Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques1
Comportement local (fiche 3) Utilisation d’équivalents exercice 1 ♣
1. Trouver un équivalent dearccosx quand x→1−. 2. Même question pour π
2 −arcsinx quand x→1−. exercice 2 ♣♣
a) Montrer que l’équation lnx+x=y admet une solution unique quelque soit y∈IR.
b) Soitk un entier naturel, on note xk l’unique solution de l’équation lnx+x=k.
Montrer qu’il existe trois réels a,b, ctels que, lorsque k tend vers ∞, on a :
xk =ak+blnk+clnk
k +o lnk k
!
.
exercice 3 ♣
Soit a∈IR?+ et(un)une suite à termes strictement positifs. Montrer que :
n→+∞lim (un)n=a si et seulement si lim
n→+∞n(un−1) = ln(a).
exercice 4 ♣♣
On fixe u0 dans l’intervalle i0,π2i et on considère la suite récurrente un+1 = sin(un), n≥0.
Il s’agit de trouver un équivalent de un quand → ∞.
1. Montrer que la suite est à termes strictement positifs et qu’elle tend vers 0.
2. Déterminer un réel α tel que la suite ((un+1)α −(un)α) converge vers une limite non nulle.
3. En utilisant un résultat (célèbre) vu lors d’une précédente séance de travaux dirigés, donner alors un équivalent de la suite de départ.
1. Licence Sciences L2, M34
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