Solutions bornées d'une équation différentielle

Solutions bornées d’une équation différentielle

Samuel Rochetin

Samedi 21 mars 2015

Exercice. Montrer que toute solution sur R de y00+ exp(x2_{)y = 0 est bornée.}

Solution. On note tout d’abord le lien avec l’équation de l’oscillateur harmo-nique y00+ ω2

0y = 0, dont les solutions sont bornées. Le problème ici vient du

coefficient non constant en exponentielle, non borné.

Résolution, changement de variable, séparation des variables, rien ne paraît évident.

On multiplie donc par 2y0exp(−x2) pour obtenir (y02)0exp(−x2) + 2yy0 = 0, le terme en exponentielle décroissante facilitant le travail sur les fonctions bor-nées. On intègre entre 0 et t ∈ R :R0t(y

02_(x))0_exp(−x2_{) dx + y}2_{(t) − y}2_{(0) = 0.}

Une intégration par parties donne :Rt

0(y

02_(x))0_exp(−x2_{) dx = y}02_{(t) exp(−t}2_{) −}

y02(0) + 2Rt

0xy

02_{(x) exp(−x}2_{) dx. Ceci est possible car y}0 _{est continue car}

déri-vable, donc la dernière intégrale a un sens.

On remarque que le terme de la dernière intégrale est du signe de x, et que t et x sont de même signe. On a donc ∀t ∈ R,R0txy

02_{(x) exp(−x}2_{) dx ≥ 0. Donc}

Rt

0(y

02_(x))0_exp(−x2_{) dx ≥ y}02_{(t) exp(−t}2_)−y02_{(0). En utilisant y}02_{(t) exp(−t}2_{) ≥}