 Chapitre 9 : Géométrie analytique

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Chapitre 9 : Géométrie analytique

I-Bases, repères et coordonnées :

Définitions 1 :

a . On appelle base de l'ensemble des vecteurs du plan tout couple de vecteurs non colinéaires i ,j.

b . On appelle repère du plan tout triplet O;i ,j où O est un point du plan eti ,june base de l'ensemble des vecteurs du plan.

Propriétés 1 : SoitO;i ,jun repère du plan :

a . Pour tout vecteuru, il existe un couple unique (x, y) de réels tels que :u=xiyj. b . Pour tout point M du plan, il existe un couple unique (x, y) de réels tels que :

OM=xiyj.

Le couple (x, y) s'appelle le couple de coordonnées du vecteuru (respectivement du point M).

x s'appelle l'abscisse et y s'appelle l'ordonnée.

Interprétation graphique :

Théorème 1 : Soit i ,june base de l'ensemble des vecteurs du plan, u ,v deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y) et (x', y') dans la base i ,j et k un réel :

a . _u=0 équivaut à x= 0 et y = 0.

b . u=v équivaut à x = x' et y = y'.

c . Le vecteur uv a pour coordonnées (x+x' , y+y').

d . Le vecteur ku a pour coordonnées (k x , k y).

Démonstration :

Théorème 2 : SoitO;i ,jun repère du plan, A et B deux points de coordonnées respectivesx_A, y_Aetx_B, y_Bdans le repèreO;i ,j.

a . Le vecteur ^AB a pour coordonnées x_B−x_A, y_B−y_A dans la basei ,j. b . Le milieu de [AB] a pour coordonnées



^x^A^²^x^B ^, ^y^A^² ^y^B



^.

Démonstration :

Théorème 3 : Soit i ,j une base de l'ensemble des vecteurs du plan, u et v deux vecteurs de coordonnées respectives x , y et x ' , y ' dans la basei ,j.

u et v sont colinéaires si et seulement si detu ,v=

∣

^{x x'}y y '

∣

⁼^{x y '}⁻^{x ' y=}^{0 .}

II - Bases et repères orthonormaux :

Définition 2 : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires ou si l'un des deux vecteurs est nul. On noteu⊥v.

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Définition 3 : Soiti ,june base de l'ensemble des vecteurs du plan et O un point du plan.

1. Si ^i⊥j alors on dit que la base i ,j est orthogonale et que le repère O;i ,j est orthogonal.

2. Si de plus les vecteurs sont de même norme égale à 1, dans l'unité choisie, alors la base

i ,j est appelée base orthonormale et le repère O;i ,j est appelé repère orthonormal.

Théorème 4 : Soiti ,june base orthonormale de l'ensemble des vecteurs du plan, O un point du plan, uun vecteur de coordonnées (x , y) dans la base i ,j, A et B deux points de coordonnées respectivesx_A, y_Aetx_B, y_B dans le repèreO;i ,j :

1. La norme du vecteuru est ∥u∥=



^x²^^y².

2. La longueur du segment [AB] est ∥AB∥=AB=



^^x^B⁻^x^A^²^^y^B⁻^y^A^²

Démonstration :

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