• Aucun résultat trouvé

Chapitre 03 Fonctions_numeriques

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Chapitre 03 Fonctions_numeriques"

Copied!
11
0
0

Texte intégral

(1)

3

Fonctions num ´eriques

Transmath 2011 p.50. Objectifs :

– Notion de fonction ; d´eterminer un ensemble de d´efinition, une image, un ant´ec´edent – Tracer et exploiter la repr´esentation graphique d’une fonction

– ´Etudier le sens de variation grˆace au th´eor`emes sur l’ordre, `a l’´etude de f (x0) − f (x) ; tableau de variations et extremums

– Fonctions affine, carr´ee et inverse (vues en seconde) – Fonctions racine carr´ee et valeur absolue

– Justifier les positions relatives des courbes repr´esentatives de x 7→ x, x 7→ x2, et x 7→x

– Connaˆıtre les sens de variation des fonctions associ´ees u + k, λu,√u et u1 o`u k et λ sont des r´eels, et u une fonction connue

– Exploiter les propri´et´es sur le sens de variation des fonctions associ´ees pour d´eterminer celui de fonctions simples

Aper¸cu historique :

Le terme “fonction” est dˆu `a Leibniz (1692, de functio :ex´ecution), un math´ematicien allemand qui a contribu´e `a jeter les bases de l’analyse moderne. L’id´ee de fonction a d’abord ´et´e associ´ee `a une courbe du plan avant d’ˆetre consid´er´ee comme une combinaison d’op´eration sur une variable, ce qui peut ˆetre rapproch´e d’un algorithme. Quelques ann´ees plus tard, Jean Bernoulli emploie la notation f x pour d´esigner une fonction de la variable x : les fonctions telles que nous allons les ´etudier ici ´etaient n´ees.

1. Notions g ´en ´erales vues en seconde sur les fonctions num ´eriques

A. D ´efinitions et vocabulaire

D ´efinition 3.1 Une fonction num ´erique f permet d’associer `a chaque nombre x d’un ensemble D un

autre nombre que l’on note f (x). On note :

f : x 7−→ f (x) Le nombre f (x) est appel ´e image de x par la fonction f . L’image d’un nombre par une fonction num ´erique est unique. xest appel ´e ant ´ec ´edent de f (x) par f .

Un nombre peut avoir plusieurs ant ´ec ´edents ; il peut aussi ne pas en avoir. Exemple :

On d´efinit la fonction f sur R par f (x) = x2− 5. On a :

(2)

Dans cet exemple 20 a deux ant´ec´edents car l’´equation x2− 5 = 20 a deux solutions : x = 5 et x = −5. Par contre -6 n’a pas d’ant´ec´edent car x2− 5 = −6 n’a pas de solution. (car x2= −1 n’en a pas.)

D ´efinition 3.2 Soit f une fonction num ´erique. On appelle ensemble de d ´efinition de f ,

et on note g ´en ´eralementDfl’ensemble des nombres pour lesquels f (x) existe.

Exemple :

On consid`ere la fonction f d´efinie par f (x) = 3x + 2

x − 1. Le nombre f (x) existe pour tout x 6= 1. En effet si x = 1, pour calculer f (x), il faudrait diviser par 0 ce qui est impossible. DoncDf = R \ {1}.

B. Repr ´esentation graphique

D ´efinition 3.3 Soit f une fonction num ´erique. Pour tout x ∈Df, on pose y = f (x).

`

A chaque couple (x; y) on peut donc associer un point dans un rep `ere.

L’ensemble de ces points est appel ´e courbe repr ´esentative de la fonction f . On la note g ´en ´eralementCf.

C. R ´esolutions graphiques d’ ´equations et d’in ´equations

Soit f et g deux fonctions num´eriques d´efinies sur un intervalle [a; b].

– R´esoudre graphiquement l’´equation f (x) = g(x) c’est trouver les abscisses des points d’intersections deCf

etCg.

– R´esoudre graphiquement l’in´equation f (x) ≥ g(x), c’est trouver les abscisses des points M (x; f (x)) et N (x; g(x)) tels que M est au dessus de N .

Exemple :

Sur la figure ci-dessus, on a trac´e les repr´esentations graphiques de deux fonctions f et g d´efinies sur [a; b]. L’´equation f (x) = g(x) admet trois solutions :S = {x0; x1; x2}.

La solution de l’in´equation f (x) ≥ g(x) est S = [x0; x1] ∪ [x2; b].

Par exemple, pour x ∈ [x0; x1], on a bien M (x; f (x)) qui est au dessus de N (x; g(x)). Par contre pour

x0∈ [x

1; x2], on a M (x0; f (x0)) qui est en dessous de N (x0; g(x0)).

D. Variations et extremums

D ´efinition 3.4 On dit qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si pour tout a et b de

Itels que a < b, on a f (a) < f (b).

On dit qu’une fonction f est strictement d ´ecroissante sur un intervalle I si pour tout a et b de I tels que a < b, on a f (a) > f (b).

(3)

Remarque :

Graphiquement, une fonction est croissante si sa courbemontelorsqu’on se d´eplace de la gauche vers la droite ; Et une fonction est d´ecroissante si sa courbe descendlorsqu’on se d´eplace de la gauche vers la droite.

Fonction strictement croissante :

Pour tous les r´eels a et b de I tels que a < b, on a f (a) < f (b).

La courbeCf montelorsqu’on se d´eplace vers la droite.

Fonction strictement d´ecroissante :

Pour tous les r´eels a et b de I tels que a < b, on a f (a) > f (b).

La courbeCfdescendlorsqu’on se d´eplace vers la droite.

M´ethodes d’´etude des variations vues en seconde :

– Par lecture graphique, lorsque la fonction est d´efinie par un graphique

– Par le calcul, lorsque l’on dispose de l’expression de f (x). Pour deux valeurs x ≤ x0 deDf, grˆace aux

th´eor`emes sur l’ordre ou en ´etudiant le signe de f (x0) − f (x), on compare f (x) et f (x0) pour appliquer la caract´erisation ci-dessus.

D ´efinition 3.5 Soient f une fonction d ´efinie sur un intervalle I ⊂ R, et a ∈ I.

On dit que f (a) est le minimum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≤ f (x). On dit que f (a) est le maximum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≥ f (x).

(4)

2. Fonctions usuelles vues en seconde

A. Fonctions affines

Une fonction d´efinie sur R est dite affine s’il existe deux r´eels m et p tels que pour tout x ∈ R, on a : f (x) = mx + p.

– Si m > 0, la fonction est croissante sur R – Si m < 0, la fonction est d´ecroissante sur R – Si m = 0, la fonction est constante sur R

La repr´esentation graphique d’une fonction affine dans un rep`ere est la droite d’´equation y = mx + p.C’est une droite non parall`ele `a l’axe des ordonn´ees, passant par le point de coordonn´ees (0; p) et de coefficient directeur m.

B. Fonction carr ´e

La fonction carr´e est d´efinie sur R par x 7−→ x2.

Ses variations sont les suivantes : – elle est d´ecroissante sur ] − ∞; 0[ – elle est croissante sur ]0; +∞[ On obtient le tableau de variations :

x

f (x)

−∞ 0 +∞

0 0

Sa repr´esentation graphique est une parabole de sommet l’origine du rep`ere.

´

El´ements de sym´etrie : Pour tout r´eel s, on a : (−x)2= x2, donc f (−x) = f (x). On dit que la fonction f est paire, et sa repr´esentation graphique est alors sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees.

(5)

C. Fonction inverse

La fonction inverse est d´efinie sur R∗ par f (x) =x1.

– elle est d´ecroissante sur R∗

– elle est d´ecroissante sur R∗+´egalement Attention, elle n’est pas d´ecroissante sur R∗. On obtient le tableau de variations :

x

f (x)

−∞ 0 +∞

Sa repr´esentation graphique est une hyperbole. ´

El´ements de sym´etrie : Pour tout r´eel x 6= 0 on a : ( 1 −x) =

−1

x, donc f (−x) = −f (x). On dit que la fonction f est

im-paire, et sa repr´esentation graphique est alors sym´etrique par rapport `a l’origine.

3. Fonction racine carr ´ee

A. ´

Etude de la fonction racine carr ´ee

D ´efinition 3.6 La fonction racine carr ´ee est la fonction d ´efinie sur [0; +∞[ qui `a tout r ´eel positif x associe

sa racine carr ´ee.

f : x 7→√x

Propri ´et ´e 3.1 La fonction racine carr ´ee est croissante sur [0; +∞[.

D ´emonstration Notons f : x 7−→√x. Soient a, b ∈ /R tels que 0 ≤ a < b. Montrons que f (a) < f (b). On va ´etudier le signe de f (b) − f (a) :

f (b) − f (a) = √b −√apour ´etudier le signe, on essaie de factoriser = (

b −√a)(√b +√a)

(√b +√a) cette expression existe car √ b +√a > 0 = ( √ b)2− (√a)2 √ b +√a = √b − a b +√a

Or a < b, donc b − a > 0. De plus,√b +√a > 0comme somme de termes strictement positifs. Donc f (b) − f (a) > 0.

Finalement, pour tous a, b ∈ R tels que 0 ≤ a < b, on a f (a) < f (b) donc la fonction racine carr ´ee est croissante sur R+.

(6)

Repr´esentation graphique :

B. Positions relatives des courbes repr ´esentatives de x 7→ x

2

, x 7→ x, x 7→

x

Propri ´et ´e 3.2 Soient :

C1la courbe repr ´esentative de la fonction carr ´e x 7→ x2,

C2la courbe repr ´esentative de la fonction identit ´e x 7→ x,

etC3la courbe repr ´esentative de la fonction racine carr ´ee x 7→

√ x. Alors :

– Sur ]0; 1[, la courbeC1 est en-dessous de C2, qui est en-dessous de C3 (i.e. pour 0 < x < 1, on a

x2< x <x)

– Sur ]1; +∞[, la courbeC1est au dessus de C2, qui est au dessus deC3 (i.e. pour x > 1, on a

√ x < x < x2)

– Ces trois courbes ont les points O(0; 0) et A(1; 1) en commun.

D ´emonstration Soit x ∈]0; 1[. On a 0 < x < 1. En multipliant cette in ´egalit ´e par x > 0, il vient : 0 < x2< x.

Donc sur cet intervalle,C1est en-dessous deC2.

De plus, la fonction racine carr ´ee est croissante sur R+donc 0 < x2< x ⇒

0 <√x2<x ⇒ x <x,

doncC2est en-dessous deC3.

De m ˆeme, soit x > 1. On a 1 < x, et en multipliant chaque membre par x > 0, on obtient x < x2, doncC1est

au dessus deC2.

En utilisant la croissance de la fonction racine carr ´ee, il vient que√x < x, doncC2est au dessus deC3.

(7)

Propri ´et ´e 3.3 Dans un rep `ere orthonorm ´e, les courbes repr ´esentatives de la fonction racine carr ´ee et

de la fonction carr ´ee sont sym ´etriques par rapport `a la droite d’ ´equation y = x.

D ´emonstration Soient x et y deux r ´eels

po-sitifs,C3la courbe d’ ´equation y =

x,C2 la

courbe d’ ´equation y = x2. Il vient :

M (x; y) ∈C3

⇔ y =√x ⇔ y2= x

⇔ M0(y; x) ∈C1.

4. Valeur absolue

A. Notion de valeur absolue

D ´efinition 3.7 Soient x un nombre r ´eel, et M le point d’abscisse x de la droite r ´eelle d’origine O.

La valeur absolue de x est la distance OM . On note : OM = |x|.

Exemples :

En utilisant la d´efinition 3.7, d´eterminons : | − 5, 4| ; |7, 2| ; | − 1| ; |0|.

On place sur un axe gradu´e d’origine O les points A(−5, 4) ; B(7, 2) ; C(−1). On a alors :

| − 5, 4| = OA = 5, 4; |7, 2| = OB = 7, 2; | − 1| = OC = 1; |0| = OO = 0; Remarque :

Pour tout r´eel x, on a | − x| = |x|.

Propri ´et ´e 3.4 Soit x un nombre r ´eel.

– Si x ≥ 0, alors |x| = x – Si x ≤ 0, alors |x| = −x

D ´emonstration :

– Si x ≥ 0, alors OM = xM − xO= x − 0 = x

(8)

B. Fonction valeur absolue

D ´efinition 3.8 La fonction valeur absolue est la fonction qui `a un r ´eel x associe sa valeur absolue :

f : x 7→ |x|

En utilisant la propri´et´e 3.4, on obtient les variations et la repr´esentation graphique de cette fonction. Tableau de variations : x f (x) −∞ 0 +∞ 0 0 repr´esentation graphique :

Il s’agit de la r´eunion de deux demi-droites : la fonction valeur absolue est affine par morceaux.

Pour tout r´eel x on a f (−x) = | − x| = |x| = f (x), donc f est paire, et sa courbe repr´esentative est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees.

Propri ´et ´e 3.5 Soient x, y ∈ R.

(i) |x| ≥ 0 (ii) | − x| = |x|

(iii) |x| = |y| ⇔ (x = y ou x = −y) (iv) |x.y| = |x|.|y|, et pour y 6= 0, |x

y| = |x| |y|

(v)√x2= |x|

D ´emonstration ces propri ´et ´es se d ´emontrent `a partir de la d ´efinition 3.7, en raisonnant au cas par cas

selon les signes de x et de y.

5. Op ´erations sur les fonctions

A. ´

Egalit ´e

D ´efinition 3.9 Deux fonctions f et g sont dites ´egales ssi :

– elles ont le m ˆeme ensemble de d ´efinition – pour tout x de cet ensemble, on a f (x) = g(x)

Dans ce cas, leurs courbes repr ´esentatives sont confondues.

Les fonctions que l’on consid`ere ont souvent des ensembles de d´efinition diff´erents ; dans ce cas, on travaille sur l’intersectionD = Df∩Dg des deux ensembles de d´efinition, c’est-`a-dire sur la partieD de R o`u les fonctions

(9)

B. Op ´erations simples

D ´efinition 3.10 Soient f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalle I et k un r ´eel quelconque.

La fonction f + k est la fonction qui `a x ∈ I associe f (x) + k. Exemple :

Dans cet exemple, f (x) = x2et k = −3 :

la fonction x2 − 3 a le mˆeme sens de variation que la fonction

carr´e,

et la courbe repr´esentative de la fonction x2 − 3 est obtenue `a

partir

de celle de la fonction carr´e par une translation de vecteur −3~j (d´ecalage de 3 unit´es vers le bas).

Propri ´et ´e 3.6 Soient f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalle I et k un r ´eel quelconque.

La fonction f + k a le m ˆeme sens de variation que la fonction f sur I.

D ´emonstration Supposons par exemple que f est croissante sur un intervalle J ⊂ I. Alors pour tous

a, b ∈ Jtels que a < b, on a f (a) < f (b), donc f (a) + k < f (b) + k, et la fonction f + k est elle aussi croissante sur J .

On raisonne de m ˆeme sur les intervalles o `u f est d ´ecroissante pour montrer que f + k l’est aussi.

Propri ´et ´e 3.7 Soient f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalle I et k un r ´eel quelconque.

La courbe repr ´esentative de la fonction f + k se d ´eduit de celle de f par translation de vecteur k~j.

D ´emonstration SoitCf la courbe repr ´esentative de f . Soient x ∈ I et M (x; y) le point deCf d’abscisse x.

f + kest la fonction d ´efinie par : x 7−→ (f + k)(x) = f (x) + k.

Soit M0le point de coordonn ´ees M0(x; f (x) + k). M0est le point de la courbe repr ´esentative de f + k qui a

pour abscisse x. On a : M (x; y) ∈Cf ⇔ y = f (x) ⇔ y + k = f (x) + k ⇔ (f + k)(x) = y + k ⇔ (f + k)(x) − y = k ⇔ −−−→M M0= k~j

Donc la courbe repr ´esentative de la fonction f + k est bien la translat ´ee deCf par le vecteur k~j.

Remarque :

(10)

D ´efinition 3.11 Soient f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalle I et k un r ´eel quelconque.

La fonction kf est la fonction qui `a x ∈ I associe k × f (x). Exemple :

Dans cet exemple, sur l’ensemble de d´efinition de u, la fonction g est d´efinie par g(x) = 0, 5 × u(x), et la fonction f par g(x) = −1, 5 × u(x).

Les fonctions u et g ont mˆeme sens de variation, mais u et f ont des sens de variation contraires. De plus, la multiplication par un r´eel de valeur absolue inf´erieure `a 1 “aplatit” la courbe, alors que la multiplication par un r´eel de valeur absolue sup´erieure `a 1 augmente les amplitudes de ses variations.

Propri ´et ´e 3.8 Soient f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalle I et k un r ´eel quelconque. Alors :

– si k > 0, les fonctions f et kf ont le m ˆeme sens de variation sur I – si k < 0, les fonctions f et kf ont des sens de variation contraires sur I (si k = 0, kf est constante ´egale `a 0 sur I).

D ´emonstration Soient f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalle I et k un r ´eel quelconque.

Consid ´erons un intervalle J ⊂ I sur lequel f soit croissante. Soient a, b ∈ J tels que a < b. f est croissante sur J , donc f (a) < f (b).

– si k > 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est croissante sur J – si k < 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est d ´ecroissante sur J

On ´etudierait de m ˆeme le sens de variation de kf sur les sous-intervalles de I sur lesquels f est d ´ecroissante.

Propri ´et ´e 3.9 Soient f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalle I et k un r ´eel quelconque.

La courbe repr ´esentative de kf se d ´eduit de celle de f en multipliant par k l’ordonn ´ee de chaque point deCf.

D ´emonstration M0(x; y0) ∈C

kf ⇔ (y0= kf (x)), or le point M (x; f (x)) est par construction un point deCf.

Remarque :

Plus g´en´eralement, on peut d´efinir le produit de deux fonctions f et g sur un intervalle o`u elles sont toutes les deux d´efinies par :(f × g) : x 7−→ f (x) × g(x).

(11)

C. Composition avec la fonction inverse

D ´efinition 3.12 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d ´efinie sur I et qui ne s’annule pas sur I.

La fonction d ´efinie sur I par f : x ∈ I 7→u(x)1 est appel ´ee fonction inverse de u. On note f = 1u. exemple :

Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction inverse de u est d´efinie sur tout intervalle I ⊂ R − {3}, et s’´ecrit f = 1u : x ∈ I 7→ 3−x1 .

Ainsi, si la fonction u s’annule en certains points, il suffit de restreindre l’´etude `a un intervalle sur lequel elle ne s’annule pas.

Propri ´et ´e 3.10 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d ´efinie sur I,ne s’annulant pas sur I et de signe constant sur I.

Alors la fonction 1

u a un sens de variation contraire `a celui de u sur I.

D ´emonstration Soient I un intervalle de R, et u d ´efinie sur I,ne s’annulant pas sur I et de signe constant

sur I. Supposons par exemple que u est croissante sur un intervalle J ⊂ I.

Pour tous a, b ∈ J tels que a 6 b, comme la fonction u est croissante on a : u(a) 6 u(b) ; comme la fonction inverse est d ´ecroissante, on a : u(a)1 > u(b)1 (qui sont bien d ´efinis car u ne s’annule pas), et donc la fonction 1 u

est d ´ecroissante sur J , contrairement `a la fonction u.

On traite de m ˆeme le cas des intervalles o `u u est d ´ecroissante. exemple :

On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction u d´efinie sur [−3; 5].

Apr`es vous ˆetre assur´e(e) que u ne s’annule pas et est de signe constant sur l’intervalle [−3; 5], compl´etez le tableau de variations de la fonction 1

u. x u 1 u −3 −1 0 5 4 4 2 2 5 5 1 1 3 3

D. Composition avec la fonction racine carr ´ee

D ´efinition 3.13 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d ´efinie sur I et positive sur I (i.e. pour

tout x ∈ I, u(x) > 0.

La fonction d ´efinie sur I par f : x ∈ I 7→pu(x) est appel ´ee fonction racine carr ´ee de u. On note f =√u. exemple :

Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction racine carr´ee de u est d´efinie sur tout intervalle I ⊂] − ∞; +3], car pour x ∈] − ∞; +3], on a 3 − x > 0. Elle s’´ecrit f =√u : x ∈ I 7→√3 − x.

Ainsi, si la fonction u est n´egative en certains points, il suffit de restreindre l’´etude `a un intervalle sur lequel elle ne s’annule pas.

Propri ´et ´e 3.11 Soient I un intervalle de R, et u une fonction d ´efinie sur I,positive sur I.

Alors la fonction√ua m ˆeme sens de variation que u sur I.

Références

Documents relatifs

R´ esoudre apr` es avoir montrer que l’´ equation donn´ ee est homog` ene:. En utilisant la m´ ethode de variation de la constante int´

Tout polynôme non constant de C [X] de degré n admet n racines dans C , si chacune d’elles est comptée avec son ordre de multiplicité..

Id´ee de queue : comme une file d’attente, objets rang´es un apr`es l’autre, on peut enfiler `a la fin ou d´efiler au d´ebut. op´erations : « enfiler » ( enqueue ) et «

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´ esentation et de la r´ edaction correcte des d´ emonstrations..

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´ esentation et de la r´ edaction correcte des d´ emonstrations..

Le but de ce projet est d’´ etudier, par exemple dans le cas des courbes param´ etr´ ees, la construction de moyennes bas´ ee sur la minimisation de I lorsque l’on remplace

– On d´ eduit formellement de la proposition une structure de cat´ egorie de mod` eles sur la cat´ egorie sAlg k /A des k-alg` ebres simpliciales au-dessus d’une alg` ebre A, dont

Le syst` eme associ´ e (celui dont D est la matrice augment´ ee), et donc le syst` eme initial (qui lui est ´ equivalent) sont des syst` emes d’´ equations incompatibles.. Il suffit