Théorie des nombres

Théorie des nombres

Pierron Théo

ENS Ker Lann

Table des matières

1 Corps finis 1

1.1 Rappels de théorie des corps . . . 1

1.1.1 Caractéristique d’un corps, sous-corps premier . . . 1

1.1.2 Extension de corps . . . 1

1.1.3 Corps de rupture, corps de décomposition . . . 2

1.2 Corps finis . . . 3

1.2.1 Propriétés . . . 3

1.2.2 Structure multiplicative . . . 3

1.2.3 Morphisme de Frobenius - Sous-corps d’un corps fini . 4 1.2.4 Le polynômeP =X^qn−X ∈Fq[X] . . . 5

1.3 Carrés de Fq . . . 5

1.3.1 Dénombrement . . . 5

1.3.2 Symbole de Legendre. . . 6

1.3.3 Calcul de ⁻_p¹ . . . 6

1.3.4 Calcul de ²_p . . . 7

1.3.5 Loi de réciprocité quadratique . . . 7

1.4 Symbole de Jacobi . . . 9

1.4.1 Définition . . . 9

1.4.2 Calcul effectif du symbole de Jacobi . . . 10

1.4.3 Test de primalité . . . 11

1.5 Factorisation dans Fq[X] . . . 12

1.5.1 Algorithme de Berlekanp . . . 12

2 Réseaux 15 2.1 Définition et théorème de Minkowski . . . 15

2.2 Applications . . . 18

2.2.1 Théorème des deux carrés . . . 18

2.2.2 Théorème des quatre carrés . . . 19 i

3 Anneaux des entiers d’un corps de nombres 21

3.1 Rappels . . . 21

3.2 Entiers algébriques . . . 22

4 Anneau des entiers des corps quadratiques 27 4.1 Détermination . . . 27

4.2 Unités de OQ[√ N] . . . 28

4.3 Factorialité, euclidianité de OQ[√ N] . . . 29

5 Bases d’entiers 33 5.1 Description de O^K . . . 33

5.2 Calcul d’une base deO^K . . . 34

6 Unités et équation de Pell-Fermat 37 6.1 x²−dy² = 1 . . . 37

6.2 Fractions continues . . . 40

6.2.1 Définition et premières propriétés . . . 40

6.2.2 Réduction des formes quadratiques . . . 43

6.2.3 Lien avec les fractions continues . . . 45

6.2.4 Algorithme de résolution de l’équation de Pell-Fermat . 45 6.3 Théorème de Dirichlet . . . 45

7 Analyse numérique 51 7.1 Fonction ζ . . . 51

7.2 Fonction Γ . . . 52

7.3 Généralisation . . . 53

7.3.1 Fonctions L . . . 53

Chapitre 1 Corps finis

1.1 Rappels de théorie des corps

1.1.1 Caractéristique d’un corps, sous-corps premier

Définition 1.1 Soit k un corps. L’application : f :







Z → k n 7→ n.1k

définit un morphisme d’anneaux. Son noyau est un idéal deZ. Il s’écrit donc nZ. Si n =n1n2 6= 0, on a (n11k)(n21k) = 0 donc par intégrité, n1 ∈Ker(f) oun2 ∈Ker(f). Ainsi,n = 0 oun est premier.

Si n 6= 0, f induit une injection de Z/nZ dans k. Son image est le plus petit sous-corps de k et est appelé sous-corps premier de k.

Si n = 0, on montre que le sous-corps premier de k est Q. En effet, k contient Im(f) = Z, donc son corps des fractions Q. Comme Q ne contient pas d’autre corps, on a bien le résultat.

Remarque 1.1 Si k est fini, n >0.

1.1.2 Extension de corps

Définition 1.2

• Soient K etLdeux corps avec K ⊂L. On dit queL est une extension deK.

• Le degré de l’extension L/K est la dimension de L considéré comme K-espace vectoriel : [L:K] = dimKL.

• On dit qu’une extension est finie ssi son degré est fini.

1

• Si L/K est une extension et α ∈ L, le plus petit sous-corps de L contenant α etK est noté K(α).

– Si α vérifie P(α) = 0 avec P ∈ K[X], alors K(α) est finie et de degré inférieur ou égal à deg(P) et K(α) = K[α]. On dit que α est algébrique sur K.

– Sinon,α est dit transcendant surK etK(α) = Frac(K[α]). L’exten- sion K(α)/K est alors infinie. Une extension de cette forme est dite monogène.

Théorème 1.1 (de l’élément primitif) Toute extension finie séparable¹ est monogène.

Exemples :

• Toute extension finie de corps de caractéristique nulle est monogène.

• Toute extension finie de corps fini est monogène.

1.1.3 Corps de rupture, corps de décomposition

Théorème 1.2 Soit K un corps et P ∈ K[X]. Il existe une extension L de K telle que P ait une racine dans L (corps de rupture). Les extensions de K minimales où P a une racine sont isomorphes.

Démonstration. On peut supposer P irréductible, c’est-à-dire K[X]/hPi = K[X]/(P K[X]).

∃ La classe de X est une racine deP dans K[X]/hPi.

∼ Si L/K est une extension et α ∈ L vérifie P(α) = 0, K(α) est une extension deKoùP a une racine donc siLest minimal, on aL=K(α).

Via l’application : δa :







K[X] → K(α) =L Q(X) 7→ Q(α) on a K[X]/hPi ≃K(α) =L.

Théorème 1.3 SoitK un corps et P ∈K[X]. Il existe une extension L de K telle que P s’écrive comme produit de facteurs de degré 1 dans L[X]. Les extensions de K minimales pour cette propriété sont isomorphes entre elles.

Définition 1.3 Un tel corps est appelé corps de décomposition pour P. Démonstration. Il suffit d’itérer le processus de construction du corps de rupture.

1. Une extension algébriqueLd’un corpsKest dite séparable ssi le polynôme minimal de tout élément deLn’admet que des racines simples.

1.2. CORPS FINIS

1.2 Corps finis

1.2.1 Propriétés

Proposition 1.1 Soit K un corps fini.

• Sa caractéristique est un nombre premier p.

• Son sous-corps premier est isomorphe à Z/pZ.

• Comme K en est une extension, il a une structure de Z/pZ-espace vectoriel de dimension finie (car K fini) notée d.

• On a K ≃(Z/pZ)^d donc Card(K) = p^d.

1.2.2 Structure multiplicative

Théorème 1.4 SiK est un corps fini, alors(K^∗,×)est un groupe cyclique.

Démonstration. Six∈K^∗ d’ordren>1. Le sous-groupe engendré par xest un sous-groupe d’ordre n donc les éléments ont un ordre qui divise n.

Un élément de K^∗ dont l’ordre divise n est une racine de Xⁿ−1 et il y a au plus n éléments de K^∗ dont l’ordre divise n.

On a donc deux possibilités : soit il n’y a pas d’éléments d’ordre n dans K^∗, soit, s’il y en a, il y a n éléments dont l’ordre divise n. Ils forment alors un sous-groupe cyclique deK^∗, isomorphe àZ/nZ. Il y a doncϕ(n) éléments d’ordren.

Notons q = Card(K).

q−1 = Card(K^∗)

= ^X

n|q−1

Card{x∈K^∗, xest d’ordre n}

6 ^X

n|q−1

ϕ(n) On a aussi :

q−1 = Card(Z/(q−1)Z)

= ^X

n|q−1

Card{x∈Z/(q−1)Z, xest d’ordre n}

= ^X

n|q−1

ϕ(n)

La première inégalité est donc une égalité et pour tout n|q−1, il y a au moins un élément d’ordre n. Donc il existe un élément d’ordre q−1 et K^∗ est cyclique.

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Remarque 1.2 On a montré que X^q−1−1 = ^Y

x∈K^∗

(X−x).

1.2.3 Morphisme de Frobenius - Sous-corps d’un corps fini

Théorème 1.5 L’application ϕp : x7→x^p est un automorphisme de corps.

(a^p+b^p = (a+b)^p car p divise les cœfficients binomiaux différents de 1).

Soit K^′ un sous-corps deK. K^′ contient le sous-corps premier de K donc on a des extensions.

Théorème 1.6 On a [K :Z/pZ] = [K :K^′]×[K^′ :Z/pZ].

Démonstration. Si K est de cardinalp^d et si d^′ |d, montrons que K^′ est un sous-corps deK de cardinal p^d′.

Posons E = {x ∈ K, x^pd′ − x = 0}. E est le noyau de l’application Z/pZ-linéaire ϕ_pd′ −Id donc E est stable par + et ·. De plus, ϕ_pd′(xy) = ϕ_pd′(x)ϕ_pd′(y) =xy donc E est stable par ×. C’est donc un sous-corps deK qui convient.

En effet,X^pd′−X |X^pd−X = ^Y

x∈K

(X−x) doncX^pd′−X est scindé sur K donc Card(E) =p^d′.

Remarque 1.3 Les éléments deK^′ sont les racines deX^pd′−X. Il y a donc au plus un sous-corps de cardinal p^d′.

Théorème 1.7 Pour tout q=p^d, il existe un unique corps fini de cardinal q noté Fq.

Démonstration.

∃ q s’écrit p^d.

P =X^q−X ∈Z/pZ[X] est sans facteur carré car P^′ =−1.

Notons K le corps de décomposition de P sur Z/pZ.

K est un corps fini (extension finie de Z/pZ) et Card(K) > q car K contient lesq racines distinctes de P.

PosonsK^′ ={x∈K, x^q=x}.K^′ est un sous-corps deK àq éléments.

! Sikest un corps fini de cardinalq =p^d, on ak^∗ cyclique donc pour tout x∈ k^∗, x^q−1 = 1 donc x^q = x et 0^q = 0 doncX^q −X est scindé dans k. Par unicité du corps de décomposition, k etK^′ sont isomorphes.

Remarque 1.4 K^′ est un sous-corps contenant K et lesq racines deP. Donc c’est un corps de décomposition deP qui est de plus minimal donc K =K^′.

1.3. CARRÉS DEFQ

Remarque 1.5 L’isomorphisme n’est pas unique (sa composée avec le Frobé- nius en est aussi un).

1.2.4 Le polynôme P = X

− X ∈ F

[X ]

Théorème 1.8 Soient a, b, q trois entiers. r est le reste dans la division de a par b ssi q^r−1 est le reste dans la division de q^a−1 parq^b−1.

Démonstration. Il suffit d’écrire les nombres en base q.

Proposition 1.2

• P est à racines simples.

• SoitQ∈Fq[X] irréductible.Q|P ssi deg(Q)| netK =Fq[X]/hQi est un corps à q^deg(Q) éléments.

Démonstration.

• P^′ =−1 donc P est à racines simples.

• Si deg(Q)|n, x^qdeg(Q) =x donc x^qn = (((x^qdeg(Q))^qdeg(Q))^···)^qdeg(Q) =x.

Doncx^qn =x sur K etQ|X^qn −X.

• Si Q|X^qn−X, K est un corps àq^deg(Q) éléments.

On a Q(X) = 0 et X^qn = X. Donc ϕⁿ_q(X) = X avec ϕq le Frobénius.

ϕq est linéaire et X engendre K en tant que Fq-algèbre.

Donc, pour toutx∈K,x^qn =x. En particulier, six est un générateur deK^∗,q^deg(Q)−1|qⁿ−1 donc deg(Q)|n.

On a donc :

X^qn−X = ^Y

P∈Fq[X] unitaire irréductible

deg(P)|n

P

1.3 Carrés de F

1.3.1 Dénombrement

F^∗_q est isomorphe à Z/(q −1)Z donc x est un carré de F^∗_q ssi x est un multiple de 2 dans Z/(q−1)Z.

• Siq est pair, tout élément deFq est un carré. En effet,q−1 est impair donc premier avec 2 donc 2 est inversible.

• Si q est impair, il y a ^q+1₂ carrés dans Fq. En effet, dans Im(x → x²) chaque élément non nul a deux antécédents.

Doncq = 1 + 2(Card(Im(x→x²))−1).

• Six∈Fq,x^q−12 vaut 0 six= 0, 1 si xest un carré non nul et −1 sinon.

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1.3.2 Symbole de Legendre

On se place maintenant dansFp avec p premier.

Définition 1.4 On définit le symbole de Legendre de n et p (premier) et on note ⁿ_p l’entier 0 si p| n, 1 si n est un carré modulo p avec p ∤n et −1 sinon (ie si n n’est pas un carré modulo p).

Remarque 1.6

• ⁻_p¹=x^p−12 mod p si p6= 2.

• L’application :

l :







F^∗_p → {1,−1} n 7→ ⁿp

est un morphisme de groupes.

• Pour déterminer les carrés, il suffit de savoir calculer ⁻_p¹, ²_p et _p^q avec q et p premiers et impairs.

On suppose désormaisp et q premiers impairs.

1.3.3 Calcul de

On a, d’après le paragraphe précédent, ⁻_p¹= (−1)^p−12 mod pdonc ⁻_p¹ vaut donc la classe de p dans Z/4Z.

Définition 1.5 Soit σ ∈ S_n. On définit la signature de σ et on note ε(σ) la quantité :

(−1)^Card{16i<j6n,σ(i)>σ(j)}

= (−1)^{Card(suppσ)−1}(si σ est un cycle)

= 1 si σ=τ1◦ · · · ◦τ2p et −1 sinon Théorème 1.9 Si p∤n, ⁿ_p=ε(σn) avec :

σn :







F^∗_p → F^∗_p

x 7→ nx

Démonstration. On montre que si g est un générateur de F^∗_p, alors ^g_p = ε(σg).

σg est circulaire donc ε(σg) = (−1)^p−1−1 = −1. De plus g n’est pas un carré sinon tous les éléments de F^∗_p en seraient, ce qui contredirait p impair.

Donc^g_p=−1.

1.3. CARRÉS DEFQ

1.3.4 Calcul de

2 p

On compte les inversions causées par σ2. On a, pour tout i, 2i= (2i mod p) si i 6 ^p−1

2 et 2i= (2i−p modp) si i > ^p−₂¹.

Pour avoir une inversion, il faut (et il suffit) d’avoir i 6 ^p−₂¹, j > ^p−₂¹ et 2i >2j−p (iej 6i+ ^p−₂¹)

On a donc

p−1

X2

j=0

j = p²−1

8 inversions donc ²_p= (−1)^p28−1.

1.3.5 Loi de réciprocité quadratique

Définition 1.6 On poseµp(E) ={x∈E, x^p = 1}.

Définition 1.7 Soit K un corps et P ∈ K[X] de degré d. On note K une clôture algébrique de K et (θ1, . . . , θd) les racines de P dans K.

Le discriminant de P, noté disc(P) est défini par disc(P) =





d−1

Y

i=1

Yd

j=i+1

(θi−θj)





2

Théorème 1.10 disc(P)∈K.

Démonstration. disc(P) est symétrique en les θi donc c’est un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires en les θi, qui sont, au signe près les cœfficients de P.

Comme P ∈K[X], disc(P)∈K.

Théorème 1.11 Soient(θ1, . . . , θp)les racines deX^p−1 dansFq. On pose δ=

d−1

Y

i=1

Yd

j=i+1

(θi−θj). On a :

δ^q =δ×ε



f :







µp(Fq) → µp(Fq)

x 7→ x^q





Démonstration.

δ^q =





d−1

Y

i=1

Yd

j=i+1

(θi−θj)





q

=

d−1

Y

i=1

Yd

j=i+1

(θ_i^q−θ^q_j) =

d−1

Y

i=1

Yd

j=i+1

(θi −θj)ε(x→x^q)

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Théorème 1.12 ε(x→x^q) = 1 ssi disc(X^p−1) est un carré de Fq. Démonstration.

⇒ ε(x → x^q) = 1 donc δ^q = δ (théorème 1.11). Donc δ est racine de X^q−X dans Fq donc δ∈Fq et disc(P) = δ².

⇐ Par contraposée, si ε(x→x^q) =−1, δ^q =−δ donc δ6∈Fq. (δ 6= 0 car P est à racines simples)

Les racines, dans Fq, de disc(P) étant ±δ, disc(P) n’est pas un carré deFq.

Proposition 1.3 SoitK un corps et P ∈K[X] unitaire de degréd. Notons (θ1, . . . , θd) ses racines dansK.

disc(P) = (−1)^d(d−1)2

Yd

i=1

P^′(θi)

Démonstration. On a P^′ =

Xd

i=1

Y

j6=i

(X−θj).

P^′(θi) =^Y

j6=i

(θi−θj) donc

Yd

i=1

P^′(θi) =

Yd

i=1

Y

j6=i

(θi−θj).

Donc

Yd

i=1

P^′(θi) = disc(P)×(−1)^{1+2+···+(d−1)} = (−1)^d(d−1)2 disc(P).

Théorème 1.13 disc(X^p−1) = (−1)^p−12 p^p Démonstration.

disc(X^p−1) = (−1)^{p(p−1)2 Y}

θ∈K,P(θ)=0

pθ^p−1 (Propriété 1.3)

= (−1)^p−12 p^p



 Y

θ∈K,P(θ)=0

θ





p−1

(p impair)

= (−1)^p−12 p^p(−1)^p(p−1) (Relations cœfficients/racines)

= (−1)^p−12 p^p (car p(p−1)≡0 mod 2)

Théorème 1.14 (Loi de réciprocité quadratique) Soientpetq deux entiers impairs premiers distincts. On a :

p q

! q p

!

= (−1)^{(p−1)(q−1)4}

1.4. SYMBOLE DE JACOBI Démonstration. On a :

q p

!

=ε



σq,p :







F^∗_p → F^∗_p

x 7→ qx





Comme µp(Fq) est cyclique, via un isomorphisme, on a : q

p

!

=ε



f :







µp(Fq) → µp(Fq)

x 7→ x^q





D’après le théorème 1.12, ^q_p=^disc(X_q^p−1). D’après le théorème 1.13,

q p

!

=



(−1)^p−12 p^p q



= −1 q

!^p−1₂

p q

!p

= (−1)^{(p−1)(q−1)4} p q

!

(car p impair).

Or,^p_q∈ {1,−1}donc^p_q= (^1pq) donc on a bien

_p

q q p

= (−1)^{(p−1)(q−1)4} .

1.4 Symbole de Jacobi

1.4.1 Définition

Définition 1.8 Soit m=

Yr

i=1

pi ∈2Z+ 1, avecpi premiers.

Le symbole de Jacobi de n etm, noté _mⁿ vaut ^Yr

i=1

n pi

!

| {z }

Legendre

.

Proposition 1.4

• _m^{n n}_m^′=ⁿⁿ_m^′

• mⁿ n m^′

=_mmⁿ′

• ⁻m¹

= (−1)^m−12 Démonstration.

• Clair par définition

• On veut montrer que ^m₂⁻¹ +^m′₂⁻¹ ≡ ^mm₂^′−1 mod 2.

En testant les cas, on obtient ^m₂⁻¹ + ^m′₂⁻¹ ≡ 0 mod 2 si mm^′ ≡ 1 mod 4 et 1 si mm^′ ≡ −1 mod 4, ce qui correspond bien à ^mm₂^′−1 mod 2.

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• La propriété similaire concernant le symbole de Legendre assure le ré- sultat d’après le point précédent.

Proposition 1.5 _m²= (−1)^m28−1.

Démonstration. Le résultat avec le symbole de Legendre assure le résultat si on montre la multiplicativité de (−1)^m28−1.

Or ^m2₈⁻¹ + ^m′2₈⁻¹ ≡ 0 mod 2 si mm^′ = ±1 mod 8 et 1 si mm^′ = ±3 mod 8, ce qui correspond à la classe de ^(mm₈^′)2−1 dans Z/2Z.

Proposition 1.6 Sim etn impairs, _m^{n m}_n= (−1)^{(m−1)(n−1)4} .

Démonstration. On montre de même la multiplicativité de (−1)^{(m−1)(n−1)4} . Or, modulo 2, on a :

(m−1)(n−1)

4 +(m^′−1)(n−1)

4 ≡ m−1

2 + m^′−1 2

!n−1 2

≡ mm^′−1

2 × n−1 2

1.4.2 Calcul effectif du symbole de Jacobi

On utilise un algorithme d’Euclide modifié pour ne garder que des impairs.

Pour calculer _mⁿ :

Si n pair, on chasse les facteurs 2 on calcule _m²

On est ramené ànimpair. Sin =±1 modm, on sait calculer le symbole.

• Sim |n, _mⁿ= 0

• Si |n| > m, on remplace n par le reste de la division euclidienne de n par m.

• On se ramène alors à ^m_nà l’aide de la propriété précédente.

Exemple 1.1 ₁₄₃⁹⁰=₁₄₃² ₁₄₃⁴⁵. Or 143≡ −1 mod 9 donc ₁₄₃² = 1.

Donc ₁₄₃⁹⁰=₁₄₃⁴⁵=¹⁴³₄₅ car 45≡1 mod 4 donc (⁴⁵₂⁻¹)(¹⁴³₂⁻¹) est pair.

Or¹⁴³₄₅=₄₅⁸car 143 = 3×45 + 8.

De plus, ₄₅⁸=₄₅²³ =₄₅²=−1 car 45≡ −3 mod 8.

Donc ₁₄₃⁹⁰=−1.

1.4. SYMBOLE DE JACOBI

1.4.3 Test de primalité

Étant donné un entier N >1, on veut savoir si N est premier.

• Algorithme élémentaire : on essaie de diviser N par 2,3, . . . , E(√n).

(totalement inefficace)

• Utilisation du petit théorème de Fermat : SiN est premier eta∧N = 1 alors a^N−1 ≡ 1 mod N. On a alors une condition nécessaire non suffisante (nombres de Carmichael).

• Test de NON primalité (Soloway-Strassen) Il repose sur le fait que si N est premier et a premier avec N, a^N−12 ≡_N^a mod N.

On prend N impair.

Algorithme : On choisit au hasarda∈J0, N −1K.

Sia∧N 6= 1 alors N n’est pas premier,

Sinon, on calcule a^N−12 modN et le symbole de Jacobi _N^a. Si a^N−12 6≡N^a

modN alors N n’est pas premier.

Sinon, on ne peut rien dire.

Théorème 1.15 Si N n’est pas premier, alors au plus la moitié des entiers entre J0, N −1K ne détectent pas ce fait.

Démonstration. On sait que ⁿa∈(Z/NZ)^∗, a^N−12 ≡N^a

mod N^o est un sous-groupe de Z/NZ^∗.

Il suffit donc de montrer que siN n’est pas premier, alors ce sous-groupe n’est pas (Z/NZ)^∗ tout entier.

• Si N est sans-facteur carré, soit p premier divisant N et a tel que a ≡1 mod ^N_p et^a_p=−1.

Alors, d’après le théorème chinois, _N^a=^a_p N^a p

= (−1)N¹ p

=−1.

On a de plus a^N−12 = 1 mod ^N_p.

Donc a^N−12 = _N^a modN ⇒ a^N−12 = _N^a mod ^N_p ⇒ 1 ≡ −1 mod ^N_p ⇒ ^Np |2⇒N |2p.

On a donc une contradiction.

• Si N a un facteur carré, on a p² |N. Posons a= 1 + ^N_p. On a a^p = (1 +^N_p)^p =

Xn

i=1

p i

! N p

!i

;

Commepest premier,pdivise les cœfficients binômiaux (sauf 1) donc N

p i

!

N p

i

pour tout i. De plus, (^N_p)^p =

=lN

z }| {

N p

|{z}

=kp

N

p(^N_p)^p−2. Donc N |(^N_p)^p.

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On a alors a^p ≡ 1 mod N. Or pest premier et a 6≡1 modN donc a est d’ordre p dans Z/NZ^∗.

p | N donc p ∤ N − 1 donc a^N−1 6≡ 1 mod N donc a^N−12 6≡ ±1 mod N

Donc a^N−12 6≡N^a

modN.

• Test de Pocklington-Lehmer

Théorème 1.16 Soit N >2 un entier. On suppose que la factorisa- tion de N −1 est connue.

N est premier ssi pour tout p premier divisant N −1, il existe ap tel quea^N_p⁻¹ ≡1 mod N et a

N−1

pp ∧N = 1.

Démonstration.

• SiN est premier, soitaun générateur deZ/NZ^∗.aest d’ordreN−1 donc a^N−1 ≡1 mod N eta^N−1p 6≡1 mod N car 0< ^N−_p¹ < N −1.

• Réciproquement, si q est un diviseur premier de N et p un diviseur premier de N −1, on aa^N−1 ≡1 mod q eta^N−1q 6≡1 mod q.

Soit e l’ordre de a dans Z/qZ^∗.e |N −1 mais e∤ ^N−_p¹. Posons N −1 = ^Ys

i=1

p^α_iⁱ ete= ^Ys

i=1

p^β_iⁱ.

On a, pour tout i, βi 6 αi mais il existe i₀ tel que pi0 = p et βi0 6 αi0 −1 est faux donc αi0 =βi0.

On a alors vp(e) =vp(N−1).

Comme e est l’ordre de a dans Z/qZ^∗, e | q−1 donc vp(q −1) >

vp(e) =vp(N −1).

En quantifiant en p, on obtient N −1 | q−1. Or q −1 > 0 donc q−1>N −1. Or q|N donc N =q etq est premier.

1.5 Factorisation dans F

[X ]

1.5.1 Algorithme de Berlekanp

On a q = p^d avec p premier. Q ∈ Fq[X] peut être supposé sans facteur carrés (en faisant des PGCD avec Q^′,. . .).

Théorème 1.17 Soit Q=

m−1

Y

i=0

Qi avec Qi irréductible. Soit R∈Fq[X].

R^q≡R modQ ssi ∀i∈J0, m−1K,∃si ∈Fq, R≡si mod Qi

Démonstration.

1.5. FACTORISATION DANSFQ[X]

⇐ Pour tout i,R^q−R≡s^q_i −si mod Qi. Or si ∈Fq donc s^q_i =si donc R^q ≡R modQi.

Les Qi étant premiers entre eux (pas de facteurs carrés), R^q ≡ R modQ.

⇒ Posons Ki =Fq[X]/hQii.

Les Ki sont des corps et des extensions finies de Fq. La classe de R dans Ki est une racine de Y^q−Y ∈Ki[Y].

Ces racines sont les éléments deFq donc il existe si ∈Fq tel queR =si

dans Ki ieR ≡si mod Qi. Remarque 1.7

• {R ∈ Fq[X]/hQi, R^q = R mod Q} est un sous-espace vectoriel de Fq[X]/hQi qui est un Fq-espace vectoriel. Plus précisément, c’est le noyau de l’application Fq linéaire :

f :







Fq[X]/hQi → Fq[X]/hQi

R 7→ R^q−R

En particulier, on peut calculer une base de ce noyau (par exemple avec un pivot de Gauss).

• Ce noyau est isomorphe (en tant que Fq-espace vectoriel) à F^m_q , donc ce noyau est de dimension m.

• Le cas où tous les si sont égaux correspond au cas où R est constant modulo Q ie à la droite vectorielle de Fq[X]/hQi engendrée par 1.

Algorithme :

• Écrire la matrice de : f :







Fq[X]/hQi → Fq[X]/hQi

R 7→ R^q−R

dans (1, X, . . . , X^deg(Q)−1)

• Calculer une base (A1 = 1, A2, . . . , Am) de son noyau par pivot de Gauss.

Sim = 1, alors Q est irréductible. Sinon, Choisir j ∈J2, mK

Calculer (Aj −s)∧Q pour touts∈ Fq.

D’après le théorème, l’un de ces PGCD donne un facteur non trivial deQ. (Aj ∈Ker(f) donc pour s =si,Qi |(Aj −s)∧Q)

On peut alors recommencer avec les deux parties issues de Q.

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Chapitre 2 Réseaux

2.1 Définition et théorème de Minkowski

Définition 2.1 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n muni d’une base (e1· · · , en). Un réseau de E est un sous-Z-module de la forme Ze1+· · ·+Zen.

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Figure 2.1 – Réseau de R²

Théorème 2.1 Un sous-Z-module qui engendre E comme R-espace vecto- riel est un réseau ssi il est discret.

Démonstration.

⇒ Si Λ est un réseau de E, avec Λ = Ze₁ +· · ·+Zen où (e1, . . . , en) est une base de E.

15

ϕ :











Rⁿ → E

(x1, . . . , xn) 7→

Xn

i=1

xiei

est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques (c’est un homéo- morphisme linéaire).

Zⁿ est discret dans Rⁿ donc Λ =ϕ(Zⁿ) est discret dans E.

⇐ Par récurrence sur n.

On suppose Λ discret. On prend (g1, . . . , gr) une famille libre maximale incluse dans Λ.

On note E0 = Vect{g1, . . . , gr−1} et Λ0 = Λ∩E0.

Λ0 est un sous-Z-module discret de E0 (qui est de dimension inférieure àn) et Λ0 engendre E₀.

Par hypothèse de récurrence, Λ0 est un réseau de E0. Donc il existe (e1, . . . , er−1) base de E0 tel que Λ0 =Ze1+· · ·+Zer−1.

(e1, . . . , er−1, gr) est libre et maximale car (g1, . . . , gr) l’était.

On considère

D={λ1e1+· · ·+λr−1er−1+λrgr,(λ1, . . . , λr−1)∈[0,1[, λr ∈]0,1]} On pose T = D∩Λ. D est borné dans E qui est de dimension finie donc il est compact.

T est donc inclus dans un compact discret donc il est fini. On prend er∈ T avec λr minimal.

er=

Xr

i=1

λiei. (e1, . . . , er) est donc libre maximale.

Si x ∈ Λ, comme Λ engendre E, toute famille libre maximale formée d’éléments de Λ est une base deE, (e1, . . . , er−1, gr) est une base de E.

Doncx=

r−1

X

i=1

µiei+µrer.

Le soustraction d’un élément de Ze1 +· · ·+Zer à x, noté y, vérifie µr ∈[0, λr[, puis µ₁, . . . , µr−1 ∈[0,1[.

y∈ Λ donc si µr 6= 0, alors y∈T donc on a une contradiction avec la minimalité de λr.

Donc µr = 0 donc y ∈ E₀∩Λ = Λ0. Or (e1, . . . , er−1) est une base de Λ0 donc (µ1, . . . , µr−1)∈Z donc ils sont nuls ety= 0.

Donc x ∈ Ze1 +· · · + Zer. Donc Λ ⊂ Ze1 + · · · +Zer donc Λ = Ze₁+· · ·+Zer.

Par récurrence on a le résultat.

Remarque 2.1 Si Λ est un réseau de E, il n’y a pas unicité de la base (e1, . . . , en) telle que Λ =Ze1+· · ·+Zen. La matrice de passage entre deux

2.1. DÉFINITION ET THÉORÈME DE MINKOWSKI

telles bases est une matrice à cœfficients entiers, inversible et son inverse est à cœfficients entiers. En particulier, le déterminant d’une telle matrice vaut

±1.

Définition 2.2 La dimension d’un réseau est la dimension de l’espace vec- toriel qu’il engendre.

Un domaine fondamental de Λ est une partieDdeE telle que (D+x)x∈Λ

soit une partition de E.

Le volume de Λ est le volume du domaine fondamental D=

( _n X

i=1

λiei,(λ1, . . . , λn)∈[0,1[ⁿ

)

C’est |det_b.c.R²(e1, . . . , en)|.

Théorème 2.2 Soit Λ un réseau de Rⁿ de domaine fondamental D.

Soit π : Rⁿ→ Rⁿ/Λ et Φ = π|^D.

Soit X une partie mesurable bornée de Rⁿ et λ la mesure de Lebesgue.

Si λ(Φ⁻¹(π(X)))6=λ(X), π|^X n’est pas injective.

Démonstration. On suppose que π|^X est injective.

On pose U ={v ∈Λ,(D+v)∩X 6=∅}.X est borné donc U est fini.

De plus, X = ^S

v∈U(D+v)∩X car D est un domaine fondamental.

On a de plus (D+v)∩X = (D∩(X−v)) +v.

Montrons que les D ∩(X −v), v ∈ U sont deux à deux disjoints. Si x∈D∩(X−v0)∩(X−v1).

x+v0 ∈X et x+v1 ∈X donc π(x+v0) = π(x+v1) =π(x).

Par injectivité, x+ v₀ = x +v₁ donc v₀ = v₁ donc D ∩ (X − v₀) = D∩(X−v1).

On a donc λ(X) = ^X

v∈U

λ((D+v)∩X) = ^X

v∈U

λ(D∩(X−v)).

De plus,

λ(Φ⁻¹(π(X))) =λ Φ⁻¹ π ^[

v∈U

(D+v)∩X

!!!

=λ Φ^{−1 [}

v∈U

π((D+v)∩X)

!!

= ^X

v∈U

λ(Φ⁻¹(π((D+v)∩X))) Or π((D+v)∩X) =π(D∩(X−v)) = Φ(D∩(X−v)).

Donc Φ⁻¹(π((D+v)∩X)) =D∩(X−v).

Donc λ(Φ⁻¹(π(X))) = ^X

v∈U

λ(D∩(X−v)) =λ(X).

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Théorème 2.3 Minkowski Soit Λ un réseau de Rⁿ, D le domaine fonda- mental usuel.

Soit X un convexe symétrique borné non vide de Rⁿ. Si λ(X)>2ⁿλ(D)alors (X∩Λ)\ {0} 6=∅.

Démonstration. On applique le lemme précédent à 2Λ, 2D etX.

λ(Φ⁻¹(π(X)))6λ(2D) = 2ⁿλ(D)< λ(X)

Donc π|^X n’est pas injective donc il existe x0, x1 ∈ X tel que π(x0) = π(x1) et x0 6=x1.

π(x0) =π(x1) doncx0−x1 ∈2Λ donc ^x0−₂^x1 ∈Λ.

Or ^x0−₂^x1 ∈ X. (X convexe et symétrique).

De plus, ^x0−₂^x1 6= 0 car x0 6=x1. Donc ^x0−₂^x1 convient.

2.2 Applications

2.2.1 Théorème des deux carrés

Théorème 2.4 Soit p premier. p est somme de deux carrés ssi p 6≡ 3 mod 4.

Démonstration.

⇒ Sip=x²+y². Les carrés dans Z/4Z sont 0 et 1 doncx² ≡0 mod 4 oux² ≡1 mod 4 et de même pour y².

Doncx²+y² ≡0,1,2 mod 46≡3 mod 4.

⇐ Sip6≡3 mod 4.

Sip= 2, p= 1²+ 1². Si p6= 2, p≡1 mod 4.

Comme p ≡ 1 mod 4, on a ⁻_p¹ = 1 donc il existe α ∈ Z, α² ≡ −1 modp.

On pose Λ ={(x, y)∈Z², y ≡αx mod p}.

(1, α), (0,1) est une base de Z² donc (x, y) ∈ Λ ssi il existe a ∈ Z, y=ap+αx ssi (x, y)∈Z(1, α) +pZ(0,1).

Les diviseurs élémentaires sont donc 1 et p.

Le volume de Λ est

1 0 α p

=p.

On applique le théorème de Minkowski avec X =B(0, r) : siπr² >4p, X∩Λ contient un élément non nul.

Si (x, y)∈X∩Λ est non nul, y≡αx mod p etx²+y² 6r². Doncy²≡ −x² mod p donc x²+y² ≡0 mod p.