Projection d’un vecteur sur une base orthonormée

Projection d’un vecteur sur une base orthonormée

I. Rappel : produit scalaire de deux vecteurs

A. ~~ B =kAkk~ Bk~ cosα A. ~~ B = 0 pour A~ ⊥B~

A. ~~ A=kAk~ ²

II. Base orthonormée

Soit (~ux, ~uy, ~uz) une base orthonormée (ou BON) d’un espace vectoriel E de dimension 3. Les trois vecteurs sont normés et orthogonaux entre eux :

k~uxk=k~uyk=k~uzk= 1

~

u_x.~u_y = 0 ~u_x.~u_z = 0 ~u_y.~u_z = 0

III. Projection d’un vecteur quelconque sur un vecteur de la BON

Soit ~v un vecteur quelconque deE. Il peut s’exprimer sous la forme :

~v =x~ux+y~uy+z~uz

où (x, y, z)sont les trois composantes de ~v sur la BON (~u_x, ~u_y, ~u_z).

La projection de~v sur~u_x est, par définition :

~v.~u_x =(x~u_x+y~u_y+z~u_z).~u_x

=x ~u_x.~u_x

| {z }

=k~uxk²=1

+y ~u_y.~u_x

| {z }

=0

+z ~u_z.~u_x

| {z }

=0

=x

La projection du vecteur~v sur le vecteur de base ~u_x correspond à la composante de~v sur~u_x. Cette composante est un nombre (un scalaire).

On aura de même~v.~u_y =y et~v.~u_z =z.

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IV. Expression du produit scalaire

Soient ~v1 et ~v2 deux vecteurs quelconques de E de composantes respectives (x1, y1, z1) et (x₂, y₂, z₂) sur la BON (~u_x, ~u_y, ~u_z).

~

v1 =x1~ux+y1~uy+z1~uz

~

v₂ =x₂~u_x+y₂~u_y+z₂~u_z Le produit scalaire ~v₁.~v₂ vaut :

~

v₁.~v₂ = (x₁~u_x+y₁~u_y+z₁~u_z).(x₂~u_x+y₂~u_y +z₂~u_z)

=x₁x₂~u_x.~u_x+x₁y₂

~u_x.~u_y+x₁z₂~u_x.~u_z +y₁x₂

~u_y.~u_x+y₁y₂~u_y.~u_y+y₁z₂

~u_y.~u_z

+z₁x₂~u_z.~u_x+z₁y₂

~u_z.~u_y+z₁z₂~u_z.~u_z

=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

où l’on a utilisé k~u_xk=k~u_yk=k~u_zk= 1 et~u_x.~u_y = 0 ~u_x.~u_z = 0 ~u_y.~u_z = 0.

Ainsi :

~

v₁.~v₂ =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

V. Norme

Soit ~v un vecteur quelconque deE de composantes (x, y, z) sur la BON (~u_x, ~u_y, ~u_z).

~

v.~v =~v² =k~vk² =x²+y²+z²

k~vk=p

x²+y²+z²

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