COURS 09 SERIES ENTIERES 2020 2021

(1)

CHAPITRE 9

S´

ERIES ENTI`

ERES

⊙

Brook Taylor découvrit en 1715 qu’une fonction suffisamment dérivable au voisinage d’un point peut être approchée par une fonction polynomiale dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. Il convient néanmoins d’expliciter ou de majorer efficacement ce reste (la différence existant entre la fonction et le polynˆ_{ome de Taylor).}

Si on raisonne localement et à un ordre fixé, on obtient le théor`_{eme de Taylor-Young et la théorie} des développements limités : mais c’est local et limité !

Si on raisonne globalement et à un ordre fixé, on obtient le théor`_{eme de Taylor avec reste intégral de} Laplace, ou les égalités de Taylor-Lagrange ou Taylor-Cauchy avec les inégalités qui en découlent, mais ¸ca reste limité !

Si on raisonne globalement et à tout ordre pour une fonction à valeurs réelles indéfiniment dérivable, on peut définir la s´_{erie de Taylor associée à la fonction et à un point de son ensemble de définition mais se} pose alors la question de la convergence de cette série et, dans le cas de la convergence, de la correspondance entre la fonction et la somme de la série : c’est la théorie des séries entières.

Quand la fonction est localement égale à la somme de sa s´_{erie de Taylor au voisinage de tous les points} de son ensemble de définition, on dit qu’elle est analytique, comme le sont la plupart des fonctions usuelles. La configuration est totalement différente si on s’intéresse aux fonctions de la variable complexe qui sont dérivables (au sens complexe bien sûr) : on dit qu’elles sont holomorphes. Dans ce cas, cette dérivabilité entraˆıne miraculeusement l’aspect C∞ de la fonction et le fait qu’elle soit analytique. Cette fantastique propriété fait des fonctions holomorphes un pilier de l’analyse complexe, et un pont vers la physique et les essentielles fonctions harmoniques.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : convergence d’une s´erie enti`ere

- 1 : définition et rayon de convergence. . . .page 124 - 2 : opérations sur les séries entières. . . .page 126

Partie 2 : somme d’une s´erie enti`ere

- 1 : modes de convergence et continuité de la somme. . . .page 127 - 2 : dérivation et intégration des séries entières de la variable réelle. . . .page 128

Partie 3 : fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere

- 1 : s´_{erie de Taylor d’une fonction de la variable réelle}. . . .page 128 - 2 : fonctions usuelles. . . .page 130 - 3 : méthodes de développement en série entière. . . .page 131 ⊙

(2)

124 S ´ERIES ENTI `ERES

PARTIE 9.1 : CONVERGENCE D’UNE S´

ERIE ENTI`

ERE

9.1.1 : D´

efinition et rayon de convergence

D ´EFINITION 9.1 :

Une s´erie enti`ere de variable complexe est une s´erie de fonctions ∑

n>0un

telle qu’il existe une suite (an)n∈ N∈ CN pour laquelle : ∀z∈ C, ∀n∈ N, un(z) =anzn ; on la note alors par abus

∑

n>0anz n_.

Les complexes a_n sont appel´es les coefficients de la s´erie entière . Une série entière de variable r´eelle est une s´erie entière ∑

n>0anx

n _o`_u_x_{∈ R et (}_a

n)n∈ N∈ CN.

REMARQUE 9.1 : • Les sommes partielles des séries entières sont des fonctions polynomiales. • En prenanta0=· · · =an0−1 pourn0>1on peut considérer des séries entières notées

∑

n>n0

anzn.

• Pourz∈ C, en cas de convergence enz(par ex. siz=0), on note

+∑_∞ n=0

a_nzn la somme de la série. • L’ensemble des séries entières de variable complexe est une algèbre commutative et intègre pour :

(i) la loi externe λ.( ∑

n>0 anzn ) = ∑ n>0 (λan)zn, (ii) la somme( ∑ n>0 anzn ) +( ∑ n>0 bnzn ) = ∑ n>0 (an+bn)zn,

(iii) le produit de Cauchy( ∑

n>0 anzn ) ×( ∑ n>0 bnzn ) = ∑ n>0 ( ∑n k=0 akbn−k ) zn. • Les fonctions polynomiales sont des séries entières particulières (an =0pournassez grand).

EXEMPLE 9.1 : • Série géométrique :

+∑∞ n=0

zn= 1

1−z pour|z|< 1par calcul alg´ebrique.

• S´erie exponentielle : +∑∞

n=0

xn n! =e

x _{pour tout}_x_{∈ R par la formule de Taylor reste int´egral.}

PROPOSITION DITE DU LEMME D’ABEL 9.1 :

Soit (a_n)_n_{∈ N} ∈ CN et ρ ∈ R₊∗, si la suite (a_nρn)_n_{∈ N} est born´ee alors pour tout z∈ C tel que

|z|< ρ, la s´erie ∑

n>0

a_nzn converge absolument.

REMARQUE 9.2 : Soit (an)n∈ N∈ KN, l’ensembleE=E1=

{

ρ∈ R+| (anρn)n∈ Nest born´ee

}

est une partie non vide de R+ car0∈E: c’est mˆeme un intervalle de R+.

Soit (an)n∈ N ∈ KN, on appelle rayon de convergence de la s´erie enti`ere

∑

n>0

anzn la borne sup´erieure

R>0 deEavec par extensionR= +∞ si En’est pas major´ee.

(3)

TH ÉOR ÈME , CONDITIONS SUFFISANTES DE CONVERGENCE/DIVERGENCE 9.2 : Soit (an)n∈ N∈ CN et R le rayon de convergence de la série entière

∑

n>0anz

n_{, alors} _∀_z_{∈ C :}

• si |z|< R alors la s´erie ∑

n>0

a_nzn est absolument convergente, • si |z|> R alors la s´erie ∑

n>0

anzn est grossi`erement divergente.

Pour une s´erie enti`ere de la variable complexe ∑

n>0

anzn, on note :

• disque ouvert de convergence le disqueB(0, R) ={z∈ C |z|< R} de C.

• disque fermé de convergence le disqueB_f(0, R) ={z∈ C |z| 6R} de C (adhérence deB(0, R)). • cercle de convergence le cercle S(0, R) ={z∈ C |z| =R} (frontière des deux précédents).

Pour une série entière de la variable réelle ∑

n>0

a_nxn, on note : • intervalle ouvert de convergence l’intervalle ] −R;R[ de R.

• intervalle ferm´e de convergence l’intervalle [−R;R] (segment siR <+∞).

REMARQUE 9.4 : • Par d´efinitionR=R1=Sup

{ ρ∈ R+ ∃z∈ C, |z| =ρet (anzn)n∈ Nborn´ee } . • On a aussiR=R₂=Sup{ρ∈ R+ ∃z∈ C, |z| =ρet ∑ n>0

a_nzn converge absolument}=Sup(E₂). • On a aussiR=R₃=Sup{ρ∈ R+ ∃z∈ C, |z| =ρet (anzn)n∈ Ntend vers0

} =Sup(E₃). • On a aussiR=R4=Sup { ρ∈ R+ ∃z∈ C, |z| =ρet ∑ n>0 anzn converge } =Sup(E4).

REMARQUE FONDAMENTALE 9.5 : Avec les notations ci-dessus : • S’il existez₀∈ C tel que (a_nzn₀)_n_{∈ N}est born´ee ou ∑

n>0

a_nzn₀ converge : R> |z₀|.

• S’il existez0∈ C tel que (anzn0)n∈ Nn’est pas born´ee ou

∑ n>0 anzn0 diverge : R6 |z0|. • ∀z∈B(0, R), ∑ n>0 a_nzn CVA et∀z /∈B_f(0, R), ∑ n>0

a_nzn DVG. Siz∈S(0, R), on ne peut rien dire de la convergence de ∑

n>0

anzn : il peut se passer n’importe quoi !

EXEMPLE 9.2 : • La s´erie ∑

n>1

zn

n4ln(n5+1) est de rayonR=1et converge si|z| =1. • La s´erie ∑

n>1

zn

n est de rayonR=1et converge pourz∈ U \ {1} par une transformation d’Abel.

• La s´erie ∑

n>0

nzn est de rayonR=1et diverge pour z∈ U.

TH ´EOR `EME DE COMPARAISON SUR LES RAYONS DE CONVERGENCE 9.3 : ∑

n>0anz

n _et ∑ n>0bnz

n _{deux s´}_{eries enti`}_{eres de rayons de convergence respectifs} _R

a etRb :

(i) Si a_n =

+_∞O(bn) (en particulier si ∀n∈ N, |an| 6 |bn|), alors Rb6Ra.

(ii) Sian ∼

(4)

126 S ÉRIES ENTI ÈRES REMARQUE 9.6 : • Dans (i), on a la même conclusion (mais pas plus) sian=

∞o(bn). • Dans (i), on a la mˆeme conclusion s’il existe un rangn0tel que ∀n>n0, |an| 6 |bn|.

EXERCICE 9.3 : Quel est le domaine de convergence de ∑

n>0n (−1)n

zn ?

REMARQUE FONDAMENTALE 9.7 : Si ∑

n>0anz

n_{est une s´}_{erie enti`}_{ere, que}_∀_n_{∈ N}_{, a}

n̸=0. Pour tout z∈ C∗, on ´etudie la suite(an+1zn+1 anzn ) n∈ N . Si lim n→+∞ an+1 an

=L∈ R+, avec la r`egle de d’Alembert

sur les s´eries num´eriques, on montre queR= 1

L avec les conventions 1

0 = +∞ et 1

+∞ =0.

EXEMPLE 9.4 : • Calculer le rayon de la s´erie enti`ere ∑

n>1

nn n!z

n_.

• SoitFune fraction rationnelle sans pˆole entier, quel est le rayon de ∑

n>0

F(n)zn ?

EXERCICE 9.5 : D´eterminer le rayon de convergenceR′ de la s´erie enti`ere ∑

n>0dnz 2n_o`_u_d

n est le

nombre d’entiers naturels ànchiffres ne contenant pas le chiffre7.

9.1.2 : Op´

erations sur les s´

eries enti`

eres

PROPOSITION OP ´ERATOIRE SUR LES S ´ERIES, RAPPORT SUR LES RAYONS 9.4 : Soitλ∈ K∗ et ∑

n>0

anzn,

∑

n>0

bnzn deux s´eries enti`eres de rayons de convergence resp. Ra, Rb.

• ∑

n>0λanz

n _{a aussi pour rayon de convergence} _R a.

• ∑

n>0

(a_n+b_n)zn a pour rayon de convergenceR>Min(R_a, R_b) avec ´egalit´e siR_a̸=R_b.

REMARQUE 9.8 : SiRa=Rb, on ne peut rien dire de la valeur exacte deR a priori.

EXEMPLE 9.6 : ´Etudier ∑ n>1 ( 1 n− 1 n+1 ) zn ou ∑ n>1 ( 1 n + 1 n!− 1 n ) zn ou ∑ n>1 ( 1 n+ 1 2n − 1 n ) zn.

PROPOSITION : RAYON D’UNE S ÉRIE ENTI ÈRE PRODUIT DE CAUCHY 9.5 : Soit les séries entières ∑

n>0anz n _et ∑ n>0bnz n _{de rayons respectifs} _R a et Rb. Le rayon R de leur produit de Cauchy ∑ n>0cnz n _v´_erifie _R_>_Min₍_R a, Rb) (o`u∀n∈ N, cn= n ∑ k=0 akbn−k).

REMARQUE 9.9 : Mˆeme siRa̸=Rb, on peut avoir R̸=Min(Ra, Rb).

EXEMPLE 9.7 : Rayons de (1−z), de ∑ n>0 ( 1+ 1 3n+1 ) zn et de (1−z)× ∑ n>0 ( 1+ 1 3n+1 ) zn ?

PROPOSITION SUR LE RAYON DE LA S ÉRIE D ÉRIV ÉE OU PRIMITIVE 9.6 : Les séries entières ∑

n>0anz n_, ∑ n>0 (n+1)an+1zn et ∑ n>1 a_n₋₁ n z

n _{ont le mˆ}_{eme rayon de convergence.}

REMARQUE 9.10 : • ∑

n>0

(n+1)an+1zn s’obtient en d´erivant terme `a terme la s´erie

∑ n>0anz n_. • ∑ n>1 a_n₋₁ n z

n _{s’obtient en int´}_{egrant terme `}_{a terme la s´}_erie ∑ n>0

(5)

PARTIE 9.2 : SOMME D’UNE S´

ERIE ENTI`

ERE

9.2.1 : Modes de convergence et continuit´

e de la somme

PROPOSITION : CONVERGENCE NORMALE SUR TOUT COMPACT DE LA BOULE OUVERTE DE CONVERGENCE 9.7 :

Soit ∑

n>0

anzn une s´erie enti`ere de rayon de convergence R.

Si R > 0, la s´erie ∑

n>0anz

n _{converge normalement sur tout disque ferm´}_e _B

f(0, ρ) pourρ < R.

REMARQUE 9.11 : Il n’y a pas convergence uniforme sur le disque ouvertB(0, R) ! Voir ∑

n>0

zn.

TH ÉOR ÈME DE CONTINUIT É DE LA FONCTION ASSOCI ÉE À UNE S ÉRIE 9.8 : Soit ∑

n>0

a_nzn une s´erie enti`ere de rayon R > 0. Alors S:x7→

+∑_∞ n=0

a_nxn est continue sur ]−R;R[.

REMARQUE 9.12 : • SiR > 0, on admet la continuit´e deS:z7→

+∑∞ n=0

a_nzn surB(0, R). • Si la s´erie ∑

n>0anR

n _{est absolument convergente alors} ∑ n>0anz

n _{converge normalement sur}_B f(0, R)

doncS:x7→

+∑∞ n=0

a_nxn est continue sur [−R;R] (et mˆemeS:z7→

+∑∞ n=0

a_nzn surB_f(0, R)).

PROPOSITION OP ÉRATOIRE SUR LES SOMMES DE S ÉRIES ENTI ÈRES 9.9 : Soit deux séries entières ∑

n>0

anzn et

∑

n>0

bnzn de rayon respectifs R > 0 et R′ > 0 et de sommes

f(z) = +∑_∞ n=0 anzn etg(z) = +∑_∞ n=0

bnzn là où elles sont définies, alors si λ∈ K, on a les opérations :

(i) ∀z∈B(0, R), +∑∞ n=0 ( λa_n)zn =λ. (+∑∞ n=0 a_nzn ) . (ii) ∀z∈B(0, Min(R, R′)), +∑∞ n=0 ( an+bn ) zn= (+∑∞ n=0 anzn ) + (+∑∞ n=0 bnzn ) . (iii) ∀z∈B(0, Min(R, R′)), +∑_∞ n=0 ( ∑n k=0 akbn−k ) zn=( +∑_∞ n=0 anzn ) ×(+∑∞ n=0 bnzn ) .

REMARQUE HP 9.13 : Classique : soit une s´erie enti`ere ∑

n>0

a_nzn de rayonR tel que 0 < R <+∞ et

qui v´erifie ∑

n>0

anRn converge, alors lim t→R− +∑∞ n=0 antn= +∑∞ n=0 anRn. EXEMPLE 9.8 : Le rayon de ∑ n>1 (−1)n−1zn

n est clairement R=1et on verra bientˆot la relation

∀x∈] −1;1[,

+∑_∞ n=1

(−1)n−1xn

n =ln(1+x). D’après le résultat précédent :

+∑_∞ n=1

(−1)n−1

(6)

9.2.2 : D´

erivation et int´

egration des s´

eries enti`

eres de la variable r´

eelle

⊙

On peut intégrer une série entière sur un segment inclus dans son intervalle ouvert de convergence.

TH ÉOR ÈME D’INT ÉGRATION TERME À TERME D’UNE S ÉRIE ENTI ÈRE SUR UN SEGMENT DE L’INTERVALLE OUVERT DE CONVERGENCE ( ÉNORME) 9.10 :

Soit (an)n∈ N∈ CN et

∑

n>0

anxn une série entière de la variable réelle de rayon de convergence

R > 0 etf sa fonction somme d´efinie sur ]−R;R[ (au moins) par∀x∈] −R;R[, f(x) =

+∑∞ n=0

a_nxn : (i) Pour tout (a, b)∈] −R;R[2_{, on a}

∫

b

a f(t)dt= +∑∞ n=0 an [ tn+1 n+1 ]b a .

(ii) La primitive F de fqui s’annule en 0 est somme sur ]−R;R[ d’une s´erie enti`ere : ∀x∈] −R;R[, F(x) =

∫

x 0 f(t)dt= +∑∞ n=1 an−1 n x n_.

EXEMPLE 9.9 : Trouver une s´erie enti`ere dont la somme vautln(1−x) pour x∈] −1;1[. ⊙

On peut aussi dériver une série entière sur son intervalle ouvert de convergence.

TH ÉOR ÈME SUR LA CLASSE ET LES D ÉRIVEES SUCCESSIVES DE LA SOMME D’UNE S ÉRIE ENTI ÈRE ( ÉNORME) 9.11 :

Soit (an)n∈ N∈ CN et ∑

n>0

anxn une série entière de la variable réelle de rayon de convergence

R > 0 etf sa somme sur ]−R;R[. Alorsf est de classe C∞ sur ]−R;R[ et si p∈ N, on a :

∀x∈] −R;R[, f(p)(x) = +∑∞ n=p n(n−1)· · · (n−p+1)anxn−p= +∑∞ n=p n! (n−p)!anx n−p₌ +∑∞ n=0 (n+p)! n! an+px n_. En particulier, on a : ∀p∈ N, ap=f (p)₍₀₎ p! .

EXEMPLE FONDAMENTAL 9.10 : Mines PSI 2013 G´erémy Soitp∈ N∗, calculer le développement en série entière defp:x7→ ₍ 1

1−x)p.

PROPOSITION : UNICIT É DES COEFFICIENTS D’UNE S ÉRIE ENTI ÈRE 9.12 : Soit ∑ n>0anz n_, ∑ n>0bnz n _et_{R > 0}_{tels que}_∀_x_∈]−_R_;_R_[_, +∑∞ n=0 anxn= +∑_∞ n=0 bnxn. Alors,∀n∈ N, an=bn.

REMARQUE 9.14 : Autrement dit “les coefficients d’une série entière de rayonR > 0sont uniques”.

PARTIE 9.3 : FONCTIONS D´

EVELOPPABLES

EN S´

ERIE ENTI`

ERE

9.3.1 : S´

erie de

Taylor

d’une fonction de la variable r´

eelle

Soit I un intervalle de R dont 0 est un point intérieur, on dit que f:I → K est développable en série

enti`ere s’il existe r > 0et une suite (a_n)_n_{∈ N}∈ KN telle que ]−r;r[⊂I et∀x∈] −r;r[, f(x) =

+∑_∞ n=0

(7)

REMARQUE 9.15 : • Alors le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ∑

n>0anx

n _{est au moins ´}_{egal `}_a_r_.

• Sifest paire et développable en série entière alors∀n∈ N, a2n+1=0.

• Sifest impaire et développable en série entière alors∀n∈ N, a2n=0.

• On noteraDSEpour “développable en série entière”.

PROPOSITION OP ´ERATOIRE SUR LES FONCTIONS DSE 9.13 :

Soitr > 0,f etg deux fonctions développables en série entière sur ]−r;r[ et λ∈ K :

(i) λf est DSE sur ]−r;r[ (stabilit´e par multiplication par un scalaire). (ii) f+gest DSE sur ]−r;r[ (stabilit´e par somme).

(iii) f×gest DSE sur ]−r;r[ (stabilit´e par produit).

REMARQUE 9.16 : Pour un réelr > 0, l’ensemble des fonctions développables en série entière sur ]−r;r[ est une sous-algèbre de F(]−r;r[,K).

SoitIun intervalle de R dont0est un point intérieur etfune fonction de classeC∞sur I, on appelle s´erie de Taylor de f en 0la série entière de la variable réelle ∑

n>0

f(n)(0)

n! x

n_.

EXEMPLE 9.11 : La s´_{erie de Taylor de la fonction}cosest ∑

n>0

(−1)nx2n

(2n)! .

REMARQUE 9.17 : SoitI un intervalle de R dont0est un point int´erieur,f∈F(I, K) etr > 0, alors : (

fest DSE sur ]−r;r[ ) ⇐⇒(f∈C∞(]−r;r[,K)et∀x∈] −r;r[, f(x) = +∑∞ n=0 f(n)(0) n! x n)_.

TH ÉOR ÈME : CNS POUR ÊTRE DSE PAR TAYLOR RESTE INT ÉGRAL 9.14 : Soit I un intervalle de R dont 0est un point intérieur,f∈F(I,K) etr > 0, alors :

(

f est DSE sur ]−r;r[ ) ⇐⇒(f∈C∞(]−r;r[,K) et∀x∈] −r;r[, lim n→+∞

∫

x 0 (x−t)n n! f (n+1)₍_t₎_dt₌₀)_.

REMARQUE 9.18 : Il y a plusieurs restes de Taylor `a ne pas confondre : • Sifest de classeCn+1 surIcontenantx: R_n(x) =f(x)−

n ∑ k=0 f(k)(0) k! x k₌

∫

x 0 (x−t)n n! f (n+1)₍_t₎_dt_.

• Sifest de classeC∞et si la s´_{erie de Taylor converge au point}x : fRn(x) = +∑∞ k=n+1

f(k)(0)

k! x

k_.

Cependant, si fest développable en série entière sur ]−r;r[, les deux restes sont égaux pour x∈] −r;r[ et tendent vers0quandntend vers +∞. Cependant, quelques bizarreries peuvent advenir :

• Il existe des fonctions fde classeC∞ sur R dont la s´erie de Taylor converge mais pas versf. • Il existe des fonctions de classeC∞ pour lesquelles la s´_{erie de Taylor est divergente pour}x̸=0.

(8)

PROPOSITION : CONDITION SUFFISANTE POUR ˆETRE DSE 9.15 :

Soitr > 0et I=]−r;r[, montrer que f de classe C∞ sur I est développable en série entière surI

si∀a∈]0;r[, ∃M_a> 0, ∀n∈ N, ||f(n)||_∞,[−a;a]6M_a.

EXEMPLE FONDAMENTAL 9.12 : Soitf: R → R telle quef(x) =e− 1|x| six̸=0et f(0) =0. Alorsfest bien de classeC∞ sur R et pourtant pas développable en série entière.

9.3.2 : Fonctions usuelles

TH ÉOR ÈME : DSE DES FONCTIONS USUELLES ( ÉNORME) 9.16 :

Il faut connaˆıtre par cœur les développements en séries entières des fonctions usuelles de la variable réelle suivantes (pourα∈ R \ N) ainsi que le rayon de convergenceR de la série :

∀x∈ R, ex = +∑∞ n=0 xn n! R= +∞ ∀x∈ R, ch(x) = +∑∞ n=0 x2n (2n)! R= +∞ ∀x∈ R, sh(x) = +∑_∞ n=0 x2n+1 (2n+1)! R= +∞ ∀x∈ R, cos(x) = +∑∞ n=0 (−1)n x2n (2n)! R= +∞ ∀x∈ R, sin(x) = +∑_∞ n=0 (−1)n x2n+1 (2n+1)! R= +∞ ∀x∈] −1;1[, 1 1−x = +∑∞ n=0 xn R=1 ∀x∈] −1;1[, 1 1+x = +∑∞ n=0 (−1)n_xn _R₌₁ ∀x∈] −1;1[, ln(1+x) = +∑_∞ n=1 (−1)n+1 n x n _R₌₁ ∀x∈] −1;1[, −ln(1−x) = +∑∞ n=1 xn n R=1 ∀x∈] −1;1[, Arctan(x) = +∑_∞ n=0 (−1)nx2n+1 2n+1 R=1 ∀x∈] −1;1[, (1+x)α ₌ +∑∞ n=0 α(α−1). . .(α−n+1) n! x n _R₌₁ `

A savoir retrouver assez rapidement : ∀x∈] −1;1[, √ 1 1+x = +∑∞ n=0 (−1)n(2n)! 4n(n!)2 x n _R₌₁ ∀x∈] −1;1[, √1+x = 1+ +∑∞ n=1 (−1)n−1(2n)! 4n(n!)2(2n−1)x n _R₌₁ ∀x∈] −1;1[, Arcsin(x) = +∑_∞ n=0 (2n)! 4n(n!)2(2n+1)x 2n+1 _R₌₁

(9)

REMARQUE HP 9.19 : Les fonctions bijectives th : R →] −1;1[ et sh : R → R admettent des réciproques qu’on note respectivement Argth :]−1;1[→ R et Argsh : R → R. Les dérivées de ces fonctions vérifient respectivement Argth′(x) = 1

1−x2 et Argsh

′₍_x_{) =} _√ 1

1+x2 ce qui nous permet de

déterminer leurs développements en série entière : ∀x∈] −1;1[, 1 2ln ( 1+x 1−x ) = Argth(x) = +∑_∞ n=0 x2n+1 2n+1 R=1 ∀x∈] −1;1[, ln(x+√1+x2₎ ₌ _Argsh₍_x₎ ₌ +∑∞ n=0 (−1)n(2n)! 4n(n!)2(2n+1)x 2n+1 _R₌₁ D ÉFINITION 9.6 :

Pour z∈ C, on pose exp(z) =ez=

+∑_∞ n=0

zn n!.

REMARQUE 9.20 : Le rayon de convergence de cette s´erie exponentielle estR= +∞.

PROPOSITION SUR L’ ´EGALIT ´E DES DEUX EXPONENTIELLES 9.17 : Pour (z, z′)∈ C2_{, on a} _exp₍_z₊_z′_{) =}_exp₍_z₎_×_exp₍_z′_).

Ainsi si (x, y)∈ R2 etz=x+iy, on a exp(x+iy) =ex(cos(y) +i sin(y)) =exeiy=ez.

REMARQUE 9.21 : Cette fonction exponentielle est bien notre fonction exponentielle !

9.3.3 : M´

ethodes de d´

eveloppement en s´

erie enti`

ere

⊙

Certaines s´eries se reconnaissent en distinguant selon le signe dex.

EXERCICE 9.13 : Rayon de convergence et somme de ∑

n>0 (−1)nxn 2n+1 . ⊙ Les s´eries +∑∞ n=0

P(n)xn se calculent en d´ecomposant P∈ C[X] sous la formeP(X) =

+∑∞ k=0 ak k ∏ i=1 (X+i).

EXEMPLE 9.14 : Rayon de convergence et somme de ∑

n>0 (n2+1)xn. ⊙ Les s´eries +∑_∞ n=0 P(n) n! x

n _{se calculent en d´}_ecomposant_P_{∈ C[}_X_{] sous la forme}_P₍_X_{) =}+∑∞ k=0

ak k∏−1

i=0

(X−i).

EXEMPLE 9.15 : Rayon de convergence et somme de ∑

n>0

n2−3 n! x

n_.

⊙

Se ramener aux fonctions usuelles est la priorit´e.

EXERCICE CONCOURS 9.16 : Petites Mines PSI 2013 Camille

Rayon de convergence et somme de ∑

n>0

n2+n+1 n+1 x

n_.

⊙

On peut aussi utiliser des dérivations ou des intégrations, ou la méthode de l’équation différentielle.

ORAL BLANC 9.17 : Soit f: x 7→ e−x2

x

∫

0

et2dt, trouver une équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée parf. En déduire le développement en série entière def.

(10)

COMP´

ETENCES

• Déterminer le rayon d’une série entière par la définition avec les croissances comparées.

• Trouver le rayon d’une série entière par minoration/majoration en l’étudiant en certains points. • Déterminer le rayon d’une série entière par encadrement/équivalent du module du coefficient. • Trouver le rayon d’une série entière par la règle de d’Alembert.

• Maˆıtriser les opérations sur les séries entières et les relations associées sur les rayons. • Connaˆıtre la dérivation ou l’intégration de la somme d’une série entière là où c’est possible. • Utiliser l’aspectC∞ de la sommefd’une série entière et la relation entre ses coefficients et f. • Déduire des relations entre suites de l’unicité des coefficients d’une série entière.

• Savoir montrer qu’une fonction est développable en série entière par étude du reste intégral. • Établir qu’une fonction est développable en série entière par opérations et fonctions usuelles. • Connaˆıtre par cœur les11développements en série entière des fonctions les plus usuelles.

• Maˆıtriser les techniques les plus courantes pour exprimer avec des fonctions usuelles les séries entières. • Maˆıtriser les techniques les plus classiques pour développer en série entière des fonctions.