Au delà des nombres réels

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Au delà des nombres Réels

KREUSCH MARIE

- Université de Liège (Belgique) - Département de mathématiques

Financement de l’ULg - Poster présenté à l’occasion des Doctoriales Lille Nord de France

I

NTRODUCTION

Les nombres réels, notés R, sont bien connus du grand public, ils font partie de notre quotidien, que l’on soit mathématicien ou non. Ceux-ci sont utilisés pour représenter certaines grandeurs physiques (température, pression, distance,...) et sont utilisés pour faire de simples calculs. Mais il existe beaucoup d’autres types de nombres qui généralisent les réels. Parmi ceux-ci une suite intéressante, appelée "suite de Cayley-Dickson", donne lieu notamment aux nombres complexes C, aux quaternions H et aux octonions O. De cette suite sont nées les algèbres de Clifford Cln ainsi que des algèbres On généralisant les octonions.

Ces nombres, étudiés d’un point de vue purement théorique en mathématiques sont utilisés pour décrire des phénomènes observés en physique (théorie des cordes, la mécanique quantique), dans le traitement d’images numériques, la robotique...

P

ROBLÉMATIQUE

R

C

H

O

. . .

Cl

₃

Cl

₄

..

.

Cl

₇

..

.

O

4 O

5 ..

.

Suite de

Cayley-Dickson

Exemples de nombres réels:

-10, 1, 0,

√

2 _{, π,}

1₃

_{, e, . . .}

Plaque sur le pont de Broom, Dublin

Perte de...

_l’ordre

_{la commutativité}

_{l’associativité}

Découvert

_Pythagore

500 A.J.C

1500

Cardan

1843

Hamilton

1844

Graves

1876

Clifford

2011

Ovsienko &

Morier-Genoud

Dimension

1

2

4

8

2

3

2

4

2

7

2

4

2

5

Q

UESTIONNEMENTS

• Les algèbres de Clifford Cln sont fort utilisés en physique,

qu’en est-il de la généralisation des octonions On?

• Il existe un lien entre Cl7 et O, qu’en est-il des autres?

• Classifier et relier à d’autre domaines les algèbres On.

C

OMPÉTENCES DÉVELOPPÉES

• Autonomie • Gestion de projet • Planification • Communication • Capacité d’adaptation et de remise en question • Capacité d’abstraction • Rigueur et persévérance