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GEOMETRIE
AFFINE, PROJECTIVE, EUCLIDIENNE
ET ANALLAGMATIQUE
Licence - CAPES - Agrégation
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GEOMETRIE
AFFINE, PROJECTIVE, EUCLIDIENNE ET ANALLAGMATIQUE
Yves Ladegaillerie
à Anne, Éric et Yannik
ISBN 2-7298-1416-7
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2003
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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INTRODUCTION
Cet ouvrage est un cours complet de géométrie classique. Après une construction cohérente de toutes les notions de base à partir de l'algèbre linéaire, on y fait de la "vraie" géométrie, avec plus de 800 figures. Il contient, en particulier l'étude détaillée:
- des géométries affine, projective, euclidienne et des applications et transformations correspondantes : homothéties et translations, affinités, projections, homographies projectives, homologies, élations et perspectives, isométries, similitudes,
- des configurations du plan et de l'espace, des triangles, cercles et quadrilatères aux pavages, polyèdres réguliers et leurs groupes,
- de tous les classiques euclidiens et des grands théorèmes, de Pythagore à Feuerbach et Morley, - des coniques projectives, affines et euclidiennes, et des théorèmes célèbres, d'Apollonius à Pascal et Poncelet,
- de l'inversion, des homographies et anti-homographies complexes : c'est la géométrie
"anallagmatique ".
Le public concerné va des étudiants des premiers et seconds cycles universitaires aux élèves professeurs et professeurs de mathématiques. En particulier, les enseignants des lycées et collèges pourront l'utiliser dans le cadre de leur formation continue, pour rafraîchir et approfondir leur connaissance des sujets qu'ils traitent quotidiennement et pour la préparation de l'agrégation interne.
L'ouvrage est conçu comme livre d'apprentissage - les notions les plus élémentaires sont explicitées - et de référence grâce à un index de plus de 1100 termes.
Beaucoup d'exercices sont devenus classiques car ils illustrent les processus fondamentaux utilisés dans toute question de géométrie. Ils sont donnés en cours ou en fin de chapitre, avec des centaines d'autres ( 450 au total).
Une notice donne quelques renseignements biographiques sur les principaux mathématiciens auteurs des résultats cités. Elle est suivie d'une petite bibliographie.
Je remercie les lecteurs de bien vouloir noter les erreurs qui peuvent subsister ici où là et de me les signaler afin d'y remédier dans une prochaine édition.
Montpellier, juin 2002 Yves Ladegaillerie
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION ... 3
TABLE DES rv1ATIÈRES ... 5
I GÉOMÉTRIE AFFINE 1. ESPACE AFFINE ... : ... 13
2. VARIÉTÉ AFFINE (SOUS-ESPACE AFFINE) ... 15
Définition, parallélisme ... 15
Propriétés d'incidence des variétés affines (positions relatives, régionnement) ... 16
3. REPÈRE AFFINE. MESURE ALGÉBRIQUE. AIRE, VOLUME ... 20
Repère affine. Rapports. Mesure algébrique ... 20
Triangle, quadrilatère, parallélogramme, tétraèdre ... 22
Aire et volume algébriques ... 24
4. BARYCENTRE. INDÉPENDANCE AFFINE. BASE AFFINE. CONVEXITÉ ... 24
Barycentre et fonction de Leibniz ... 24
Indépendance affine. Base affine ... 27
Éléments de convexité ... 29
S. LES GRANDS THEORÈMES AFFINES CLASSIQUES ... 31
Le théorème de Thalès ... 31
Les théorèmes de Desargues et Pappus (forme affine faibl.e) ... 35
Les théorèmes de Ménélaüs et Ceva ... 36
6. COORDONNÉES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES ... 39
Changement de repère cartésien. Degré d'une courbe algébrique ... 39
Équations de droites dans le plan, régionnement, faisceaux ... .40
Équations de plans dans l'espace, régionnement, faisceaux ... .45
Coordonnées plückériennes d'une droite ... 47
Équations cartésiennes en dimensions supérieures ... 48
7. COORDONNÉES ET ÉQUATIONS BARYCENTRIQUES ... 49
Expression des coordonnées barycentriques en termes de déterminants ... .49
Condition d'alignement, équation barycentrique d'une droite, faisceaux ... 50
Théorèmes de Ménélaüs et de Ceva en coordonnée barycentriques ... 51
8. BIRAPPORT EN GÉOMÉTRIE AFFINE ... 54
Birapport de scalaires, de points, de droites ... 54
Birapport de quatre plans ou hyperplans ... 56
Birapport de quatre vecteurs et de quatre droites ... 57
Diverses expressions analytiques du birapport. ... 58
Opérations sur le birapport. ... 59
9. NORMES, TOPOLOGIE, LIMITES. NOTIONS DIFFÉRENTIELLES ... 61
Norme et distance. Topologie ... 61
Droite et plan tangents. Étude locale et à l'infini ... 63
Fonctions convexes, caractérisations ... 66
Équation tangentielle et enveloppe ... -... 68
10. COMPLEXIFIÉ ET POINTS IMAGINAIRES ... 69
II APPLICATIONS AFFINES 1. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES APPLICATIONS AFFINES ... 73
Définitions. Propriétés fondamentales (invariants, déterminations, points fixes) ... 73
Produit semi-direct.. Structure et topologie du groupe affine GA(E) ... 76
Application ponctuelle et vectorielle : conservation des milieux et parallélogrammes ... 78
Caractérisation par conservation des rapports vectoriels ou du barycentre ... 79
Conservation du contact. ... 79
2. HOMOTHÉTIES ET TRANSLATIONS ... 81
Le groupe des homothéties et translations ... 81
Produits d'homothéties et de translations ... 81
Propriétés des homothéties et translations, caractérisations ... 83
Applications aux théorèmes classiques (Thalès, Desargues, Pappus, Ménélaüs, Ceva) ... 84
3. PROJECTIONS, SYMÉTRIES AFFINES. AFFINITÉS. TRANSVECTIONS ... 90
Projections, symétries, affinités ... 90
Dilatations et transvections vectorielles, affines. Génération du groupe affine ... 93
4. LE THÉORÈJ\Œ "FONDAMENTAL" DE LA GÉOl\IÉTRIE AFFINE ... 97
Caractérisation des bijections affines par la conservation de l'alignement ... 97
Caractérisation d'applications affines non bijectives ... 99
S. EXPRESSION ANALYTIQUE DES APPLICATIONS AFFINES ... 99
III GÉOMÉTRIE PROJECTIVE 1. PROLONGEMENT VECTORIEL D'UN ESPACE AFFINE ... 101
Les théorèmes fondamentaux sur le prolongement vectoriel. ... 101
Prolongement vectoriel et coordonnées barycentriques ... 105
2. POINTS À L'INFINI. COMPLÉTION PROJECTIVE ... 106
Point à l'infini d'une droite. Droite projective. Cas de R. ... 106
Complétion projective d'un plan affine ... 108
Points à l'infini et coordonnées barycentriques de somme nulle ... 109
Espaces projectifs généraux ... 109
Complété projectif d'un espace affine en dimension quelconque ... 111
Structure affine sur le complémentaire d'un hyperplan dans un espace projectif. ... 111
Changement d'hyperplan de l'infini, versions affines et projectives des configurations ... 112
Les théorèmes de Desargues et Pappus : versions projectives et avatars affines ... 113
3. BIRAPPORT, CONJUGAISON, POLAIRE ... 117
Birapport de quatre points et quatre droites, faisceau harmonique ... 117
Points conjugués par rapport à deux droites. Polaire ... 120
Étude générale du birapport : birapport d'hyperplans, conjugaison, polaires ... 123
4. REPÉRAGE PROJECTIF: COORDONNÉES HOMOGÈNES ... 124
Repérage d'un point dans un espace projectif. ... 124
Indépendance projective. Repère projectif ... 125
Cas d'un complété projectif: coordonnées homogènes relatives à un repère affine ... 126
Cordonnées homogènes dans le plan. Équations de droites. Faisceaux ... 127
Courbe algébrique en coordonnées homogènes. Tangentes. Équation tangentielle ... 129
Coordonnées homogènes et birapport de points, de droites d'un faisceau ... 131
S. DUALITÉ PROJECTIVE ... 133
Dualité projective canonique ... 133
Dualité projective associée à un repère. Étude du cas plan ... 134
Birapport et dualité ... 136
Quelques théorèmes duaux ... 136
6. APPLICATIONS PROJECTIVES. HOMOGRAPHIES ... 137
Définitions. Propriétés générales, image d'un repère, détermination ... 137
Exemple fondamental: les projections coniques ou perspectives ... 141
Homologies et élations. Génération du groupe projectif ... 142
Perspectives dans le complété projectif de l'espace affine. Dessins en perspective ... 145
Homographies entre droites projectives ... 148
Homographies d'une droite sur elle-même ... 148
Homographies entre deux droites coplanaires. Axe d'homographie ... 150
Définition d'un birapport sur un ensemble : structure de droite projective à h. p ... 151
Théorème fondamental de la géométrie projective ... 153
7. COMPLEXIFICATION D'UN ESPACE PROJECTIF RÉEL. ... 154
6
IV GÉOMÉTRIE VECTORIELLE EUCLIDIENNE
1. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET ORTHOGONALITÉ ... 157
Produit scalaire et norme euclidiens ... 157
Orthogonalité de vecteurs et de parties. Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt ... 159
Projections orthogonales vectorielles ... 161
Complexification d'un espace vectoriel euclidien. Espace vectoriel hermitien ... 163
2. APPLICATIONS ORTHOGONALES ET GROUPE ORTHOGONAL ... 164
Applications et matrices orthogonales. Propriétés générales ... 164
Changement de base orthonormée. Déterminant dans une base orthonormée directe ... 167
Groupe orthogonal du plan euclidien ... 168
3. ANGLES DANS UN PLAN VECTORIEL EUCLIDIEN ... 169
Les angles orientés de vecteurs et leur mesure ... 169
Cosinus et sinus d'un angle. Angle polaire. Produit scalaire et déterminant. ... 173
Les angles orientés de droites et leur mesure ... 175
Utilisation conjointe de mesures d'angles modulo 1t et modulo 21t ... 178
Angles géométriques ... 178
Les angles de secteurs plans ... 181
Les angles dans l'espace ... 181
4. GROUPE ORTHOGONAL EN TOUTES DIMENSIONS ... 182
Structure des applications orthogonales ... 182
Classification des applications orthogonales en dimension 3 ... 183
5. SIMILITUDES VECTORIELLES ... 187
Étude générale ... 187
Exemple : similitudes vectorielles du plan euclidien ... 188
6. REPRÉSENTATION COMPLEXE DU PLAN VECTORIEL EUCLIDIEN ... 189
Affixes de vecteurs. Norme, angles, produit scalaire et déterminant... ... 189
Forme complexe d'une application vectorielle. Les similitudes ... 190
7. PRODUIT MIXTE ET PRODUIT VECTORIEL. ... 191
Produit mixte ... 191
Produit vectoriel. ... : ... 192
8. APPENDICE : CONSTRUCTION DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ... 197
Construction à partir de la série exponentielle complexe ... 197
Formulaire de trigonométrie, fonctions réciproques ... 199
Principe de la construction à partir d'une intégrale ... 200
V GÉOMÉTRIE AFFINE EUCLIDIENNE 1. ESPACE AFFINE EUCLIDIEN. NOTIONS DE BASE ... 201
Espace euclidien ... 201
Angles dans le plan affine euclidien. Bissectrices ... 201
Couples de droites antiparallèles ... 205
Inégalité triangulaire et formules d'Al Kashi ... 206
Triangles, quadrilatères et polyèdres euclidiens. Théorème de Pythagore ... 207
Produit scalaire et orthogonalité de vecteurs et de droites ... 208
Projection orthogonale sur une droite. Rapport de projection, trigonométrie ... 208
Expression du produit scalaire en termes de projections orthogonales ... 210
Caractérisation des bissectrices par équidistance ... 211
2. ORTHOGONALITÉ DES VARIÉTÉS AFFINES ... 212
Projection et symétrie orthogonales en dimension quelconque. Distance ... 212
Translations. Affinités orthogonales ... 213
Hyperplan médiateur. Médiatrice et plan médiateur ... 213
Médiatrices et hauteurs d'un triangle ... 215
Orthogonalité de droites et de plans dans l'espace ... 216
Projections orthogonales en dimension 3 ... 217
Plans perpendiculaires dans l'espace ... 219
3. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE EUCLIDIENNE. ÉQUATIONS DES VARIÉTÉS ... 221
Les différents types de coordonnées euclidiennes ... 221
Équations cartésiennes des droites du plan euclidien dans un repère orthononné ... 222
Équation d'une droite du plan en coordonnées polaires ... 225
Équations de plans dans l'espace ... 226
Faisceaux de plans et couples d'équations d'une droite ... 227
4. CERCLES ET SPHÈRES ... 228
Le cercle dans le plan euclidien ... 228
Cercle circonscrit, orthoptique, d'Apollonius ... 229
Puissance d'un point par rapport à un cercle ... 231
Paramétrisation. Cercle trigonométrique ... 231
Orientation du cercle et des arcs. Mesure d'un arc orienté ... 232
Équation cartésienne d'un cercle ... 233
Equation d'un cercle en coordonnées polaires ... 234
Positions relatives de deux cercles ... 235
La sphère en dimension 3 et en dimension n (n > 2) ... 236
5. ANGLE INSCRIT. COCYCLICITÉ. CERCLE ET ARCS CAPABLES ... 239
Angle inscrit, angle au centre et angle de la tangente ... 239
Angles inscrits et arcs interceptés. Bissectrice d'un angle inscrit. ... 240
Condition angulaire de cocyclicité, applications ... 242
Cercle et arc capables, applications ... 245
Relation des sinus dans un triangle ... 246
Caractérisation angulaire des quadrilateres convexes inscriptibles ... 247
6. AIRES ET VOLUMES EUCLIDIENS ... 248
Aire euclidienne du triangle, des polygones convexes, du disque. Applications ... 248
Volume euclidien du tétraèdre, du parallélépipède, de la boule ... 250
7. REPRÉSENTATION COMPLEXE DU PLAN EUCLIDIEN ... .251
Équations complexes des droites et cercles ... 252
Forme complexe des homothéties et translations affines ... 253
Birapport complexe et cocyclicité. Théorème de Ptolémée ... 253
Birapport de points s.ur un cercle ... 255
Birapport complexe harmonique ... 256
8. NOTIONS DIFFÉRENTIELLES EUCLIDIENNES ... 258
Abscisse curviligne ... 258
Courbes cycloïdales. Hypocycloïdes et épicycloïdes ... 259
Aires et volumes ... 260
Courbure plane. Repère de Frenet. Cercle osculateur. Développée ... 262
Courbes et surfaces de l'espace. Courbure, torsion. Courbure de Gauss ... 264
9. POINTS CYCLIQUES ET FORMULE DE LAGUERRE. OMBILICALE ... 267
Le plan euclidien et son complété projectif complexifié ... 267
Formule de Laguerre ... 268
VI ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES AFFINES 1. ISOMÉTRIES AFFINES ... 269
Définition et caractère affine, exemples ... 269
Le groupe des isométries, structure de produit semi-direct. ... 270
Déplacements et antidéplacements ... 271
Détermination d'une isométrie, prolongements. Isométrie conservant une partie ... 272
Génération du groupe des isométries par les réflexions ... 274
Décomposition canonique d'une isométrie affine : théorème de structure ... 275
2. LES ISOMÉTRIES DU PLAN ... 276
Translation : exemple d'utilisation ... 276
Réflexion. Produit de deux réflexions d'axes parallèles ... 277
Rotation. Décomposition en produit de deux réflexions, produit de rotations ... 279
Symétrie glissée ... 282
Étude de quelques produits d'isométries planes ... 283 8
La classification des isométries planes et ses démonstrations ... 284
Expression complexe des isométries planes ... 285
Actions sur les configurations et groupe d'une configuration ... 286
Détermination des isométries planes et cas d'égalité des triangles ... 287
Groupe d'un polygone régulier. Triangle équilatéral et carré ... 288
Groupe du rectangle (groupe de Klein) ... 291
Groupes de frises ... 293
Groupes cristallographiques plans (pavages) ... 294
3. LES ISOMÉTRIES DE L'ESPACE ... 297
Translation et réflexion, produit de deux réflexions de plans parallèles ... 297
Rotation de l'espace, produit de deux réflexions de l'espace de plans sécants ... 298
Produit de deux rotations d'axes coplanaires ... 299
Vissage ou déplacement hélicoïdal. ... 300
Symétrie glissée ... 301
Antirotation affine ... 301
Étude de quelques produits d'isométries de l'espace ... 302
Classification par la méthode linéaire ... 303
Classification par la méthode géométrique ... 303
Décompositions en produits de réflexions et retournements ... 305
Action sur les configurations et groupes de configurations classiques ... 306
Groupe diédral spatial. ... 306
Groupe du tétraèdre régulier ... 307
Groupe du cube ... 309
Groupes finis d'isométries de l'espace ... 312
4. SIMILITUDES AFFINES ... 312
Étude en toutes dimensions finies, caractérisations ... 312
Similitudes planes, formes complexes ... 315
Applications classiques des similitudes planes, cas de similitudes ... 322
VII CLASSIQUES DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE 1. FONCTION SCALAIRE DE LEIBNIZ ET APPLICATIONS ... 327
La fonction scalaire. Théorème d'Apollonius et formule de Huygens ... 327
Le cas LÀ;
=
O. Applications et exemples ... 328Formule de Stewart et applications ... 329
Le cas LÀ; '#-O. Applications et exemples ... 331
2. LE TRIANGLE ... 332
Droites remarquables ; points classiques et coefficients barycentriques ... 332
Relations métriques dans le triangle ... 335
Théorème de Morley ... 336
Le triangle rectangle ... 337
Problème de Napoléon : construction du centre d'un cercle au compas seul. ... 337
Triangles isocèles et équilatéraux ... 338
Cercles inscrits et exinscrit. ... 339
Droite et cercle d'Euler. Théorème de Feuerbach ... 342
Droites de Simson et Steiner ... 344
3. LE CERCLE ... 345
Homothéties et similitudes entre cercles ... 345
Cercles tangents à une droite et un cercle donnés, à deux cercles donnés ... 347
Cercles et sphères orthogonaux ... 348
Points conjugués, pôle et polaire par rapport à un cercle ... 349
Incidences entre pôles et polaires. Transformation par polaires réciproques ... 352
Axe radical de deux cercles ... 352
Faisceaux de cercles ... 353
Quadrangle harmonique ... 356
Théorème de Pascal, cas du cercle ("hexagramme mystique") ... 358
4. QUADRILATÈRE ... 360
Quadrilatères convexes euclidiens ... 360
Groupes plans des parallélogrammes ... 361
Inégalité et théorème généraux de Ptolémée. Quadrilatères inscriptibles ... 362
L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible ... 363
5. CONVEXITÉ ... 364
Projection. Hyperplans d'appuis et génération par demi-espaces ... 364
Propriétés topologiques des convexes ... 365
Points extrémaux et théorème de Krein-Milman ... 367
Facettes et polyèdres ... 367
6. SPHÈRE ET POLYÈDRES DE L'ESPACE. GROUPES FINIS D'ISOfvIÉTRIES ... 368
Géométrie sphérique. Formule d'Euler ... 368
Polyèdres réguliers de l'espace euclidien ... 370
Dodécaèdre et icosaèdre réguliers. Groupes de ces polyèdres ... 371
Les cinq solides platoniciens ... 375
Groupes finis d'isométries de l'espace, classification ... 377
Étude détaillée des tétraèdres ... 379
Tétraèdre orthocentrique ... 380
Tétraèdre équifacial. ... 382
Tétraèdre régulier. Maximalité du volume ... 384
7. INÉGALITÉS ET OPTIMISATION ... 386
Somme des distances d'un point à plusieurs droites ... 386
Somme et produit des distances aux sommets d'un triangle, point de Fermat ... 387
Produit des distances aux sommets d'un triangle ... 388
Théorème d'Erdôs-Mordell ... 388
Optimisation du périmètre : une application du théorème des trois tangentes ... 389
Triangle inscrit de périmètre minimal : théorème de Fagnano ... 389
VIII CONIQUES ET QUADRIQUES 1. FORJ\.ŒS QUADRATIQUES ... 393
Généralités. Expression polynomiale, différentielle, matricielle. Rang ... 393
Décomposition en carrés. Méthode de Gauss ... 394
Classification des formes quadratiques. Théorème d'inertie de Sylvester ... 397
Noyau. Isomorphisme avec le dual. ... 398
Endomorphisme adjoint, auto-adjoint. ... 398
Diagonalisation des matrices symétriques réelles ... 399
Diagonalisation simultanée des formes quadratiques ... .400
2. CONIQUES PROJECTIVES ... 401
Généralités.Classification, équations ... .401
Classification réelle et complexe des coniques. Cas de dégénérescence ... .402
Points doubles des coniques dégénérées ... .403
Intersection avec une droite. Tangente. Équations et coniques tangentielles ... .403
Différentes formes de l'équation. Bonne paramétrisation ... .406
Intersection des coniques. Déterminations par points et intersections ... .407
Détermination d'une conique par cinq points ... .411
Détermination d'une conique par intersections ... 412
Conjugaison par rapport à une conique. Dualité de polarité ... .413
Conservation du birapport de points alignés et de droites concourantes ... .414
Droites conjuguées par rapport à une conique ... .415
Duale d'une conique par polarité. Théorème dual. ... .416
Conjugaison par rapport à une conique dégénérée en deux droites sécantes ... .417
Toute corrélation plane est une polarité ... .417
Birapport et homographie sur une conique ... .418
Birapport de points et de tangentes. Homographie et génération ... .418
Axe et centre d'homographie. Point de Frégier d'une involution ... 420
Théorèmes de Pascal et Brianchon ... .421 10
Faisceaux de coniques ... 422
Involution de Desargues associée à un faisceau ... 425
Théorème de Lamé. Transformation quadratique. Conique des neufs points ... .425
Faisceaux tangentiels de coniques ... .427
3. CONIQUES AFFINES ... 428
Généralités : définition, dégénérescence, tangente ... ..428
Réduction de l'équation d'une conique du plan affine. Classification ... 430
Conjugaison dans le cadre affine : centre,'cordes et diamètres ... 433
Diverses formes de l'équation d'une conique affine ... .436
Faisceaux de coniques affines, nature des coniques ... .437
Conique des centres. Conique des neufs points d'un quadrangle. Cercle d'Euler ... .437
Les théorèmes de Pascal et Brianchon ... 438
4. CONIQUES EUCLIDIENNES ... 439
Généralités. Directions principales. Réduction de l'équation. Classification ... 439
Génération monofocale : détermination par un foyer, une directrice et l'excentricité ... _ ... 442
Propriétés tangentielles. Premier théorème de Poncelet. ... 444
Formulaire des coniques ordinaires. Différentes équations ... 446
Génération bifocale de l'ellipse réelle et de l'hyperbole ... 448
Propriétés tangentielles des coniques ordinaires. Les théorèmes de Poncelet.. ... 450
Courbe orthoptique. Cercle de Monge ... .452
Générations tangentielles ... 453
Particularités de la parabole ... .454
Particularités de l'ellipse ... 455
Ellipse et affinité orthogonale. Aire. Méthode de la bande de papier ... 455
Théorèmes d'Apollonius ... 457
Projection d'un cercle sur un plan ... .458
Cercles osculateurs en les sommets ... .458
Particularités de l'hyperbole ... .459
Propriétés relatives aux asymptotes ... 460
Hyperbole équilatère ... 461
Diamètres et hyperboles conjugués. Théorèmes d'Apollonius ... .462
Section planes d'un cône de révolution ... 463
Génération mono focale des sections coniques ... .463
Méthode de Dandelin : génération bifocale des sections coniques ... 464
5. QUADRIQUES ... 466
Généralités ... 466
Classification euclidienne ... 466
IX GÉOMÉTRIE ANALLAGMATIQUE ET CONFORME 1. L'INVERSION ... 469
Propriétés générales ; exemple : la projection stéréographique ... 469
Cercle ou sphère d'inversion ... 470
Caractérisation par cocyclicité de deux couples de points homologues ... 471
Prolongement en une transformation du compactifié par un point à l'infini ... 471
Effet sur les configurations, les distances, les angles ... 472
Application: démonstration du théorème de Ptolémée par inversion ... 474
Dérivée et contact: l'inversion est conforme ... .474
L'inversion plane et sa représentation complexe. Sphère de Riemann ... 475
Conservation du birapport et des "cercles" ... 476
Propriétés de contact et inversion des angles ... .477
Réflexion par rapport à un cercle ... 477
Transmuée d'une inversion par une inversion ... 478
Applications classiques de l'inversion ... .479
2. GROUPE CIRCULAIRE DIRECT: LES HOMOGRAPHIES COMPLEXES ... 483
Le groupe des homographies ... .483
Génération du groupe des homographies par les involutions ... 485
Détermination d'une homographie par les images de trois points distincts ... .485
Conservation du birapport et des "cercles", images des quadruplets ... .486
Conservation des angles orientés de courbes ... .487
Points fixes. Homographies paraboliques et non paraboliques ... .488
Méridiens et parallèles d'une homographie non parabolique ... ..490
Homographies elliptiques, hyperboliques, loxodromiques ... .491
Formes canoniques ... 493
Images des "cercles" et "disques" ... .494
Homographies du disque unité ... 495
Homographies du demi-plan de Poincaré ... .495
3. LE GROUPE CIRCULAIRE : HOMOGRAPHIES ET ANTIHOMOGRAPHIES ... .498
Les transformations cirFulaires ... 498
Involutions et génération du groupe circulaire ... ..499
Classification des transformations circulaires ... 500
Notice biographique ... 503
Bibliographie ... 507
Index ... 509
I GÉOMÉTRIE AFFINE
VARIÉTÉS, BARYCENTRE, INDÉPENDANCE.
COORDONNÉES CARTÉSIENNES ET BARYCENTRIQUES. BIRAPPORT.
GRANDS THÉORÈMES AFFINES CLASSIQUES.
La géométrie affine utilise le calcul vectoriel pour traiter de propriétés liées à l'alignement, au parallélisme, à la proportionnalité, à l'exclusion des longueurs et des angles, qui sont du domaine de la géométrie euclidienne ; mais l'aire est une notion affine qui est définie par un déterminant.
On traite ici la géométrie classique, pour laquelle le corps de base est le corps R des réels ; c'est
·donc sur ce dernier que l'on se place sauf mention expresse du contraire. Cependant, la plupart des notions introduites ont un sens sur la plupart des corps et l'on donnera parfois une définition ou une propriété pour un corps quelconque.
L'algèbre linéaire élémentaire est supposé connu, ainsi que quelques notions sur les groupes.
1. ESPACE AFFINE.
1.1. Définitions élémentaires et terminologie.
DÉFINITION : si Ë est un espace vectoriel sur un corps K, une structure d'espace affine de direction E sur un ensemble E est la donnée pour tout couple (A, B) de E xE d'un vecteur
-->
associé noté AB de sorte que :
a. V'(A,B,C)E E3 ,
AB+ OC= Aê,
(Relation de Chasles)-
~b. V'M E E, V' ü E E' 3 ! N E E, ü
=
MNLes éléments de E sont appelés des points (en géométrie, on dit parfois bipoint au lieu de "couple de points"), ceux du corps sont les scalaires; Ë est l'espace vectoriel directeur ou la direction de E.
Dans le (b), l'écriture 3! N signifie qu'il existe un unique N tel que
~
ü
=
MN ; N est alors appelé le translaté de M par ü et on notec
A B
tü l'application de E dans E qui à M associe ainsi le point N : c'est la translation de vecteur ü . On a donc tü (M)
=
N, ce qu'on note aussi: N=
M + ü; cette dernière expression est la notation de Grassmann (n.b. : cela ne correspond pas à une loi interne additive usuelle).Les points et les vecteurs sont dans des espaces distincts, mais il est d'usage de les représenter sur une même figure comme ci-dessus. Le vecteur associé au couple (A, B) est représenté par une flèche reliant A à B ; cette flèche peut aussi représenter ce qu'on appelle, notamment en physique, un vecteur lié, c'est-à-dire le couple formé par un vecteur de Ë -alors appelé vecteur libre -et un point de E, pris pour origine.
La dimension de l'espace affine est, par définition, celle de son espace vectoriel directeur. Un espace affine de dimension 1 (resp. 2) est une droite affine (resp. un plan affine).
En géométrie classique du plan et de l'espace de dimension 3, K est le corps R des réels, ce qu'on supposera dans la suite, sauf mention spéciale. On emploie alors l'expression "dans le plan affine", car on verra qu'il n'y a qu'un seul plan affine réel, à isomorphisme près. De même, on emploie l'expression" dans l'espace affine", pour désigner un espace affine réel de dimension 3.
1.2. Définition en tennes d'opération de groupe.
On peut aussi définir un espace affine en termes d'opération de groupe:
DÉFINITION: une structure d'espace affine de direction Ë (e.v. sur un corps K) sur un ensemble E est la donnée d'une opération fidèlement transitive du groupe additif de Ë sur E.
TERMINOLOGIE : une opération (à gauche) d'un groupe G sur un ensemble E est un morphisme f du groupe G dans le groupe e(E) des bijections de E. Si fg est l'image de g par f, on note g.x l'image de xEE par fg et l'on a (gg').x=g.(g'.x) pour tous g,g' dans G et x dans E, ainsi que 1.x = x, où 1 désigne l'élément neutre de G. Cette opération est dite transitive si, pour tout couple (x,y) d'éléments de E, il existe gE G tel que g.x =y. Elle est dite fidèle si f est injectif; c'est alors un isomorphisme entre G et son image f(G). Dans le cas d'un espace affine, le groupe additif de l'espace vectoriel est isomorphe au groupe des translations via le morphisme ü H tü .
Par ailleurs, une opération est dite librement transitive lorsqu'il y a unicité de l'élément g qui assure la transitivité: \i(x,y)EE2, 3! g E G, g.x =y; E est alors appelé un espace principal homogène sous G. On vérifie facilement que les notions d'opération "librement transitive" et d'opération "fidèlement transitive" coïncident lorsque G est abélien, ce qui est le cas pour un espace affine. On peut donc aussi définir un espace affine par une opération librement transitive du groupe additif de Ë .
Remarque : dans la définition élémentaire du 1.1., la relation de Chasles est un axiome de la structure, tandis qu'elle se démontre à partir de la condition de morphisme pour la définition en termes d'opération de groupe.
1.3. Exemples.
A. STRUCTURE AFFINE SUR UN ESPACE VECTORIEL.
Il existe une structure canonique d'espace affine sur l'ensemble des éléments d'un espace vectoriel
- --->
E : elle consiste à associer à chaque couple (A, B) le vecteur B -A ; la relation AB = B - A est ici
--->
équivalente à la relation de Grassmann B = A + AB . B. STRUCTURE VECTORIELLE SUR UN ESPACE AFFINE.
Inversement, tout espace affine E peut être muni d'une structure d'espace vectoriel par
"transport de structure" puisqu'on peut l'identifier à Ë par le choix d'une origine 0, ce qui induit
---+
une correspondance bijective entre les points MEE et les vecteurs OM : l'espace vectoriel ainsi obtenu est appelé le vectorialisé de E en 0 et noté E0 .
Il y a une infinité de façons vectorialiser un espace affine, puisque le choix de 0 est arbitraire : il n'y a pas de structure canonique d'espace vectoriel sur E.
14
2. VARIÉTÉ AFFINE (SOUS-ESPACE AFFINE).
2.1. Définition générale.
DÉFINITION: Soit E un espace affine d'espace directeur Ë (e.v. sur un corps K), un point A de E et un sous-espace vectoriel
F
deË.
La variété affine (ou sous-espace affine) F de E passant par A et de sous-espace directeur (ou direction)F
est l'ensemble des translatés de A par les vecteurs deF.
Avec la notation de Grassmann, cela s'écrit F=
A+F.
N.B. : un espace affine est l'ensemble des translatés d'un point quelconque par les vecteurs de son espace vectoriel directeur ; la notion de sous-espace en découle donc naturellement ; on emploie plus couramment la terminologie variété - on dit aussi" variété linéaire affine".
Il est utile de remarquer que le sous-espace directeur
F
d'une variété affine F est l'ensemble des-->
vecteurs MN associés aux couples de points (M,N) de F, ou encore, l'ensemble de tous les
-->
vecteurs AM associés aux couples (A,M) de F, pour A fixé dans F et M décrivant F.
Une variété affine F possède une structure d'espace affine sur son espace vectoriel directeur
F.
On vérifie facilement qu'une intersection non vide de plusieurs variétés affines est une variété affine qui a pour direction l'intersection des sous-espaces directeurs des variétés en question.
2.2. Exemples.
Plan affine d'un espace vectoriel : si E est un espace vectoriel muni de sa structure affine canonique, un plan affine de Ë est une variété de la forme P
=
A+P,
oùP
est un plan vectoriel deË.
Lorsque A est l'origine deË,
ce plan affine est égal àP .
Mais, à la différence d'un plan vectoriel, un plan affine de Ë ne passe pas toujours par l'origine.p
/,-
---~---7/ p //
/ //
0 ///
/ /
L ____________________ J /
La variété affine engendrée par une partie fJlJ d'un espace affine E est la plus petite variété affine contenant fJlJ : c'est l'intersection de toutes les variétés affines contenant fJlJ et c'est le translaté d'un point quelconque de fJlJ par le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs associés aux couples de points de fJlJ. On la note aff(fJlJ) ; fJlJ est appelée partie génératrice de cette variété.
---+ ---+ ---+
EXEMPLE: aff{A1,A2, .•• ,Aq}
=
A1 + vect(A1A2,A1A3 , ... ,A1Aq ), où vect( ... ) désigne le sous-espace vectoriel engendré.Ainsi, deux points distincts A,B engendrent une droite affine notée (AB) dont la direction est la
- ----+ -
droite vectorielle D engendrée par AB ; ce dernier vecteur, comme tout générateur de D, est appelé vecteur directeur de la droite affine. Trois points non alignés A, B, C engendrent un plan
----+ ----+
affine, noté (ABC), dont la direction est le plan vectoriel vect( AB, AC), et tout couple de vecteurs engendrant ce dernier est appelé couple de vecteurs directeurs du plan affine. Un hyperplan affine est une variété affine de dimension n - 1 d'un espace affine de dimension n.
2.3. Parallélisme.
Si F et G sont deux variétés affines, on dit que F est parallèle à G lorsque le sous-espace directeur de la première est contenu dans celui de la seconde ; on emploie parfois la terminologie faiblement parallèle lorsque la dimension de F est strictement inférieure à celle de G. Deux variétés affines de même dimension sont dites parallèles lorsqu'elles ont le même sous-espace vectoriel directeur ou, plus brièvement, la même direction.
/ / &--/ &--/ _ _ _ _ __,./ __,./ "---/ _ _ _____,./
2.4. Exercices.
1. Montrer qu'une partie non vide F d'un espace affine réel, non réduite à un point, est une variété affine s.s.si pour tout couple (A,B) de points distincts de F, la droite (AB) est contenue dans F.
2. Montrer que deux variétés affines parallèles et de même dimension d'un espace affine sont disjointes ou confondues.
3. Dans un espace affine E muni d'une origine 0 fixée, soit deux variété affines F et F' ainsi qu'un
---+ ---+ ~
réel k. A tout couple (M,M') de FxF', on associe le point N tel que ON = (1- k) OM + k OM'.
Montrer que l'ensemble des points N quand (M,M') décrit FxF' est une variété affine.
2.5. Équations vectorielles.
Soit E un espace affine de direction Ë (e.v. sur K), D une droite affine passant par un point A et de vecteur directeur Ü, ce qu'on notera systématiquement D(A, ü ), on a l'équivalence :
-->
MED <=> 31..EK, AM= ÀÜ.
-->
AM = À ü est l'équation vectorielle paramétrique de la droite.
Elle détermine une correspondance bijective entre les valeurs réelles du paramètre À et les points M de D.
-->
AM =Àü Dans un espace affine réel E, la demi-droite fermée d'origine A de vecteur directeur ü est
--> -->
D+(A, ü) = {MEE, 31..ER+, AM =À ü }. Lorsque ü =AB, on la note [AB) et l'on note ]AB) la demi-droite ouverte [AB)\ {A}.
Le plan P passant par le point A et de vecteurs directeurs ( ü,
v)
sera noté P(A, ü,v ).
C'est l'ensemble des points M de l'espace pour lesquels il existe deux scalaires À, µ tels que
-->
AM =À ü + µ
v.
Cette égalité est l'équation vectorielle paramétrique du plan ; elle définit une bijection entre K2 et le plan.En toute dimension finie, une variété affine a une équation vectorielle paramétrique de ce type, avec un nombre de paramètres égal à sa dimension.
2.6. Propriétés d'incidence des variétés affines (positions relatives).
2.6.1. Étude générale.
La dimension de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels F et G d'un même espace vectoriel Ë est soumise à la relation classique: dimF
+
dimG = dim(F+
G)+
dim(FnG), avec dim(F + G) = dimË lorsque F et G engendrent Ë.Dans le cadre affine, on a les propriétés correspondantes pour deux variétés affines F et G d'intersection non vide : si A E F n G , on a F = A + F, G = A + G et F n G = A + F n G. On est ainsi ramené à l'étude de l'intersection vectorielle et l'on a :
16
THÉORÈME : dans un espace affine E de direction E , deux variétés affines A +
F
et B + G (où A et B sont des points de E,F
et G sont des sous-espaces vectoriels de Ë) ont un point----> - -
commun C s.s.si le vecteur AB est élément de F + G. Leur intersection est alors égale à C +
F
nG
et il y a une correspondance bijective entre les points de cette intersection et les----> - -
décompositions AB = ü +
v,
où ü etv
sont respectivement dans F et G. En particulier, siF
+G
= Ë, l'intersection est non vide et, siF
(±)G
= Ë, elle est composée d'un point unique.- - ---->
Les deux sous-variétés F et G sont égales s.s.si on a F = G et AB est élément de cet espace.
0 Soit F =A+
F
et G = B +G.
Un point C de E est dans FnG s.s.si il existe (ü, v) EF
xG
tel---->
que C = A+ ü = B +
v,
ce qui équivaut à B = A+ ü-v,
ou encore : AB= ü -v.
L'existence de C- - ---->
dans F Il G équivaut donc à celle de ( ü ,
v)
E F x G tel que AB = ü-v,
et la correspondance entre---->
le point C de FnG et le vecteur ü de cette décomposition de AB est une bijection entre FnG et
----+ - - - -
l'ensemble de ces décompositions de AB dans F + G. On a alors F = C+ F, G = C + G d'où:
- - - - ---+ - -
FnG = C + F n G. Lorsque F + G = E, AB est élément de F + G et l'intersection est non vide ;
---->
si la somme est directe, AB se décompose de manière unique et le point d'intersection est unique.
On a F = G s.s.si F et G ont même direction et un point commun, d'où la fin de l'énoncé. • 2.6.2. Positions relatives de droites et plans en dimensions 2 et 3.
A. DROITES DANS LE PL\N.
De 2.6.1., il résulte que deux droites D(A, Ü) et D(B, v) d'un même plan affine sont :
---->
a - confondues s.s.si les vecteurs Ü ,
v ,
AB sont tous colinéaires.---->
b- parallèles disjointes s.s.si ü et
v
sont liés et AB ne leur est pas colinéaire.c -sécantes en un point d'intersection unique s.s.si Ü et
v
sont libres.B. RÉGIONNEMENT DU PL\N. TERll-IINOLOGIE.
Dans un plan affine réel P, une droite D = D(A, ü) détermine deux demi-plans ouverts: si (ü, v) est une base de
P,
le demi-plan ouvert du côté dev (
resp. du côté opposé àv)
est l'ensemble p+ ( resp. P-) des--->
points M de P tels que AM se décompose dans la base ( ü , v) avec une composante strictement positive ( resp. strictement négative ) sur
v.
Un demi-plan fermé est la réunion d'un demi plan ouvert avec D.
D
Deux droites D et D', sécantes en 0, déterminent quatre secteurs angulaires S1 , S2 , S3 , S4 , qui sont chacun l'intersection de deux demi-plans associés respectivement à D et D', et qui sont ouverts ou fermés selon que les demi-plans le sont.
Deux demi-droites
Dt
(0, ü) etn;
(0,v ),
de même origine et non contenues dans une même droite, déterminent un secteur angulaire saillant qui est l'ensemble des points M du plan tels que-->
OM est combinaison linéaire à coefficients positifs de ü et
v.
Elles déterminent aussi un cône, réunion du secteur angulaire saillant et de son symétrique par rapport à 0 (comme S1 et S3 , ou bien S2 et S4 sur la figure). Les secteurs et cônes sont ouverts ou fermés selon qu'ils contiennent ou non les demi-droites en question.Les mêmes demi-droites
Dt
(0, ü) etn;
(0,v)
déterminent également un secteur angulaire rentrant fermé (resp. ouvert) qui est le complémentaire de leur secteur angulaire saillant ouvert (resp. fermé).
C. DROITES DANS L'ESPACE.
D'
D
secteur angulaire rentrant de D, D'
D'
D
secteur angulaire saillant de D, D'
Il résulte de 2.6.1. que deux droites D(A, ü) et D(B, v) d'un espace affine de dimension 3 sont :
-->
a- confondues s.s.si les vecteurs Ü,
v
,AB sont tous colinéaires.-->
b - parallèles disjointes s.s.si ü et
v
sont liés et AB ne leur est pas colinéaire.----+
c- sécantes en un point d'intersection unique s.s.si ü et
v
sont libres et AB E vect( ü ,v ).
----+
d- non coplanaires, et donc disjointes, s.s.si ü et
v
sont libres et AB ~ vect( ü ,v ).
---- ---- ><
Les droites sont coplanaires dans les trois premiers cas seulement ; on en déduit que cela ne se
----+
produit que s.s.si ü ,
v
et AB sont liés :----+
D(A, ü) et D(B,
v)
sont coplanaires s.s.s1 1 ü ,v,
AB 1=
0D. DROITES ET PU.NS D.-\NS L'ESPACE.
Dans un espace affine de dimension 3, soit D une droite de direction D et P un plan de direction P passant respectivement par les points A, B. Alors, par application de 2.6.1., on a :
- - ---}> -
a- la droite est contenue dans le plan s.s.si: DcP et ABE P.
- - ---}> -
b- la droite est disjointe du plan et parallèle à lui s.s.si De P et AB~ P.
c- la droite est sécante en un point d'intersection unique avec le plan s.s.si
Ï>a:P.
,,_/ ____ ...,,/
/ 7 ~/_/
/ /18
Soit deux plans affines P et P' d'un espace affine E de dimension 3, de directions respectives
P
et
P
et passant respectivement par les points A, B. Alors :- - ---+ -
a-Pet P' sont confondus s.s.si P
=
P' et ABE P.- - ---+ -
b- Pet P' sont parallèles et disjoints s.s.si P
=
P' et AB~ P.c- Pet P' sont sécants suivant une droite d'intersection s.s.si
P
est différent deP'.
_/~/
0 Cela résulte de 2.6.1.. En particulier, st P "#
P',
on aË = P
+P'
et 2.6.1. entraînePnP' =
C+ PnP'. PnP'
est une droite vectorielleÏ>:
en effet,P
est engendré par un vecteur directeur ü deÏ>
et un second vecteurv, P'
est engendré par ü et un second vecteurw
et, parsuite,
P
nP'
est engendré par ü ; l'intersection est donc la droite affine D=
C + D. • E. RÉGIONNEMENT DE L1ESP.-\CE.Tout plan P(A, ü, v) de l'espace affine E de dimension 3 détermine deux demi-espaces ouverts E+ et E- : si
w
est un vecteur tel que ( Ü ,v, w)
est une base de la direction Ë de E, E+---+
(resp. El est l'ensemble des points M de E tels que AM se décompose dans la base ( Ü,
v,
w)avec une composante strictement positive (resp. strictement négative) sur
w.
Un demi-espace fermé est réunion d'un demi-espace ouvert avec P. Deux plans P et P' sécants suivant une droite D déterminent quatre secteurs diédraux qui sont chacun l'intersection d'un demi-espace associé à P avec un demi-espace associé à P', et qui sont ouverts ou fermés selon que les demi-espaces le sont.3. REPÈRE AFFINE. MESURE ALGÉBRIQUE. AIRE.
3.1. Repère affine.
Dans un espace affine E, un repère affine (ou encore : repère cartésien de l'espace affine) est la donnée d'un point 0, qui est l'origine du repère, et d'une base de la direction Ë de E (on peut se donner les Az vecteurs de base sous la forme OAi). Tout point MEE est repéré par --+
ses coordonnées cartésiennes dans ce repère, qui sont les composantes
---+
de OM dans la base donnée. Les coordonnées successives x, y, z sont appelées respectivement abscisse, ordonnée, cote.
3.2. Rapports. Mesure algébrique.
Si deux vecteurs ü ,
v
d'un espace vectoriel réel E sont colinéaires et siv
est non nul, il existe un réel À tel que ü=
Àv ;
on l'appelle le rapport des deux vecteurs et on le note : À=
ü /v
(n.b. : cette notion n'a de sens que pour deux vecteurs colinéaires dont le second est non nul) ; ü et
v
sont de même sens si on a À> 0; c'est ui:e relation d'équivalence qui a deux classes: orienter une droite vectorielle consiste à choisir l'une d'elles dont les vecteurs sont appelés les vecteurs desens positif. Orienter une droite affine consiste à orienter la droite vectorielle associée, ce qui se fait par le choix d'un vecteur directeur. Une droite orientée est appelée un axe.
Si A et B sont deux points distincts, le segment [AB] (resp. la demi-droite [AB)) est l'ensemble
--> ---->
des points M tels que le rapport
AM./
AB soit élément de [O, 1] (resp. [O,+ooD. On utilise également les notions de segment ouvert ]AB[ et semi-ouvert [AB[ ou ]AB] pour lesquels--> ---->
AM./
AB appartient respectivement à ]O, 1 [, [O, 1 [, ]O, 1].Le choix d'un vecteur directeur ü d'une droite affine D oriente celle-ci et associe à tout bipoint
----> ---->
(A,B) de D, ainsi qu'au vecteur AB, un réel À = AB/ ü qu'on appelle sa mesure algébrique relative au vecteur unité ü, et que l'on note AB. Pour trois points alignés, la relation de Chasles vectorielle se traduit par une relation de Chasles entre mesures algébriques : /
pour tous points A, B, C alignés : AC=AB+BC.
Soit quatre points A, B, C, D, avec A et B distincts, C et D distincts, les droites (AB) et (CD)
- - ----> ---->
étant parallèles. On a l'égalité des rapports: AB/ CD = AB/ CD , ceci quel que soit le vecteur unité définissant la mesure algébrique et, en général, on ne le précise donc pas.
Si A et B sont deux points distincts, la position de C E (AB) (C "# B) est déterminée par le
- - - - 7 - - 7 - - 7 ---+ ---+ ---+
rapport !.. = CA/ CB. En effet, AC = !.. BC =!..(AC -AB) implique AC = [À/ (t..-1)] AB. On dit que C divise le segment [AB] dans le rapport À ; exemple : le milieu de [AB] est le point qui divise ce dernier dans le rapport -1. Ce rapport est toujours différent de 1 (CA= CB impliquerait A = B). La correspondance entre À et C est bijective entre R \ { 1} et (AB)\ {B}.
EXEMPLE : les anciens accordaient beaucoup d'importance aux nombres et cherchaient à mettre la beauté en équations. C'est ainsi qu'on connaît sous le nom de nombre d'or le rapport AC/ AB pour
- -
un triplet (A,B,C) de points alignés dans cet ordre de façon que
AC/ AB = AB/BC : "le rapport du grand au moyen segment est égal au rapport du moyen au
---->
petit", ce qui était considéré comme une proportion idéale. Si AB est l'unité de mesure algébrique
- -
et si x désigne le nombre d'or, on a: x = AC, BC = ( x-1) et l'égalité des rapports s'écrit:
x /1 = 1/(x-1) ; on a donc: x2 - x -1 = 0 et, comme x est positif, il est égal à la racine positive de ce trinôme du second degré, c'est-à-dire (1 +.JS )/2 c~ 1,61803399 ... )
3.3. Orientation d'un espace affine.
On rappelle la notion d'orientation d'un espace vectoriel réel Ë de dimension finie en termes de déterminants : deux bases ordonnées de cet espace sont dites de même sens si la matrice de passage de l'une à l'autre a un déterminant positif. Pour cette relation d'équivalence entre bases ordonnées, il y a deux classes. Orienter Ë, c'est choisir l'une de ces deux classes, dont on appelle les éléments les bases directes ; les autres sont dites indirectes. En pratique, il suffit de choisir une seule base ordonnée comme base directe pour fixer une orientation. Noter que le remplacement d'un vecteur d'une base par son opposé change le sens de la base.
Lorsqu'un espace vectoriel de dimension 3 est somme directe d'un plan et d'une droite, le choix des orientations de deux de ces trois espaces (droite, plan, espace) induit une orientation du troisième,
20
par le simple fait qu'une base ordonnée de l'espace est obtenue en complétant une base ordonnée du plan par une base de la droite. Cependant, il faut noter que, dans un espace orienté de dimension 3, un plan n'est pas orienté par la seule orientation de l'espace.
Orienter un espace affine consiste à orienter son espace directeur. Un axe est une droite orientée ; cela se fait par un vecteur directeur et se note sur une figure par une flèche. Pour un plan, on oriente par un couple de vecteurs directeurs et on note cela sur une figure en représentant ce couple avec une flèche courbe dirigée du premier vers le second vecteur (on se contente souvent de la seule flèche). L'orientation d'un secteur angulaire du plan, saillant ou rentrant, est, par définition le choix d'un ordre sur l'ensemble des deux demi-droites qui le déterminent.
On oriente l'espace de dimension 3 par le choix d'une base ordonnée. On la représente en perspective sur une figure avec un sens de rotation du premier vers le second vecteur et un sens de progression selon le troisième : cela revient à représenter une hélice fléchée ("tire-bouchon").
En mathématiques, il n'y a pas d'orientation privilégiée. En revanche, lorsqu'il s'agit d'applications, il est d'usage de choisir l'orientation de l'espace de la physique correspondant au tire-bouchon pour droitier : c'est le sens de vissage standard. Ainsi, quand on fait de la trigonométrie appliquée à des problèmes concrets (mesures géographiques par triangulation, par exemple) on oriente le plan des figures dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé aussi
"sens trigonométrique direct". Ce sont ces orientations qui ont été figurées ci-dessus. Il y a aussi d'autres méthodes pour représenter l'orientation de l'espace qui utilisent les doigts d'une main, un bonhomme (bonhomme d'Ampère).
CONVENTIONS USUELLES AU SUJET DE L'ORIENTATION DES AXES, PLANS, DEMI-PL\NS.
Lorsque D est un axe orienté par un vecteur directeur ü, si le plan P est orienté par la base directe ( ü,
v ),
ledemi plan p+ du côté de
v
est le demi-plan positif Qes ordonnées y sont positives) ou rive gauche de D dans P tandis que l'autre demi-plan p- est le demi-plan négatif Qes ordonnées y sont négatives) ou rive droite de D dans P ..
+ .
5
~
p- : rive droite3.4. Configurations affines classiques du plan et de l'espace. Aire et volume.
3.4.1.Triangle, quadrilatère, parallélogramme, tétraèdre.
Dans un espace affine, un triangle ABC est la donnée de trois points A,B,C (sommets) et des trois segments associés (côtés). On peut l'orienter en fixant un ordre circulaire sur les sommets qu'on respecte alors dans la notation. Dans un plan affine réel préalablement orienté, le triangle
---> --->
orienté ABC est direct si (AB, AC) est une base directe de ce plan et il est indirect sinon.
Un triangle non plat ABC définit un régionnement du plan affine réel en sept parties. L'une de ces parties (marquée I sur la figure ci-contre) est l'intérieur: c'est l'intersection de trois demi-plans ouverts, chacun d'eux contient un sommet et est délimité par la droite passant par les deux autres sommets. Une autre caractérisation, en terme de barycentre, sera donnée plus loin.
Un quadrilatère ABCD est la donnée de quatre points A,B,C,D (sommets) et des quatre segments [AB], [BC], [CD], [DA] (côtés); les diagonales sont les segments [AC], [BD]. Il y a huit façons de noter un quadrilatère ; il peut être orienté de deux façons par le choix d'un ordre circulaire sur ses sommets, compatible avec la succession des côtés. Un quadrilatère ABCD est plat lorsque ses sommets sont alignés, croisé lorsque deux côtés se coupent. Un quadrilatère du plan affine réel est dit convexe lorsque, pour chaque côté, il est contenu dans l'un des demi-plans fermés délimités par la droite déterminée par ce côté.
croisé: non convexe
et non croisé :
PROPOSITION : un quadrilatère plan ABCD non plat est convexe s.s.si ses diagonales [AC] et [BD] ont un point commun.
0 Si ABCD est non convexe, il n'est pas contenu dans un demi-plan délimité par une droite déterminée par l'un de ses côtés, par exemple (AB), et C et D sont alors dans deux demi plans (BC) \ distincts délimités par (AB), ce qui interdit à [AC] et [BD] de se
\B
A
~D
\rencontrer.
Inversement, si [AC] et [BD] ne se rencontrent pas, ces deux segments sont dans deux demi-plans différents délimités par l'un des côtés [AB], [BC], [CD], [DA] et le quadrilatère n'est pas convexe. • Un parallélogramme ABCD est un quadrilatère tel que
---+ ~ ---+ - 7
AB = DC, ou encore BC = AD. L'équivalence entre ces deux égalités est ce qu'on appelle dans l'enseignement secondaire la propriété du parallélogramme ; elle se vérifie très facilement en utilisant la relation de Chasles.
PROPOSITION : ABCD non plat est un parallélogramme s.s.si ses côtés opposés sont parallèles.
0 Seule la réciproque est à vérifier : ce double parallélisme équivaut à l'existence de scalaires /.., µ
~ ----+ ----+ ---+ ---+ ---+ ----+ ---+ - - +
tels que DC =/..AB et BC =µAD. Des relations de Chasles AC = AB+ BC = AD+ DC, on
----+ ---+ ---+ ---+ ---+ - - 7 ----+ ---+
déduit AB+ µAD= AD+ /..AB, d'où: (1 - /..)AB= (1 - µ)AD et, puisque AB et AD ne sont pas colinéaires, /.. = µ = 1. •
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Une caractérisation simple, très importante, valable aussi pour les parallélogrammes plats, est:
THÉORÈME: ABCD est un parallélogramme s.s.si ses diagonales ont le même milieu.
D Si I et
J
sont les milieux respectifs de [AC] et [BD] et 0 un point quelconque, on a:--+ - - 7 --+ ---+ - - 7 ---+ - 7 - - 7 ---+ ---+ --+ ---+
I =
J
<=> 201=20] <=> (OA+OC)=(OB+OD) <=> (OB-OA)=(OC-OD) i.e. AB= DC. • EXERCICE : déterminer l'ensemble des milieux des segments dont les extrémités appartiennent à deux segments donnés.Un quadrilatère complet est une configuration plane de quatre droites deux à deux sécantes, dont trois ne sont jamais concourantes ; ces droites se coupent en six points, les sommets ; les diagonales sont les trois segments joignant chacun un couple de sommets qui ne sont pas sur l'une des quatre droites. La figure ci-contre représente un quadrilatère complet dont les diagonales sont en pointillés.
Une ligne polygonale est une suite de segments [AiAi+d , iE {O, 1, ... ,q}. C'est un polygone lorsque A0 = Aq+t; ses côtés sont les segments en question; dans le plan, c'est un polygone convexe quand, pour chaque côté, il est contenu dans l'un des demi-plans fermés délimités par la droite déterminée par ce côté. Un domaine polygonal du plan est une réunion d'une suite finie de domaines triangulaires (i.e. de triangles et de leurs intérieurs).
A
B
Dans un espace affine quelconque, un tétraèdre ABCD est la donnée de quatre points A, B, C, D (sommets), des six segments les joignant deux à deux (arêtes) et des quatre triangles qu'on peut former en groupant les sommets par trois (faces). On oriente un tétraèdre par un ordre sur ses sommets, modulo les permutations paires, ce qu'on note, sous la forme d'une séquence (par exemple:
ABCD) ; il y a 24 telles séquences, mais seulement deux à permutation paire près, donc deux orientations. En dimension 3, une orientation d'un tétraèdre non plat induit une orientation de l'espace à l'aide de la base ordonnée associée par la règle :
~~~
ABCD 1-7 (AB, AC , AD). Si l'espace était préalablement orienté, le tétraèdre orienté est alors direct ou indirect selon que les deux orientations de l'espace coïncident ou non.
Un parallélépipède ABCDA'B'C'D', engendré par un tétraèdre ABCD est la donnée de huit points A, B, C, D, A', B', C', D' tels que DC'A'B' est le
~
translaté par AD d'un parallélogramme ABD'C. Il est découpé en six tétraèdres: ABCD, BCDC', CDC'B', D'B'C'A', BD'CC', CC'D'B'. On l'oriente en orientant le tétraèdre générateur ABCD. A
