Premiers pas d'une validation de l'extension du formalisme de Richards-Wolf et poursuite de sa généralisation

Premiers pas d'une validation de l'extension du

formalisme de Richards-Wolf et poursuite de sa

généralisation

Mémoire

Jeck Borne

Maîtrise en physique - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Résumé

Ce projet de maîtrise s’insère dans l’effort de modélisation entourant le phénomène de focali-sation extrême amorcé dans les groupes de recherche des professeurs Thibault et Piché. Le mémoire présente d’abord une comparaison entre le formalisme de Richards-Wolf étendu (ERWT) et les solutions numériques de propagation d’onde électromagnétique obtenues à l’aide d’un algorithme FDTD. Les résultats montrent que l’utilisation du formalisme étendu permet de traiter le processus de focalisation non paraxiale pour une gamme étendue de surfaces réfléchissantes avec peu de variations entre les deux techniques. Les limitations in-trinsèques à l’algorithme utilisé et la divergence de la fonction d’illumination imparfaitement traitée pourraient expliquer les déviations observées.

Ensuite, cherchant à améliorer le traitement de cette illumination, le processus de focalisation inverse a été développé. En effet, il est possible de formuler une inversion du formalisme de Richards-Wolf (RWT) pour des systèmes à symétrie de révolution en définissant l’illumina-tion à polarisal’illumina-tion radiale en foncl’illumina-tion d’une distribul’illumina-tion recherchée au foyer selon un seul axe (radial ou sur l’axe optique). En utilisant un seul axe, le problème de surdéfinir le champ ne se pose pas et un critère est fourni afin de conclure de la validité physique du patron d’illu-mination calculé. Avec la méthode proposée, il est souvent possible d’obtenir des solutions analytiques qui sont essentielles à l’obtention d’une meilleure compréhension des différences entre les modèles paraxiaux et non paraxiaux. De plus, il est facile d’adapter cette dernière afin d’obtenir des solutions numériques pour des problèmes plus complexes. Ainsi, les figures d’illu-mination calculées peuvent directement être utilisées et sont particulièrement utiles lorsque la dimension optimale de la tâche focale pour une application donnée est connue. Un article a été soumis basé sur ces travaux.

Enfin, une généralisation culminant avec le traitement de surfaces asphériques avec aberra-tions est présentée en adaptant le formalisme étendu (ERWT). Cet ajout au formalisme permet d’envisager de modéliser des surfaces complexes et possiblement hors de portée des corrections seulement en phase usuellement utilisées dans la littérature. Cependant, ces ajouts au for-malisme complexifient de manière appréciable les intégrales de diffraction de Richards-Wolf.

Finalement, une démonstration de la procédure a été effectuée pour un miroir parabolique comportant un léger tilt.

Abstract

This project is part of the modeling effort around extreme focusing phenomenon taking place in the research groups of professor Thibault and Piché.

At first, this thesis shows the comparison between the modeling by the extended Richards-Wolf formalism (ERWT) and by FDTD simulations of the field propagation. Both methods used for computing the electromagnetic distribution resulting from the reflection on a mirror in a non paraxial setup show satisfactory agreement. In fact, the extended formalism is suited to accurately model a large spectrum of reflecting surfaces such as elliptic mirrors, for which the description is not possible with the classical formalism of Richards-Wolf. Some intrinsic limitations of the used FDTD algorithm and the divergence of the illumination could explained the observed variations.

Then, looking to solve the illumination problem, the inversion formalism has been developed. The integral of the Richards-Wolf formalism (RWT) of an axisymetric optical system can be inverted to define the radially polarized illumination pattern as a function of the electromag-netic distribution at the focus over a given axis (radial or the optical axis). Using only one axis at the focus, the field distribution is not overdefined and a criterion is given to check the physical validity of the obtained illumination pattern. The method gives numerical or, in some cases, analytic solutions that can be used to obtain the optimized focal pattern for a given application. The analytical solutions are relevant as they can intuitively show the differences between the paraxial and non paraxial regimes. An article has been submitted on this particular subject.

Finally, this thesis describes the generalization of the extended formalism to cover aspheric surfaces with aberrations. The procedure gives the possibility to accurately model complex reflecting surfaces that would otherwise be out of reach of the formalism. However, the com-plexity of the formalism increases compared to the initial diffraction integral. The proposed technique is demonstrated with a slightly tilted parabolic mirror.

Table des matières

Résumé ii

Abstract iv

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures viii

Remerciements x

Introduction 1

Objectif du mémoire . . . 1

Corps du mémoire . . . 2

1 Le formalisme de Richards-Wolf et son extension 4 1.1 Théorie de base et traitement usuel des aberrations . . . 4

1.1.1 Postulats initiaux. . . 4

Spectre d’onde angulaire . . . 4

Champ lointain . . . 5

1.1.2 Le formalisme. . . 6

Transfert de géométrie . . . 6

Forme canonique des intégrales . . . 7

Introduction usuelle des aberrations dans le formalisme RWT . . . . 8

Systèmes à symétrie de révolution . . . 8

1.2 Extension proposée . . . 9

Correction du formalisme pour une illumination non collimée . . . . 11

2 Validation numérique de l’extension 13 2.1 Simuler la propagation de champs électromagnétiques . . . 13

2.1.1 Techniques différentielles et intégrales . . . 14

Techniques différentielles. . . 14

Techniques intégrales. . . 15

2.1.2 Choix de l’algorithme . . . 16

2.2.1 Algorithme de Yee . . . 19

2.2.2 Conditions aux frontières . . . 20

2.2.3 Sources électromagnétiques . . . 22

2.3 Méthodologie, méthode d’analyse et modifications à la simulation . . . 22

2.3.1 Problématique entourant l’illumination. . . 23

2.3.2 Sensibilité aux paramètres utilisés . . . 25

2.3.3 Limitations de l’algorithme . . . 26

2.4 Résultats et conclusion . . . 26

3 Inversion du phénomène de focalisation 29 3.1 Retour sur le formalisme de Richards-Wolf . . . 29

3.2 Inversion dans la littérature . . . 30

3.2.1 Inversion par projection de fonctions propres . . . 30

3.2.2 Inversion par processus itératif . . . 31

3.2.3 Inversion de la modélisation . . . 32

3.3 Technique d’inversion proposée . . . 33

3.3.1 Technique d’inversion selon l’axe optique. . . 34

Test analytique : l’illumination presque gaussienne . . . 35

Test numérique : inversion d’un champ TM01 . . . 37

3.3.2 Technique proposée d’inversion selon l’axe radial . . . 38

Inversion radiale sur des sous-domaines . . . 41

Test analytique : distribution radiale sinc(2πr0_{) . . . . 42}

Test analytique : super-gaussiennes de tailles différentes . . . 43

3.3.3 Traitement de distributions magnétiques et autres polarisations . . . 45

3.3.4 Généralisation vers le formalisme étendu . . . 45

4 Étendre l’extension pour des surfaces réfléchissantes de forme libre 47 4.1 Modifications de l’extension du formalisme de Richards-Wolf pour traiter une dépendance azimutale . . . 47

4.1.1 Modifications . . . 48

4.1.2 Surfaces coniques généralisées . . . 50

Modélisation d’une excentricité sinusoïdale . . . 51

4.2 Traitement de surfaces asphériques et à forme libre . . . 53

4.2.1 Surfaces asphériques de révolution . . . 53

Validation du changement de variable : la surface sphérique et la parabole numérique . . . 55

4.2.2 Surfaces à forme libre . . . 56

Test numérique : parabole légèrement inclinée . . . 58

Conclusion 61 Sommaire . . . 61

Avenues futures . . . 62

Liste des tableaux

Liste des figures

1.1 Géométrie incidente et focalisée du formalisme de Richards–Wolf classique. . . 6

1.2 Géométrie permettant de généraliser le formalisme de Richards-Wolf. . . 9

2.1 Cellule de Yee typiquement utilisée dans les calculs FDTD . . . 19

2.2 Visualisation du domaine de la simulation. La grille contient le domaine phy-sique et la couche absorbante (PML) ayant une certaine épaisseur (d), le tout

étant bordé par un conducteur électrique parfait. . . 21

2.3 Figure d’intensité et différences normalisées entre la simulation FDTD et le

formalisme ERWT pour un miroir elliptique ( = 0.8). . . 24

2.4 Différence entre les amplitudes des illuminations des méthodes numériques . . . 24

2.5 En changeant seulement la longueur d’onde d’un facteur 2, pour un même temps de moyennage, le profil d’intensité est dramatiquement modifié lors de la

com-paraison des simulations FDTD et de la théorie ERWT. . . 25

2.6 Différentes coupes d’intensité autour du foyer pour des systèmes optiques à sy-métrie de révolution par simulations FDTD en comparaison avec la solution nu-mérique par quadrature gaussienne pour différents miroirs et la théorie ERWT. La distribution sur l’axe optique n’est pas exceptionnelle. La grosseur du miroir est modifiée afin d’obtenir une tache focale environ de la même dimension pour

chacun des miroirs. . . 27

3.1 Organigramme du processus itératif permettant d’obtenir la polarisation et la

phase permettant d’obtenir une distribution recherchée. . . 32

3.2 Inversion d’une distribution Ez(z, 0) = exp −z2/z02

à l’aide d’un miroir para-bolique sur l’axe optique. La fonction gaussienne utilisée pour l’approximation en (b) et (d) est définie suivant la relation l0(α) = √_π∆α1 exp



− (α − α₀/∆α)2

où α0 = π₂ et ∆α = 0.1. La composante transverse Er est, par définition, nulle. 36

3.3 Inversion de la distribution Ez(z, 0) du faisceau TM01 avec a = λ pour un

miroir parabolique sur l’axe optique. En (a), les lignes pointillées représentent les limites physiques du contenu du spectre de l’onde plane. En (c) et (d), on remarque que le champ est pratiquement celui attendu. Cependant, on observe

3.4 Inversion sur différents sous-domaines d’un champ Ez(0, r) = sinc(2πr0) sur

l’axe radial pour un miroir parabolique en utilisant k = 2π. Les lignes grises dans la figure (b) sont les limites du contenu spectral et le champ obtenu est essentiellement celui recherché. En utilisant les deux changements de variable, la composante transverse Erest nulle. On note en (c) que l’illumination diverge

pour α → 0. . . 43

3.5 Inversion sur différents sous-domaines d’un champ Ez(0, r) = exp −(r/π∆r)4

sur l’axe radial pour un miroir parabolique avec k = 2π. En (a), les lignes pointillées représentent les limites physiques du contenu spectral. En (c) et (d), on remarque que le champ est pratiquement celui attendu. Cependant, lorsque le critère n’est pas respecté, la distribution focale n’est pas complètement formée

(b). . . 44

4.1 Géométrie utilisée, l’angle azimutal β étant perpendiculaire à α.. . . 49

4.2 Intensité pour l’excentricité sinusoïdale modélisée avec θ0 = π₂ et γ = 105 au

plan focal (i.e., z0 _{= −1/2) à différents angles φ. L’échelle du graphique a été}

coupée afin mieux visualiser la variation de la tache focale. La figure d’intensité

sans dépendance (a) est environ 4 fois plus élevée que celle pour φ = 0 en (b). . 52

4.3 Visualisation de l’aiguille de lumière produite par l’excentricité sinusoïdale mo-délisée avec les mêmes paramètres que la figure 4.2. On note que pour la courbe comprenant la dépendance, la position r = 107λ a été utilisée puisque cette

dernière correspond au maximum d’intensité radiale. . . 52

4.4 Comparaison du formalisme selon r et α. Le changement de variable est concluant. 56

4.5 Intensité normalisée d’une illumination TM01 sur un miroir parabolique pour

un miroir avec et sans tilt. Les paramètres rmax= 10[-] et γ = 36000π ont été

utilisés dans l’intégration numérique. . . 58

4.6 Intensité normalisée d’une illumination TM01 sur un miroir parabolique incliné

obtenue selon la méthode usuellement utilisée (RWT), la méthode des petits angles (April et coll.) et l’utilisation de la définition d’une surface aberrée. rmax = 10 [-] et γ = 36000π ont été utilisés dans l’intégration numérique. Il

Remerciements

Quel parcours intéressant et enrichissant que les études graduées ! J’ai de la misère à croire que j’en suis déjà à écrire mon mémoire et je dois, dans cette courte section, tenter de remercier les personnes qui ont été des modèles, des sources de motivation et même de divertissement. Merci à Simon et Michel. Merci pour le support, la confiance et tous les échanges que nous avons eus autant par rapport au projet que sur divers sujets. Vous m’avez bien dirigé et pouvoir m’appuyer sur votre intuition et votre expérience a fait la différence.

Merci à Denis de m’avoir pris sous son aile et de m’avoir initié au domaine de la focalisation. Quelle belle problématique ! Merci pour toutes les discussions et pour la personne que tu es. Un beau modèle à suivre et j’espère que j’ai été à la hauteur dans ce projet. Je te lève mon chapeau.

J’aimerais aussi remercier mes amis et collègues, tant scientifiques que ceux qui m’écoutaient sans toutefois vraiment comprendre de quoi je parlais. Merci de votre patience, des projets et de la stimulation que vous m’avez fournis. La liste serait énormément longue !

Enfin, je remercie chaudement mes parents, mon frère et Émily sans qui, cette aventure n’aurait certainement pas abouti de cette merveilleuse manière. Merci d’être là.

Introduction

Il a été démontré que l’utilisation d’un système optique possédant une grande ouverture numé-rique permet de diminuer l’étendue de la tâche focale et même de battre la limite de résolution classique [1;2]. Justement, exploiter cette technique a mené à de nombreuses applications, no-tamment en super-résolution [3;4;5], en accélération d’électrons par faisceau laser [6;7;8] et en capture de particules [9;10].

Pour tirer les meilleures performances d’un système optique, une compréhension intuitive et complète des phénomènes physiques en jeu est essentielle. Très tôt, plusieurs formalismes ont été développés afin de traiter convenablement le caractère vectoriel de la lumière dans ce contexte non paraxial. Chaque formalisme apporte un regard différent en considérant une combinaison spectrale particulière ou par les approximations effectuées [11; 12; 13; 14]. Le formalisme de Richards-Wolf [15; 16] est souvent utilisé dans la littérature en raison de sa simplicité mathématique permettant, pour certains cas particuliers, d’obtenir des solutions analytiques. Cependant, ce formalisme décrit un système physique idéalisé et donc, valide seulement pour un nombre très restreint de systèmes optiques.

Pour répondre à cette limitation, Panneton et coll. ont développé une généralisation du forma-lisme en ajoutant un traitement par tracé de rayons afin de corriger le facteur d’apodisation et le terme de phase [17; 18]. L’extension proposée permet de traiter des systèmes focali-sants qui étaient hors de portée du formalisme traditionnel tout en conservant une description mathématique simple.

Objectif du mémoire

Aucune validation expérimentale ou numérique n’a été menée à la suite des travaux de Pan-neton et coll. Bien que les solutions du formalisme de Richards-Wolf traditionnel soient, par définition, conformes à celles des équations de Maxwell, une validation de l’extension du for-malisme apparairaît nécessaire en raison des nombreuses modifications apportées.

(ERWT), appliqué pour des réflexions de miroirs décrits par des coniques, sera comparé aux solutions des équations de Maxwell. Pour ce faire, les simulations numériques ont été utilisées puisqu’elles permettent d’étudier rapidement des géométries variées et avoir un contrôle plus direct sur les différents paramètres des simulations. Aussi, nous nous sommes intéressés à l’inversion du formalisme et au traitement permettant de modéliser des surfaces réfléchissantes plus générales.

De cette façon, ce mémoire vise à répondre aux questions

— Est-ce que le formalisme étendu de Richards-Wolf modélise bien la réflexion sur des miroirs décrits par des coniques ?

— Est-il possible d’obtenir une méthode simple et analytique permettant d’inversion direc-tement le formalisme de Richard-Wolf (RWT) ?

— Quelles modifications doivent être apportées au formalisme étendu de Richards-Wolf pour modéliser des surfaces générales avec des aberrations, comme celles rencontrées dans un contexte de conception optique ?

Corps du mémoire

L’organisation du document suit les étapes chronologiques du projet.

Le chapitre 1est un survol de la théorie de focalisation non paraxiale sur laquelle se basent les travaux effectués dans le contexte de ce mémoire. Le formalisme classique de Richards-Wolf ainsi que le traitement traditionnel d’aberration est sommairement présenté tel qu’il a déjà été effectué par le passé dans le groupe de recherche, notamment par Panneton et April dans leurs thèses respectives [18; 19]. Une présentation de la généralisation de ce formalisme classique proposée par Panneton et coll. suit afin de bien situer les travaux présentés dans ce mémoire. Le second chapitre porte sur les simulations numériques entourant la propagation d’ondes électromagnétiques. On y effectue une brève revue des différentes techniques numériques et la motivation derrière le choix final de l’algorithme FDTD est expliquée. Cette technique numérique est explicitée avec plus de détails et l’extension du formalisme est confrontée aux solutions des équations de Maxwell. Les problématiques entourant les simulations sont aussi décrites dans ce chapitre.

Le chapitre 3expose différentes stratégies permettant d’inverser le phénomène de focalisation classique. Suivant notre méthode, il est possible de définir l’illumination à polarisation radiale sur un miroir en fonction de la distribution longitudinale du champ électrique recherchée sur l’axe optique ou l’axe radial. La technique est intéressante puisqu’elle permet de trouver l’illumination lorsque la distribution optimale pour une application est connue de manière

analytique ou, dans des cas plus complexes, numérique. Un critère permettant d’assurer que la méthode est concluante et correspond à une situation physique est établi.

Dans le chapitre 4, nous présentons comment traiter l’ajout de dépendances azimutales au coeur du formalisme étendu de Richards-Wolf. Ainsi, le traitement mathématique de la surface et des tests numériques pour ce type de surfaces sont discutés. Cette étude culmine par une démonstration de la technique pour des surfaces asphériques comportant du tilt encodé selon le polynôme de Zernike Fringe [20] correspondant.

Enfin, un dernier chapitre conclut ce travail présentant un rappel des éléments présentés dans ce mémoire ainsi que certaines pistes futures intéressantes dans les contextes des groupes de recherche d’accueil.

Chapitre 1

Le formalisme de Richards-Wolf et son

extension

Comprendre les théories qui sont mises de l’avant dans le reste de ce mémoire est primordial. Ainsi, on introduit d’abord le formalisme de Richards-Wolf. Le traitement permettant de généraliser ce formalisme [17] est brièvement présenté. Pour plus de détails sur ces concepts, voir le travail déjà effectué dans le groupe de recherche [18;19].

1.1

Théorie de base et traitement usuel des aberrations

Ayant été développé près des années 1960, le formalisme de Richards-Wolf permet de modéli-ser la focalisation extrême d’un système aplanétique [15;16] (i.e., un système optique corrigé pour l’aberration sphérique et la coma). En effet, il permet de décrire la distribution élec-tromagnétique en champ lointain de la focalisation d’une onde plane par un système optique parfait en considérant la nature vectorielle et oscillatoire de la lumière. En s’appuyant sur les mêmes principes fondamentaux que la théorie de Debye, il est possible d’obtenir une intégrale de diffraction vectorielle pour une illumination non paraxiale de polarisation variable pouvant couvrir tout l’angle solide.

1.1.1 Postulats initiaux

Le formalisme de Richards-Wolf utilise certains artifices mathématiques afin d’obtenir une formulation simple avec laquelle travailler.

Spectre d’onde angulaire

D’abord, la propagation du champ électromagnétique est modélisée à l’aide de la méthode du spectre angulaire d’ondes planes afin de satisfaire les équations de Maxwell. Cette méthode

d’analyse spectrale effectue une décomposition de l’onde incidente en une multitude d’ondes planes. Celles-ci auront des amplitudes et des directions de propagation variables. On effectue alors la propagation de chacune pour déterminer les contributions de toutes les composantes du champ en un point dans l’espace près du foyer. En spécifiant des conditions limites de Kirchhoff pour le système optique, le problème est alors bien déterminé et il est possible de résoudre la propagation. En notation phaseur, la solution du spectre d’onde uniforme prend la forme connue ~ E(x, y, z) = Z Z ∞ −∞ ei(kxx+kyy)h ~_{U (k} x, ky)eikzz+ ~V (kx, ky)e−ikzz i dkxdky, (1.1)

où on observe le nombre d’onde (kx, kyet kz) dans les trois axes cartésiennes et les composantes

propageantes et contre-propageantes, ~U et ~V respectivement, dans l’espace des fréquences. La relation du nombre d’onde suivra la relation

k = 2π λ =

q k2

x+ ky2+ kz2, (1.2)

ce qui implique deux familles de solutions possibles. Si les composantes respectent l’inégalité k2_x+ k_y2 < k2, les solutions sont appelées ondes homogènes alors que dans le cas contraire, on est en présence d’ondes non homogènes en raison l’argument de l’exponentielle. En effet, le terme kz est alors complexe et implique que la fonction e±ikzz diverge lorsque kzz → ∞.

Comme cette situation est indésirable dans un contexte physique, les auteurs posent qu’il ne faut pas tenir compte de la deuxième famille de solutions.

Cette hypothèse revient à restreindre les fréquences accessibles lors du processus de focalisa-tion, et donc, des bornes d’intégration dans l’équation (1.1). En raison de cette approximation, les composantes non homogènes ne contribueront pas à l’intégration finale. Pour plus d’infor-mation, se référer au livre de Born et Wolf. [11].

Champ lointain

Ensuite, l’échelle du système focalisant doit être beaucoup plus grande que la longueur d’onde d’illumination afin de conserver la cohérence avec les hypothèses de Debye. Ainsi, les contri-butions d’ondes évanescentes peuvent être négligées. Mathématiquement, on suppose que

kf  1, (1.3)

où f correspond à la longueur focale ou au facteur d’échelle du système considéré lorsque cette dernière n’est pas bien définie.

Cette hypothèse vient justifier le remplacement des conditions réelles à la pupille de sortie du système vers celle de Kirchhoff. Comme les ondes évanescentes sont négligées, seul le champ à l’intérieur de la pupille est utilisé pour le calcul. Puisque la dimension de la pupille est grande

par rapport à l’échelle de la longueur d’onde, on pose que la diffraction de la lumière influence de manière négligeable la distribution des champs.

1.1.2 Le formalisme

Pour les cas particuliers où ces hypothèses sont respectées, il est possible de représenter la focalisation d’un système optique donné par celle d’une onde parfaitement sphérique. Il suffit alors de connaître la manière dont la trajectoire des rayons de l’onde plane incidente est modifiée par le système vers la tache focale. Pour ce faire, on modélise un rayon incident arrivant à une certaine hauteur h sur notre système à une trajectoire focalisante possédant des angles α et β en coordonnées sphériques, l’angle polaire et azimutal respectivement. L’onde plane incidente est alors entièrement convertie en une onde parfaitement sphérique (voir figure

1.1). Si le contenu spectral de l’onde plane est physiquement accessible, il est donc possible de calculer la distribution électromagnétique près du point focal tout en respectant les équations de Maxwell suivant la relation

˜ E(~r) =

Z Z

Ω

ˆ

a(α, β)A(α, β) exp 

i~k · ~r 

dΩ, (1.4)

où dΩ est un élément infinitésimal de l’angle solide. On interprète cette intégrale comme une superposition locale du spectre d’ondes planes possédant une amplitude incidente A(α, β), polarisée selon la direction ~aα,β avec un nombre d’onde ~k à une position ~r dans le plan image

du système optique. Cette relation est exactement la même que la relation (1.1), le spectre angulaire a seulement été projeté sur l’angle solide.

Figure 1.1 – Géométrie incidente et focalisée du formalisme de Richards–Wolf classique.

Transfert de géométrie

Malgré le transfert de géométrie, la conservation de l’énergie doit être respectée lors de la focalisation. Pour ce faire, on postule qu’il existe une fonction g(α) qui relie la distance focale

f et la hauteur h à laquelle le rayon frappe le système focalisant

h = f g(α). (1.5)

Afin de conserver l’énergie, il faut relier l’énergie totale du champ incident ~Einc et celle du

champ après la conversion vers la sphère de référence ~Esph, soit

Z

| ~Einc|22πhdh =

Z

| ~Esph|22πf2sin αdα. (1.6)

De cette relation, il est possible de formuler un facteur d’apodisation permettant de décrire comment l’énergie est redistribuée par le système optique en respectant la conservation de l’énergie. De manière générale, ce facteur s’écrit

q(α) = g(α)g

0_(α)

sin α 1/2

. (1.7)

Traditionnellement, ce paramètre correspond à une condition d’imagerie traduisant les carac-téristiques de focalisation du système optique. Dans la littérature, les relations d’apodisation les plus utilisées sont la condition du sinus d’Abbe où q(α) =√cos αet la condition de Herschel où q(α) = 1. Si la condition des sinus d’Abbe est valable et que les aberrations du système ont été corrigées, alors le système focalisant est un système aplanétique. La condition d’Herschel traite des systèmes optiquement analogues au miroir sphérique.

Finalement, la polarisation de l’illumination du système focalisant vient aussi influencer com-ment l’énergie est dirigée vers la tache focale. Afin de traiter une illumination possédant une polarisation quelconque, il suffit d’effectuer la projection de la polarisation du champ incident

~

Eincsur la base utilisée, ici radiale et azimutale. Le transfert du champ incident vers le champ

sur la sphère de référence est alors ~ Esph= q(α) h ˆ aα(ˆaρ· ~Einc) + ˆaβ(ˆaβ· ~Einc) i . (1.8)

Forme canonique des intégrales

En utilisant la description du spectre angulaire, l’intégrale de diffraction de Richards-Wolf s’écrit ~ E(x, y, z) = 1 4π2 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ~

E(kx, ky)e−i(kxx+kyy+kzz)dkxdky, (1.9)

où ~E(kx, ky) correspond au champ avant la focalisation. En faisant un lien avec la dernière

sous-section, ce champ correspond au champ électrique sur la sphère de référence dans l’espace fréquentiel.

En utilisant la géométrie décrite à la figure 1.1, on remarque qu’il est possible de projeter les différentes composantes du nombre d’onde

kz = k cos α ; kx= −k sin α cos β ; ky = −k sin α sin β, (1.10)

ce qui permet de transformer le système de coordonnées cartésiens vers les coordonnées cylin-driques suivant une symétrie radiale. Il est possible de réécrire l’intégrale de diffraction

~ E(r, θ, z) = 1 4π2 Z 2π 0 Z π 0 ~

Esph(α, β)e−ik[z cos α−r sin α cos(θ−β)]sin αdαdβ. (1.11)

On note que les intégrales de diffraction ont été écrites en utilisant la notation phaseur du champ électrique. Afin de traiter la dépendance temporelle, il est nécessaire d’introduire le terme harmonique exp (−iωt) ou encore d’utiliser un spectre de Poisson afin de traiter la dé-pendance temporelle d’un champ impulsionnel [19;21]. Aussi, bien que seul le champ électrique ait été explicité, les composantes magnétiques peuvent être obtenues de manière similaire via les équations de Maxwell.

Introduction usuelle des aberrations dans le formalisme RWT

Dans la littérature, l’ajout d’aberrations dans le système se fait de manière scalaire en ajou-tant des termes dans l’exponentielle complexe. La phase de la théorie est alors modifiée en introduisant une fonction p(α, β) qui correspondra aux différentes aberrations

φ(α, β, z) = −kz cos α + p(α, β). (1.12)

En pratique, cette fonction p(α, β) est définie par des fonctions orthogonales sur la pupille, usuellement [22;23;24;25;26;27] p(α, β) =X m X n Cm,nsinn(α) cos(mβ), (1.13)

ce qui permet de corriger la phase pour les différentes aberrations lors de l’intégration.

Systèmes à symétrie de révolution

Lorsque le système optique possède une symétrie de révolution, il est possible d’effectuer di-rectement l’intégration selon l’angle azimutal β afin de simplifier le formalisme. Pour une illumination à polarisation radiale, l’équation (1.4) décrivant une distribution électromagné-tique devient alors l’intégrale bien connue [28;29]

     Er Ez Hφ      = 1 2 Z αmax 0 q(α)l0(α) sin α      E0i cos αJ1(kr sin α) E0sin αJ0(kr sin α) H0J1(kr sin α)      exp[iφ(α, z)]dα, (1.14)

permettant d’évaluer les différentes composantes du champ électrique. Dans un cas idéal où le système ne comporte aucune aberration, la phase est simplement donnée par la relation

φ(α, z) = −kz cos α. (1.15)

1.2

Extension proposée

En raison de la simplicité du formalisme de Richards-Wolf, ce dernier est utilisé de manière intensive. Comme il a été mentionné, Panneton et coll. ont apporté une extension permet-tant de traiter des surfaces coniques. Les familles des miroirs elliptiques et hyperboliques sont modélisées par l’extension alors qu’elles étaient hors de portée du formalisme traditionnel. Cette section expose rapidement les arguments géométriques du traitement par rayon en com-binaison à la théorie classique permettant de traiter un système avec un point focal étendu [17].

Il est nécessaire d’introduire plusieurs paramètres à la géométrie de la figure 1.1pour étendre le formalisme. La stratégie utilisée par les auteurs est de définir un point C par rapport duquel la surface du miroir est définie. La phase est aussi accumulée dès le moment où l’onde plane incidente sur le système optique passe au-dessus de ce point pour être réfléchie par le miroir, permettant donc de suivre plus exactement le parcours réel de ce rayon. Avec un choix judicieux, ce point permet de relier directement et simplement l’angle d’incidence α à la surface géométrique ρ(θ) et permet de définir des focales locales floc en fonction de l’angle

α. La figure 1.2présente la géométrie de l’extension.

Figure 1.2 – Géométrie permettant de généraliser le formalisme de Richards-Wolf. La définition de l’angle polaire θ est fixée une fois le point C fixé. Une fonction ρ(θ) concave décrivant la surface du miroir est alors posée. Cette dernière est normalisée de façon à ce que

ρ(0) = 1. De manière géométrique, l’angle d’incidence α d’un rayon collimaté par rapport à un foyer local est donné par

α = 2 arctan dz dx



. (1.16)

Il est alors possible de relier la surface étudiée à l’angle d’incidence α associé à un foyer local donné. Un paramètre important vu dans la section précédente est le facteur d’apodisation. En utilisant l’argument de la conservation d’énergie et des arguments géométriques, il est possible d’adapter le transfert d’énergie de manière à suivre la géométrie du système focalisant. La forme généralisée de ce paramètre suit la relation

qe(α) =

s h_dαdh

κ sin α, (1.17)

où κ est une constante de normalisation. Cette dernière assure qu’un rayon qui est directement sur l’axe optique est complètement réfléchi. Ainsi, la constante doit respecter

lim

α→0qe(α)

2 _{= 1. (1.18)}

Comme indiqué par la figure 1.2, une distance normalisée ζ des foyers locaux par rapport au point de référence est nécessaire et sera utile dans le calcul de la phase du rayon considéré. Il est facile de montrer que ce paramètre suit

ζ = −ρ [cos θ − sin θ cot α] . (1.19)

Avec ce paramètre, il est possible de suivre la totalité de la trajectoire d’un rayon donné. Ainsi, la phase peut être accumulée pour un rayon arrivant à une hauteur h donnée au-dessus du point C jusqu’à un point arbitraire (r, z) près du foyer. Ces termes de phase permettent une mesure plus exacte de la phase pour une onde plane que le traitement fait dans la théorie classique. Le terme de phase généralisée Φe est alors

Φe= −γ



Z cos α + ρ cos θ + ρsin θ

sin α − ζ cos α 

. (1.20)

En considérant le terme de phase généralisé Φe et le facteur d’apodisation qe(α), il est

dé-sormais possible de traiter la focalisation non paraxiale de systèmes coniques parfaits comme la sphère, la parabole, l’ellipse et l’hyperbole [17; 18]. La forme des équations permettant d’obtenir les composantes des champs électrique et magnétique reste donc inchangée.

Correction du formalisme pour une illumination non collimée

Suite aux résultats qui seront présentés dans la section 2, Panneton présente deux méthodes afin de traiter une illumination avec un front d’onde imparfaitement plan dans sa thèse [18]. Celles-ci se résument à effectuer la projection de la fonction d’illumination connue dans un plan donné à une certaine distance du miroir et d’apposer un traitement mathématique de la divergence du faisceau.

Dans un premier temps, la correction peut se faire directement au niveau de l’illumination en effectuant l’hypothèse que le faisceau se propage à la façon d’un faisceau gaussien de petite taille. En définissant un plan P comme étant le plan de pincement du faisceau (i.e., ∆r = w0

et R = ∞) il est possible de définir l’illumination l0(α) en fonction de la hauteur r du rayon

sur le miroir à l’aide des paramètres gaussiens suivants l0(r) ∝ e−(r−r0) 2_/∆r2 e−i(r−r0)2/R2_, (1.21) ∆r2 = w2₀ " 1 + p zR 2# , (1.22) R = p " 1 + zR p 2# , (1.23) zR= πw2₀ λ , (1.24)

où R est le rayon de courbure et p la distance du plan de pincement P au miroir. Sachant la relation entre la hauteur r et l’angle α pour le cas particulier énoncé, il est possible de traiter de manière paraxiale l’effet d’un front d’onde non plan sur le miroir. Cette méthode permet d’évaluer plus précisément la fonction d’illumination envoyée sur le système optique, mais elle est restreinte à des illuminations gaussiennes. Une correction supplémentaire peut être effectuée en considérant une distance de propagation pc(r) variable décrivant la petite

variation de distance entre le plan P et le miroir pour différentes hauteurs. Cette distance suit la relation

pc= p

r2− 4f2

4f . (1.25)

À la place d’effectuer une projection limitée au cas d’une illumination gaussienne étroite, Pan-neton propose aussi de modifier le formalisme de Richards-Wolf afin de traiter la focalisation d’une onde se propageant suivant un faible angle de déviation Γ par rapport à l’axe optique. Ainsi, il propose une méthode afin de modéliser un faisceau ayant une faible divergence. Pour ce faire, il suffit de généraliser les termes qe(α) et Φe(Z, α) valides pour un front de phase

révolution, cela revient à trouver le front de phase conique modélisant la focalisation. Par exemple, pour le cas d’un miroir parabolique, la relation angulaire devient θ = α + Γ ce qui permet d’écrire le terme de phase Φe(Z, α)

Φe(Z, α) = −γ



Z cos α + ρcos θ cos Γ + ρ

sin θ

sin α + ρ(cos θ − sin θ cot α) cos α 

. (1.26)

Comme l’illumination divergente arrivant sur le miroir comporte un continuum de rayon arri-vant à une orientation Γ légèrement différente de leurs voisins, il est nécessaire de décomposer le champ incident en son spectre d’ondes planes en amplitude et en angle Γ. Le contenu spectral de la fonction d’illumination est d’abord trouvé

l0(fr) = F {l0(r)} , (1.27)

où la relation fr = sin Γ_λ permettant de relier l’angle de déviation Γ et le contenu spectral. Le

facteur d’apodisation qe(α)est dit invariant malgré l’introduction d’un angle d’incidence Γ. En

effet, pour de petites variations, l’énergie ne sera pas déplacée de manière appréciable. Cette même approximation a été faite par April et coll. [27]. Les intégrales de diffraction permettant d’obtenir les différentes composantes des champs deviennent alors

     Er Ez Hφ      = 1 2 Z π/2 −π/2 Z αmax 0 qe(α)l0(Γ) sin α      iE0cos αJ1(kr sin α) E0sin αJ0(kr sin α) H0J1(kr sin α)      exp[iΦe(α, z)]dα, (1.28) Ainsi, cette procédure permettrait de correctement modéliser la focalisation d’un front d’onde non plan en effectuant des corrections sur la phase et l’amplitude projetée sur la surface du miroir en adaptant légèrement le formalisme de Richards-Wolf.

Chapitre 2

Validation numérique de l’extension

Comme il a été mentionné, l’utilisation d’une méthode numérique a été préconisée plutôt que d’effectuer des mesures en laboratoire afin d’apporter une validation de l’extension du formalisme de focalisation. Cette stratégie permet de couvrir aisément un grand spectre de surfaces.

Les concepts entourant différents types d’algorithmes permettant la simulation de la propa-gation d’ondes électromagnétiques sont rapidement exposés. Le choix d’un algorithme finite-difference time-domain (FDTD) pour effectuer les simulations numériques du système focali-sant est justifié et les résultats de l’étude sont ensuite présentés.

2.1

Simuler la propagation de champs électromagnétiques

L’électromagnétisme computationnel est une discipline se penchant sur la modélisation de l’interaction de champs électromagnétiques avec des objets variés en utilisant un solveur d’équations de Maxwell. Les domaines d’intérêt sont aussi divers que de designer une an-tenne, développer des technologies de camouflage radar, simuler les performances des sondes électroniques ou même de tester de nouvelles nanostructures et métamatériaux [30;31]. Ainsi, une multitude de méthodes numériques ont été développées avec les années afin de répondre aux différents besoins attribuables à la géométrie de la simulation, à l’espace mémoire dispo-nible, au temps de calcul ainsi qu’à la précision nécessaire à la modélisation d’une situation particulière [32;33].

Les techniques se distinguent notamment de deux manières. Premièrement, le solveur au centre de la technique numérique permettant de faire propager les solutions des équations de Max-well peut se faire de manière différentielle ou intégrale. Cette distinction est abordée très sommairement dans les prochaines sous-sections. Ensuite, le cadre de la technique peut être

dans l’espace fréquentiel ou temporel. Selon la méthode de résolution, la manière dont l’espace est discrétisé prendra des formes complètement différentes. En raison de certaines résonances ou de la discrétisation de l’espace, une technique sera préférable aux autres pour une modé-lisation particulière. Bien entendu, des techniques hybrides découlant de l’union de deux ou plusieurs techniques sont disponibles. Dans ce travail, on s’attardera seulement aux généralités entourant les différentes techniques.

Enfin, le choix de l’algorithme est motivé de manière qualitative avant de présenter la technique choisie avec plus de détails.

2.1.1 Techniques différentielles et intégrales

Techniques différentielles

Les techniques différentielles exploitent un solveur d’équations différentielles pour obtenir les solutions aux équations de Maxwell. Ainsi, ces techniques utiliseront souvent les définitions suivantes ∇ · ~B = − Z t ∇ · ( ~JB(t0) + σBB)dt~ 0, (2.1) ∇ · ~D = − Z t ∇ · ( ~J (t0) + σDD)dt~ 0 ≡ ρ, (2.2) d ~B dt = −∇ × ~E − ~JB, (2.3) d ~D dt = ∇ × ~H − ~J , (2.4)

où, bien entendu, les équations ont été adimensionnalisées. Ainsi, les constantes 0, µ0 et c sont

unitaires. L’induction électrique et la densité de flux magnétique sont définies respectivement ~

D et ~B. Les relations ~B = µ ~H et ~D =  ~E définissent les champs magnétique et électrique. Souvent plus simples d’approche, ces techniques sont cependant liées à un grand nombre de degrés de liberté. En effet, pour augmenter la résolution, il faut discrétiser davantage l’es-pace, la dimension temporelle ou encore l’espace fréquentiel. Par exemple, les méthodes finite-difference time-domain (FDTD) discrétisent à la manière d’une grille cartésienne, cylindrique ou sphérique l’espace de la simulation. Ainsi, pour avoir une bonne résolution sur la valeur des champs, il faut diminuer considérablement le pas de la grille de Yee (voir section2.2.1). Il faut mentionner que les techniques numériques de ce type fonctionnent aussi bien dans le domaine temporel que le domaine spectral. Des algorithmes aussi variés que celles des finite element method (FEM), des techniques pseudo-spectral time domain (PSTD) et pseudo-spectral spatial domain (PSSD) ou encore les techniques transmission-line matrix method (TLM) ne repré-sentent qu’une petite partie du zoo offert aux chercheurs pour simuler la propagation d’ondes

électromagnétiques. Les différences entre les techniques viendront des approximations effec-tuées, du modèle de propagation utilisé ou même de la manière dont l’espace est discrétisé (forme géométrique, analogies, etc.).

Techniques intégrales

L’équation intégrale peut être vue comme une solution exacte aux équations aux dérivées partielles gouvernant les interactions dans un système à l’étude. Ainsi, les techniques intégrales reposent soit sur la forme intégrale des équations de Maxwell, soit elles utilisent des familles de fonctions intégrales permettant de résoudre des cas particuliers de ces équations. Par exemple, pour la method of moments element method (MoM ou BEM), on cherche à écrire le potentiel du champ évalué aux frontières des surfaces à l’étude dans la simulation par des fonctions de Green.

Pour ce faire, le potentiel électrique φ peut être déterminé en utilisant l’équation de Poisson ∇2_{φ = −}ρ

0

. (2.5)

Rapidement, il est possible de résoudre cette équation différentielle en construisant une super-position de contributions de charges ponctuelles disposées à une distance r0_{, soit}

φ(r) = Z V φ(r0)dV0 4π0|r − r0| . (2.6)

Dans le cas où la forme du potentiel φ(r0_{)est connue, il est alors possible de définir les}

poten-tiels pour toutes les interfaces et ensuite, l’évolution des champs électromagnétiques. Pour les méthodes suivant l’algorithme MoM, les potentiels sont définis à l’aide de fonctions de Green ce qui permet d’évaluer les intégrales seulement aux interfaces sans perte d’information. Si la description du potentiel ne peut se faire à l’aide de ces fonctions, alors la méthode des moments éléments n’est pas concluante pour le cas étudié. Encore une fois, une multitude d’algorithmes exploitent des approximations pour simplifier le problème de propagation. Par exemple, l’al-gorithme plane wave time domain (PWTD) effectue les calculs en utilisant une description de la propagation des champs comme une superposition d’ondes planes. La méthode partial element equivalent circuit method (PEEC) propose une description complètement spectrale en utilisant la forme intégrale de la loi des voltages de Kirchhoff dans l’espace. Ainsi, selon la définition des équations utilisées, de l’information recherchée de la simulation et la manière dont l’espace est divisé, un outil différent devra être utilisé pour la modélisation.

De manière générale, le nombre d’inconnues est inférieur pour les techniques intégrales et donc, dans une situation idéale, elles sont plus efficaces que les techniques différentielles du point de vue temporel et des ressources informatiques.

2.1.2 Choix de l’algorithme

Comme il a été montré, une multitude de techniques numériques sont actuellement acces-sibles pour effectuer des simulations d’ondes électromagnétiques. Selon la simulation désirée, certaines techniques seront plus efficaces, plus précises et plus rapides que d’autres. Ainsi, la

Table 2.1 – Comparaison de différents types d’algorithmes pour la modélisation

Méthode Fonctionnement Avantages Inconvénients

FDTD Discrétisation de l’espace sur une grille et évaluation directe Solutions commer-ciales, simples et modulables Besoin en mémoire, temps de simula-tion

FEM Discrétisation de l’espace sur une grille d’objets géométriques et évaluation di-recte

Plus précise que FDTD

Temps de simula-tion possiblement plus long et moins modulable

FIT Utiliser une grille en utilisant une dis-crétisation temporelle et un solveur in-tégral Excellente solu-tion, simple et modulable Peu de solutions commerciales abor-dables PSTD / PSSD

Propagation en utilisant des transfor-mées de Fourier ou des transfortransfor-mées de Chebyshev discrètes sur une grille

Rapide Modélisation très

près de la forme de Richards-Wolf TLM Analogie entre la propagation d’un

champ et une ligne de transmission, dis-crétisation en grille Très flexible et performances similaires à FDTD Peu de solutions commerciales

MoM Modélisation des potentiels électriques par les interfaces

Précise, calcul ra-pide en raison de la discrétisation aux interfaces Très peu modu-lable (géométrie cylindrique et sphérique)

PWTD Propagation en ondes planes des champs sur une grille

Modulable et pré-cise

Mêmes approxi-mations que dans Richards-Wolf PEEC Description en courants de surface et en

circuits permettant un traitement com-plètement fréquentiel ou temporel

Permet de traiter la propagation à l’aide d’analogie, rapide

Application non op-timale pour la mo-délisation

PO Tracé de rayons avec approximation des petites longueurs d’onde par rapport au système

Efficace et rapide Peu de solutions commerciales

EME Decomposition des champs sur une base de fonctions propres

Excellentes solu-tions vectorielles

Peu de solutions commerciales

table 2.1permet d’avoir un aperçu des avantages et des inconvénients des techniques princi-pales [30;34;35;36]. Cependant, il a d’abord fallu identifier les critères permettant de trancher entre les différents algorithmes. Tout simplement,

1. On cherche un algorithme permettant d’obtenir une bonne résolution sur les distributions des champs à la tache focale.

2. L’algorithme permet d’effectuer des simulations en 2D pour une grande plage de géomé-trie (différents miroirs) et possiblement en 3D pour des tests ultérieurs.

3. La méthode choisie permet aussi d’étudier la réponse transitoire du système (par exemple, pour étudier des impulsions courtes).

4. Avec cette méthode, les approximations effectuées pour la modélisation des équations de Maxwell ne sont pas les mêmes approximations que celles utilisées pour le formalisme de Richards-Wolf.

5. Une solution commerciale accessible et idéalement à moindre coût (logiciel libre) pour la méthode choisie.

De cette façon, plusieurs techniques ont été écartées en raison de la difficulté de traiter des surfaces sans symétrie de révolution (MoM) ou encore parce qu’il n’y avait pas de solutions commerciales disponibles. Nous avons opté pour l’utilisation d’une solution implémentant un algorithme FDTD en accès libre. Ainsi, bien que pour obtenir une résolution suffisante sur les champs, il faudra beaucoup d’espace mémoire et un peu de patience. L’algorithme permet une modélisation directe des équations de Maxwell, autant en 2D qu’en 3D. Finalement, dans un autre groupe de recherche, ce même algorithme FDTD a déjà été utilisé afin d’étudier l’ablation laser de surface [37] et offrait l’occasion de collaborer lors du début de la modélisation. Ainsi, ce type d’algorithme fut privilégié et le logiciel MEEP a été choisi pour amener une validation de l’extension du formalisme de Richards-Wolf.

2.2

MEEP et la technique FDTD

MEEP (MIT Electromagnetic Equation Propagation) [38] est un algorithme FDTD sous li-cence publique GNU (GPL). Il permet d’effectuer des simulations en une, deux ou trois di-mensions cartésiennes, en coordonnées cylindriques ou encore en considérant des symétries géométriques (rotation, translation et miroirs). L’intégration numérique des équations de Max-well se fait à l’aide de l’algorithme de type FDTD et ensuite, l’incrémentation temporelle est effectuée par un algorithme de type leap-frog, qui sont toutes deux des méthodes de deuxième ordre. Une version du code MEEP est parallélisée en utilisant une stratégie de décomposi-tion en sous-domaines spatiaux. Finalement, MEEP traite les constantes usuelles telles 0, µ0

et c comme unitaires. Les équations de Maxwell sont adimensionnalisées et permettent une invariance d’échelle des simulations effectuées avec le logiciel.

Un rapide survol est fait ici entourant la modélisation d’une propagation électromagnétique à l’aide d’un algorithme FDTD. Pour plus de détails, voir les livres de référence de Taflove [31;39] décrivant cette technique avec précision.

2.2.1 Algorithme de Yee

Afin de solutionner les équations de Maxwell, la méthode des différences finies (FDTD) utilise une discrétisation de l’espace dite d’une grille décalée (staggered grid). L’utilisation de ce type de grille permet une plus grande stabilité numérique et d’imposer des solutions à divergence nulle [31;40]. Les champs simulés ~E et ~B sons définis sur différents points de l’espace. Dans le cas présent, le champ électrique est défini sur les paires de coordonnées entières (i,j) d’un plan alors que le champ magnétique suivra les demi-entiers de ces coordonnées. Ainsi, pour obtenir les champs vectoriels ~E et ~B en des points précis de la grille, la composante manquante est interpolée afin de couvrir la grille totale. Cette représentation se nomme la cellule de Yee [41;39]. La discrétisation temporelle permettant la propagation du champ dans la simulation suit aussi une grille décalée pour les champs électrique et magnétique (i.e., la technique leap-frog).

Figure 2.1 – Cellule de Yee typiquement utilisée dans les calculs FDTD [38].

Pour mieux comprendre l’implémentation numérique des simulations faites à l’aide de MEEP, la discrétisation des équations est explicitée. En utilisant la loi d’Ohm et son équivalent ma-gnétique, soit ~J = σDD~ et ~JB = σBB~, il est possible d’exposer les différentes composantes de

l’équation (2.4) ∂Hz ∂y − ∂Hz ∂z = σDEx+  ∂Ex ∂t , (2.7) ∂Hx ∂z − ∂Hz ∂x = σDEy+  ∂Ey ∂t , (2.8) ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y = σDEz+  ∂Ez ∂t . (2.9)

Suivant la discrétisation en grilles montrée à la figure 2.1, il est alors possible de donner les définitions des champs. Pour alléger la démarche qui suit, on introduit la notation pour un champ η quelconque étant situé au point (i, j, k) de la grille à un temps t = n∆t comme

Ainsi, on obtient le champ magnétique Hz|n+1/2_i,j+1,k+1/2− Hz|n+1/2_i,j,k+1/2 ∆y − Hy|n+1/2_i,j+1/2,k+1− Hy|n+1/2_i,j+1/2,k ∆z = σDEx|n+1_{i,j+1/2,k+1/2}+  Ex|n+1_{i,j+1/2,k+1/2}− Ex|n_{i,j+1/2,k+1/2} ∆t , (2.11) Hx|n+1/2_i+1/2,j,k+1− Hx|n+1/2_i+1/2,j,k ∆z − Hz|n+1/2_i+1,j,k+1/2− Hz|n+1/2_i,j,k+1/2 ∆x = σDEy|n+1_{i+1/2,j,k+1/2}+  Ey|n+1_{i+1/2,j,k+1/2}− Ey|n_{i+1/2,j,k+1/2} ∆t , (2.12) Hy|n+1/2_i+1,j+1/2,k− Hy|n+1/2_i,j+1/2,k ∆x − Hx|n+1/2_i+1/2,j+1,k− Hx|n+1/2_i+1/2,j,k ∆y = σDEz|n+1_{i+1/2,j+1/2,k}+  Ez|n+1_{i+1/2,j+1/2,k}− Ez|n_{i+1/2,j+1/2,k} ∆t . (2.13)

À partir de ces équations, il est possible de remanier les différentes composantes et d’obtenir des relations récursives entre les champs électrique et magnétique à un pas temporel n + 1 dans la simulation et la situation de ces champs à des pas n et n + 1/2 précédents.

La présente section montre comment les champs sont propagés dans une simulation à diffé-rences finies. Cependant, ces calculs se font sur des grilles spatialement et temporellement fixes lors de la simulation. Si les champs sont désirés en un point de l’espace ou temporel autre que ceux des grilles, MEEP effectue automatiquement l’interpolation avec les valeurs les plus proches.

Finalement, il a été démontré que l’algorithme de Yee est stable si la condition de Courant est respectée [31]. Dans MEEP, cette dernière stipule que

∆t ≤ q 1

1

∆x2 +_∆y12 +_∆z12

(2.14)

Ainsi, la résolution temporelle devra suivre la résolution spatiale pour que l’algorithme reste stable.

2.2.2 Conditions aux frontières

Spécifier les conditions aux frontières de la simulation est essentiel. En effet, celles-ci per-mettront aussi bien de limiter la taille de la simulation que de simuler un espace infini ou périodique. On cherche donc à se rapprocher le plus possible des conditions dans lesquelles le phénomène physique se retrouve dans la nature.

Dans notre cas, on cherche à modéliser l’évolution du champ électromagnétique dans une région qui n’est pas nécessairement bornée de manière spatiale. Cependant, le temps de calcul et l’espace mémoire disponible pour la simulation limitent la taille et la résolution accessible de l’inspection numérique. On cherche à modéliser une réflexion hautement non paraxiale sur un miroir. Ainsi, la simulation utilise une couche absorbante dite perfectly matched layer (PML) pour limiter les réflexions aux bords de l’échantillonnage utilisé dans la simulation.

La figure 2.2illustre une géométrie bidimensionnelle de la grille de calcul qui est utilisée lors des simulations FDTD de la focalisation dans le cadre de ce projet.

Figure 2.2 – Visualisation du domaine de la simulation. La grille contient le domaine physique et la couche absorbante (PML) ayant une certaine épaisseur (d), le tout étant bordé par un conducteur électrique parfait.

Conceptuellement, utiliser une PML consiste à terminer le domaine physique par un milieu artificiel absorbant. Idéalement, ce milieu est fortement absorbant, le plus étroit possible et n’introduit aucune réflexion d’une onde incidente, quelle qu’elle soit. Bien que ce milieu soit hypothétique et idéalisé, la méthode qui en découle s’avère efficace dès qu’on utilise un milieu anisotrope artificiel qui possède des paramètres adéquatement choisis. Il est possible de décrire mathématiquement l’effet d’un tel milieu artificiel sur les composantes du champ électroma-gnétique. Le champ est décrit dans le domaine spectral à l’aide des équations de Maxwell rotationnelles

∇ × ˜E = −iω~s ˜H, (2.15)

∇ × ˜H = iω~s ˜E. (2.16)

avec un tenseur diagonal ~s

~s =    s−1_x sysz 0 0 0 sxs−1y sz 0 0 0 sxsys−1z   , (2.17)

où, de manière générale, les composantes sη s’écrivent

sη = κη+

ση

aη+ iω

. (2.18)

De cette façon, les paramètres κη, ση et aη ainsi que l’épaisseur d viendront déterminer

l’effi-cacité de la couche à absorber l’énergie arrivant sur cette dernière et de limiter les réflexions parasites. Il est à noter que les paramètres varient à travers la couche. Cela permet d’avoir un gradient minimum aux interfaces du domaine physique et de la couche. Aussi, dans le cas où la couche est trop étroite, il pourrait arriver qu’une réflexion numérique se produise en raison d’une variation trop brusque des différents paramètres.

MEEP ajuste automatiquement les paramètres afin de minimiser la réflexion en fonction de l’épaisseur de la couche souhaitée lors de la simulation.

2.2.3 Sources électromagnétiques

Les sources simulées par MEEP sont des sources de courant. En raison de leur définition, ces sources sont séparables dans le temps et dans l’espace et suivent la relation

~

J (~r, t) = ~A(~r) · f (t) (2.19)

Bien que ce type de sources ne permette pas de spécifier l’amplitude exacte d’un champ électrique ou magnétique, elles ont l’avantage de ne pas introduire une frontière solide qui introduit des réflexions si un champ venait à s’approcher de la source.

Pour plus d’information, voir le chapitre 4 du livre de Taflove [31].

2.3

Méthodologie, méthode d’analyse et modifications à la

simulation

Confronter la modélisation pour différents miroirs va nous éclairer sur les performances du formalisme étendu et possiblement sur les causes des variations entre la théorie et la simulation numérique.

De cette façon, on a débuté avec des simulations en 2D très simples. Une impulsion gaus-sienne étroite est envoyée à une hauteur particulière pour être en régime non paraxial sur un miroir parfaitement réfléchissant. Comme on veut vérifier différents cas de figure, on fait varier l’excentricité du miroir. La surface des miroirs est définie suivant la relation

ρ(θ) = 1 + 

Afin d’étudier des surfaces connues et d’autres ne pouvant pas être modélisées par la théorie classique, un miroir sphérique ( = 0), un miroir parabolique ( = 1) et deux miroirs elliptiques ( = 0.5, 0.8) ont été choisis pour notre étude. Les simulations FDTD permettent d’étudier l’évolution temporelle et spatiale d’un champ électromagnétique de manière compatible avec les équations de Maxwell. Pour faire l’analyse et conclure que le formalisme est compatible avec le résultat des équations de Maxwell, on doit utiliser l’intensité moyennée sur une grande période afin d’obtenir l’enveloppe du champ. La dépendance temporelle est donc levée, mais nécessite d’introduire des erreurs en raison d’un moyennage. Afin de diminuer l’influence des sources à la tache focale, leurs contributions sont soustraites. Pour comparer les résultats de l’algorithme FDTD à la théorie étendue de Richards-Wolf, cette dernière a été modélisée à l’aide d’une intégration numérique suivant une quadrature gaussienne implémentée en Python. Pour des raisons de temps de simulation et d’espace mémoire accessible, une grille d’environ 30 unités de longueur par 20 unités de hauteur a été simulée. Une symétrie de rotation est utilisée et la grille est discrétisée de manière à avoir 300 points par unité de longueur avec le pas temporel nécessaire pour assurer la stabilité de l’algorithme (voir l’équation (2.14)). En utilisant une longueur d’onde λsimpour les sources de 0.1 unité de longueur, on a pu modéliser

des miroirs mesurant environ 150λsim de rayon pour les différentes excentricités. Les miroirs

sont complètement entourés par la couche absorbante (PML). Avec ces paramètres, on dépasse agréablement la recommandation de 8 points par longueur d’onde de MEEP [38]. L’observation du phénomène d’interférence à la tache focale ne devrait alors pas être problématique. La fonction d’illumination utilisée à polarisation radiale est définie par

l0(α) = exp −(α − α0)2/∆α2
, (2.21)

où α0 = π₂ et ∆α = 0.1 pour être dans un régime non paraxial. La limite normalement acceptée

est d’environ α0≈ ₁₀π.

La figure 2.3 montre le résultat final pour un miroir elliptique d’excentricité  = 0.8. On remarque que la différence est sous 5% pour la partie sur l’axe optique et est moindre pour la partie radiale. Bien ces résultats montrent que la modélisation se rapproche bien des solutions des équations de Maxwell, est-ce qu’on pourrait faire mieux ? Dans le cadre de cette maîtrise, malheureusement non. Exposer différentes pistes d’explication semble donc nécessaire.

2.3.1 Problématique entourant l’illumination

Comme il a été mentionné, les sources dans MEEP sont définies comme des sources de courant dans un plan. Définir une fonction d’illumination directement sur le miroir était donc impos-sible et comme on simule des sources réalistes, elles sont divergentes. La fonction d’illumination obtenue possède donc une amplitude, une phase et une direction de propagation légèrement

(a) Distribution du champ (b) Erreurs normalisées

Figure 2.3 – Figure d’intensité et différences normalisées entre la simulation FDTD et le formalisme ERWT pour un miroir elliptique ( = 0.8).

différente que celle initialement posée dans la théorie ERWT. L’amplitude de la source est montrée dans la figure 2.4 et en effectuant des tests, il est possible de mesurer un rayon de courbure d’environ 250λsim du front de phase, ce qui commence à être non négligeable dans

notre cas.

Figure 2.4 – Différence entre les amplitudes des illuminations des méthodes numériques Cette variation vient directement jouer sur la figure de diffraction obtenue au plan focal du système optique. Pour lever cette difficulté, une interpolation peut être utilisée pour définir la fonction d’illumination du système avec la focalisation par les équations de Richards-Wolf étendue et corriger la tache focale. Ceci a été fait pour améliorer les figures obtenues.

Aussi, comme le front d’onde incident sur le miroir n’est pas totalement plan, apporter une correction au formalisme est souhaitable. Celle-ci aura certainement un impact sur la figure d’illumination obtenue comme l’énergie ne sera pas envoyée dans l’espace dans les mêmes pro-portions. Comme décrit dans la section 1.2, dans la thèse de Panneton [18], deux méthodes sont exposées afin de traiter ce type de champs incidents. Dans le contexte de ce projet, seule-ment la première méthode de correction dite paraxiale a été impléseule-mentée comme les fonctions d’illumination utilisées sont étroites et de forme gaussienne. Malheureusement,

l’implémenta-tion de cette correcl’implémenta-tion a peu d’effet en comparaison à simplement utiliser l’interpolal’implémenta-tion de la fonction d’illumination de la simulation dans le modèle théorique ERWT. Ainsi, incorporer les résultats dans le présent mémoire semble superflu, mais digne de mention. Un traitement complet de la divergence semble donc nécessaire afin de lever les différences observées. L’utili-sation du formalisme modifié permettant de traiter l’angle de divergence sur un miroir serait souhaitable, mais n’a cependant pas été étudiée dans le présent mémoire.

Malgré tout, la modélisation par le formalisme de Richards-Wolf étendu reste un excellent outil permettant d’étudier le comportement au foyer. La difficulté rencontrée entourant l’illu-mination du miroir entre le cas théorique et le cas numérique montre la nécessité de connaître au mieux la fonction d’illumination arrivant sur le système. Ainsi, la question suivante est par-ticulièrement intéressante : que doit-on envoyer sur le système optique pour avoir un champ en particulier ? Or, c’est exactement cette question qu’on a approfondie dans le prochain chapitre

3.

2.3.2 Sensibilité aux paramètres utilisés

Selon les paramètres utilisés pour effectuer les simulations FDTD, le profil d’illumination peut changer de manière incontrôlée. Par exemple, en conservant tous les paramètres de la simulation (résolution de la grille de Yee, hauteur et largeur des sources, temps de moyennage long, grandeur du miroir, etc.) excepté pour la longueur d’onde d’émission de la source λsim

qui a été divisée par un facteur 2, le résultat obtenu est beaucoup moins satisfaisant comme on peut le constater dans la figure2.5. De cette façon, la technique actuellement utilisée n’est pas robuste. 20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation (a) λsim= λ 20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation (b) λsim =λ₂

Figure 2.5 – En changeant seulement la longueur d’onde d’un facteur 2, pour un même temps de moyennage, le profil d’intensité est dramatiquement modifié lors de la comparaison des simulations FDTD et de la théorie ERWT.

2.3.3 Limitations de l’algorithme

Bien qu’on pensait que cela ne serait pas problématique, la technique FDTD demande beau-coup de ressources autant du point de vue numérique que temporel. Un compromis a donc dû être fait et il a fallu se limiter en taille ou en résolution, autrement, celles-ci ne se terminent pas. Il était aussi difficile d’itérer sur différentes versions de la simulation et déterminer ce qui était problématique en raison du nombre possible de simulations à résolution intéressante par semaine.

La résolution de la simulation dicte la discrétisation de la surface réfléchissante. Comme la dimension de la simulation est petite, la fonction d’illumination sur le miroir est très étroite et la réflexion sur ce dernier en escalier peut affecter le résultat final. Cependant, une mesure de l’effet de cette pixélisation n’a pas été effectuée.

Aussi, l’une des pistes permettant d’expliquer une asymétrie de l’erreur observée dans la figure

2.3 vient du fait du moyennage temporel effectué. En raison de la géométrie du problème et la dimension de l’aiguille de lumière produite dans les simulations, les contributions selon l’axe radial sont contraintes à des variations moins importantes que sur l’axe optique. Ce fait pourrait expliquer pourquoi les résultats observés.

Initialement, on désirait tester des géométries variables avec plusieurs termes d’aberration pour une surface en 3 dimensions et cela à même guider le choix du type d’algorithme. Cependant, en raison des problématiques rencontrées avec une symétrie radiale, cette étude a complètement été laissée de côté. Or, l’un des objectifs identifiés de cette maîtrise est justement d’étudier la manière de traiter ce type de surface. L’étude de ce type de surfaces restera alors théorique et présentée dans le chapitre 4.

2.4

Résultats et conclusion

La figure 2.6 présente l’intensité sur l’axe optique et l’axe radial pour différents miroirs avec toutes les corrections appliquées (moyennage temporel, interpolation sur la fonction d’illumina-tion, optimisation des paramètres). On remarque rapidement que la tache focale des différents systèmes optiques est bien modélisée par la théorie étendue de Richards-Wolf (ERWT). En effet, dans tous les cas étudiés, la portion radiale possède une erreur absolue normalisée en dessous de 0.1% tandis que pour la portion sur l’axe optique, les valeurs de l’erreur observées montent jusqu’à 5% dans le cas du miroir elliptique d’excentricité de  = 0.5. Il faut se rappeler que le formalisme de Richards-Wolf et son extension pose un front d’onde parfaitement plan ce qui n’était pas le cas dans la modélisation numérique. De cette façon, une erreur systématique de modélisation était à prévoir. Malgré tout, les meilleurs résultats sont obtenus pour un miroir elliptique d’excentricité de  = 0.8. Or, c’est un système focalisant qui ne serait pas modélisé

20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation

(a) miroir sphérique (e = 0)

20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation (b) miroir elliptique (e = 0.5) 20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation (c) miroir elliptique (e = 0.8) 20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation (d) miroir parabolique (e = 1)

Figure 2.6 – Différentes coupes d’intensité autour du foyer pour des systèmes optiques à symétrie de révolution par simulations FDTD en comparaison avec la solution numérique par quadrature gaussienne pour différents miroirs et la théorie ERWT. La distribution sur l’axe optique n’est pas exceptionnelle. La grosseur du miroir est modifiée afin d’obtenir une tache focale environ de la même dimension pour chacun des miroirs.

par la théorie de Richards-Wolf classique. De cette façon, la théorie étendue est convaincante pour calculer les différentes composantes des champs dans un contexte de focalisation non paraxiale de champs électrique ou magnétique malgré les limitations émanant des simulations. Les résultats pointent donc dans la bonne direction. Si on recherche une meilleure modélisa-tion permettant de se rapprocher encore plus des solumodélisa-tions des équamodélisa-tions de Maxwell, plusieurs avenues ont été mentionnées dans le présent chapitre. Par exemple, l’utilisation d’un autre lo-giciel utilisant l’algorithme FDTD ou non pourrait augmenter la résolution des simulations et diminuer la sensibilité aux paramètres ou encore effectuer l’étude des distributions temporelles à la tache focale pourrait aussi aider à diminuer l’accumulation d’erreurs lors de l’étude

numé-rique. Aussi, modéliser convenablement la divergence du faisceau en passant par son spectre angulaire de déviation pourrait amener des solutions plus près des solutions des équations de Maxwell et lever la problématique du front d’onde.

Considérant les résultats obtenus, la technique étendue (EWRT) est clairement supérieure pour la modélisation d’une distribution focale donnée que le formalisme de Richards-Wolf classique. Il suffit que le système optique considéré réponde convenablement aux approximations utilisées dans le formalisme.