COURS 12 VARIABLES ALEATOIRES 2020 2021

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155

CHAPITRE 12

VARIABLES AL´

EATOIRES

⊙

Abraham de Moivre énonce une première version du théorème central limite en 1718 dans le cas de somme de variables aléatoires mutuellement ind´_{ependantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre}1/2. Pafnouti Tchebychev a été le premier à formuler en 1887 le théorème sous la forme de convergence des fonctions de répartition, et la première preuve du théorème moderne est donn´_{ee par Paul L´}evy en 1910.

L’origine des processus stochastiques date du d´ebut du XXe_si`_{ecle et ont ´}_et´_{e introduits pour mod´}_eliser

des phénomènes temporels où intervient le hasard, en mécanique statistique par exemple. Les premiers physiciens `_{a les utiliser sont Willard Gibbs, Ludwig Boltzmann, Henri Poincar´}_{e ou Paul Langevin.} En 1902, Andre¨ı Markov posa les bases de la théorie des processus à temps fini possédant la propriété de Markov : le futur du processus ne dépend que du présent et non du passé. Kolmogorov généralisera cette propriét´e en 1936 pour les processus `a temps continu.

La paternité des marches aléatoires semble être attribuée `_{a lord John William Strutt Rayleigh en} 1880, le premier ouvrage sur les marches al´_{eatoires isotropes est celui de Karl Pearson en 1905 sur les} random flights (vols aléatoires). Vient alors le trait´_{e de George P´}olya de 1921 dans lequel il traite les questions essentielles : récurrence, transience, point multiple, etc....

L’histoire du mouvement brownien commence en 1828 par Robert Brown avec une observation d’un mouvement de particules en suspension dans un liquide. Suivent plusieurs exp´erimentations de physiciens au XIXe _si`_{ecle, pour arriver `}_{a une formalisation plus math´}_{ematique de ce ph´}_enom`_{ene en 1905 et 1906 par}

Albert Einstein dans une quˆete d’´evaluation du nombre d’Avogadro.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : d´efinitions

- 1 : généralités. . . .page 156 - 2 : loi d’une variable aléatoire discrète. . . .page 157 - 3 : fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète. . . .page 158 Partie 2 : couples de variables al´eatoires

- 1 : loi conjointe et lois marginales. . . .page 158 - 2 : conditionnement et ind´ependance. . . .page 160 Partie 3 : lois usuelles

- 1 : variables aléatoires discrètes finies. . . .page 163 - 2 : variables aléatoires discrètes infinies. . . .page 164 Partie 4 : esp´erance et variance

- 1 : définition de l’espérance et lois usuelles. . . .page 165 - 2 : propriétés de l’espérance. . . .page 166 - 3 : définition de la variance et lois usuelles. . . .page 167 - 4 : propriétés de la variance. . . .page 168 - 5 : covariance. . . .page 169 Partie 5 : fonctions g´enératrices

- 1 : définition des fonctions génératrices et lois usuelles. . . .page 170 - 2 : propriétés des fonctions génératrices. . . .page 171

(2)

PARTIE 12.1 : D´

EFINITIONS

Dans toute la suite du cours, (Ω,A,P) d´esignera un espace probabilis´e.

12.1.1 : G´

en´

eralit´

es

D ´EFINITION 12.1 :

SoitE un ensemble quelconque. Une variable aléatoire discr`ete sur (Ω,A) est une application X: Ω→E qui vérifie les deux propriétés suivantes :

• L’ensemble image X(Ω) (univers image) est fini ou d´enombrable (c’est le sens de “discret”). • L’image réciproque de tout élément deX(Ω) est un ´evènement de la tribuA, c’est-à-dire :

∀x∈X(Ω), X−1({x}) = {ω∈ Ω | X(ω) =x} ∈A.

Si de plusE= R, on dit que Xest une variable al´eatoire discr`ete r´eelle sur (Ω,A). ⊙

Une variable aléatoire n’est ni variable ni aléatoire puisque c’est une application fixée entre deux ensembles mais la tradition des probabilités impose l’utilisation de cette terminologie.

REMARQUE 12.1 : Avec cette définition, pour toute partieUdeX(Ω),X−1(U) est un ´evènement deA(on aurait pu d’ailleurs prendre ceci comme définition). En effet, siU∈P(X(Ω)),Uest au plus dénombrable en tant que partie deX(Ω) et l’´egalitéU= ∪

x∈U

{x} implique alorsX−1(U) = ∪

x∈U

X−1({x})∈A.

EXEMPLE 12.1 : On lance5dès cubiques de couleurs différentes et non pipés simultanément, on définit Ω = [[1;6]]5_, _A ₌_P_{(Ω) et} _{P la probabilité uniforme sur Ω, alors}_X _{: Ω} _{→ R où} _{X(ω) est la}

somme des5dès obtenus est une variable aléatoire discrète réelle.

SoitX une variable aléatoire discrète sur (Ω,A,P),x∈X(Ω) etU⊂X(Ω) : • On note traditionnellement (X=x) ou{X=x} l’évènementX−1({x}). • On note communément (X∈U) ou {X∈U} l’évènementX−1(U).

• On note P(X=x) la probabilit´e de l’´ev`enement (X=x) ={X=x} =X−1({x}). • On note P(X∈U) la probabilit´e deX−1(U) ={X∈U}.

SiX est une variable aléatoire discrète réelle, et sia∈ R, on notera :

• (X6a) l’´evènement (X6a) =X−1( ]− ∞;a] ) ={ω∈ Ω | X(ω)6a}. • (X>a) l’´evènement (X>a) =X−1( [a; +∞[ ) = {ω∈ Ω |X(ω)>a}. • (X < a) l’´evènement (X < a) =X−1( ]− ∞;a[ ) ={ω∈ Ω | X(ω)< a}. • (X > a) l’´evènement (X > a) =X−1( ]a; +∞[ ) = {ω∈ Ω | X(ω)> a}.

REMARQUE 12.2 : Ces notations sont compatibles avec les op´erations ensemblistes, siA, B⊂X(Ω) : • (X∈A) = (X∈A) et (X∈ ∅) = ∅ et (X∈X(Ω)) = Ω etA⊂B=⇒ (X∈A)⊂ (X∈B).

• (X∈A)∩ (X∈B) = (X∈A∩B) et (X∈A)∪ (X∈B) = (X∈A∪B). • (X∈A\B) = (X∈A)\ (X∈B) et (X∈A∆B) = (X∈A)∆(X∈B).

(3)

D ´EFINITIONS 157

PROPOSITION DE RETOUR AUX PROBABILIT ÉS ÉL ÉMENTAIRES 12.1 : Avec les notations précédentes, si U⊂X(Ω), on a P(X∈U) = ∑

x∈U

P(X=x).

REMARQUE FONDAMENTALE 12.3 : SiXest une variable aléatoire discrète dont l’univers image est dénombrable et siX(Ω) = (xn)n∈ N, alors la famille((X=xn)

)

n∈ Nest un système complet d’évènements.

PROPOSITION SUR L’IMAGE D’UNE VARIABLE AL ´EATOIRE 12.2 :

Soit X : Ω →E une variable aléatoire discrète et f: E→ F une application (ou f: X(Ω) →F au moins), alors l’application f◦X: Ω→F est une variable aléatoire discrète et on la note f(X) qui est appelée l’image de la variable aléatoire X par l’applicationf.

12.1.2 : Loi d’une variable al´

eatoire discr`

ete

Soit X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω,A,P). On appelle loi de la variable aléatoire discrète X l’application P_X:P(X(Ω))→ [0;1] d´efinie par ∀U⊂X(Ω), P_X(U) = P(X∈U).

REMARQUE 12.4 : • Comme vu pr´ec´edemment, siU⊂X(Ω), on a P_X(U) = ∑

x∈U

P(X=x).

• Ainsi, la loi PXest entièrement caractérisée par les P(X=x) quandxparcourt l’univers imageX(Ω).

• La loi PXpeut donc ˆetre donn´ee par la suite

(

P(X=xn)

)

n∈ NsiX(Ω) = (xn)n∈ N.

• La loi PXsera donn´ee par len-uplet

(

P(X=xk)

)

16k6n siX(Ω) = (x1,· · ·, xn).

• Deux variables aléatoires discrètes peuvent avoir la même loi et être différentes.

EXEMPLE 12.2 : On lance deux d´es cubiques non pipés et on noteX1le résultat du premier dé et

X2celui du second. Les deux lois deX1et X2sont ´egales et sont uniformes sur [[1;6]]. MaisX1̸=X2,

notamment car P(X1=X2) =1

6 ̸=1. Donc les variables aléatoires discrètesX1etX2sont différentes. REMARQUE 12.5 : SoitX: Ω→Eune variable aléatoire discrète etf:E→Fune application, alors la loi def(X) est donn´ee par P_f(X)({y}) = P(f(X) =y) = ∑

x∈f−1({y})∩X(Ω)

P(X=x) poury∈f(X(Ω)).

TH ÉOR ÈME D’EXISTENCE D’UNE PROBABILIT É ADAPT ÉE 12.3 :

SoitXune variable aléatoire discrète sur (Ω,A) prenant ses valeurs dansX(Ω) ={x_n |n∈ N}, les xn étant deux à deux distincts. Si (pn)n∈ N est une suite de réels positifs telle que

+∑_∞ n=0

pn =1,

alors il existe une probabilit´e P sur (Ω,A) telle que∀n∈ N, P(X=x_n) =p_n.

(4)

EXEMPLE 12.3 : Dans un tirage infini de pile ou face, en prenantX: Ω→ N telle queX(ω) est l’indice du tirage du premier pile (X(ω) =0si on ne tire que face), il existe une probabilité qui décrit le phénomène avec P(X=0) =0et ∀n>1, P(X=n) = 1

2n car ∑ n>1 1 2n converge et +∑∞ n=1 1 2n =1.

12.1.3 : Fonction de r´

epartition d’une variable al´

eatoire r´

eelle

Soit X une variable aléatoire discrète réelle sur (Ω,A,P). On appelle fonction de répartition de X l’applicationF_X: R → [0;1] d´efinie par : ∀t∈ R, F_X(t) = P(X6t) = P_X( ]− ∞;t] ).

EXEMPLE 12.4 : Tracer le graphe deFXsiX est le premierk∈ N∗ tel que l’on obtienne un pile

dans un tirage infini de pi`eces.

REMARQUE 12.6 : SiX(Ω) ={x_n |n∈ N} et si la suite (x_n)_n_{∈ N} est strictement croissante alors : • Pourt∈ R, on noteI_t={k∈ N |x_k6t}, alorsF_X(t) = ∑

k∈It

P(X=x_k).

• Par télescopage, on en déduit que : ∀n∈ N∗, P_X({x_n}) = P(X=x_n) =F_X(x_n)−F_X(x_n₋₁). • La fonction de répartition deXcaractérise totalement la loi deX(et vice-versa).

EXERCICE 12.5 : On tire, avec remise,p jetons dans une urne qui contient n jetons numérotés de1à net on considèreXla variable aléatoire égale au plus grand des numéros obtenus.

D´eterminerFX(k) et en d´eduire P(X=k) pourk∈ [[1;n]].

PROPOSITION SUR LES PROPRI ÉT ÉS DE LA FONCTION DE R ÉPARTITION 12.4 : SoitX une variable aléatoire discrète réelle sur (Ω,A,P) et FX sa fonction de répartition :

• F_X est croissante. • lim

t→−∞FX(t) =0. • t→+∞lim FX(t) =1.

REMARQUE HP 12.7 : SoitXune variable al´eatoire discr`ete :

•FXest discontinue (`a gauche) en lesx∈X(Ω) tels que P(X=x)> 0. FXest continue `a droite partout.

• P(X > x) =1−FX(x) et P(X < x) =FX(x−) = lim

t→x−FX(t) et P(X=x) =FX(x)−FX(x−).

• PX(]x;y]) =FX(y)−FX(x) et PX(]x;y[) =FX(y−)−FX(x).

• PX([x;y[) =FX(y−)−FX(x−) et PX([x;y]) =FX(y)−FX(x−).

PARTIE 12.2 : COUPLES DE VARIABLES AL´

EATOIRES

12.2.1 : Loi conjointe et lois marginales

SoitX etY deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,A,P) à valeurs dans E etFrespectivement.

On appelle couple de variables aléatoires discrètes (X, Y) la variable al´eatoire discrèteZ: Ω→E×F, définie par∀ω∈ Ω, Z(ω) =(X(ω), Y(ω)).

(5)

COUPLES DE VARIABLES AL ÉATOIRES 159 REMARQUE 12.8 : On vérifie que Zest bien une variable aléatoire discrète :

• Z(Ω)⊂X(Ω)×Y(Ω) qui est au plus d´enombrable par produit cart´esien de tels ensembles. • Siz= (x, y)∈Z(Ω),Z−1({z})=X−1({x})∩Y−1({y})qui est bien dans la tribuA.

• L’évènementZ−1({z})= (Z=z) = (X=x)∩ (Y=y) est not´e (X=x, Y=y) ou (X=xet Y=y). • Parσ-additivité, on vérifie que ∑

x∈X(Ω)

y∈Y(Ω)

P(X=x, Y=y) =1.

Soit X et Y deux variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,A,P), la loi PZ = P(X,Y) du couple Z = (X, Y) est

appel´ee loi conjointe du couple (X, Y). Elle v´erifie : PZ:P

(

X(Ω))×P(Y(Ω))→ [0;1] et ∀U⊂X(Ω), ∀V⊂Y(Ω), P_Z(U, V) = P((X∈U)∩ (Y∈V)). REMARQUE 12.9 : • SiU⊂X(Ω) etV ⊂Y(Ω), on note (X∈U, Y∈V) l’´ev`enement (Z∈U×V).

• P(X,Y)est entièrement caractérisée par la donnée des P(X=xi, Y=yj) pour (xi, yj)∈X(Ω)×Y(Ω).

En eﬀet, si (U, V)∈P(X(Ω))×P(Y(Ω)), P_(X,Y)(U, V) = ∑

u∈U

v∈V

P(X=uetY=v).

EXEMPLE 12.6 : Dans une famille `a Noël, il y a 12 personnes dont 3 femmes, 4 hommes et 5 enfants. On désigne au hasard3personnes pour faire la vaisselle. On noteX le nombre de femme(s) choisies,Y le nombre d’hommes. Déterminer la loi du couple (X, Y).

SoitZ une variable aléatoire discrète sur (Ω,A,P) à valeurs dansE×F.

Pour ω ∈ Ω, on note Z(ω) = (X(ω), Y(ω)). Les applications X et Y sont alors deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,A,P). On appelle lois marginales de Z les lois des variables aléatoires discrètesX etY.

REMARQUE 12.10 : On vérifie queX etY sont bien des variables aléatoires discrètes siZ= (X, Y) : • X(Ω) (resp. Y(Ω)) est l’image deZ(Ω) par l’applicationp_E:E×F→E(resp. p_F:E×F→F) définie parpE(x, y) =x(resp. pF(x, y) =y) : ces deux ensembles sont donc au plus dénombrables.

• Soitx∈X(Ω),X−1({x})={ω∈ Ω | ∃y∈Y(Ω), Z(ω) = (x, y)} donc (X=x) = ∪

y∈Y(Ω)

(Z= (x, y)) qui

est un évènement comme réunion dénombrable d’évènements carZest une variable aléatoire discrète. EXEMPLE 12.7 : Dans l’exemple pr´ecédent, déterminer les lois marginales de Xet deY.

REMARQUE 12.11 : Soit Z une variable aléatoire discrète sur E×F. Les lois marginales de Z sont entièrement déterminées par la loi deZ. En effet, siX(Ω) ={xi|i∈I} etY(Ω) ={yj|j∈J} (avecIetJ

au plus d´enombrables) et si la loi deZ= (X, Y) est visualis´ee par le tableau(P(X=xi, Y=yj)

)

(i,j)∈I×J:

• ∀i∈I, P(X=x_i) =∑

j∈J

P(X=x_i, Y=y_j) (somme de lai-i`eme ligne du tableau). • ∀j∈J, P(Y=y_j) =∑

i∈I

(6)

EXERCICE 12.8 : On dispose d’une infinit´e d’urnes (Un)n∈ N∗, l’urne Un contenant 2n boules

dont une seule est blanche. On lance une pièce équilibrée une infinité de fois, si on obtient le premier pile aun-ième tirage, on tire une boule dans l’urneUn et on arrête l’expérience. On noteXle numéro

de l’urne etY=1si la boule tir´ee est blanche,0sinon. D´eterminer la loi de (X, Y) puis celle deY.

REMARQUE 12.12 : La connaissance des lois marginales ne permet pas de recomposer la loi du couple.

EXEMPLE 12.9 : Soit les deux lois (X, Y) et (X′, Y′) sur [[1;3]]2 _{dont les lois sont donn´}_{ees comme}

avant par les deux tableaux suivants (avecα=1 9 etβ= 1 45) : Y=1 Y=2 Y =3 X=1 α α α X=2 α α α X=3 α α α Y′=1 Y′ =2 Y′ =3 X′=1 4β 3β 8β X′=2 9β 5β β X′=3 2β 7β 6β .

Alors les lois marginales de (X, Y) et de (X′, Y′) sont les mˆemes alors que P_(X,Y)̸= P_(X′_,Y′).

12.2.2 : Conditionnement et ind´

ependance

SoitX,Y deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,A,P) etx∈X(Ω) tel que P(X=x)> 0. On d´efinit la loi conditionnelle de Y sachant (X=x), c’est la loi de la variable al´eatoire Y pour la probabilité P_(X=x) :

PY|(X=x):P

(

Y(Ω))→ [0;1] avec∀B⊂Y(Ω), P_Y_|(X=x)(B) = P(Y∈B| X=x) = P(X=x, Y∈B) P(X=x) . REMARQUE 12.13 :

• Si P(X=x) =0alors P((X=x)∩(Y∈B))=0, la formule P_Y_|(X=x)(B)× P(X=x) = P(X=x, Y∈B) est encore vraie par convention dans ce cas (sans d´efinir de probabilit´e conditionnelle).

• La loi deYsachant (X=x) est enti`erement déterminée par les valeurs de P(Y=y|X=x) pour tout y∈Y(Ω). En effet, siB⊂Y(Ω) alors P(Y∈B|X=x) = ∑

y∈B P(

Y=y|X=x).

• La loi de Z= (X, Y) est caract´erisée par la connaissance des lois deX et deY sachant (X=x) pour tout x∈X(Ω) : si (x, y)∈Z(Ω), P(Z= (x, y))= P(Y=y|X=x)P(X=x) (mˆeme si P(X=x) =0). • La loi de Y est elle aussi entièrement déterminée par la connaissance des lois deX et de Y sachant (X=x) (ceci pour toutx∈X(Ω)). En effet, ∀y∈Y(Ω), P(Y=y) = ∑

x∈X(Ω)P(

Y=y|X=x)P(X=x). • On peut d´efinir de mˆeme la loi de Y sachant (X∈ A), avecA⊂X(Ω) tel que P(X ∈A)> 0, c’est PY|(X∈A):P

(

Y(Ω))→ [0;1] d´efinie par P_Y_|(X∈A)(Y∈B) = P(Y∈B| X∈A) = P(X∈A, Y∈B) P(X∈A) .

(7)

COUPLES DE VARIABLES AL ´EATOIRES 161

EXERCICE 12.10 : Une urne contientrboules rouges et bboules blanches. On tire avec remise, indéfiniment, une boule dans l’urne en notant la couleur à chaque étape. On noteX le premier entier ktel que l’on tire une boule blanche à l’étapek(X=Y=0sinon). On noteY le premier entierp > X tel que l’on tire une boule rouge après avoir tiré une blanche (Y=0sinon).

D´eterminer les probabilit´es P_X=k(Y=n) pour (k, n)∈ ( N∗)2_{et en d´}_{eduire la loi de}_Y.

SoitXetY deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,A,P). On dit que les variables aléatoires discrètes X etY sont ind´ependantes si∀(x, y)∈X(Ω)×Y(Ω),P(X=x, Y=y) = P(X=x)× P(Y=y).

REMARQUE 12.14 :

• Soitx∈X(Ω) tel que P(X=x)> 0, siXetYsont ind´ependantes alors la loi deYsachant (X=x) est la loi de Y; c’est-`a-dire que poury∈Y(Ω), P_Y_|(X=x)({y}) = P(Y=y|X=x) = P(Y=y) = PY({y}).

• Lors d’une expérience aléatoire répétée deux fois de suite dans les mêmes conditions (tirage de boule(s) dans une urne avec remise, lancers de dé, tirages de pièces, choix de cartes dans un paquet, choix au hasard d’une personne dans une assemblée,...), si on note Xle résultat de la première expérience et Y celui de la deuxième, on modélise l’expérience avecX etY indépendantes.

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION DES VARIABLES IND ÉPENDANTES 12.5 : Soit X etY deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,A,P).

Les variables aléatoires discrètes X etY sont indépendantes si et seulement si elles vérifient : ∀(A, B)∈P(X(Ω))×P(Y(Ω)), P(X∈A, Y ∈B) = P(X∈A)× P(Y∈B).

D´emonstration : hors programme.

PROPOSITION DE CONSERVATION D’IND ÉPENDANCE PAR COMPOSITION 12.6 : Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,A,P), f : X(Ω) → F et g: Y(Ω) →G deux applications. Si X etY sont indépendantes alorsf(X) et g(Y) sont ind´ependantes.

Soitn>2et X1,· · ·, Xn des variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,A,P).

• On dit queX1,· · ·, Xn sont des variables aléatoires discrètes 2 à 2 ind´ependantes si pour tout

couple (i, j)∈ [[1;n]]2 _{tel que}_i_̸=_j_,_X

i etXjsont ind´ependantes :

∀(i, j)∈ [[1;n]]2_{, i}_̸=_j₌_⇒(_∀(_x

i, xj)∈Xi(Ω)×Xj(Ω), P(Xi=xi, Xj=xj) = P(Xi=xi)× P(Xj=xj).

• On dit queX1,· · ·, Xn sont des variables al´eatoires discr`etes mutuellement ind´ependantes si

pour toutk∈ [[2;n]] et toutk-uplet (i1,· · ·, ik)∈ [[1;n]]k tel que16i1< i2<· · ·< ik6n:

∀(xi1,· · ·, xik)∈ k ∏ j=1 Xij(Ω), P   ∩ 16j6k (X_i_j =xij)   =∏k j=1 P(Xij =xij).

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REMARQUE 12.15 :

• Des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes sont2à2indépendantes. • Des variables aléatoires2à 2indépendantes peuvent ne pas l’être mutuellement.

• Pour tester si les variables aléatoires discrètes X₁,· · ·, X_n sont mutuellement indépendantes, il faut tester2n−n−1ensembles d’indices16i1<· · ·< ik6n.

• Si (X1,· · ·, Xn) est une famille de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes alors toute

sous famille de celle-ci est une famille de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes.

PROPOSITION (LEMME DES COALITIONS) 12.7 :

• Si (X1,· · ·, Xn) est une famille de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes,

p∈ [[1;n]] etf etg ad´equates, on a f(X1,· · ·, Xp) et g(Xp+1,· · ·, Xn) ind´ependantes.

• Si (X1,· · ·, Xn) est une famille de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes

etf1,· · ·, fn des applications idoines, alorsf1(X1),· · ·, fn(Xn) sont mutuellement ind´ependantes.

EXEMPLE 12.11 : On lance deux fois une pi`ece équilibrée, on note X = 1 (resp. Y = 1) si le premier (resp. le second) tirage est un pile, 0 sinon. On note Z =1 si les deux tirages donnent le même résultat etZ=0sinon. Que dire des variables aléatoiresX,Y etZ?

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION DE MUTUELLE IND ÉPENDANCE 12.8 :

Soit n > 2 et X₁,· · ·, X_n variables aléatoires discrètes sur (Ω,A,P). Les variables aléatoires X₁,· · ·, X_n sont mutuellement indépendantes si et seulement si ∀k∈ [[2;n]] :

∀16i1< i2<· · ·< ik6n, ∀(Ai1,· · ·, Aik)⊂ k ∏ j=1 Xij(Ω), P ( ∩ 16j6k (Xij ∈Aij) ) = k ∏ j=1 P(Xij ∈Aij). D ´EFINITION 12.11 :

Soit (X_n)_n_{∈ N}une suite de variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,A,P), on dit que :

• (Xn)n∈ N est une suite de variables aléatoires discrètes 2 à 2 ind´ependantes si elles v´erifient

∀(n, m)∈ N2, n̸=m=⇒Xn etXm sont ind´ependantes.

• (Xn)n∈ Nest une suite de variables al´eatoires discr`etes mutuellement ind´ependantes si toute

sous famille finie de (Xn)n∈ N est une famille de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes.

REMARQUE 12.16 :

• (Xn)n∈ N est une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes équivaut à :

∀n∈ N, (X0, X1,· · ·, Xn) est une famille de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes.

• (Xn)n∈ N est une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes alors (Xn)n∈ N

est une suite de variables aléatoires discrètes2à2indépendantes mais la réciproque est fausse. • On pourra étendre les formules des probabilités pour des variables aléatoires discrètes (en nombre fini) à ce nouveau contexte : mais avec des limites....

• Dans le programme officiel : “La démonstration de l’existence d’un espace probabilisé portant une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de lois discrètes données est hors programme.” EXEMPLE 12.12 : Sin∈ N∗fixé, len-ième tirage d’une pièce équilibrée est une variable aléatoire discrète avec Ω_n ={P, F},An=P(Ωn) et Pn(Xn=P) = Pn(Xn=F) =1/2, il existe donc un espace

(9)

LOIS USUELLES 163

PARTIE 12.3 : LOIS USUELLES

12.3.1 : Variables al´

eatoires discr`

etes finies

SoitX une variable al´eatoire discr`ete sur (Ω,A). On dit que X suit la loi de uniforme de param`etre n si X(Ω) est un ensemble fini de cardinal n>1et si∀x∈X(Ω), P(X=x) = 1

n. On le noteX∼U(n).

REMARQUE 12.17 : X suit la loi uniforme de paramètrensi elle modélise un lancer de dé non pipé, le choix aléatoire d’une carte dans un jeu, etc...

Soit X une variable aléatoire discrète sur (Ω,A) et p ∈]0;1[. On dit que X _{suit la loi de Bernoulli de} paramètrepsi X(Ω) ={0, 1} et P(X=1) =p, P(X=0) =1−p. On le noteX∼B(p).

EXEMPLE 12.13 : X_{suit la loi de Bernoulli de paramètre}psi elle modélise le succès ou l’échec dans une expérience : tirer un6ou pas avec un dé (B(1

6 )

), faire pile ou pas avec une pi`ece (B(1 2 )

), tirer un roi ou pas dans un jeu de52cartes (B(1

13 )

), etc...

SoitX une variable aléatoire discrète sur (Ω,A), p∈]0;1[,n∈ N∗. On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n etpsi X(Ω) = [[0;n]], ∀k∈ [[0;n]], P(X=k) = ( n k ) pk(1−p)n−k : noté X∼B(n, p).

PROPOSITION SUR LE RAPPORT BERNOULLI/BINOMIALE 12.9 :

Soit un entiern>2, un r´eelp∈]0;1[ etX1,· · ·, Xndes variables al´eatoires discr`etes mutuellement

ind´ependantes et suivant toutes une loi B(p) alorsS=X1+· · · +Xn suit une loi B(n, p).

REMARQUE 12.18 : X suit la loi binomiale de paramètres net p si elle modélise le nombre de succès dans une répétition denexp´_{eriences de Bernoulli mutuellement indépendantes de même paramètre}p: le nombre de boules blanches obtenues dans une expérience dentirages successifs avec remise, le nombre de6obtenus en lan¸cantnfois les dés, le nombre de pile dans un jeu de pile ou face répéténfois, etc...

EXEMPLE 12.14 : Dans une classe avec9filles et29 gar¸cons, on prend de manière équiprobable dans cette classe un trinôme et on noteX le nombre de filles de celui-ci. Quelle est la loi deX ? REMARQUE HP 12.19 : Plus généralement, si on fixe A∈ N∗, p∈]0;1[ tel quepA∈ N∗ et qA∈ N∗ si q =1−p et un entier n∈ N∗, alors on considère une urne avecpA boules gagnantes et qA boules perdantes, on en tire n simultanément (sans remise) et on note X la variable qui compte le nombre de boules gagnantes, alorsXsuit la loi hyperg´eométrique de paramètreA,n,p. On noteX∼H(A, n, p).

P(X=k) = ( pA k )( qA n−k ) ( A n

) . D’o`_{u la formule de Vandermonde :}

n ∑ k=0 ( b k )( c n−k ) = ( a n ) sib+c=a.

(10)

12.3.2 : Variables al´

eatoires discr`

etes infinies

Soit X une variable aléatoire discrète sur (Ω,A,P) et p∈]0;1[. On dit que X suit la loi géométrique de paramètrepsi X(Ω) = N∗ et∀k∈ N∗, P(X=k) =p(1−p)k−1. On le noteX∼G(p).

PROPOSITION SUR LE RAPPORT BERNOULLI/G ´EOM ´ETRIQUE 12.10 :

Soit p∈]0;1[, (Xn)n∈ N∗ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes

suivant toutes la même loi B(p). On définit la variable aléatoire discrète T par T = 0 si ∀k∈ N∗, Xk=0 etT =Min

({

k∈ N∗ |Xk=1

})

sinon. Alors T suit la loi G(p).

REMARQUE 12.20 : • SiXsuit G(p), alors : ∀n∈ N, P(X > n) = (1−p)n_.

• T suit la loi géométrique G(p) si elle mod´elise le temps d’attente de la réussite (rang du premier succès) dans une suite d’expériences mutuellement ind´_{ependantes de Bernoulli de même paramètre} p : le premier face dans une suite infinie de lancers de pièces, le premier gain au loto dans une suite infinie de jeux, le premier yams ”sec” dans une suite infinie de lancers simultanés de 5dés...

PROPOSITION D’ ÉQUIVALENCE LOI G ÉOM ÉTRIQUE/SANS M ÉMOIRE 12.11 : SoitX une VAD sur (Ω,A) et à valeurs dans N∗, X suit une loi géométrique si et seulement si ∀(n, k)∈ ( N∗)2_, _P(_{X > n}₊_k _| _{X > n) =} _P(_{X > k)}_∈]_0;_{1[ (la loi de} _X _{est dite sans m´}_emoire).

REMARQUE 12.21 : Dans cette proposition, le paramètrepde la loi géométrique estp=1− P(X > 1).

EXEMPLE 12.15 : On lance une pi`ece ´equilibr´ee.

Quelle est la probabilité d’obtenir5pile de suite sachant qu’on vient de faire10pile d’affilée ?

Soit X une variable aléatoire discrète sur (Ω,A,P) etλ > 0 un réel. On dit que X _{suit la loi de Poisson} de paramètreλsiX(Ω) = N et ∀k∈ N, P(X=k) =e−λλk

k!. On le noteX∼P(λ).

PROPOSITION SUR LA ”SOMME DE DEUX LOIS DE POISSON” 12.12 :

Soit λ > 0 etµ > 0, et X etY deux variables aléatoires discrètes indépendantes suivant respec-tivementP(λ) et P(µ). Alors la variable al´eatoire discrète X+Y suit la loi P(λ+µ).

PROPOSITION SUR L’APPROXIMATION BINOMIALE/POISSON 12.13 :

Soit (pn)n∈ N∈]0;1[N et (Xn)n∈ N une suite de variables al´eatoires discr`etes telle que, pour tout

n∈ N, Xn suit la loi B(n, pn). Si lim

n→+∞npn=λ > 0 alors : ∀k∈ N ∗_, _lim n→+∞P(Xn =k) =e −λλk k!.

REMARQUE 12.22 : On dit que la suite de variables al´eatoires (Xn)n∈ Nconverge en loi versXsuivant

(11)

ESP ´ERANCE ET VARIANCE 165

PARTIE 12.4 : ESP´

ERANCE ET VARIANCE

12.4.1 : D´

efinition de l’esp´

erance et lois usuelles

On dit qu’une une variable aléatoire discrète réelle X sur (Ω,A,P) à valeurs dans E = {xn | n ∈ N}

d´enombrable (xi̸=xjsii̸=j) admet une esp´erance finie si

∑

n∈ N

xnP(X=xn) est absolument convergente.

Dans ce cas, l’espérance de Xest le réel, noté E(X), d´efini par E(X) =

+∑_∞ n=0

xnP(X=xn).

REMARQUE 12.23 : • E(X) ne d´epend pas de l’ordre dans lequel les éléments deE sont numérotés. • SiXest à valeurs dansE={x₁,· · ·, x_n} ⊂ R fini, on pose E(X) =

n

∑

k=1

x_kP(X=x_k) (somme finie). • Si Ω est fini,Xest forc´ement `a valeurs dans un ensemble fini et on a aussi E(X) = ∑

ω∈Ω

P({ω})X(ω). • SiXest une variable aléatoire discrète réelle constante valantλ, alors E(X) =λ.

• SoitX une variable aléatoire discrète réelle à valeurs bornées. AlorsXest d’espérance finie. D ÉFINITION 12.18 :

Une variable aléatoire discrète réelleXadmettant une esp´erance finie est dite centrée si E(X) =0.

PROPOSITION SUR L’ESP ´ERANCE D’UNE FONCTION INDICATRICE 12.14 : Si A∈A, on a E(11A) = P(A).

REMARQUE HP 12.24 : Soit (A_k)_16k6n une famille d’´ev`enements : P( n ∪ k=1 Ak ) = n ∑ k=1 (−1)k+1( ∑ 16i1<···<ik6n P( k ∩ j=1 Aij ))

(formule du crible ou de Poincar´e).

TH ÉOR ÈME SUR LES “ESP ÉRANCES DES LOIS USUELLES” ( ÉNORME) 12.15 : Soit X une variable aléatoire discrète usuelle :

• SiX∼U(n) alors E(X) =n+1

2 (avecn∈ N

∗_{) (loi uniforme) si} _{X(Ω) = [[1;}_n]].

• SiX∼B(p) alors E(X) =p (avecp∈]0;1_{[) (loi de Bernoulli).}

• SiX∼B(n, p) alors E(X) =np (avecn∈ N∗ et p∈]0;1[) (loi binomiale). • SiX∼G(p) alors E(X) = 1

p (avec p∈]0;1[) (loi g´eom´etrique). • SiX∼P(λ) alors E(X) =λ(avec λ > 0_{) (loi de Poisson).}

TH ÉOR ÈME DONNANT UNE AUTRE EXPRESSION DE L’ESP ÉRANCE POUR UNE VARIABLE AL ÉATOIRE À VALEURS ENTI ÈRES 12.16 :

SoitXune variable aléatoire discrète sur (Ω,A,P) à valeurs dans N. AlorsXadmet une espérance finie si et seulement si ∑

n>1P(

X>n) converge. Dans ce cas, on a E(X) =

+∑∞ n=1

(12)

REMARQUE 12.25 : Attention à bien commencer cette série àn=1car

+∑∞ n=0

P(X>n) = E(X) +1. EXERCICE 12.16 : Une urne contientn boules numérotées de 1 à n. On tire successivement p boules dans cette urne avec remise. Xest le plus grand des numéros trouvés. Déterminer la loi deX. Montrer queXadmet une espérance finie et calculer lim

n→+∞

E(X) n .

12.4.2 : Propri´

et´

es de l’esp´

erance

TH ÉOR ÈME SUR LA LIN ÉARIT É DE L’ESP ÉRANCE 12.17 :

Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) d’espérances finies et un couple (λ, µ)∈ R2_{. Alors} _λX₊_µY _{est une variable al´}_{eatoire discr`}_{ete r´}_{eelle d’esp´}_{erance finie et}

son esp´erance v´erifie : E(λX+µY) =λE(X) +µE(Y).

D´emonstration : non exigible.

REMARQUE 12.26 : SiXest une variable aléatoire réelle d’espérance finie : X∗=X− E(X) est centr´ee. EXERCICE 12.17 : Esp´erance de la variable Xqui suit la loi hypergéométriqueH(A, n, p) : dans une urne contenantAboules dont pAsont des boules ”gagnantes” etqA des boules ”perdantes” on tirenboules simultanément etXest le nombre de boules gagnantes tirées.

PROPOSITION SUR LA POSITIVIT É ET LA CROISSANCE DE L’ESP ÉRANCE 12.18 : SoitX etY deux variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) d’espérances finies :

• SiX est `a valeurs positives (si X(Ω)⊂ R+), alors E(X)>0.

• SiX6Y alors E(X)6 E(Y).

REMARQUE 12.27 : SoitXetYdeux variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) telles que |X| 6Y. Si Yest d’espérance finie alorsX est d’espérance finie et | E(X)| 6 E(Y).

PROPOSITION DITE IN ´EGALIT ´E DE MARKOV 12.19 :

SoitXune variable aléatoire discrète réelle positive sur (Ω,A,P) admettant une espérance finie. Pour toutε > 0, on a P(X>ε)6 E(X)

ε .

TH ÉOR ÈME DU TRANSFERT ( ÉNORME) 12.20 :

Soit X une variable aléatoire discrète réelle sur un espace probabilisé (Ω,A,P) et f une appli-cation définie sur X(Ω) = {x_n | n∈ N} (avec x_i ̸=x_j si i ̸=j) et `a valeurs réelles. La variable aléatoire discrète f(X) admet une esp´erance finie si et seulement si la série ∑

n∈ N

f(x_n)P(X=x_n) converge absolument. Dans ce cas, on a E(f(X))=

+∑∞ n=0

f(xn)P(X=xn).

(13)

ESP ´ERANCE ET VARIANCE 167 REMARQUE 12.28 : Cette formule permet de calculer E(f(X))sans avoir `a calculer la loi def(X).

EXERCICE 12.18 : SoitXune variable aléatoire qui suit une loi binomialeB(n, p). Déterminer l’espérance de Y= (−1)X_{. En d´}_{eduire la loi de}_Y.

PROPOSITION SUR L’ESP ÉRANCE D’UN PRODUIT DE VARIABLES AL ÉATOIRES IND ÉPENDANTES D’ESP ÉRANCES FINIES 12.21 :

SoitX etY deux variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) d’espérances finies. Si X etY sont indépendantes alors XY est d’espérance finie et E(XY) = E(X)× E(Y).

D´emonstration : hors programme.

12.4.3 : D´

efinition de la variance et lois usuelles

SoitXune variable aléatoire discrète réelle et un entiern∈ N, on dit queX admet un moment d’ordre n siXn est d’esp´erance finie, le moment d’ordren de Xest alors E(Xn).

REMARQUE 12.29 : Soit deux entierspetqtels que16p6q, siXadmet un moment d’ordreq, alors Xadmet aussi un moment d’ordre pet on a E(|Xp|) 6 P(|X| 61) + E(|Xq|).

Soit X une variable aléatoire discrète réelle qui admet un moment d’ordre 2, on d´efinit la variance de X, notée V(X), par V(X) = E((X− E(X))2

)

et son ´ecart type parσ(X) =√V(X). Dans ce cas, on dit queX est une variable r´eduite si V(X) =σ(X) =1.

REMARQUE 12.30 : • La variance d’une variable aléatoire discrète est donc toujours positive. • La variance (et l’écart type) est un indicateur de dispersion deXpar rapport à sa moyenne E(X). • Xest d’espérance finie si et seulement siX admet un moment d’ordre1.

• Toute variable al´eatoire discr`ete admet un moment d’ordre 0avec E(X0) =1.

• Soit X, Y deux variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) avec des moments d’ordre2, alors XY est d’espérance finie.

PROPOSITION DITE RELATION DE K ¨ONIG-HUYGENS 12.22 : Sous ces conditions : V(X) = E(X2)− E(X)2>0 donc E(X)26 E(X2).

(14)

PROPOSITION SUR LA VARIANCE D’UNE TRANSFORMATION AFFINE 12.23 :

SoitX une variable aléatoire discrète réelle sur (Ω,A,P) admettant un moment d’ordre 2. Pour (a, b)∈ R2_{, la variable al´}_{eatoire discr`}_ete _aX₊_b _{admet une variance et} _V(_aX₊_{b) =}_a2_V(_X).

REMARQUE 12.31 : SiX est une variable aléatoire réelle admettant une variance, en notantm= E(X) (sa moyenne) et σ=σ(X)> 0(son écart-type), la variable aléatoire X∗=X−m

σ est centr´ee r´eduite.

TH ÉOR ÈME SUR LES “VARIANCES DES LOIS USUELLES” ( ÉNORME) 12.24 : Soit X une variable aléatoire discrète suivant une loi usuelle :

• SiX∼U(n) alors V(X) = n2−1

12 (loi uniforme). • SiX∼B(p) alors V(X) =p(1−p_{) (loi de Bernoulli).} • SiX∼B(n, p) alors V(X) =np(1−p) (loi binomiale). • SiX∼G(p) alors V(X) =1−p

p2 (loi g´eom´etrique). • SiX∼P(λ) alors V(X) =λ (loi de Poisson).

12.4.4 : Propri´

et´

es de la variance

TH ÉOR ÈME DIT IN ÉGALIT É DE BIENAYM É-TCHEBYCHEV 12.25 :

Soit X une variable aléatoire discrète réelle sur (Ω,A,P) admettant un moment d’ordre2. Alors, pour tout ε > 0, on a P(X− E(X) >ε

)

6 V(X) ε2 .

REMARQUE 12.32 : Cette inégalité permet de contrôler la probabilité que Xs’écarte de sa moyenne.

TH ´EOR `EME DIT LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES 12.26 :

Soit (X_n)_n_{∈ N}∗ une suite de variables aléatoires discrètes réelles deux à deux indépendantes et

suivant toutes la même loi. SiX₁ (donc tous les X_k) admet un moment d’ordre 2et si on note m= E(X1) (leur espérance commune), σ=σ(X1) (leur écart-type commun) et Sn=

n

∑

k=1

Xk alors

on a, pour tout ε > 0 fix´e : P(1

nSn−m >ε ) 6 σ2 nε2. Ceci implique : lim

n→+∞P ( 1 nSn−m >ε ) =0.

REMARQUE HP 12.33 : Cette loi faible des grands nombres assure que la moyenne arithmétique d’une suite de variables aléatoires ind´ependantes est un estimateur convergent de leur esp´erance commune et fournit même une information sur le mode de convergence. On dit que la suite de variables aléatoires (

Sn

n )

(15)

ESP ´ERANCE ET VARIANCE 169

EXEMPLE 12.19 : Des boules noires et blanches se trouvent dans une urne dont on ne connaˆıt

pas la proportionpde boules blanches. Pour cela, on tire une boule avec remise un grand nombre de fois et on noteXk la variable aléatoire discrète de Bernoulli égale à1quand lek-ième tirage donne une

boule blanche etSn= n

∑

k=1

Xk la variable al´eatoire discr`ete donnant le nombre de boules blanches lors

desn premiers lancers. `A partir de combien de tirages la probabilit´e que Sn

n soit une approximation dep à10−3près sera supérieure à99% ?

PROPOSITION DITE IN ´EGALIT ´E DE CAUCHY-SCHWARZ 12.27 :

SoitX, Y deux variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) avec des moments d’ordre 2. Alors E(XY)2_{6 E(}_X2₎_{× E(}_Y2_).

12.4.5 : Covariance

SoitX etY deux variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) admettant des moments d’ordre 2. On d´efinit la covariance de X etY, notéeCov(X, Y) parCov(X, Y) = E((X− E(X))(Y− E(Y))). Si V(X) et V(Y)> 0, on d´efinit le coefficient de corrélation deX et Ypar ρ(X, Y) = √Cov(X, Y)

V(X)V(Y).

PROPOSITION SUR DES IN ´EGALIT ´ES CONCERNANT LA COVARIANCE ET LE

COEFFICIENT DE CORR ´ELATION 12.28 :

SoitX, Y des variables aléatoires discrètes réelles sur (Ω,A,P) avec des moments d’ordre 2 : • Cov(X, Y) = E(XY)− E(X)E(Y).

• SiX et Y sont ind´ependantes alorsCov(X, Y) =ρ(X, Y) =0. • Cov(X, Y)2_{6 V(}_X)_{× V(}_{Y) donc}₋₁₆_{ρ(X, Y)}₆_1.

REMARQUE 12.34 : On peut avoir Cov(X, Y) =0sans queXet Ysoient ind´ependantes.

EXEMPLE 12.20 : SoitX etYdeux variables al´eatoires ind´ependantes et loi uniforme respective-ment surX(Ω) ={0, 1} etY(Ω) ={−1, 1}. Posons Z=XY, que peut-on dire deX etZ?

PROPOSITION : VARIANCE D’UNE SOMME DE VARIABLES AL ÉATOIRES 12.29 : SoitX1,· · ·, Xn des variables aléatoires discrètes réelles admettant des moments d’ordre 2.

AlorsS=X₁+· · ·+X_n admet un moment d’ordre2: V (_∑_n k=1 X_k ) = n ∑ k=1 V(X_k)+2 ∑ 16i<j6n Cov(X_i, X_j).

Si on suppose de plus que les Xi sont deux `a deux ind´ependantes : V

(_∑_n k=1 Xk ) = n ∑ k=1 V(Xk).

(16)

PARTIE 12.5 : FONCTIONS G´

EN´

ERATRICES

On consid`ere un espace probabilis´e (Ω,A,P).

Dans toute cette partieXsera une variable al´eatoire `a valeurs dans N.

12.5.1 : D´

efinition des fonctions g´

en´

eratrices et lois usuelles

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N, on appelle série génératrice de la variable aléatoire Xla série entière de la variable réelle ∑

n>0P(

X=n)tn_.

On noteG_Xla fonction somme de la série génératrice (là o`u elle converge absolument) qu’on appelle fonction génératrice de la variable aléatoire X. On a donc, quand cela existe : GX(t) =

+∑_∞ n=0

P(X=n)tn. REMARQUE 12.35 : G_X est parfois appelée la série génératrice de X ; abus de notation classique qui consiste à confondre la série et sa fonction somme.

PROPOSITION : FONCTION G ÉN ÉRATRICE COMME UNE ESP ÉRANCE 12.30 : Avec ces notations, si G_X(t) existe : G_X(t) = E(tX).

TH ÉOR ÈME SUR LE RAYON ET LE MODE DE CONVERGENCE DE LA S ÉRIE

G ÉN ÉRATRICE ET LA R ÉGULARIT É DE LA FONCTION G ÉN ÉRATRICE 12.31 : La série génératrice deX converge normalement sur [−1;1].

Son rayon de convergence RX v´erifie donc RX>1.

La fonction GX est donc continue sur [−1;1] (au moins).

REMARQUE 12.36 : La loi deXet la fonction génératrice deXse caractérisent l’une et l’autre. • Si on connaˆıt la loi deX : ∀t∈ [−1;1], G_X(t) = +∑_∞ n=0 P(X=n)tn_. • Si on connaˆıtGXsur [−1;1], on a∀n∈ N, P(X=n) = G(n)_X (0) n! .

Deux variables aléatoires à valeurs dans N ont même fonction génératrice si et seulement si elles ont la même loi.

TH ÉOR ÈME SUR LES “S ÉRIES G ÉN ÉRATRICES DES LOIS USUELLES” 12.32 : • Si X∼U(n) (uniforme) : ∀t∈ R, GX(t) =t(1−t

n₎

n(1−t) sit̸=1avec RX= +∞.

• Si X∼B(p) avec p∈]0;1_{[ (Bernoulli), alors ∀}t∈ R, G_X(t) = (1−p) +pt avec R_X= +∞. • Si X∼B(n, p) avecp∈]0;1[ (binomiale), alors ∀t∈ R, GX(t) = (1−p+pt)n avecRX= +∞.

• Si X∼G(p) avecp∈]0;1[, alors GX(t) = pt

1− (1−p)t avecRX= 1 1−p > 1. • Si X∼P(λ) avec λ > 0, alors G_X(t) =eλ(t−1) avec R_X= +∞.

(17)

FONCTIONS G ´EN ´ERATRICES 171

12.5.2 : Propri´

et´

es des fonctions g´

en´

eratrices

TH ÉOR ÈME SUR LA RELATION FONCTION G ÉN ÉRATRICE/ESP ÉRANCE 12.33 : La variable X admet une espérance finie si et seulement si la fonction génératrice GX est

d´erivable en1. Dans ce cas, on a G′_X(1) = E(X).

REMARQUE 12.37 : • La dérivabilité deGXen1est clairement vérifiée siRX> 1.

• On rappelle que, par d´efinition,Xadmet un moment d’ordrep∈ N∗siXpadmet une esp´erance finie. • Par comparaison, siX admet un moment d’ordrep,X admet un moment d’ordrekpourk∈ [[1;p]].

PROPOSITION SUR LA RELATION FONCTION G ÉN ÉRATRICE/VARIANCE 12.34 : La variable X admet un moment d’ordre 2 (une variance) ssi GX est deux fois dérivable en 1.

Dans ce cas : E(X2) =G′′_X(1) +G′_X(1)⇐⇒G′′_X(1) = E(X(X−1))donc V(X) =G′′_X(1) +G′_X(1)−G′_X(1)2.

REMARQUE 12.38 : Là encore, la condition est réalisée si RX> 1.

EXEMPLE 12.21 : On retrouve avec ces formules les esp´erances et variances des lois usuelles : • SiX∼G(p), E(X) =G′_X(1) = 1 p et V(X) = 2(1−p) p2 + 1 p − 1 p2 = 1−p p2 . • SiX∼P(λ), E(X) =G′_X(1) =λet V(X) =λ2+λ−λ2=λ.

TH ÉOR ÈME SUR LA FONCTION G ÉN ÉRATRICE D’UNE SOMME DE DEUX

VARIABLES AL ÉATOIRES IND ÉPENDANTES À VALEURS ENTI ÈRES 12.35 :

Si X et Y sont deux variables aléatoires à valeurs dans N indépendantes, alors GX+Y=GX×GY

(sur l’intersection des domaines de convergence).

REMARQUE 12.39 : Par récurrence immédiate, si X₁,· · ·, X_n sontnvariables aléatoires à valeurs dans N indépendantes mutuellement, alors en notant S=X₁+· · · +X_n, on aG_S=

n

∏

k=1

G_X_k.

Ceci permet de retrouver la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale.

EXERCICE CLASSIQUE 12.22 :

On lance indéfiniment une pi`_{ece, le fait d’obtenir face suit une loi de Bernoulli de paramètre}p∈]0;1[. Pourn∈ N∗, on noteT_n le nombre de lancers nécessaires pour obtenir exactement nfois face. Déterminer la loi deT_n.

(18)

COMP´

ETENCES

• Savoir reconnaˆıtre une variable aléatoire et identifier son univers image. • Déterminer les lois des variables aléatoires discrètes.

• Maˆıtriser la transition entre loi et fonction de répartition d’une variable aléatoire. • Connaˆıtre les liens entre lois de couples de variables aléatoires et lois marginales.

• Trouver la loi conditionnelle d’une variable aléatoire sachant la valeur d’une autre variable aléatoire. • Savoir montrer que deux variables aléatoires sont indépendantes.

• Connaˆıtre la définition d’une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes. • Maˆıtriser les lois uniforme, de Bernoulli et binomiale et les expériences les faisant intervenir. • Connaˆıtre l’interprétation “temps d’attente” qui permet d’avoir une loi géométrique.

• Utiliser les lois de Poisson et leur “stabilit´e” par somme.

• Savoir établir si l’espérance d’une variable aléatoire existe et la calculer dans ce cas. • Utiliser une expression alternative de l’espérance dans le cas d’un univers fini.

• Exploiter une autre expression de l’espérance d’une variable aléatoire si elle est à valeurs dans N. • Décomposer une variable aléatoire en somme de fonctions indicatrices pour calculer son espérance. • Connaˆıtre par cœur les espérances de variables aléatoires suivant les cinq lois usuelles.

• Maˆıtriser les égalités et inégalités classiques sur les espérances : linéarité, Markov.

• Exprimer une variable aléatoire comme image/produit pour la calculer par transfert/indépendance. • Savoir établir si la variance d’une variable aléatoire existe et la calculer dans ce cas.

• Connaˆıtre par cœur les variances de variables al´eatoires suivant les cinq lois usuelles.

• Maˆıtriser les égalités et inégalités classiques sur les variances : transformation affine, Tchebychev. • Utiliser la loi faible des grands nombres pour prouver une convergence en probabilité.

• Connaˆıtre la covariance et les égalités/inégalités associées.

• Savoir calculer une fonction génératrice et son rayon pour une variable aléatoire à valeurs dans N. • Connaˆıtre par cœur les fonctions génératrices de variables aléatoires suivant les cinq lois usuelles. • Utiliser le rapport entre la fonction génératrice, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire. • Déterminer la fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires entières indépendantes.