Chapitre 03 Fonctions_numeriques

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Fonctions num ´eriques

Transmath 2011 p.50. Objectifs :

– Notion de fonction ; déterminer un ensemble de définition, une image, un antécédent – Tracer et exploiter la représentation graphique d’une fonction

– Étudier le sens de variation grâce au théorèmes sur l’ordre, à l’étude de f (x0) − f (x) ; tableau de variations et extremums

– Fonctions affine, carr´ee et inverse (vues en seconde) – Fonctions racine carr´ee et valeur absolue

– Justifier les positions relatives des courbes repr´esentatives de x 7→ x, x 7→ x2_{, et x 7→}√_x

– Connaˆıtre les sens de variation des fonctions associées u + k, λu,√u et _u1 où k et λ sont des réels, et u une fonction connue

– Exploiter les propriétés sur le sens de variation des fonctions associées pour déterminer celui de fonctions simples

Aper¸cu historique :

Le terme “fonction” est dû à Leibniz (1692, de functio :exécution), un mathématicien allemand qui a contribué à jeter les bases de l’analyse moderne. L’idée de fonction a d’abord été associée à une courbe du plan avant d’être considérée comme une combinaison d’opération sur une variable, ce qui peut être rapproché d’un algorithme. Quelques années plus tard, Jean Bernoulli emploie la notation f x pour désigner une fonction de la variable x : les fonctions telles que nous allons les étudier ici étaient nées.

1. Notions g én érales vues en seconde sur les fonctions num ériques

A. D ´efinitions et vocabulaire

D éfinition 3.1 Une fonction num érique f permet d’associer à chaque nombre x d’un ensemble D un

autre nombre que l’on note f (x). On note :

f : x 7−→ f (x) Le nombre f (x) est appel é image de x par la fonction f . L’image d’un nombre par une fonction num érique est unique. xest appel é ant éc édent de f (x) par f .

Un nombre peut avoir plusieurs ant ´ec ´edents ; il peut aussi ne pas en avoir. Exemple :

On d´efinit la fonction f sur R par f (x) = x2_{− 5. On a :}

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Dans cet exemple 20 a deux antécédents car l’équation x2− 5 = 20 a deux solutions : x = 5 et x = −5. Par contre -6 n’a pas d’antécédent car x2− 5 = −6 n’a pas de solution. (car x2_{= −1 n’en a pas.)}

D éfinition 3.2 Soit f une fonction num érique. On appelle ensemble de d éfinition de f ,

et on note g ´en ´eralementDfl’ensemble des nombres pour lesquels f (x) existe.

Exemple :

On consid`ere la fonction f d´efinie par f (x) = 3x + 2

x − 1. Le nombre f (x) existe pour tout x 6= 1. En effet si x = 1, pour calculer f (x), il faudrait diviser par 0 ce qui est impossible. DoncDf = R \ {1}.

B. Repr ´esentation graphique

D ´efinition 3.3 Soit f une fonction num ´erique. Pour tout x ∈Df, on pose y = f (x).

`

A chaque couple (x; y) on peut donc associer un point dans un rep `ere.

L’ensemble de ces points est appel é courbe repr ésentative de la fonction f . On la note g én éralementCf.

C. R ésolutions graphiques d’ équations et d’in équations

Soit f et g deux fonctions num´eriques d´efinies sur un intervalle [a; b].

– R´esoudre graphiquement l’´equation f (x) = g(x) c’est trouver les abscisses des points d’intersections deCf

etCg.

– R´esoudre graphiquement l’in´equation f (x) ≥ g(x), c’est trouver les abscisses des points M (x; f (x)) et N (x; g(x)) tels que M est au dessus de N .

Exemple :

Sur la figure ci-dessus, on a tracé les représentations graphiques de deux fonctions f et g définies sur [a; b]. L’équation f (x) = g(x) admet trois solutions :S = {x0; x1; x2}.

La solution de l’in´equation f (x) ≥ g(x) est S = [x0; x1] ∪ [x2; b].

Par exemple, pour x ∈ [x0; x1], on a bien M (x; f (x)) qui est au dessus de N (x; g(x)). Par contre pour

x0_{∈ [x}

1; x2], on a M (x0; f (x0)) qui est en dessous de N (x0; g(x0)).

D. Variations et extremums

D ´efinition 3.4 On dit qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si pour tout a et b de

Itels que a < b, on a f (a) < f (b).

On dit qu’une fonction f est strictement d ´ecroissante sur un intervalle I si pour tout a et b de I tels que a < b, on a f (a) > f (b).

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Remarque :

Graphiquement, une fonction est croissante si sa courbemontelorsqu’on se déplace de la gauche vers la droite ; Et une fonction est décroissante si sa courbe descendlorsqu’on se déplace de la gauche vers la droite.

Fonction strictement croissante :

Pour tous les r´eels a et b de I tels que a < b, on a f (a) < f (b).

La courbeCf montelorsqu’on se d´eplace vers la droite.

Fonction strictement d´ecroissante :

Pour tous les r´eels a et b de I tels que a < b, on a f (a) > f (b).

La courbeCfdescendlorsqu’on se d´eplace vers la droite.

M´ethodes d’´etude des variations vues en seconde :

– Par lecture graphique, lorsque la fonction est d´efinie par un graphique

– Par le calcul, lorsque l’on dispose de l’expression de f (x). Pour deux valeurs x ≤ x0 deDf, grˆace aux

théorèmes sur l’ordre ou en étudiant le signe de f (x0) − f (x), on compare f (x) et f (x0) pour appliquer la caractérisation ci-dessus.

D ´efinition 3.5 Soient f une fonction d ´efinie sur un intervalle I ⊂ R, et a ∈ I.

On dit que f (a) est le minimum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≤ f (x). On dit que f (a) est le maximum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≥ f (x).

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2. Fonctions usuelles vues en seconde

A. Fonctions affines

Une fonction d´efinie sur R est dite affine s’il existe deux r´eels m et p tels que pour tout x ∈ R, on a : f (x) = mx + p.

– Si m > 0, la fonction est croissante sur R – Si m < 0, la fonction est d´ecroissante sur R – Si m = 0, la fonction est constante sur R

La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est la droite d’équation y = mx + p.C’est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, passant par le point de coordonnées (0; p) et de coefficient directeur m.

B. Fonction carr ´e

La fonction carr´e est d´efinie sur R par x 7−→ x2_.

Ses variations sont les suivantes : – elle est d´ecroissante sur ] − ∞; 0[ – elle est croissante sur ]0; +∞[ On obtient le tableau de variations :

x

f (x)

−∞ 0 +∞

0 0

Sa repr´esentation graphique est une parabole de sommet l’origine du rep`ere.

´

Eléments de symétrie : Pour tout réel s, on a : (−x)2= x2, donc f (−x) = f (x). On dit que la fonction f est paire, et sa représentation graphique est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

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C. Fonction inverse

La fonction inverse est d´efinie sur R∗ par f (x) =_x1.

– elle est d´ecroissante sur R∗₋

– elle est décroissante sur R∗₊également Attention, elle n’est pas décroissante sur R∗. On obtient le tableau de variations :

x

f (x)

−∞ 0 +∞

Sa repr´esentation graphique est une hyperbole. ´

Eléments de symétrie : Pour tout réel x 6= 0 on a : ( 1 −x) =

−1

x, donc f (−x) = −f (x). On dit que la fonction f est

im-paire, et sa représentation graphique est alors symétrique par rapport à l’origine.

3. Fonction racine carr ´ee

A. ´

Etude de la fonction racine carr ´ee

D éfinition 3.6 La fonction racine carr ée est la fonction d éfinie sur [0; +∞[ qui à tout r éel positif x associe

sa racine carr ´ee.

f : x 7→√x

Propri ét é 3.1 La fonction racine carr ée est croissante sur [0; +∞[.

D ´emonstration Notons f : x 7−→√x. Soient a, b ∈ /R tels que 0 ≤ a < b. Montrons que f (a) < f (b). On va ´etudier le signe de f (b) − f (a) :

f (b) − f (a) = √b −√apour ´etudier le signe, on essaie de factoriser = (

√

b −√a)(√b +√a)

(√b +√a) cette expression existe car √ b +√a > 0 = ( √ b)2− (√a)2 √ b +√a = √b − a b +√a

Or a < b, donc b − a > 0. De plus,√b +√a > 0comme somme de termes strictement positifs. Donc f (b) − f (a) > 0.

Finalement, pour tous a, b ∈ R tels que 0 ≤ a < b, on a f (a) < f (b) donc la fonction racine carr ´ee est croissante sur R+.

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Repr´esentation graphique :

B. Positions relatives des courbes repr ´esentatives de x 7→ x

2

_{, x 7→ x, x 7→}

√

_x

Propri ´et ´e 3.2 Soient :

C1la courbe repr ´esentative de la fonction carr ´e x 7→ x2,

C2la courbe repr ´esentative de la fonction identit ´e x 7→ x,

etC3la courbe repr ´esentative de la fonction racine carr ´ee x 7→

√ x. Alors :

– Sur ]0; 1[, la courbeC1 est en-dessous de C2, qui est en-dessous de C3 (i.e. pour 0 < x < 1, on a

x2_{< x <}√_x)

– Sur ]1; +∞[, la courbeC1est au dessus de C2, qui est au dessus deC3 (i.e. pour x > 1, on a

√ x < x < x2)

– Ces trois courbes ont les points O(0; 0) et A(1; 1) en commun.

D émonstration Soit x ∈]0; 1[. On a 0 < x < 1. En multipliant cette in égalit é par x > 0, il vient : 0 < x2_{< x.}

Donc sur cet intervalle,C1est en-dessous deC2.

De plus, la fonction racine carr ´ee est croissante sur R+donc 0 < x2< x ⇒

√

0 <√x2_<√_{x ⇒ x <}√_x,

doncC2est en-dessous deC3.

De m ˆeme, soit x > 1. On a 1 < x, et en multipliant chaque membre par x > 0, on obtient x < x2, doncC1est

au dessus deC2.

En utilisant la croissance de la fonction racine carr ´ee, il vient que√x < x, doncC2est au dessus deC3.

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Propri ét é 3.3 Dans un rep ère orthonorm é, les courbes repr ésentatives de la fonction racine carr ée et

de la fonction carr ée sont sym étriques par rapport à la droite d’ équation y = x.

D ´emonstration Soient x et y deux r ´eels

po-sitifs,C3la courbe d’ ´equation y =

√

x,C2 la

courbe d’ ´equation y = x2_{. Il vient :}

M (x; y) ∈C3

⇔ y =√x ⇔ y2_{= x}

⇔ M0(y; x) ∈C1.

4. Valeur absolue

A. Notion de valeur absolue

D éfinition 3.7 Soient x un nombre r éel, et M le point d’abscisse x de la droite r éelle d’origine O.

La valeur absolue de x est la distance OM . On note : OM = |x|.

Exemples :

En utilisant la d´efinition 3.7, d´eterminons : | − 5, 4| ; |7, 2| ; | − 1| ; |0|.

On place sur un axe gradu´e d’origine O les points A(−5, 4) ; B(7, 2) ; C(−1). On a alors :

| − 5, 4| = OA = 5, 4; |7, 2| = OB = 7, 2; | − 1| = OC = 1; |0| = OO = 0; Remarque :

Pour tout r´eel x, on a | − x| = |x|.

Propri ét é 3.4 Soit x un nombre r éel.

– Si x ≥ 0, alors |x| = x – Si x ≤ 0, alors |x| = −x

D ´emonstration :

– Si x ≥ 0, alors OM = xM − xO= x − 0 = x

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B. Fonction valeur absolue

D éfinition 3.8 La fonction valeur absolue est la fonction qui à un r éel x associe sa valeur absolue :

f : x 7→ |x|

En utilisant la propriété 3.4, on obtient les variations et la représentation graphique de cette fonction. Tableau de variations : x f (x) −∞ 0 +∞ 0 0 représentation graphique :

Il s’agit de la r´eunion de deux demi-droites : la fonction valeur absolue est affine par morceaux.

Pour tout réel x on a f (−x) = | − x| = |x| = f (x), donc f est paire, et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Propri ´et ´e 3.5 Soient x, y ∈ R.

(i) |x| ≥ 0 (ii) | − x| = |x|

(iii) |x| = |y| ⇔ (x = y ou x = −y) (iv) |x.y| = |x|.|y|, et pour y 6= 0, |x

y| = |x| |y|

(v)√x2_{= |x|}

D émonstration ces propri ét és se d émontrent à partir de la d éfinition 3.7, en raisonnant au cas par cas

selon les signes de x et de y.

5. Op ´erations sur les fonctions

A. ´

Egalit ´e

D ´efinition 3.9 Deux fonctions f et g sont dites ´egales ssi :

– elles ont le m ˆeme ensemble de d ´efinition – pour tout x de cet ensemble, on a f (x) = g(x)

Dans ce cas, leurs courbes repr ´esentatives sont confondues.

Les fonctions que l’on considère ont souvent des ensembles de définition différents ; dans ce cas, on travaille sur l’intersectionD = Df∩Dg des deux ensembles de définition, c’est-à-dire sur la partieD de R où les fonctions

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B. Op ´erations simples

D éfinition 3.10 Soient f une fonction num érique d éfinie sur un intervalle I et k un r éel quelconque.

La fonction f + k est la fonction qui `a x ∈ I associe f (x) + k. Exemple :

Dans cet exemple, f (x) = x2_{et k = −3 :}

la fonction x2 _{− 3 a le mˆ}_{eme sens de variation que la fonction}

carr´e,

et la courbe repr´esentative de la fonction x2 _{− 3 est obtenue `}_a

partir

de celle de la fonction carré par une translation de vecteur −3~j (décalage de 3 unités vers le bas).

Propri ét é 3.6 Soient f une fonction num érique d éfinie sur un intervalle I et k un r éel quelconque.

La fonction f + k a le m ˆeme sens de variation que la fonction f sur I.

D ´emonstration Supposons par exemple que f est croissante sur un intervalle J ⊂ I. Alors pour tous

a, b ∈ Jtels que a < b, on a f (a) < f (b), donc f (a) + k < f (b) + k, et la fonction f + k est elle aussi croissante sur J .

On raisonne de m ême sur les intervalles o ù f est d écroissante pour montrer que f + k l’est aussi.

La courbe repr ´esentative de la fonction f + k se d ´eduit de celle de f par translation de vecteur k~j.

D ´emonstration SoitCf la courbe repr ´esentative de f . Soient x ∈ I et M (x; y) le point deCf d’abscisse x.

f + kest la fonction d ´efinie par : x 7−→ (f + k)(x) = f (x) + k.

Soit M0_{le point de coordonn ´ees M}0_{(x; f (x) + k). M}0_{est le point de la courbe repr ´esentative de f + k qui a}

pour abscisse x. On a : M (x; y) ∈Cf ⇔ y = f (x) ⇔ y + k = f (x) + k ⇔ (f + k)(x) = y + k ⇔ (f + k)(x) − y = k ⇔ −−−→M M0= k~j

Donc la courbe repr ´esentative de la fonction f + k est bien la translat ´ee deCf par le vecteur k~j.

Remarque :

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D éfinition 3.11 Soient f une fonction num érique d éfinie sur un intervalle I et k un r éel quelconque.

La fonction kf est la fonction qui `a x ∈ I associe k × f (x). Exemple :

Dans cet exemple, sur l’ensemble de d´efinition de u, la fonction g est d´efinie par g(x) = 0, 5 × u(x), et la fonction f par g(x) = −1, 5 × u(x).

Les fonctions u et g ont même sens de variation, mais u et f ont des sens de variation contraires. De plus, la multiplication par un réel de valeur absolue inférieure à 1 “aplatit” la courbe, alors que la multiplication par un réel de valeur absolue supérieure à 1 augmente les amplitudes de ses variations.

Propri ét é 3.8 Soient f une fonction num érique d éfinie sur un intervalle I et k un r éel quelconque. Alors :

– si k > 0, les fonctions f et kf ont le m ême sens de variation sur I – si k < 0, les fonctions f et kf ont des sens de variation contraires sur I (si k = 0, kf est constante égale à 0 sur I).

D émonstration Soient f une fonction num érique d éfinie sur un intervalle I et k un r éel quelconque.

Consid ´erons un intervalle J ⊂ I sur lequel f soit croissante. Soient a, b ∈ J tels que a < b. f est croissante sur J , donc f (a) < f (b).

– si k > 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est croissante sur J – si k < 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est d ´ecroissante sur J

On étudierait de m ême le sens de variation de kf sur les sous-intervalles de I sur lesquels f est d écroissante.

La courbe repr ésentative de kf se d éduit de celle de f en multipliant par k l’ordonn ée de chaque point deCf.

D ´emonstration M0_{(x; y}0_{) ∈}_C

kf ⇔ (y0= kf (x)), or le point M (x; f (x)) est par construction un point deCf.

Remarque :

Plus généralement, on peut définir le produit de deux fonctions f et g sur un intervalle où elles sont toutes les deux définies par :(f × g) : x 7−→ f (x) × g(x).

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C. Composition avec la fonction inverse

D ´efinition 3.12 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d ´efinie sur I et qui ne s’annule pas sur I.

La fonction d ´efinie sur I par f : x ∈ I 7→_u(x)1 est appel ´ee fonction inverse de u. On note f = 1_u. exemple :

Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction inverse de u est d´efinie sur tout intervalle I ⊂ R − {3}, et s’´ecrit f = 1_u : x ∈ I 7→ _3−x1 .

Ainsi, si la fonction u s’annule en certains points, il suffit de restreindre l’´etude `a un intervalle sur lequel elle ne s’annule pas.

Propri ét é 3.10 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d éfinie sur I,ne s’annulant pas sur I et de signe constant sur I.

Alors la fonction 1

u a un sens de variation contraire `a celui de u sur I.

D ´emonstration Soient I un intervalle de R, et u d ´efinie sur I,ne s’annulant pas sur I et de signe constant

sur I. Supposons par exemple que u est croissante sur un intervalle J ⊂ I.

Pour tous a, b ∈ J tels que a 6 b, comme la fonction u est croissante on a : u(a) 6 u(b) ; comme la fonction inverse est d ´ecroissante, on a : _u(a)1 > u(b)1 (qui sont bien d ´efinis car u ne s’annule pas), et donc la fonction 1 u

est d ´ecroissante sur J , contrairement `a la fonction u.

On traite de m ême le cas des intervalles o ù u est d écroissante. exemple :

On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction u d´efinie sur [−3; 5].

Après vous être assuré(e) que u ne s’annule pas et est de signe constant sur l’intervalle [−3; 5], complétez le tableau de variations de la fonction 1

u. x u 1 u −3 −1 0 5 4 4 2 2 5 5 1 1 3 3

D. Composition avec la fonction racine carr ´ee

D ´efinition 3.13 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d ´efinie sur I et positive sur I (i.e. pour

tout x ∈ I, u(x) > 0.

La fonction d éfinie sur I par f : x ∈ I 7→pu(x) est appel ée fonction racine carr ée de u. On note f =√u. exemple :

Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction racine carrée de u est définie sur tout intervalle I ⊂] − ∞; +3], car pour x ∈] − ∞; +3], on a 3 − x > 0. Elle s’écrit f =√u : x ∈ I 7→√3 − x.

Ainsi, si la fonction u est négative en certains points, il suffit de restreindre l’étude à un intervalle sur lequel elle ne s’annule pas.

Propri ét é 3.11 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d éfinie sur I,positive sur I.

Alors la fonction√ua m ˆeme sens de variation que u sur I.