Chapitre 5
Les suites numériques
Nous noterons K le corps des réels R ou celui des complexes C. Les éléments de K seront appelés scalaires, pour nous mettre petit à petit en exergue les similitudes qu’il existe entre l’espace des suites et celui des vecteurs.
I
K
Net quelques ensembles de suites remarquables
I.1
Les trois lois
Définition I.1 (Les suites)
Une suite d’éléments de K est une fonction u : N → K. Pour tout entier n ∈ N, nous noterons un l’image u(n).
Cette suite sera notée, u, ou (un), ou (un)n∈N. L’ensemble des suites à valeurs dans K sera noté KN.
Remarque :
• Attention à ne pas confondre le scalaire unet la suite (un).
• On rencontrera des suites dont les premiers termes ne sont pas définis, auquel cas, en notant n0l’entier à
Exemples : Donnons quelques manières de définir les suites : – Comme une fonction de n : un=
n2− 2
n2+ 3.
– Par une propriété : pour tout n ∈ N∗, x
n est l’unique réel de l’intervalle [0, 1] solution de l’équation xn =
1 − x,
– Par récurrence : u0= 1et ∀n ∈ N, un+1= sin un.
La récurrence peut être d’ordre 2, comme par exemple la suite de Fibonacci :
F0= 0, F1= 1, et ∀n ∈ N, Fn+2= Fn+1+ Fn.
– En tant que série : Soit (un)une suite. La série de terme général (un)est la suite (Sn)n∈N= n X k=0 uk ! n∈N . Par exemple,
1. la série géométrique de raison q ∈ C est
n X k=0 qk ! n∈N ,
2. la série harmonique est
n X k=1 1 k ! n∈N∗
, elle-même un cas particulier de
3. la série de Riemann n X k=1 1 kα ! n∈N∗ , où α ∈ R.
On définit trois lois sur KN ainsi : Soient (u
n)n∈Net (vn)n∈N deux suites B L’addition
(un)n∈N+ (vn)n∈N= (un+ vn)n∈N. B La multiplication
(un)n∈N× (vn)n∈N= (un× vn)n∈N. B La multiplication par un scalaire λ
λ.(un)n∈N = (λ × un)n∈N.
Par souci d’économie rédactionnel, nous dirons d’un prédicatP(n) qu’il est vrai à partir d’un certain rang - ce que nous noterons APCR - lorsque
∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, si n > n0, alorsP(n) est vrai.
I.2
Les suites bornées
Définition I.2 (majorée, minorée bornée)
Soit (un)n∈Nune suite réelle. Elle est dite – minorée lorsque ∃m ∈ R, ∀n ∈ N, un> m. – majorée lorsque ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un6 m. – bornée lorsqu’elle est majorée et minorée.
Une suite complexe (zn)n∈N est dite bornée lorsque la suite de ses modules (|zn|)n∈N est majorée.
Remarque : Une suite (un)n∈Nest majorée APCR (respectivement minorée, bornée) si et seulement si elle est
majorée (respectivement minorée, bornée). Ceci se prouve sans trop de heurts en utilisant qu’une partie finie est toujours bornée.
Proposition I.3
Soit (un)n∈Nune suite réelle. Elle est bornée ssi la suite (|un|)n∈Nest majorée.
Démonstration : ⇐ : Si il existe A > 0 tel que pour tout n ∈ N, |un| 6 A, alors (un)n∈N est
minorée par −A et majorée par A.
⇒ : Si (un)n∈N est majorée par M et minorée par m, alors en posant A = max{|m|, |M |},
on a pour tout entier n ∈ N :
−A 6 −|m| 6 m 6 un6 M 6 |M | 6 A et donc |un| 6 A.
Propriétés I.4
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suite réelles. Si elles sont toutes les deux majorées -respectivement minorées, bornées - alors leur somme est majorée --respectivement mi-norée, bornée.
Démonstration : C’est évident : si la première est majorée par m1 et la seconde par m2 alors
leur somme l’est par m1+ m2.
Proposition I.5
Soient (un)n∈Net (vn)n∈N deux suite réelles qui vérifient
un 6 vn à partir d’un certain rang. Alors 1. Si (un)n∈Nest minorée, alors (vn)n∈N l’est.
2. Si (vn)n∈N est majorée, alors (un)n∈Nl’est.
Démonstration : Nous nous contenterons de prouver le premier point. S’il existe m ∈ R tel que
pour tout entier n, un> m, alors vn> m APCR, ce qui nous garantit qu’elle est bien minorée.
Exemples :
1. Montrons quela série harmonique n’est pas majorée. Puisque pour tout x > −1, ln(1 + x) 6 x, nous
avons pour tout k ∈ N∗, ln(k + 1) − ln k = lnk + 1
k = ln
1 + 1
k
6 1k.Fixons alors n ∈ N∗et sommons
toutes ces inégalités pour les entiers allant de 1 à n :
n X k=1 (ln(k + 1) − ln k)6 n X k=1 1 k = Hn.
L’intérêt est que le minorant de la série harmonique est une série télescopique. Après rétractation de clui-ci, on obtient
∀n ∈ N∗, Hn> ln(n + 1).
La fonction ln n’étant pas majorée, la série harmonique ne l’est pas non plus. 2. Montrons que la série de Riemann
n X k=1 1 kα ! n∈N∗
est majorée lorsque α > 2. Remarquons, que puisque
df rac1kα 6 df rac1k2 pour tout k > 1, il suffit de montrer que
n X k=1 1 k2 ! n∈N∗
est majorée. Or, pour
k > 2,k12 6 1 k(k − 1) = 1 k − 1 − 1
k. Ainsi, on majore notre série par une série télescopique : pour tout n > 2,
II
La convergence
II.1
Les suites convergentes
Définition II.1
Soit (xn)n∈N∈ KNet ` ∈ R. On dit que (xn)converge, ou tend, vers ` lorsque ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, (n > n0) ⇒ |un− `| 6 ε.
On note alors xn → `. Une suite est diteconvergente lorsqu’il existe un scalaire ` vers lequel elle tend. Sinon, elle est dite divergente.
Proposition II.2 (Unicité de la limite)
Si xn→ `1 et xn → `2, alors `1 = `2.
Démonstration : Faisons une preuve par l’absurde. Si `1 < `2, posons ε =
`2− `1
4 dans la
définiton de ces deux limites. Nous obtenons ainsi l’existence d’un entier n0 au-delà duquel
|un− `1| 6 ε et |un− `2| 6 ε. Alors :
`1= (`1− un) + (un− `2) + `2> −ε − ε + `2 =
`1− `2
2 + `2 > `1− `2+ `2 = `1, ce qui est effectivement absurde.
Remarque :
– La limite, lorsqu’elle existe, est donc unique. Nous noterons alors lim
n→∞xn= `.
– lim
n→∞xn = ` ⇐⇒ limn→∞|xn− `| = 0. Tout résultat concernant la convergence d’une suite positive vers 0 aura
donc une portée générale, comme par exemple :
Proposition II.3
Soient (xn)n∈Net (yn)n∈Ndeux suites réelles telles que • lim
n→∞yn= 0, et
• ∃n0 ∈ N, n > n0 ⇒ |xn| 6 yn. Alors lim
n→∞xn = 0.
Démonstration : Soit ε > 0. Il existe n1 ∈ N, que l’on peut choisir > n0, tel que pour tout
n > n0, |yn| 6 ε, et donc |xn| 6 ε.
Exemples :
– Pour tout p ∈ R, lim
n→∞p 1/n = 1 et lim n→∞n 1/n = 1. En effet, si on pose x n = p1/n − 1, alors p = (xn + 1)n > n 1
xn, d’après le binome de Newton et la positivité de xn. Ainsi, 0 6 xn 6 pn.
On conclut avec le résultat précédent.
– De même, si yn= n1/n− 1, alors n = (yn+ 1)n > n 2 y2 n, et ainsi 0 6 yn 6 r 2 n − 1. Proposition II.4
Démonstration : Posons ε = 1 dans la définition de lim xn= `. Alors APCR |xn− `| 6 1, et donc
` − 1 6 xn6 ` + 1. La suite est bornée APCR, donc bornée.
Notons déjà, mais c’est une évidence, que le réciproque est fausse, comme nous le prouve l’exemple de la suite ((−1)n).
Revenons, avec bonheur, sur la question de la borne supérieure, et donnons-en une caractérisation séquentielle :
Proposition II.5
Soit Ω une partie non vide et bornée de R. Soit M ∈ R. Alors
M = sup Ω ⇐⇒
∀x ∈ Ω, x 6 M, et
∃(xn)n∈Nune suite d’éléments de Ω telle que limn→∞xn= M. De même,
Proposition II.6
Soit A une partie de R. A est dense dans R si et seulement si pour tout réel x, il existe une suite d’éléments de A qui converge vers x.
Démonstration : =⇒ Supposons la densité de A dans R. Soit x ∈ R. Pour tout n ∈ N∗, il existe
donc un élément de A dans l’intervalle [x − 1/n, x + 1/n]. Notons-le xn. La suite (xn)ainsi
construite répond à notre demande puisqu’elle vérifie |xn− x| 6
1
n, pour tout n ∈ N
∗.
⇐= Soit [a, b] un intervalle non réduit à un singleton de R. Il existe une suite qui con-verge vers le milieu a + b
2 de cet intervalle. En posant ε = b − a
4 dans la définition de cette limite, nous voyons qu’il existe un (tous APCR en fait) élément de cette suite dans l’intervalle.
Par exemple, on retrouve la densité des rationnels dans les réels, en notant que pour tout réel x, la suite de ses valeurs décimales approchées tend vers x :
lim n→∞
b10nxc 10n = x.
II.2
Limites et relations d’ordre
Toutes les suites de cette section seront réelles.
Proposition II.7
Soit (xn)une suite réelle convergente et ` sa limite. Alors, 1. Pour tout λ < `, xn > λAPCR.
2. Si xn> 0 APCR, alors ` > 0. 3. Si ` > 0, alors xn > 0APCR.
Démonstration : Pour le troisième, il suffit de poser ε = ` > 0 dans la définition de la limite de
(xn).
Montrons le deuxième par contraposition : si ` < 0, alors (−xn)tend vers −` qui est > 0,
donc d’après le 3., −xn> 0APCR, i.e xn< 0APCR, et ne peut donc être positif APCR.
Enfin, pour le premier point, il suffit d’appliquer le troisième point à la suite (xn− λ),
Théorème II.8 (d’encadrement)
Soient (xn)n∈N, (yn)n∈N, (zn)n∈N trois suites réelles telles que
lim n→∞xn = limn→∞yn= `, xn6 zn6 yn. Alors (zn)n∈N est convergente et limn→∞zn = `.
Démonstration : D’après l’hypothèse, |zn− xn| 6 yn− xn. Puisque yn− xn−−−−−→
n→+∞ 0, d’après la
proposition II.3, la suite zn− xn−−−−−→
n→+∞ 0, et donc la suite (zn) = (zn− xn) + (xn)converge
vers 0 + `.
II.3
Arithmétique des suites convergentes
Proposition II.9
Soient (xn)n∈N et (yn)n∈N deux suites réelles ou complexes convergentes de limites re-spectives α et β. Alors,
1. (xn+ yn)n∈N converge vers α + β. 2. Si lim
n→∞xn= 0 et si (yn)est bornée, alors limn→∞xnyn = 0. 3. (xnyn)n∈Nconverge vers αβ.
4. Pour tout λ ∈ K, (λxn)n∈Nconverge vers λα. 5. Si α 6= 0, alors APCR xn6= 0 et lim
n→∞ 1
xn = 1
α.
Démonstration : 1. Soit ε > 0. Il existe un rang n0au-delà duquel |xn− α| et |yn− β| 6 ε/2.
Ainsi, pour ces valeurs de n, d’après l’inégalité triangulaire,
(xn+ yn) − (α + β) 6 |xn− α| + |yn− β| 6 ε.
2. Soit M un majorant de la suite (|yn|). Alors la suite (|xnyn|) est majorée par la suite
(M |xn|) qui tend vers 0. D’après la proposition II.3, (xnyn)tend vers 0.
3. Pour tout n ∈ N, xnyn− αβ = xn(yn− β) + β(xn− α). Or xn(yn− β) −−−→n→∞ 0en tant
que produit d’une suite tendant vers 0 et d’une suite bornée (car convergente). Quant à la suite (β(xn− α)), elle tend aussi vers 0.
4. Je vous le laisse.
5. Quitte à changer la suite (xn) en son opposée, on peut supposer que α > 0. En
appli-quant le premier point de la proposition II.7, avec λ = α/2, nous obtenons la relation xn> λ APCR. Or, 1 xn − 1 α = |α − xn| αxn 6 |α − xn|
αλ . Or cette dernière suite tend vers 0, donc 1 xn − 1 α n∈N aussi.
II.4
Suites extraites
Définition II.10 (Suites extraites)
Soit (xn)n∈N une suite réelle ou complexe. On appelle suite extraite, ou sous-suite, de (x ) , toute suite de la forme (x ) , où ϕ : N → N est une fonction strictement
croissante.
Par exemple, (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈N ou (un+1)n∈N sont des suites extraites de (un)n∈N.
Lemme 1
Soit ϕ : N → N une fonction strictement croissante. Alors pour tout n ∈ N, ϕ(n) > n.
Démonstration : On le prouve par récurrence. L’initialisation provient de l’appartenance de ϕ(0)
aux entiers naturels. Si maintenant n est un entier pour lequel le prédicat est vrai, alors ϕ(n + 1) > ϕ(n) car la croissance est stricte. Mais alors, d’après l’HdR, ϕ(n + 1) > n, et puisque ces inégalités portent sur des entiers, ϕ(n + 1) > n + 1.
Voici un théorème dont la contraposée nous sera bien utile :
Théorème II.11
Si (xn)n∈N converge vers un complexe `, alors toutes ses sous-suites convergent aussi vers `.
Démonstration : Soit ε > 0. Il existe n0 au dela duquel, |xn − `| 6 ε. Or ϕ(n) > n, donc si
n > n0, ϕ(n) > n0et on a aussi |xϕ(n)− `| 6 ε.
On se sert donc de sa contraposée pour prouver la divergence de suites, en exhibant deux sous-suites qui convergent vers deux limites distinctes. Exemple : (un)n∈N = ((−1)n)n∈N diverge, car sa sous-suite (u2n)n∈N est la suite constante égale à 1, donc converge vers 1, alors que sa sous-suite (u2n+1)n∈Nconverge vers −1..
Proposition II.12
Si (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N convergent vers la même limite, alors (un)n∈N converge.
Démonstration :
III
Les suites monotones
Puisqu’il est question de relatiosn d’ordre, toutes les suites ici seront réelles. Une suite (un)n∈Nest dite
– croissante lorsque pour tout n ∈ N, un6 un+1, – décroissante lorsque pour tout n ∈ N, un> un+1, – monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.
III.1
LE théorème
Le gros intérêt du théorème qui suit, et ce qui explique sa centralité est, outre que ses hypothèses sont minimalistes, qu’il dissocie les deux questions de la convergence d’une part, et du calcul de la limite, i.e qu’il fournit la convergence sans exiger la connaissance de la limite.
Théorème III.1
Démonstration : Soit (un)n∈Nune suite croissante et majorée. Notons α = sup{un, n ∈ N}. Soit
ε > 0. α − ε n’étant pas un majorant de cette suite, il existe n0 ∈ N, tel que un0 > α − ε. Alors
d’après la croissance de celle-ci, pour tout n > n0, α > un> un0 > α − ε, donc |un− α| 6 ε.
III.2
Suites adjacentes
Définition III.2
Soient (un)n∈Net (vn)n∈N deux suites réelles. Elles sont ditesadjacentes lorsque – (un)n∈N croît et (vn)n∈N décroît.
– et vn− un−−−→ n→∞ 0. Le résultat est alors simple :
Théorème III.3
Si (un)n∈Net (vn)n∈Nsont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
Démonstration : Il est clair que la seule difficulté, toute relative par ailleurs, consiste à prouver
que les deux suites convergent. Or, la suite (vn− un)n∈N est décroissante, comme somme
de deux suites décroissantes. Comme elle converge vers 0, elle est positive. Donc pour tout n ∈ N, un6 vn, et ainsi, un 6 v0 car la suite (vn)n∈Ndécroît. En conclusion, (un)n∈Ncroît et
est majorée par v0, donc converge. Je vous laisse vous exercer sur l’autre suite.
Exemples : Montrons que les deux suites (un)n∈N∗=
n X k=1 1 k− ln n ! n∈N∗ et (vn)n∈N∗= un− 1 n n∈N∗ sont adjacentes : – Soit n ∈ N∗. u n+1− un= 1 n + 1− ln(n + 1) + ln n = ln 1 − 1 n + 1 + 1
n + 16 0, que l’on obtient en posant x = − 1 n + 1 dans ln(1 + x) 6 x. – Soit n ∈ N∗. v n+1− vn = (un+1− un) − 1 n + 1 + 1 n = 1 n + 1− ln(n + 1) + ln n + − 1 n + 1+ 1 n = 1 n− ln 1 + 1 n
> 0, que l’on obtient en posant x = 1
n dans ln(1 + x) 6 x.
– Soit n ∈ N∗. u
n− vn=
1
n −−−−→n→∞ 0.
En particulier, on obtient la convergence de la suite (un). On note γ sa limite. Ses premières décimales sont
γ ' 0, 57721566. Elle est appelée constante d’Euler. On a ainsi prouvé :
n X k=1 1 k = ln(n) + γ + o(1) ♥ .
III.3
Limites infinies
Les suites seront réelles.Définition III.4
• +∞ pour limite, ou qu’elle tend vers +∞ lorsque
∀M ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ xn > M . • −∞pour limite, ou qu’elle tend vers −∞ lorsque
∀M ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ xn 6 M .
Attention à la terminologie : Une telle suite admet une limite, mais elle est divergente dans R.
Proposition III.5
Soient (un)n∈Net (vn)n∈N deux suites réelles.
1. Si un6 vnAPCR et un −−−→n→∞ +∞, alors vn −−−→n→∞ +∞. 2. Si un6 vnAPCR et vn−−−→n→∞ −∞, alors vn −−−→n→∞ −∞. 3. Si un−−−→n→∞ +∞, et (vn)n∈Nest minorée alors un+ vn−−−→n→∞ +∞. 4. Si un−−−→n→∞ −∞, et (vn)n∈Nest majorée alors un+ vn −−−→n→∞ −∞. 5. Supposons que un−−−→ n→∞ +∞et un−−−→n→∞ ` ∈ R. Alors, (a) Si ` > 0, un× vn−−−→n→∞ +∞. (b) Si ` < 0, un× vn−−−→n→∞ −∞. (c) Si ` = +∞, un× vn−−−→n→∞ +∞. (d) Si ` = −∞, un× vn−−−→n→∞ −∞
6. Supposons que (un)n∈N ne s’annule pas et qu’elle tende vers ` ∈ R. (a) Si ` 6= 0, 1 un −−−→ n→∞ 1 `. (b) Si ` = 0, et un> 0 ∀n ∈ N, alors 1 un −−−→ n→∞ +∞. (c) Si ` = 0, et un< 0 ∀n ∈ N, alors 1 un −−−→ n→∞ −∞.
Démonstration : 1. Soit M ∈ R. ∃n0∈ N tel que n > n0⇒ un> M , donc vn> M .
2. On applique ce qui précède en remarquant que −vn6 −unet que −vn−−−→n→∞ +∞.
3. Si m est un minorant de (vn)n∈N, alors la suite (un+ vn)n∈N est minorée par la suite
(vn+ m)n∈Nqui tend vers +∞. On applique alors le 1.
4. Sous ces hypothèses,
−un−−−→
n→∞ +∞, et
IV
Suppléments
IV.1
Suites récurrentes Linéaires d’ordre 2
Soient a et b ∈ C, b non nul, et (un)n∈Nune suite complexe ( ou réelle ). Notons
E = {(un)n∈N telles que ∀n ∈ N, un+2 = aun+1+ bun} , On appelle équation caractéristique de cette équation :
r2− ar − b = 0, (Ec) et ∆ = a2+ 4bson discriminant.
Théorème IV.1
Deux cas se présentent :
• Si ∆ 6= 0, (Ec)possède deux solutions r1 et r2. Alors
(un)n∈N ∈ E ⇐⇒ ∃A, B ∈ C, ∀n ∈ N, un= Arn1 + Brn2. • Si ∆ = 0, (Ec)possède une solution double r0. Alors
(un)n∈N ∈ E ⇐⇒ ∃A, B ∈ C, ∀n ∈ N, un= (An + B)rn0
On détermine les constantes A et B grâce aux deux premières valeurs de la suite (un)n∈N.
IV.2
Suites complexes
Proposition IV.2 Soit (zn)n∈Net ` ∈ C. Alors zn−−−→ n→∞ ` ⇐⇒ Re zn−−−→ n→∞ Re `, Im zn−−−→n→∞ Im `.
Exemples : Soient a et x deux réels. Calculons la limite lorsque n tend vers +∞ de
n X k=0 eaksin(kx) ! n∈N .
