Géométrie ane

Stanislas

Exercices

Géométrie ane

Chapitre XXXI MPSI 1

E désigne un R-espace vectoriel.

I - Sous-espaces anes Exercice 1. (-)Montrer que F =

2 + 5a−2b a 2 + 3a+b a−b

; a, b∈R

est un sous-espace ane de M2(R) dont on déterminera un point, la direction et la dimension.

Exercice 2. (-)SoientA, Bdeux points deE. SoientF =A+F etG =B+Gdeux sous espaces anes deE, oùF etGsont donc sous-espaces vectoriels de E. Montrer que siF∩G 6=∅, alors

−−→

AB ∈F+G.

Exercice 3. (!)SoientF,F⁰ deux sous espaces anes deEtels queF∩F⁰ =∅. Montrer qu'il existe deux sous-espaces anesG,G⁰ deE tels que

G G⁰,F ⊂G,F⁰ ⊂G⁰,G ∩G⁰ =∅.

II - Applications anes

Exercice 4. (-)Montrer que l'applicationf : R³ →R²,(x, y, z)7→(x+ 2y−4z+ 5,2x−z−3) est une application ane. Quelle est sa partie linéaire ?

Exercice 5. (-)Soit E un espace vectoriel de dimension3 muni d'un repère R = (O,−→ i ,−→

j ,−→ k).

Montrer quef : R³→R³,(x, y, z)7→(y+z−1, x+z−1, x+y−1)est une application ane dont on déterminera les points xes puis les droites et plans invariants.

Exercice 6. (-)Soit f une application ane inversible eth l'homothétie de centre A∈ E et de rapportλ. Montrer que f◦h◦f⁻¹ est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

Exercice 7.Trouver les applications anes de E qui commutent avec toutes les translations.

Exercice 8. (♥)Soitf une application ane de E telle quef ◦f =f. Étudierf.

Exercice 9. (-)Soitfune application ane de partie linéaireϕtelle queϕ◦ϕ= Id_E. Montrer qu'il existe un couple unique(t, s)formé d'une translation et d'une symétrie tels que f =t◦s=s◦t. III - Géométrie

Exercice 10. (-)SoitR³ muni d'un repère cartésien R= (O,−→ i ,−→

j ,−→

k). Déterminer la nature et les éléments caractérsitiques de l'application anef : R³ →R³,(x, y, z)7→(−y−z+ 1,−2x− y−2z+ 2, x+y+ 2z−1).

Exercice 11. (-) Soit R³ muni d'un repère orthonormé R = (O,−→ i ,−→

j ,−→

k). Déterminer les élé- ments caractéristiques de l'application f : R³ → R³,(x, y, z)7→ (¹₃(−2x−y+ 2z) + 1,¹₃(2x− 2y+z) + 1,¹₃(x+ 2y+ 2z) + 3).

Exercice 12. (-)SoitE un espace vectoriel de dimension3muni d'un repèreR = (O,−→ i ,−→

j ,−→ k). Soit D = {x+y+z = 1, x−2y−z = 0}, ∆ = {6x = 2y = 3z} et P = {x+ 3y+ 2z = 6}. Déterminer la projection de la droite D sur le plan P parallèlement à ∆.

Géométrie ane MPSI 1

Exercice 13. (!)SoitX une partie deE qui admet deux centres de symétrie distincts. Montrer queX admet une innité de centres de symétrie.

Exercice 14. (Menelaüs et Ceva,♥)Soit ABC un triangle et A⁰ ∈(BC),B⁰ ∈(CA), C⁰ ∈(AB) trois points distincts des sommetsA, B etC.

1. Théorème de Menelaüs. Montrer queA⁰, B⁰, C⁰ sont alignés si et seulement si

A⁰B A⁰C ·B⁰C

B⁰A ·C⁰A C⁰B = 1.

2. Théorème de Ceva. Montrer que les droites(AA⁰),(BB⁰) et (CC⁰) sont concourantes ou pa- rallèles si et seulement si

A⁰B A⁰C ·B⁰C

B⁰A ·C⁰A C⁰B =−1.

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