annéescolaire2018-2019 Mécanique Ondesmécaniques

(1)

Introduction Etablissement de l'équation de D'Alembert Ondes planes stationnaires Ondes planes progressives Exercice

Ondes mécaniques

Mécanique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

(2)

Quel est le spectre d'un instrument à cordes ?

(3)

Problématique Plan

1) démontrer l'équation d'onde

(4)

(5)

Problématique Plan

3) chercher des solutions d'ondes progressives

(6)

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un

axe Ox tendue avec la tension T ₀ , de masse linéique µ _` . On néglige

la pesanteur. On note T ~ (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la

partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l d'abscisse

(7)

Onde le long d'une corde Propagation du son dans un solide Généralisation : équation de d'Alembert

Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tendue horizontalement (exercice)

Montrer que l'altitude y (x, t) à l'instant t suit l'équation

∂ ² y

∂t ² = c ₀ ² ∂ ² y

∂x ² avec c ₀ = s

T ₀

µ _`

(8)

µ_`dxd²~r

dt2 =T~(x+dx,t)−T~(x,t)

dont la projection suivant~uxdonne :

µ_`dx∂²x

∂t² ≈0=T_x(x+dx,t)−T_x(x,t) =∂Tx

∂x dx

Aussi, on pourra considérerT_x= T~

cosα≈

T~

=T₀, constante. Donc, la projection suivant~uyde la tension estTy=

T~

sinα≈T₀α, ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µ_`dx∂²y

∂t² =T₀α(x+dx,t)−T₀α(x,t) =T₀∂α

∂x dx

(9)

Approximation des milieux continus (dénition) Dans l'approximation des milieux continus, la

dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée a ) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

a λ

(10)

Elasticité d'un solide

l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueur au

repos voit cette longueur varier de sous l'action d'une force ~ .

(11)

Loi de Hooke et module de Young

La loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide de section S est proportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S ∆`

`

où E est le module de Young (ou module d'élasticité),

typiquement de l'ordre de E ≈ 10 ¹¹ N · m ⁻ ² .

(12)

Modélisation d'une tige solide par un milieu continu déformable

On s'intéresse à une tige solide de section S , de masse volumique

µ , suivant la loi de Hooke avec le module de Young E . On néglige

la pesanteur.

(13)

Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige déformable (exercice)

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂ ² ξ

∂t ² = c ₀ ² ∂ ² ξ

∂x ² avec c ₀ = s

E

µ

(14)

`= [(x+dx)]−[x] =dx La longueur du système allongé est

`⁰= [(x+dx) +ξ(x+dx,t)]−[x+ξ(x,t)] =`+∂ξ

∂xdx⇒∆`= ∂ξ

∂xdx Le théorème de la résultante cinétique donne

µSdx∂²x

∂t² =µSdx∂²ξ

∂t²Fx(x+dx,t)−Fx(x,t) =∂Fx

∂x dx Enn la loi de Hooke donne

∂F_x

= ∂

E S∆`

=E S∂ ∂ξ

=E S∂²ξ 2

(15)

Modélisation d'un solide par une chaîne innie de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox ) de ressorts sans

masse, tous identiques, de longueur à vide l ₀ , de constante de

raideur k, séparés par des particules ponctuelles toutes identiques,

de masse m . La masse numéro n est à l'abscisse x n (t) . On

négligera la pesanteur.

(16)

Établissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne innie de ressorts (exercice) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂ ² ξ

∂t ² = c ₀ ² ∂ ² ξ

∂x ² avec c ₀ = a r k

m

(17)

Établissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne innie de ressorts (exercice)

Le théorème de la résultante cinétique donne

md²xn dt² =md²ξn

dt² =−k. Xn+ξn−Xn−1−ξn−1−l₀

+k.(Xn+1+ξn+1−Xn−ξn−l₀)

En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d²ξ_n dt2 = k

m ξ_n+1+ξ_n−1−2.ξ_n

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξ_nvarie lentement devanta:ξ_n(t) =ψ(x≈n.a,t). Aussi, on pourra déterminer la déformation enx≈(n−1)aet enx≈(n+1)a







ξ_n+1(t) =ψ(x≈(n+1)a,t)≈ψ(x≈n a,t) +^∂ψ_∂xa+^∂_∂x2²^ψ^a₂² ξn−1(t) =ψ(x≈(n−1)a,t)≈ψ(x≈n a,t)−^∂ψ

∂xa+^∂_∂x2²^ψ^a2₂

L'équation de la déformation devient alors ^∂_∂t2²^ψ=c₀²^∂_∂x2²^ψavecc₀=a qk

m.

(18)

Valeurs de la vitesse du son dans diérents solides

solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit

c ₀ en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

Table Vitesse du son dans diérents solides

(19)

Equation de d'Alembert (dénition) à une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert

1 c ₀ ²

∂ ² ψ

∂t ² = ∂ ² ψ

∂x ²

La célérité de l'onde c ₀ s'exprime en m · s ⁻ ¹ A trois dimensions, on peut généraliser :

1 c ₀ ²

∂ ² ψ

∂t ² = ∆ψ = ∂ ² ψ

∂x ² + ∂ ² ψ

∂y ² + ∂ ² ψ

∂z ²

(20)

Propriétés de l'équation de D'Alembert

l'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles en x, y, z et t.

La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition.

Si ψ ₁ et ψ ₂ sont solutions de l'équation de D'Alembert, alors a ₁ .ψ ₁ + a ₂ .ψ ₂ est aussi solution (avec n'importe quelles constantes a ₁ et a ₂ ).

L'équation de D'Alembert est réversible. En eet t → −t laisse

invariante l'équation. En optique, on parle de la loi du retour

inverse de la lumière.

(21)

Ondes planes stationnaires monochromatiques Modes propres

Spectre

Onde stationnaire plane (dénition) Dans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x) G (t)

(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des

variables d'espace et de temps sont découplées.)

(22)

Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM) ψ(x,t) =F(x).G(t)vérie l'équation de D'Alembert^∂2ψ_∂x2 = _c2¹

0

∂2ψ

∂t2, qui devient

F”(x)G(t) = 1

c₀²F(x).G”(t)⇔c₀²F”(x) F(x) = G”(t)

G(t) =cste

en eet, le premier terme ne dépend que dex, le second que det: il ne peut s'agir que d'une constante. Si cette constante est positive, les fonctions sont

exponentielles, et divergent à l'inni : ce n'est pas physiquement acceptable. Aussi, cette constante est négative, et on la notera−ω². On trouve la solution de

G”(t)

G(t) =−ω²:G(t) =G₀.cos (ω.t+ϕ_G). De même, la solution de^F”(x)_F(x) =−^ω2 c2 0 est :F(x) =F₀.cos

ω c0.x+ϕ_F

.

(23)

Spectre

Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM)

En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnaires de

l'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x, t) = ψ ₀ . cos (k .x + ϕ _F ) . cos (ω.t + ϕ _G ) avec k = _c ^ω

0

.

(24)

Comportement temporel d'une onde stationnaire

L'onde stationnaire oscille au cours du temps. Elle est comprise

entre ses deux enveloppes.

(25)

Spectre

N÷uds de vibration (dénition)

Les n÷uds de vibration sont les endroits où

ψ(x , t) = 0 ∀t.

(26)

Ventres de vibration (dénition)

Les ventres de vibration sont les endroits où

l'amplitude est maximale.

(27)

Spectre

Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres cos (k.x_n+ϕ_F) = cos (k.x_n+1+ϕ_F) =0 si

k.xn+ϕ_F=^π₂+n.π k.x_n+1+ϕ_F=^π₂+ (n+1).π

soitk.(x_n+1−xn) =π, ou bien encorex_n+1−xn= ^λ₂. de même pour les ventres :cos (k.x_k+ϕ_F) = cos k.x_k+1+ϕ_F

=±1 si

k.x_k+ϕ_F=k.π k.x_k+1+ϕ_F= (k+1).π

soitk. x_k+₁−x_k

=π, ou bien encorex_k+₁−x_k=^λ₂.

(28)

Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres

Deux n÷uds de vibration successifs sont éloignés de

λ 2 .

Deux ventres de vibration successifs sont éloignés de

λ 2 .

(29)

Spectre

Fuseaux

Les fuseaux sont séparés par deux n÷uds de vibration. Ils contiennent chacun un ventre de vibration.

La largeur d'un fuseau est la distance entre deux n÷uds de

vibration consécutifs, donc elle vaut ^λ ₂ .

(30)

(31)

Spectre

Modes propres d'une corde vibrante xée à ses deux extrémités

Les conditions aux limites pour une corde de longueurLxée à ses deux extrémités imposent un n÷ud aux deux extrémités donc un nombre entier de fuseaux donc

L=nλ

2 ⇒f=n c₀ 2L

(32)

Modes propres d'une corde vibrante xée à ses deux extrémités

Les conditions aux limites pour une corde de longueur L xée à ses deux extrémités imposent des solutions de types OPSM telles que

L = n λ

2 ⇒ f = n c ₀ 2 L

où n est un entier non nul. Ces solutions sont

appelées modes propres de la corde.

(33)

Spectre

Résonances sur la corde de Melde

Une extrémité de la corde vibre, tandis que l'autre est xe. Les

vibrations sont importantes uniquement si la fréquence d'excitation

est une fréquence propre de la corde.

(34)

deux extrémités

La solution générale de l'équation d'onde est

y(x, t) =

∞

X

n= 1

sin (k n x ) (A n cos (ω n t) + B n sin (ω n t))

où k _n = ^nπ _L et ω _n = ⁿ ^π _L ^c

⁰

. On admet que

A n = 2 L

Z L

0 y(x, t = 0) sin (k n x) dx

2 Z L d y

(35)

Spectre

Exemple : décomposition de Fourier en OPSM pour une corde pincée

Si on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x ₀ , après l'avoir éloignée de la distance y ₀ de l'axe Ox, on peut montrer que B n = 0 ∀n et

A _n = y ₀ L x ₀ (L − x ₀ )

r 2 L

sin (k _n x ₀ )

k _n ²

(36)

L'évolution dans le temps d'une corde pincée

Si on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x ₀ , après l'avoir éloignée de la distance y ₀ de l'axe Ox , on peut montrer que B = 0 ∀n et A = ^y

⁰

^L

q 2 sin(k

n

x

₀

) .

(37)

Spectre

Dénitions physiques relatives à la décomposition de Fourier

• le continu, la moyenne, l'oset : f continu = C ₀ ;

• l'ondulation : f _ond (t) =

∞

P

n= 1 [C n cos (n ω t + φ n )] ;

• le fondamental : f ₁ (t) = C ₁ cos (ω t + φ ₁ ) ;

• l'harmonique de rang n : f _n (t) = C _n cos (n ω t + φ _n ) ;

• la valeur ecace : f _eff = p

hf ² (t)i = s

C ₀ ² + ¹ ₂

∞

P

n= 1 C _n ² (formule

de Parseval).

(38)

Spectre (dénition)

La représentation de |C _n | en fonction de n , ω n ou de la fréquence f _n = ^ω ₂ _π

ⁿ

est le spectre de f .

Exemple de spectre :

(39)

Spectre

Le phénomène de Gibbs

Il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un eet de bord qui se produit à proximité d'une discontinuité : pour représenter

convenablement une fonction discontinue, il faudrait une innité

d'harmoniques.

(40)

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique, ou encore OPPM)

• vers les x croissants :

h ω = A cos [ω t − k x − ϕ ₀ ]

• vers les x décroissants :

m _ω = A cos [ω t + k x − ϕ ₀ ] avec k = ^ω _c .

On peut généraliser avec la forme :

(41)

Ondes planes progressives monochromatiques Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires Ondes progressives en général et paquet d'ondes

Vérication qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert (exercice)

Sous quelle condition A. cos [ω.t − k.x − ϕ ₀ ] , A. cos [ω.t + k.x − ϕ ₀ ] et A. cos

h

ω.t − ~ k.~ r − ϕ ₀ i

sont-elles solutions de l'équation de D'Alembert ?

(42)

Vérication qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert (exercice) Il faut quek~kk=^ω_c.

(43)

Comportement temporel d'une OPPM

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers

les x croissants (resp. décroissant) est un sinus qui se déplace vers

la droite (resp. vers la gauche).

(44)

Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période (dénition)

• ω : pulsation (en rad · s ⁻ ¹ ) ;

• ν = ₂ ^ω _π : fréquence (en Hz) ;

• T = ¹ _ν = ² _ω ^π : période (en s).

(45)

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombre d'onde (dénition)

• ~ k : vecteur d'onde (en rad · m ⁻ ¹ ) ;

• σ = | ^~ k |

2 π : nombre d'onde (en m ⁻ ¹ ) ;

• λ = _σ ¹ = ² ^π

| ^~ k | : longueur d'onde (en m).

(46)

(dénition)

une onde plane progressive monochromatique a pour amplitude :

ψ(~ r, t) = Re

ψ(~ ˜ r , t)

où ψ ˜ est l'OPPM complexe associée.

L'amplitude complexe (en ~ r , à l'instant t ), associée à une onde plane monochromatique de pulsation ω et de vecteur d'onde ~ k est :

ψ ˜ = ψ ₀ e ^j ( ^~ ^k · ~ r−ω t+ϕ

₀

)

(47)

Attention !

on aurait pu choisir le complexe conjugué ψ ₀ e ^−j ( ^~ ^k · ~ r −ω t+ϕ

₀

) qui a

la même partie réelle. Mais, une fois choisie la convention, il faut

s'y tenir.

(48)

Attention !

Si l'OPPM se propage suivant u ~ z , ~ k = k.~ u z , et on peut réécrire :

ψ ˜ = ψ ₀ .e ^j (k.z−ω.t+ϕ)

(49)

Intérêt des OPPM complexes

On pourra remplacer l'OPPM réelle ψ par sa forme complexe

associée ψ ˜ dans toute équation suivie par ψ , pour peu que cette

équation soit linéaire. L'intérêt est de rendre, avec les complexes,

les calculs... plus simples qu'avec des fonctions trigonométriques !

(50)

Vérication qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alembert (exercice)

Sous quelle condition ψ ₀ .e ^j ( ^~ ^k ^.~ ^r ^−ω.t+ϕ

0

) est-elle

solution de l'équation de D'Alembert ?

(51)

Vérication qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alembert (exercice)

Il faut que

~k =^ω_c.

(52)

Attention !

ψ ˜ = ψ ₀ .e ^j ^.k.x .e ^−j.ω.t semble être de la forme F (x) · G (t) , cependant seule compte l'onde réelle

ψ = Re( ˜ ψ) = ψ ₀ cos (ω.t − k.x). On voit ainsi qu'il ne s'agit pas

d'une onde stationnaire.

(53)

Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives (exercice)

Montrer que l'onde stationnaire apparaît comme la superposition

• d'une onde plane progressive monochromatique

ψ + = ψ ₀

2 cos (ω.t − k .x + ϕ _G − ϕ _F ) qui se propage vers les x croissants ;

• et d'une onde plane progressive monochromatique

ψ − = ψ ₀

2 cos (ω.t + k .x + ϕ _G + ϕ _F )

de même amplitude qui se propage vers les x

décroissants.

(54)

Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives (exercice) ψ=ψ₀.cos (k.x+ϕ_F).cos (ω.t+ϕ_G) peut se réécrire

ψ= ψ₀

2 [cos (ω.t−k.x+ϕ_G−ϕ_F) + cos (ω.t+k.x+ϕ_G+ϕ_F)]

(55)

Ondes stationnaires et réexion

cette onde stationnaire peut donc naître en particulier de la

réexion totale d'une OPPM incidente, du fait de la superposition

de l'OPPM se propageant vers les x croissants (onde incidente) et

de l'OPPM se propageant vers les x décroissants (onde rééchie).

(56)

Nécessité d'une superposition d'OPPM

une OPPM n'est pas physique car elle a une extension innie dans l'espace et dans le temps. Elle ne nit jamais, et a débuté il y a un temps inni !

L'OPPM est un outil mathématique intéressant car on peut

décomposer une onde sous la forme de superposition d'OPPM.

(57)

Forme d'une onde plane progressive en général On cherche des solutions à l'équation de D'Alembert :

∂

∂t

−c₀∂

∂x

∂

∂t+c₀∂

∂x

ψ(x,t) =0

Si on poseu=t− ^x

c0,^∂h(u)_∂t =^∂h_∂u^∂u_∂t =^dh_duet^∂h(u)_∂x = ^∂h_∂u^∂x_∂t =−¹ c0dh

du. De même, siv=t+_c^x

0,^∂m(v)_∂t =^∂m_∂v^∂v_∂t = ^dm_dv et^∂m(v)_∂x =^∂m_∂v^∂x_∂t =_c¹ 0dm

dv. h

t− ^x c0

etm t+_c^x

0

sont donc solutions de l'équation de D'Alembert.

(58)

Forme d'une onde plane progressive en général Une onde plane progressive vers les x croissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = h

t − x c ₀

Une onde plane progressive vers les x décroissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = m

t + x c ₀

(59)

Forme mathématique d'un paquet d'onde (dénition)

La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une superposition d'OPPM peut s'écrire

ψ ˜ = Z ∞

0 A ˜ (ω) e ^j ^(ω ^{t−k x} ⁾ d ω

où A ˜ (ω) est le spectre de cette onde.

(60)

Extension d'un paquet d'ondes

Bien souvent A ˜ (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur

∆ω : on parle de paquet d'ondes.

Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension

∆ν = ^∆ω ₂ _π .

(61)

Paquet d'ondes

un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine

d'OPPM.

(62)

Spectre et transformée de Fourier

On peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée

∆t telle que

∆t ∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x, reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :

∆x ∆k ≈ 1

(63)

Modélisation d'un instrument à corde

Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques homogènes, tendus entre deux points séparés par une longueur L . Le rayon du cylindre est a avec a L .

1) La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T ₀ . Au repos la corde est rectiligne et parallèle à l'axe horizontal (Ox) . On étudie les mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre. On note y (x, t) le déplacement (ou ébranlement) du point de la corde à l'abscisse x à l'instant t . L'axe Oy est l'axe vertical ascendant.

1.a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles que vérie l'ébranlement y (x, t ) .

1.b) Calculer la célérité c pour une corde de piano de masse

volumique ρ = 7800 kg · m ⁻ ³ , de tension T ₀ = 850 N, de diamètre

φ = 1 , 2 mm.

(64)

2) La corde est xée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L . On cherche une solutions de l'équation diérentielle précédente sous la forme d'une onde harmonique caractérisée par la pulsation ω et la norme du vecteur d'onde k .

2.a) Quelle doit être la forme de cette onde harmonique ? 2.b) Montrer que seulement certaines fréquences sont possibles, qu'on appellera fréquences propres de la corde.

2.c) Pour un mode propre donné, dénir les ventres et les n÷uds de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres consécutifs ? entre deux n÷uds consécutifs ? entre un ventre et un n÷ud

consécutifs ?

(65)

3) Solution générale

On écrit la solution correspondant aux conditions aux limites y( 0 , t) = y(L, t) = 0 comme une superposition des modes propres :

y (x, t) =

∞

X

n= 1

h

a _n cos n π c t L

+ b _n sin n π c t L

i

sin n π x L

On donne les spectres calculés pour une corde pincée à la moitié de sa longueur puis au cinquième de celle-ci, où c n = p

a ² _n + b _n ² :

(66)

3.a) Comment peut-on expliquer l'absence de certains harmoniques dans ces spectres ?

On peut montrer que les coecients a n associés à la corde pincée décroissent globalement comme 1 /n ² . En revanche les amplitudes des diérents harmoniques de la corde frappée décroissent plutôt en 1/n (au moins à partir d'une certaine valeur de n).

3.b) Comparer alors les sons d'un clavecin (instrument à corde

pincées) et d'un piano (instrument à corde frappées). Quel

caractère du son est alors ressenti à l'oreille ?

(67)

1) Mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre

1.a) Puisque le poids est négligé, l'élément de corde, de longueurd`≈dx, de massedm=µd`, est soumis à :

• la tension de la portion de l située à droite :T(x~ +dx,t);

• la tension de la portion de l située à gauche :−T(x~ ,t).

Le mouvement de la corde ayant lieu selonOy, le théorème de la résultante cinétique appliqué à cet élément de corde s'écrit :

dm∂²y

∂t²~e_y=T(x~ +dx,t)−T(x,~ t)

La projection surOxdonne

0=T(x+dx,t) cosα(x+dx,t)−T(x,t) cosα(x,t)≈T(x+dx,t)−T(x,t)⇒T(x,t) =T₀

car les angles sont petits. La projection surOydonne

µdx∂²y

∂t2 =T₀sinα(x+dx,t)−T₀sinα(x,t)≈T₀[α(x+dx,t)−α(x,t)] =T₀∂α

∂xdx=T₀∂²y

∂x2dx

On trouve donc

(1)∂²y

∂t² =c²∂²y

∂x²

où c= r

T0 µ .

1.b) Pour la corde de piano :c= v u u t

850 7800×π

1,2×10−32 4

⇒

c=3,1×10²m·s⁻¹.

2) Modes propres, fréquences propres

2.a) A cause des conditions aux limites, il faut prendre des ondes stationnaires :

y(x,t) =y₀cos (ωt+ϕ) cos (k x+ψ)

alors

∂²y

∂t² =−ω²y(x,t) et

∂²y

∂x² =−k²y(x,t)

(1)⇒ω²=c²k², soit ω=c k. 2.b) Les conditions aux limites imposent :

∀t,y(0,t) =0⇒y(x,t) =y₀cos (ωt+ϕ) sin (k x)

et

∀t,y(L,t) =0⇒sin (k L) =0⇔k L=nπ⇔k= nπ L

oùnest entier. Or, comme on a vu queω=c k, alors f_n=₂^{n c}_L oùnest entier sont les fréquences propres.

L'élongation correspondante, y(x,t) =y₀cos_n_π_{c t}

L +ϕ

sin_n_π_x L

est le mode propre associé.

2.c)Un n÷ud de vibration est un point qui reste immobile :

∀t,y(x,t) =0⇔sin nπx

L

=0⇔nπx

L =pπ⇔x= p nL= pλ

2 oùpest entier.

Un ventre de vibration est un point où l'amplitude de vibration est maximale :

∀tsin nπx

L

=±1⇔nπx L =qπ+π

2 = (2q+1)π

2 ⇔x= (2q+1) L

2n= (2q+1)λ 4 oùqest entier.

Deux n÷uds (ou deux ventres) consécutifs sont donc distants de^λ₂ . Un n÷ud et un ventre consécutifs sont distants de^λ₄ .

3) Solution générale

3.a) Les harmoniques éteints sont ceux qui s'annulent là oùα(x)est maximal : - harmoniques pairs pour le premier spectre (L/2),

- harmoniques multiples de 5 pour le second spectre (L/5). NB : pour la corde pincée en son milieu, il n'y a que des harmoniques impairs parce qu'une translation d'une demi-période (c'est-à-dire deL) transforme la fonction en son opposé.

3.b) Le son d'un clavecin est moins riche en harmoniques que le son d'un piano Mécanique Ondes mécaniques

annéescolaire2018-2019 Mécanique Ondesmécaniques

Ondes mécaniques

Mécanique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

Quel est le spectre d'un instrument à cordes ?

1) démontrer l'équation d'onde

3) chercher des solutions d'ondes progressives

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un

axe Ox tendue avec la tension T 0 , de masse linéique µ ` . On néglige

la pesanteur. On note T ~ (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la

partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l d'abscisse

Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tendue horizontalement (exercice)

Montrer que l'altitude y (x, t) à l'instant t suit l'équation

∂ 2 y

∂t 2 = c 0 2 ∂ 2 y

∂x 2 avec c 0 = s

T 0

µ `

Approximation des milieux continus (dénition) Dans l'approximation des milieux continus, la

dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée a ) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

a λ

Elasticité d'un solide

l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueur au

repos voit cette longueur varier de sous l'action d'une force ~ .

Loi de Hooke et module de Young

La loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide de section S est proportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S ∆`

`

où E est le module de Young (ou module d'élasticité),

typiquement de l'ordre de E ≈ 10 11 N · m − 2 .

Modélisation d'une tige solide par un milieu continu déformable

On s'intéresse à une tige solide de section S , de masse volumique

µ , suivant la loi de Hooke avec le module de Young E . On néglige

la pesanteur.

Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige déformable (exercice)

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂ 2 ξ

∂t 2 = c 0 2 ∂ 2 ξ

∂x 2 avec c 0 = s

E

µ

Modélisation d'un solide par une chaîne innie de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox ) de ressorts sans

masse, tous identiques, de longueur à vide l 0 , de constante de

raideur k, séparés par des particules ponctuelles toutes identiques,

de masse m . La masse numéro n est à l'abscisse x n (t) . On

négligera la pesanteur.

Établissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne innie de ressorts (exercice) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂ 2 ξ

∂t 2 = c 0 2 ∂ 2 ξ

∂x 2 avec c 0 = a r k

m

Valeurs de la vitesse du son dans diérents solides

solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit

c 0 en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

Table Vitesse du son dans diérents solides

Equation de d'Alembert (dénition) à une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert

1 c 0 2

∂ 2 ψ

∂t 2 = ∂ 2 ψ

∂x 2

La célérité de l'onde c 0 s'exprime en m · s − 1 A trois dimensions, on peut généraliser :

1 c 0 2

∂ 2 ψ

∂t 2 = ∆ψ = ∂ 2 ψ

∂x 2 + ∂ 2 ψ

∂y 2 + ∂ 2 ψ

∂z 2

Propriétés de l'équation de D'Alembert

l'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles en x, y, z et t.

La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition.

Si ψ 1 et ψ 2 sont solutions de l'équation de D'Alembert, alors a 1 .ψ 1 + a 2 .ψ 2 est aussi solution (avec n'importe quelles constantes a 1 et a 2 ).

L'équation de D'Alembert est réversible. En eet t → −t laisse

invariante l'équation. En optique, on parle de la loi du retour

inverse de la lumière.

Onde stationnaire plane (dénition) Dans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x) G (t)

(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des

variables d'espace et de temps sont découplées.)

axe Ox tendue avec la tension T ₀ , de masse linéique µ _` . On néglige

∂ ² y

∂t ² = c ₀ ² ∂ ² y

∂x ² avec c ₀ = s

T ₀

µ _`

typiquement de l'ordre de E ≈ 10 ¹¹ N · m ⁻ ² .

∂ ² ξ

∂t ² = c ₀ ² ∂ ² ξ

∂x ² avec c ₀ = s

masse, tous identiques, de longueur à vide l ₀ , de constante de

∂ ² ξ

∂t ² = c ₀ ² ∂ ² ξ

∂x ² avec c ₀ = a r k

c ₀ en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

1 c ₀ ²

∂ ² ψ

∂t ² = ∂ ² ψ

∂x ²

La célérité de l'onde c ₀ s'exprime en m · s ⁻ ¹ A trois dimensions, on peut généraliser :

1 c ₀ ²

∂ ² ψ

∂t ² = ∆ψ = ∂ ² ψ

∂x ² + ∂ ² ψ

∂y ² + ∂ ² ψ

∂z ²

Si ψ ₁ et ψ ₂ sont solutions de l'équation de D'Alembert, alors a ₁ .ψ ₁ + a ₂ .ψ ₂ est aussi solution (avec n'importe quelles constantes a ₁ et a ₂ ).

ψ (x, t) = ψ ₀ . cos (k .x + ϕ _F ) . cos (ω.t + ϕ _G ) avec k = _c ^ω

vibration consécutifs, donc elle vaut ^λ ₂ .

2 ⇒ f = n c ₀ 2 L

où k _n = ^nπ _L et ω _n = ⁿ ^π _L ^c

Si on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x ₀ , après l'avoir éloignée de la distance y ₀ de l'axe Ox, on peut montrer que B n = 0 ∀n et

A _n = y ₀ L x ₀ (L − x ₀ )

sin (k _n x ₀ )

k _n ²

Si on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x ₀ , après l'avoir éloignée de la distance y ₀ de l'axe Ox , on peut montrer que B = 0 ∀n et A = ^y

^L

• le continu, la moyenne, l'oset : f continu = C ₀ ;

• l'ondulation : f _ond (t) =

• le fondamental : f ₁ (t) = C ₁ cos (ω t + φ ₁ ) ;

• l'harmonique de rang n : f _n (t) = C _n cos (n ω t + φ _n ) ;

• la valeur ecace : f _eff = p

hf ² (t)i = s

C ₀ ² + ¹ ₂