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Sur les courbes dans lesquelles la projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur est avec lui dans un rapport constant

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Academic year: 2022

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M. D U C HATENET

Sur les courbes dans lesquelles la projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur est avec lui dans un rapport constant

Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 5 (1886), p. 233-237

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1886_3_5__233_1>

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(2)

SUR LES COURBES DANS LESQUELLES LA PROJECTION DU RAYON DE COURBURE SUR LE RAYON VECTEUR EST AVEC LUI DANS UN RAPPORT CONSTANT;

PAR M. M. DU GHATE3VET.

Soit ni le rapport constant du rayon vecteur /* pas- sant par un point fixe à la projection du rayon de cour- bure p sur le même rayon vecteur. L'angle 9 de la nor- male avec le rayon vecteur sera l'angle de projection et la propriété caractéristique des courbes que nous exa- minons sera exprimée par la relation

r = mp cos 6.

Or on a, en coordonnées polaires,

dr1

En portant ces valeurs dans la formule précédente, nous aurons l'équation dürérentielle des courbes jouis- sant de la propriété indiquée

d*r , (dry

( i ) /' -7—: - - i ni — 1 ) ( - 7 - ) -r- ( m - 1 ) r'1 = o .

(3)

Cette équation peut s'écrire comme il suit :

i dlr i / dr

r Thë ~ r*- \ dï>

" r ï

( 2 ) 7 / x >— -f- //i — r = o.

i / dr \ - do.

Le numérateur de la fraction n'étant autre chose que la dérivée —.-> l'intégration donnera

r dut) ö

( 3 ) arc tang - ^ - - ( m — i )OJ -- oi dr r dio

en supprimant la constante, ce qui, dans le cas actuel, ne nuit pas à la généralité de la question : il suffira en eiïet de donner ;i l'axe polaire une direction convenable.

On aura donc

- -, lang ( m — 11 OJ = o.i dr r dtû

Cette équation est facile à intégrer et donne

C'est l'équation générale des courbes dont nous avons parlé.

D'après (3), on voit que l'angle 0 de Ja normale avec le rayon vecteur est égal, en valeur absolue, à m — î fois l'angle de ce rayon vecteur avec une direction détermi- née. On en déduit immédiatement que la normale à la courbe et le rayon vecteur font avec cette même direc- tion des angles qui sont entre eux dans un rapport con- stant égal à ni.

Le rayon de courbure aura pour expression

(4)

en remplaçant <o par sa valeur tirée de (4), nous aurons

11 est une soluLion de la question qui n'est pas conte- nue dans la formule générale (4). L'équation (2) sera en effet vérifiée si Ton a en même temps

\ d*-r i /' <7o>2 rL \ aai / m — 1.

L'intégration donne - -7- = n : d où l'on voit qui;

0 r doj 1 ^

l'angle de la tangente avec le rayon vecteur sera con- stant. Une seconde intégration donnera

équation qui représente la spirale logarithmique. Ou connaît les deux propriétés caractéristiques de cette courbe : l'angle de la tangente et du rayon vecteur est constant et le rayon vecteur est égal à la projection du rayon de courbure sur lui.

JNous pouvons de la formule générale (4) tirer quel- ques applications particulières en donnant dillérentes valeurs à ni.

i° ru = 'i. — Dans ce cas l'équation (4) donne

/• zsz a cosw.

La courbe est alors un cercle et les propriétés des angles et du rayon vecteur sont évidentes par elles- mêmes.

20 m = ?). — La courbe qui correspond à ce cas a pour équation

/- = a V/COS2OJ.

C'est la lemtiiscate de Beruoulli.

(5)

Pour construire la normale en un point de la lemnis- cate, on tracera le rayon vecteur du centre de la courbe et l'on mènera une droite faisant avec lui un angle double de celui qu'il fait avec l'axe.

Le rayon de courbure sera égal au tiers du segment de normale compris entre la courbe et la perpendiculaire élevée du centre sur le rayon vecteur. Il sera égal à — >

c'est-à-dire inversement proportionnel au rayon vecteur.

3° m = ~. — La courbe correspondante a pour équa- tion

C'est une parabole rapportée à son foyer et à son axe.

La normale à la parabole fait avec le rayon vecteur du foyer un angle égal à la moitié de celui du rayon

\ecteur et de l'axe.

Le rayon de courbure est égal au double du segment de normale compris entre la courbe et la perpendicu- laire élevée du foyer sur le rayon vecteur. Il a pour expression 4 /

4° m = '*. — La courbe fournie par cette valeur de m a pour équation

r — — (î -r- cosw).a

C'est une épicycloïde engendrée par un cercle de dia-

mètre - •a '2

La normale à Tépicycloïde s'obtiendra en faisant avec le rayon vecteur du point de rebroussement un angle égal à la moitié de celui du rayon vecteur et de la droite joignant le point de rebroussement au sommet de la courbe.

(6)

Le rayon de courbure est égal à une fois et demie le segment de normale compris entre la courbe et la per- pendiculaire élevée au point de rebroussement sur le rayon vecleur. Il aura pour expression f \]cu\

5° ni = — i. — La courbe qui correspond à ce cas a pour équation

- ou .r2 — y2— a~*

y/cosaco

C'est une hyperbole équilatère rapportée à ses axes.

Dans l'hyperbole équilatère, la normale fait avec le rayon vecteur du centre un angle égal au double de celui qu'il fait avec l'axe.

Le rayon de courbure est égal au segment de normale compris entre la courbe et la perpendiculaire élevée au

r3

centre sur le ravon vecteur. 11 sera égal à —r-

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