdr=n2rdr R2 ,
dont l’intégrale entrer= 0etr=Restn. Quel sera l’équivalent quand le récipient est en rotation ? c) Discuter brièvement des difficultés pratiques pour le procédé de séparation isotopique par ultracentrifugation.
d) Connaissez-vous d’autres procédés de séparation isotopique ?
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2 Capacité calorifique de l’hydrogène
2.1 Basse température
Pourquoi la capacité calorifique molaire à volume constant de l’hydrogène est-elleC = 3R/2à basse température ?
2.2 Un peu plus chaud
À plus haute température, on observe un palierC = 5R/2. Quelles sont les causes possibles de cette augmentation ?
2.3 Taille de la molécule
En première approximation, la structure de la molécule d’hydrogène est décrite par l’interaction de deux atomes de masseM = 1,67×10−27kg, qui interagissent au moyen d’une force centrale qui dérive de l’énergie potentielle dite de Morse,
V(r) =V0[exp(−2a(r−r0))−2 exp(−a(r−r0))] ,
où r est la distance interatomique, V0 = 4,5eV,α = 2,00 Å−1 etr0 = 0,74 Å. On rappelle que 1Å= 10−10m.
a) Quelle est la distance d’équilibre classiquereq entre les deux atomes dans la molécule ? b) En déduire le moment d’inertie classique de la molécule pour les rotations perpendiculaires à son axe.
On rappelle qu’en mécanique quantique, le carré du moment cinétiqueJ est quantifié, avec les valeursJ2 =j(j+ 1)~2,j = 0,1,2. . ., et que l’énergie d’un rotateur rigide de moment d’inertieI estJ2/(2I).
c) En déduire, avec application numérique, l’ordre de grandeur de la température à partir de laquelle les rotations de la molécules contribuent à la capacité calorifique.
d) En prenant comme rayon de Bohra0 = 1Å, masse de l’électron me ≃ M/2000 et rayon du proton Rp ≃ 1 fm = 10−15 m, calculer l’ordre de grandeur du moment d’inertie de l’atome d’hydrogène, puis de la molécule d’hydrogène vis-à-vis de son axe. En déduire l’ordre de grandeur de la température à laquelle la rotation de la molécule autour de son axe commence à contribuer à la capacité calorifique.
2.4 Vibration longitudinale de la molécule a) Montrer qu’au voisinage de la position d’équilibre,
V(r) =V(req) +1
2K(r−req)2+· · ·
Évaluer K et en déduire, avec application numérique, la pulsation des oscillations de la distance interatomique.
b) En déduire l’ordre de grandeur de la température à partir de laquelle les vibrations longitudi- nales contribuent à la capacité calorifique.
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c) On rappelle qu’en mécanique quantique, l’hamiltonien de l’oscillateur à une dimension,
H = p2
2m +Kx2 2 ,
a pour énergies propresǫn=~ω(n+ 1/2), avecω = (K/m)1/2etn= 0,1,2. . .
Calculer, pour une température T donnée, la probabilité normalisée d’occupation pn du niveau d’énergie d’étiquettenet la valeur moyenne de l’énergie de vibration.
d) En déduire la contribution de cette vibration à la capacité calorifique, comme fonction de la température, et vérifier que l’on retrouve bien la limite classique.
2.5 Hautes températures
À partir des niveaux d’énergie des états liés coulombiens H = (p, e−), H2 = (p, p, e−, e−), H2+ = (p, p, e−)etH− = (p, e−, e−)rappelés sur la figure, identifier les processus dominants sus- ceptibles de se produire quand la température de l’hydrogène augmente encore, et donner l’ordre de grandeur de la contribution à la capacité calorifique et l’ordre de grandeur des températures corres- pondantes.
2.6 Récapituler l’allure de la courbeC(T) E(eV)
−27,2-
−13,6- 0 -
H
H + H
H2 4,5eV H− 0,75 eV H2+
2.8eV
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Formulaire
Certains des résultats ci-dessous peuvent être utilisés.
π= 3,1415927, e= 2,7182818, γ = 0,57721566, n!≃nnexp(−n)(2πn)1/2 ,
(p+q)N =
N
X
n=0
CNnpnqN−n, CNn = N!
n!(N −n)! , N p(p+q)N−1=
N
X
n=0
nCNnpnqN−n,
N p(q+pN)(p+q)N−2 =
N
X
n=0
n2CNnpnqN−n,
Z +∞
−∞
exp(−ax2) dx= rπ
a , Z +∞
−∞
x2 exp(−ax2) dx= π1/2
2a3/2 , P(x) = 1
√2πσ exp
−(x−x)¯ 2 2σ
,
1 +r+r2+· · ·= 1
1−r , (si|r|<1),
h= 6,63×10−34J.s, ~= 1,05×10−34J.s, R = 8,31 J/◦K/mole, N = 6,02×1023mole−1, k= 1,38×10−23J/◦K
