Stanislas
Exercices
Géométrie ane
Chapitre XXXI MPSI 1
E désigne un R-espace vectoriel.
I - Sous-espaces anes Exercice 1. (-)Montrer que F =
2 + 5a−2b a 2 + 3a+b a−b
; a, b∈R
est un sous-espace ane de M2(R) dont on déterminera un point, la direction et la dimension.
Exercice 2. (-)SoientA, Bdeux points deE. SoientF =A+F etG =B+Gdeux sous espaces anes deE, oùF etGsont donc sous-espaces vectoriels de E. Montrer que siF∩G 6=∅, alors
−−→
AB ∈F+G.
Exercice 3. (!)SoientF,F0 deux sous espaces anes deEtels queF∩F0 =∅. Montrer qu'il existe deux sous-espaces anesG,G0 deE tels que
G G0,F ⊂G,F0 ⊂G0,G ∩G0 =∅.
II - Applications anes
Exercice 4. (-)Montrer que l'applicationf : R3 →R2,(x, y, z)7→(x+ 2y−4z+ 5,2x−z−3) est une application ane. Quelle est sa partie linéaire ?
Exercice 5. (-)Soit E un espace vectoriel de dimension3 muni d'un repère R = (O,−→ i ,−→
j ,−→ k).
Montrer quef : R3→R3,(x, y, z)7→(y+z−1, x+z−1, x+y−1)est une application ane dont on déterminera les points xes puis les droites et plans invariants.
Exercice 6. (-)Soit f une application ane inversible eth l'homothétie de centre A∈ E et de rapportλ. Montrer que f◦h◦f−1 est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
Exercice 7.Trouver les applications anes de E qui commutent avec toutes les translations.
Exercice 8. (♥)Soitf une application ane de E telle quef ◦f =f. Étudierf.
Exercice 9. (-)Soitfune application ane de partie linéaireϕtelle queϕ◦ϕ= IdE. Montrer qu'il existe un couple unique(t, s)formé d'une translation et d'une symétrie tels que f =t◦s=s◦t. III - Géométrie
Exercice 10. (-)SoitR3 muni d'un repère cartésien R= (O,−→ i ,−→
j ,−→
k). Déterminer la nature et les éléments caractérsitiques de l'application anef : R3 →R3,(x, y, z)7→(−y−z+ 1,−2x− y−2z+ 2, x+y+ 2z−1).
Exercice 11. (-) Soit R3 muni d'un repère orthonormé R = (O,−→ i ,−→
j ,−→
k). Déterminer les élé- ments caractéristiques de l'application f : R3 → R3,(x, y, z)7→ (13(−2x−y+ 2z) + 1,13(2x− 2y+z) + 1,13(x+ 2y+ 2z) + 3).
Exercice 12. (-)SoitE un espace vectoriel de dimension3muni d'un repèreR = (O,−→ i ,−→
j ,−→ k). Soit D = {x+y+z = 1, x−2y−z = 0}, ∆ = {6x = 2y = 3z} et P = {x+ 3y+ 2z = 6}. Déterminer la projection de la droite D sur le plan P parallèlement à ∆.
Géométrie ane MPSI 1
Exercice 13. (!)SoitX une partie deE qui admet deux centres de symétrie distincts. Montrer queX admet une innité de centres de symétrie.
Exercice 14. (Menelaüs et Ceva,♥)Soit ABC un triangle et A0 ∈(BC),B0 ∈(CA), C0 ∈(AB) trois points distincts des sommetsA, B etC.
1. Théorème de Menelaüs. Montrer queA0, B0, C0 sont alignés si et seulement si
A0B A0C ·B0C
B0A ·C0A C0B = 1.
2. Théorème de Ceva. Montrer que les droites(AA0),(BB0) et (CC0) sont concourantes ou pa- rallèles si et seulement si
A0B A0C ·B0C
B0A ·C0A C0B =−1.
Stanisla 2/2 A. Camane
