Vecteurs.
I Fondations.
II Produit et somme.
III Colinéarité.
IV Géométrie analytique.
I Fondations.
Les vecteurs sont la création de H.G. Grassman (Leçon sur le calcul linéaire 1844) puis suit en 1848 une amélioration notable (dimension 3) de William Hamilton (1805-1865). (vector signifie conducteur en latin).
La notion de vecteur est très naturelle. En effet, il suffit de pratiquer le jeu du « tir à la corde » pour se rendre compte qu’on ne développe pas tous la même force. En physique, la notion de force est traditionnellement attachée à la théorie des vecteurs. Prenez deux équipes de rugbymen
Si elles tirent toutes les deux dans le même sens, le jeu n’a pas grand intérêt. Plus subtile, si les vecteurs n’ont pas la même direction. En profiter pour bien faire la nuance entre direction et sens.
Question : qui gagne ? Introduire la longueur.
Définition Un vecteur est la donnée d’une direction, d’un sens et d’une longueur appellée norme du vecteur..
On note →u ou AB dans le cas ou les segment possède des extrémités pointées. →
Définition On dit que deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même longueur.
Etant donnés un point E et un vecteur →u , déterminer le point U tel que EU=→ →u , puis le point F tel que →FE =→u .
Règle du milieu (8.A) →AI =→IB équivaut à I milieu de [AB]
Remarque : Si on écrit AI=IB (égalité de longueur) équivaut à I appartient à la médiatrice de [AB].
Règle de parallélogramme (8.B) BL=→ EU équivaut à BLUE parallélogramme. →
(Aussi best/bets gust/guts coal/cola lost/lots beat/beta busy/buys sing/sign cats/cast cool/loco…) Nota : Attention au sens ! !
II Le petit train.
Définition : La somme de deux vecteurs →u et →v est le vecteur noté →u +→v obtenu selon la méthode du petit train : Soit A un point du plan, on construit le point B tel que AB=→ →u , Puis C tel que BC=→ →v . On a alors AC=→ →u +→v .
Relation de Chasles (1793-1880) (8.C)
AB + → BC = → AC →
Ce résultat est attribué à Chasles par erreur.
Définition On appellera vecteur opposé au vecteur →u un vecteur noté -→u , de même direction, de même longueur et de sens opposé.
Remarque : Dans le cas ou →u =AB on a -→ →u = - AB = → BA . →
Si l’on introduit l’opposé, il semble logique d’introduire le zéro. On l’appelle vecteur nul et on le note →0 . Ce n’est pas vraiment un vecteur dans la mesure ou il n’a ni longueur, ni direction, ni sens ; pourtant on est obligé de le considérer comme tel pour étendre la notion de vecteur.
Définition : La différence de deux vecteurs →u et →v notée →u -→v est obtenue en faisant la somme de →u et de -→v .
Si l’on introduit l’opposé, il semble logique d’introduire le zéro. On l’appelle vecteur nul et on le note →0 . Ce n’est pas vraiment un vecteur dans la mesure ou il n’a ni longueur, ni
direction, ni sens ; pourtant on est obligé de le considérer comme tel pour étendre la notion de vecteur.
Proposition (8.D) : Soient A,B,C et D trois points du plan, Si AB+→ AD=→ AC alors ABCD un →
parallèlogramme.
Démonstration : AB+→ AD=→ AB+→ AC+→ CD=→ AC (Chasles) donc → AB+→ CD=→ →0 et AB=-→ CD=→ DC. On →
conclut avec la règle du parallélogramme 8.B.
Tracez →u et →v deux vecteurs au hasard, puis construire→u +→v , →u -→v , -→u +→v , et - →u -→v .
III Un produit.
Définition : Le produit d’un vecteur →u par un réel k est un vecteur noté k→u . Ce vecteur k→u a la même direction que→u .
Si k>0 alors
ρ k→u a le même sens que →u .
ρ la longueur de k→u est le produit de k par la longueur de →u .
Si k<0 alors
ρ k→u est de sens opposé à celui de →u .
ρ la longueur de k→u est le produit de l’opposé de k par la longueur de →u .
Cette façon de voir les choses est plus forte que d’utiliser les longueurs qui se résume à AC = |k| AB.
Proposition (8.E) Pour tous réels k et k’ et tous vecteurs →u et →v , on a a) k→u =→0 équivaut à →u =→0 ou k=0.
b) k(→u +→v ) = k→u + k→v c) (k + k’) →u = k→u + k’→u d) k (k’→u ) = k k’→u .
e) 1. →u = →u
Simplifiez (2-1)(→u + 4→v ) - 3→u + 7→v .
Attention ! La multiplication ou la division de vecteurs n’ont pas de sens ! !
IV Deux applications.
Théorème (8.F) Soit A un point quelconque du plan. Dire que I est le milieu [BC]
équivaut à →AI =1
2(AB+→ AC). →
Démonstration : Il s’agit d’une équivalence donc on doit démontrer les deux sens :
CN D’après la proposition 8.D, si l’on construit le point C tel que AD=2→ →AI , alors ABDC est un parallélogramme et I le centre du parallélogramme, donc le milieu de ses diagonales et de [BC] en particulier.
CS D’après la règle 8.A, on a →IB =→IC . On part de AB+→ AC=→ →AI +→IB +→AI +→IC =2→AI et donc
→AI =1
2(AB+→ AC). →
Théorème (8. G) : Dire que G est le centre de gravité du triangle ABC équivaut à écrire GA+→ GB+→ GC=→ →0
Démonstration : Deux sens encore:
CS : Si on a GA+→ GB+→ GC=→ →0 , en utilisant Chasles, on trouve
GA+→ GA+→ AB+→ GA+→ AC=3→ GA+→ AB+→ AC=→ →0 . En introduisant I le milieu de [BC] et en utilisant la variante de la proposition 8.D, on a :
3GA+2→ →AI =→0 et AG= → 2 3
→AI .
Donc G est situé au deux tiers de [AG], c’est donc le centre de gravité de ABC.
CN : Si G est le centre de gravité de ABC alors Gχ[AI] donc il existe k tel que GA=k→ →GI . On voit que k= - 2.
GA= - 2→ →GI = - (→GI +→GI )= - (GB+→ →B I+GC+→ →C I) (avec Chasles) Or I est le milieu de [BC], donc →BI +→CI =→0 (règle 8.A)
Donc GA= - → GB - → GC et → GA+→ GB+→ GC=→ →0 .
V Colinéarité.
Définition : Deux vecteurs non-nuls →u =AB et → →v =CD sont dit colinéaires lorsqu’ils →
ont même direction, i.e. (AB) et (CD) sont parallèles.
Lemme d’alignement (8.H) : Les points A,B et C sont trois points alignés si et seulement s’il existe un réel k tel que AB=k→ AC. →
Démonstration : CN : Si AC et → AB sont de même sens, alors on a l’existence d’un réel k tel que →
AC=k→ AB avec k=→ AC
AB. Si AC et → AB sont de sens contraire, alors on a l’existence d’un réel k tel que →
AC=k→ AB avec k= - → AC AB.
CS : Si AB=k→ AC alors les deux vecteurs ont la même direction donc les droites associées sont →
parallèles et comme elles ont un point commun, elles sont confondues.
Théorème de colinéarité (8. I) : Deux vecteurs non-nuls →u et →v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que →u =k→v .
Démonstration : σ Si →u =k→v alors →u et→v ont la même direction, ils sont donc colinéaires.
υ Soit A un point du plan et B et C les points tels que AB=→ →u et AC=→ →v , les points A,B et C sont alignés car →u et →v ont la même direction. D’après le lemme , on a l’existence d’un réel k
tel que AB=k→ AC . →
Théorème de Thalès vectoriel (le retour) (8.J) Si AC=l→ AB et → AC’=m→ AB’ et → BB'=kCC' , alors BB’=k→ CC, → AC=k→ AB et → AC’=k→ AB’ (i.e. l=m=k). →
Réciproque de Thalès (8.K) : Si AB=k→ AC et → AB’=k→ AC’ alors → BB’=k→ CC’. →
Démonstration : La puissance des vecteurs…
AB’=k→ AC’ donc avec Chasles : → AB+→ BB’=k (→ AC+→ CC’) →
Donc BB’=k→ CC’ et d’après la définition, les deux vecteurs sont colinéaires et les deux droites sont →
parallèles et on a le rapport des distances.
VI Géométrie analytique.
Sauf mention du contraire, le plan est rapporté à un repère (O, →i , →j ) non nécessairement orthogonal ou même orthonormal.
Définition : Le plan étant rapporté à un repère (O,
→i , →j ), dire que le point M a pour coordonnées (x ; y) équivaut à dire que OM=x → →i + y→j . On note M(x ; y), x est l’abscisse de M et y son ordonnée.
Définition : Dire que le vecteur →u a pour coordonnées
x
y signifie que OM=x → →i + y→j
Proposition (8.L) : Dire que les vecteurs →u
x
y et →v
x’
y’ sont égaux équivaut à dire que leurs couples de coordonnées sont égaux : x=x’ et y=y’.
Démonstration : exercice.
Proposition (8.M) : Soient →u
x
y et →v
x’
y’ deux vecteurs et k un réel quelconque.
a) Le vecteur →u +→v a pour coordonnées
x+x’
y+y’ . b) Le vecteur k→u a pour coordonnées
kx
ky
Démonstration : →u =x →i + y →j et →v =x’→i +y’→j donc →u +→v =(x+x’) →i + (y+y’) →j .
De même, k→u =k (x →i + y→j )=kx→i +ky→j
Proposition (8.N) :Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points, alors le vecteur AB a pour →
coordonnées
xB -xA
yB- yA .
AB→
xB -xA
yB- yA
Démonstration : On utilise la relation de Chasles, AB→
=AO+→ OB=→ OB-→OA, or on a → OB →
xB yB
et OA →
xA yA
donc AB a pour coordonnées →
xB -xA
yB- yA
. □
Proposition (8.O) : Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points, alors le milieu I de [AB] est le point de coordonnées
I ( xA+ xB
2 ; yA+ yB 2 )
Définition : On appelle déterminant de deux vecteurs →u
x
y et →v
x’
y’ le réel
∆=xy’-x’y.
Théorème de colinéarité analytique (8.P) : Dire que les vecteurs non-nuls →u
x y et
→v
x’
y’ sont colinéaires équivaut à dire le déterminant est nul : xy'-x’y=0
Démonstration : CN : Si les deux vecteurs sont colinéaires, alors il existe un réel k tel que →u
=k→v et du point de vue des coordonnées, on a x=kx’ et y=ky’. Donc xy’-x’y=kx’y’-x’ky’=0.
CS : Si →u est un vecteur non nul, une de ses coordonnées est non-nulle. Supposons que x est non-nul. On a alors y’= x’
x y. Posons k=x’
x , ce qui donne x’=kx et y’=ky, d’où →v =k→u . Théorème de distance (8.Q) : Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points dans un repère orthonormal (O, →i , →j ), la distance de A à B est donnée par
AB= ( xB - xA )2 + ( yB - yA)2
Démonstration : C’est une question d’interprétation du dessin suivant :
