Séries entières I

Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4

TD 6. Rayons de convergence.

Exercice 1 Rayons de convergence

1. Calculer le rayon de convergence de chacune des s´eries enti`eres suivantes : a)X n>0 (2x)n, b)X n>1 n2xn, c)X n>0 n2xn 3n_{+ n}, d) X n>0 cos(n)xn, e)X n>0 xn n!, f ) X n>0 n!xn

2. Calculer le rayon de convergence des s´eries suivantes a)X n>0 nn n!x n_{, b)}X n>1 2nnn (2n)!x n_{, c)}X n>0 √ n n2_{+ 1}x n _d)X n>0  1 + (−1) n n  xn e)X n>0 ne−nx3n, f )X n>0 (−1)nn n n!x 2n+1 , g)X n>1 1 nx n! . ******************** Exercice 2 : La s´erie g´eom´etrique et ses d´eriv´ees

1. Calculer le rayon de convergence et la somme de chacune des s´eries suivantes : X n>0 xn, X n>1 nxn, X n>2 n(n − 1)xn

2. En d´eduire le rayon de convergence et la somme de chacune des s´eries suivantes : X n>1 3nxn 2n+1, X n>0 (n2+ n + 1)xn, X n>0 n 22nx 2n+1 ********************

Exercice 3 : Le d´eveloppement d’exponentielle et ses cons´equences On consid`ere la s´erie enti`ere

S(x) =X

n>0

xn

n!. 1. Calculer le rayon de convergence de la s´eries S.

2. En d´eduire que la fonctions S est d´_{erivable sur R, et montrer que S}0 = S. 3. En d´eduire une expression de S `a l’aide des fonctions usuelles.

4. En d´eduire le d´eveloppement en s´eries enti`eres des fonctions cosh et sinh. 1

********************

Exercice 4 Donner le rayon de convergence de chacune des s´eries suivantes, puis en s’aidant des DSE des fonctions classiques, donner les fonctions sommes correspondantes :

a) X n>1 xn n(n + 1), b) X n>1 (−1)nx 4n−1 4n , c) X n>1 nxn (n − 1)!, d) X n>0 n2_{+ n + 1} n! x n . ********************

Exercice 5 Exprimer chacune des fonctions suivantes `a l’aide d’une s´erie enti`ere, en pr´ecisant `

a chaque fois l’intervalle de convergence. f (x) = 1

3 − 2x, g(x) = log(2x + 3), h(x) = 1

1 + x2, j(x) = arctan(x).