Schémas à deux-grilles pour la résolution du problème de Navier-Stokes instationnaire incompressible
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Texte intégral
(2) Ecole doctorale des Sciences Math´ ematiques de Paris Centre UFR 921. Universit´ e Saint–Joseph Facult´ e des Sciences. Sch´ emas ` a deux grilles pour la r´ esolution du probl` eme de Navier-Stokes instationnaire incompressible ` THESE pr´esent´ee et soutenue publiquement le 03 juillet 2006 pour l’obtention du titre de. Docteur de l’Universit´ e Pierre et Marie Curie – Paris VI et Docteur de l’Universit´ e Saint-Joseph – Beyrouth (sp´ ecialit´ e Math´ ematiques Appliqu´ ees) par. Hyam ABBOUD Composition du jury Rapporteurs :. Jean-Luc GUERMOND Rapha¨ele HERBIN. Examinateurs :. Vivette GIRAULT (Directrice de th`ese) Fr´ederic HECHT Charbel KLAIANY Nabil NASSIF Toni SAYAH (Directeur de th`ese). Laboratoire Jacques-Louis Lions UMR 7598. D´ epartement de Math´ ematiques Facult´ e des Sciences.
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(139) . KDD JJK ( KDK JJC ( KDV. .
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(145) ECKJ ! & ECKT . . KKV KKS KKL KCT KCE KCV KCU KJT KJL KTT KTV KTU. . KEV KES KES KES KES KEU KVK .
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(182) u = (u1, u2).. • Ω : Rd • ∂Ω : Ω → • − n : ∂Ω • p, q : 76%, < , <8 • u, v :
(183) 76%, < , <8 • t : • u · v : • ∇v :
(184) v • ∇ · v div v :
(185) v • ∆v :
(186) v d : • dt • B • η : • d:.
(187)
(188) . • λ : • ν : • ρ : • T : • ψ : • Re : / • κ:.
(189) - & , . WSX WKTX WTEX • C k (Ω) k Y Ω • C ∞ (Ω) =. . C k (Ω). k∈N. • L2 (Ω) Ω. • D(Ω). • H 1 (Ω) = {u ∈ L2 (Ω),. ∇u ∈ L2 (Ω)}. • H01 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω),. u|∂Ω = 0}. • W m,p (Ω). , m ·m,p. • H m (Ω) = W m,2 (Ω) • Lp (I; X) X. . . & . I ⊂ R . • X :. . X.
(190) • ·, · :. X , X. • ∀u ∈. L2 (Ω),. uL2 (Ω) =. Ω. 2. 1. |u|. 2. • ∀u ∈ H01 (Ω), |u|H 1 (Ω) =. 2. Ω. |∇u|. 1 2. uH (Ω) = 1. Ω. 2. |u| +. Ω. 2. |∇u|. 1 2. .
(191)
(192) . .
(193) K ∇ × ∇Φ = 0 C ∇ · (∇ × a) = 0 J ∇ × (a × b) = a∇ · b − b∇ · a + b · ∇a − a · ∇b T V ∇ · a dV = A a · n dA. "%Z <. E V ∇Φ dV = A Φ n dA V V ∇ × a dV = A n × a dA S A(∇ × a) · n dA = C a dl. , <. L A n × ∇Φ dA = C Φ dl U V (Φ∆ψ − ψ∆Φ) dV = A(Φ∇ψ − ψ∇Φ) · n dA. . ".
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(207) % T [ B T (x, t) = −p(x, t)I + F (D(x, t)),. \ I F . D = (∇φ +. d φ [ + (x, t) \ x = (xi)1≤i≤d ∈ R t ∈ [0, T ] 9 [ , % . 7 & F % . . 8 (
(208) F D [ , > [ , ( [ ] T B. p ∇φT )/2. T (x, t) = −p(x, t)I + 2µD(x, t),. \ µ > 0 [ . B dρ + ρ div u = 0, dt. 7K8. ρ(∂t u(x, t) + ∇ × (u(x, t) × u(x, t))) − µ∆u(x, t) + ∇p(x, t) = ρf (x, t),. 7C8. B. \ ρ [ f [ u p . [ . 7C8 % -)
(209)
(210) *+ µ > 0 7 [ 8 -)
(211) . µ = 0 7 [ 8 J.
(212) . , ρ [ B & Z div u(x, t) = ∇ · u(x, t) = 0. 7J8 ' [ B ρ(∂t u(x, t) + u(x, t) · ∇u(x, t)) − µ∆u(x, t) + ∇p(x, t) = ρf (x, t). 7T8 Z
(213)
(214) [ N . [ Z & /% Re =. ρvD , µ. \ v [ D Z Re ∼ 2100 2500 - Re < 2000, %. Z p v ρ, e 9
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(223) . . 6%, < ' 40, 6 5 (1941) $ 6 . . * . ) % = . 1 [JE] 6
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(319) ; −→n . [0, T ], T > 0. . [ Ω 6%, < ∂u (x, t) − ν∆u(x, t) + u(x, t) · ∇u(x, t) + ∇p(x, t) = f (x, t) ∂t. . . Ω×]0, T [,. Ω×]0, T [,. '
(320)
(321) u(x, t) = 0 ∂Ω×]0, T [, u(x, 0) = u0 Ω,. 7V8 7S8. div u(x, t) = 0. 7L8 7U8.
(322) . B u · ∇u =. d i=1. ∂u ui , ∂xi. d ∂2u ∆u = ∂ 2 xi i=1. . div u =. d ∂ui i=1. ∂xi. ,. \ u p
(323) d [ + (x, t) \ x = (xi)1≤i≤d ∈ R t ∈ [0, T ] Z [ (ρ = 1) > f
(324) [ 7
(325) 8 ν . u · ∇u 7 8 ν∆u 6%, < Y ! " # $
(326) . ( ! " $%. . WCUX
(327) . 6%, < % Z
(328) 6%, < n+1 , 1
(329) 6
(330) 1
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(332) 1 7 (un+1 H , pH ) ∈ XH × MH , L.
(333) 4 5
(334) 6 -
(335) . ∀vH ∈ XH ,. 1 n+1 n+1 (u − unH , vH ) + ν(∇un+1 · ∇un+1 H , ∇vH ) + (uH H , vH ) ∆t H 1 n+1 n+1 n+1 , vH , + (div un+1 H , uH .vH ) − (pH , div vH ) = f 2. ∀qH ∈ MH , (qH , div un+1 H ) = 0.. 7KD8 7KK8. n+1 , 2
(336)
(337) 1
(338)
(339) ! 7 (un+1 h , ph ) ∈ Xh × Mh , . ∀vh ∈ Xh ,. 1 n+1 n+1 n+1 n+1 (u − unh , vh ) + ν(∇un+1 h , ∇vh ) + (uH · ∇uh , vh ) − (ph , div vh ) ∆t h = f n+1 , vh ,. ∀qh ∈ Mh , (qh , div un+1 h ) = 0.. 7KC8 7KJ8. - n = 0, n uH = 0, n uh = 0. - n n + 1, uH (10) uh . R(unh ), pn+1 h ,
(340) n+1 pH . & (& f n+1 (10) (12) f tn+1. - & K '
(341) . & 7WCXWTX8 C 6
(342) . . . [0, T ] (
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(344) % . % . . 6 H h 7 . H n n η, H 8 ∆t (u, p) 7 (uη , pη )8 6%, < 7 8 9 6%, < B 2
(345) 1 2 . ∞ 2 2 L (0, T ; L (Ω) ) L (0, T ; H (Ω) ) U.
(346) . 0 *
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(348) 8 - "
(349) N −1 2 2 n+1 n+1 n n sup unη − u(tn )L2 (Ω) + − u(t )) − (u − u(t )) (u 2 η η. 0≤n≤N. L (Ω). n=0. +. ν 2. N −1 . ∆t|un+1 − u(tn+1 )|2H 1 (Ω) ≤ eCT η. . αη 2 + β(∆t)2 ,. 7KT8. n=0.
(350) α, β C ) - u, u , p, ν
(351)
(352) η ∆t.. . L2(Ω×]0, T [)2 , < - , < % B 3. 9
(353) wn 0 ≤ n ≤ N, " *+ -
(354) - 2
(355) .
(356)
(357) :. N N 1/2 √3S 1/2 2 √ 2 n 2 √ sup w L2 (Ω) + ν ∆t|w |H 1 (Ω) ≤ ∆t vηn − v(tn )L2 (Ω) , ν n=0 0≤n≤N n=0 n. 7KE8. ; S2
(358)
(359) -
(360) - 5
(361) - sup. 0≤n≤N. √. ν|w |H 1 (Ω) + n. N n=0. 2 n+1 w − wn ∆t 2 ∆t. L (Ω). 1/2. N 1/2 √ 2 ≤ 3 ∆t vηn − v(tn )L2 (Ω) . n=0. * Ω 6
(362) wn ∈ H 2 (Ω)2 , λn ∈ H 1 (Ω) N n=0. N 1/2 1/2 2 ∆t(|wn |2H 2 (Ω) + |λn |2H 1 (Ω) ) ≤C ∆t vηn − v(tn )L2 (Ω) ,. 7KV8 7KS8. n=0.
(363)
(364) C -
(365) ∆t η.. # , < 2 2 % L (Ω×]0, T [) , < B 0 % * Ω 6 g ∈ L2(Ω×]0, T [)2, g ∈ L2(0, T ; H −1(Ω)2) g(0) ∈ L2(Ω)2,
(366) 6
(367) C ) - g, g g(0)
(368) -
(369) η ∆t, ) : N . n=0. 1/2 2 ∆t vηn − v(tn )L2 (Ω) ≤ C(η 2 + ∆t).. 7KL8. .
(370) ∆t = O(η2 ),
(371) N n=0. 1/2 2 ∆t vηn − v(tn )L2 (Ω) ≤ Cη 2 .. 7KU8. ( ∆t = O(η2) ∆t ) KD.
(372) 4 5
(373) 6 -
(374) . η, 7 7KU88 , < #
(375)
(376) . B α γ ∆t η . B αη 2 ≤ ∆t ≤ γη 2 . 7CD8 #
(377) 6%, < % 0 $ *
(378) (6)7(9)
(379) 8 - "
(380) −1 N 1/2 2 n n+1 n (vη − un+1 sup vη − uη L2 (Ω) + ) − (vηn − unη )L2 (Ω) η. 0≤n≤N. n=0. N −1 1/2 √ + ν ∆t|vηn+1 − un+1 |2H 1 (Ω) ≤ C(η 2 + ∆t). η. 7CK8. n=0. (
(381) J T 2 6%, < L (Ω×]0, T [)2 . .
(382)
(383) . 6 1 0 ' *
(384) % " - 2-
(385)
(386)
(387)
(388) Tη 6
(389) C. -
(390) η ∆t ) −1 N n=0. 1/2 √ 2 2 ∆t p(tn+1 ) − pn+1 ≤ C(η + ∆t). η L (Ω). 7CC8. *
(391) (20) - 2-
(392) −1 N n=0. 1/2 2 ∆t p(tn+1 ) − pn+1 ≤ Cη. 2 η L (Ω). 7CJ8. 9 . . & . 0 . & * ) Ω 6 *
(393) (6)7(9)
(394) 8 - "
(395) n n (uh , ph )
(396) 2
(397)
(398)
(399) .
(400) : sup. 0≤n≤N. unh. −1 N 1/2 n+1 n+1 n n 2 (u − u(t )L2 (Ω) + − u(t )) − (u − u(t )) 2 h h L (Ω) n. n=0. N −1 1/2 √ n+1 2 + ν ∆t|un+1 − u(t )| ≤ C(H 2 + h + ∆t). H 1 (Ω) h. 7CT8. n=0. KK.
(401) < . −1 N. 1/2 2 2 ∆t p(tn+1 ) − pn+1 ≤ C(h + H 2 + ∆t), h L (Ω). 7CE8. n=0.
(402)
(403) C -
(404) h, H ∆t. , H ∆t & 7CD8 α, γ > 0,. 7CV8 7CT8 7CE8 F
(405) . h α H 2 ≤ h ≤ γ H 2 ,. ! " # $
(406) . '
(407) . 6%, < 7WKX8 B n+1 , 1
(408) 6
(409) 1
(410)
(411) 1 7 (un+1 H , pH ) ∈ XH × MH , ∀vH ∈ XH ,. 1 n+1 n+1 (3un+1 − 4unH + un−1 · ∇un+1 H H , vH ) + ν(∇uH , ∇vH ) + (uH H , vH ) 2∆t 1 n+1 n+1 n+1 , vH ), + (div un+1 H , uH · vH ) − (pH , div vH ) = (f 2 ∀qH ∈ MH ,. (qH , div un+1 H ). = 0.. 7CS8 7CL8. 6 B u0H = 0 1 uH
(412) ( 7KD8 n = 0.. n+1 , 2
(413)
(414) 1
(415)
(416) ! 7 (un+1 h , ph ) ∈ Xh × Mh , . ∀vh ∈ Xh ,. 1 n+1 n+1 n+1 (3un+1 − 4unh + un−1 h h , vh ) + ν(∇uh , ∇vh ) + (uH · ∇uh , vh ) 2∆t −. (pn+1 h , div vh ). 7CU8. = (f n+1 , vh ),. ∀qh ∈ Mh , (qh , div un+1 h ) = 0.. 7JD8. ' ) u0h = 0 u1h
(417) ( 7KC8 n = 0.
(418) % 6%, < KC.
(419) 4 5
(420) 6 -
(421) . 0 *
(422) (6)7(9)
(423) 8 - " 6
(424) C -
(425) η ∆t ) . −1 2 N 2 n sup unη − Pη u(tn )L2 (Ω) + δ (uη − Pη u(tn )) 2. 1≤n≤N. 1/2. L (Ω). n=1. 7JK8. N −1 1/2 √ n+1 2 + ν ∆t|un+1 − P u(t )| ≤ C(η 2 + (∆t)2 ), η η H 1 (Ω) n=1. ;. 7JC8. δ2 an = an+1 − 2an + an−1 .. & L2(Ω×]0, T [)2 , , < % . B 3. ) 9
(426) wn, 0 ≤ n ≤ N, " *+ -
(427) - 2
(428) .
(429)
(430) :. N 1/2 √ n−1 n sup w L2 (Ω) + sup 2w − w L2 (Ω) + 2ν ∆t|wn |2H 1 (Ω) n. 0≤n≤N. 1≤n≤N. +. N +1 . 2 n 2 δ w 2 ≤ L (Ω). n=1. n=0. N 1/2 2 2S2 ∆t v(tn ) − vηn L2 (Ω) , ν n=0. ; S2
(431)
(432) 5
(433) - . +. ν sup |wn |H 1 (Ω) + 2 0≤n≤N. +1 N n=1. 7JJ8. N +1 1/2 ν ν 2 n2 sup |2wn − wn+1 |H 1 (Ω) |δ w |H 1 (Ω) + 2 2 0≤n≤N n=1. 2 n+1 w − 4wn + 3wn−1 ∆t 2 2∆t. 1/2. L (Ω). ≤. N . 2 ∆t v(tn ) − vn 2. n=0. η L (Ω). 1/2. 7JT8. .. * Ω 6
(434) 0 ≤ n ≤ N, wn ∈ H 2 (Ω)2 , λn ∈ H 1 (Ω) N n=0. N 1/2 1/2 2 n 2 n 2 ∆t |w |H 2 (Ω) + |λ |H 1 (Ω) ≤C ∆t v(tn ) − vηn L2 (Ω). 7JE8. n=0.
(435) C
(436) -
(437) ∆t η.. - , < , < 2 2 L (Ω×]0, T [) 0(3) . * * Ω 6 g ∈ L2(Ω×]0, T [)2 , v ∈ L2(0, T ; H 3 (Ω)2 ), v ∈ L2(0, T ; H 2 (Ω)2), 2 2 2 2 ∈ L (Ω×]0, T [) v, v , v(3). v. q ∈ L (0, T ; H (Ω)),
(438) 6
(439) C ) - q,
(440) -
(441) η ∆t, ) :. N n=0. 1/2 2 ∆t vηn − v(tn )L2 (Ω) ≤ C(η 3 + (∆t)2 + η(∆t)2 ).. 7JV8 KJ.
(442) .
(443) 6
(444) α > 0, ) (∆t)2 ≤ αη 3 ,.
(445) . N n=0. 1/2 2 ∆t vηn − v(tn )L2 (Ω) ≤ Cη 3 .. 7JS8 7JL8.
(446)
(447) 7JS8 , < η3. - 6%, < * 2
(448) % 0 2 *
(449) (6)7(9)
(450) 8 - "
(451) sup vηn − unη L2 (Ω) + sup 2(vηn − unη ) − (vηn−1 − un−1 )L2 (Ω) η. 0≤n≤N. 1≤n≤N. −1 −1 N 1/2 N 1/2 2 n n+1 n+1 2 δ (vη − unη )2 2 + + ∆t|v − u | ≤ C(η 3 + (∆t)2 ). η η H 1 (Ω) L (Ω) n=1. 7JU8. n=0. (
(452) U KD
(453)
(454) 7JS8 2 2 6%, < L (Ω×]0, T [) B −1 N n=0. 1/2 2 ∆t un+1 − u(tn+1 )L2 (Ω) ≤ Cη 3 . η. 7TD8. -
(455) % . 6
(456) . & 6 B 0 * % " - " 10,
(457) (unh, pnh)
(458) 2
(459)
(460) .
(461) .
(462) :. n−1 sup unh − u(tn )L2 (Ω) + sup 2(unh − u(tn )) − (un−1 − u(t )) h L2 (Ω). 1≤n≤N. +. 1≤n≤N. N 2 n δ (u − u(tn ))2 2 h. 1/2. L (Ω). +. N 1/2 √ ν ∆t|unh − u(tn )|2H 1 (Ω). n=1. 7TK8. n=1. ≤ C(H 3 + h2 + (∆t)2 + H(∆t)2 ),. . N n=1. KT. ∆t p(tn ) − pnh 2L2 (Ω). 1/2. ≤ C(h2 + H 3 + (∆t)2 ),. 7TC8.
(463) 4 5
(464) 6 -
(465)
(466) =
(467) -
(468) h, H ∆t. , α γ, h H . B. 7TJ8 C(H 3 + h2 + (∆t)2 + H(∆t)2) ≤ Ch2 7 7TK88 C(h2 + H 3 + (∆t)2) ≤2 Ch2 7 7TC88 B . & h α H 3 ≤ h2 ≤ γ H 3 ,. ! % .
(469)
(470) .
(471) - % B
(472)
(473)
(474) * P1
(475) * P1 - & + %1 B
(476)
(477) * P2 * P1 .
(478) F reeF em + +3 3 1
(479) Z - 5 Z
(480) < . .
(481) (u, p) = (rot ψ, p) \ ψ p . B 2 (x+y). ψ(t, x, y) = te−t. y2 (1 − y)2 sin2 (πx),. p(t, x, y) = te−t cos(2πx) sin(2πy).. # & -
(482) %
(483) B K / n+1. 6%, < . uH . & . C / 6%, < . &
(484) #
(485) .
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