3.3 Technique d’inversion proposée
3.3.4 Généralisation vers le formalisme étendu
en utilisant une fois encore le changement de variable b = k sin α.
La technique d’inversion peut être facilement adaptée pour traiter la focalisation de faisceau à polarisation en utilisant la dualité des états de polarisation des champs électromagnétiques. En effet, il suffit de remplacer E → η0Het H → −Eη0 dans l’équation (3.3).
Ainsi, déterminer l’illumination nécessaire pour obtenir une distribution électromagnétique donnée polarisée de manière radiale et azimutale a été démontré. Comme ces deux états de polarisation forment une base complète, il est possible d’effectuer l’inversion sur un champ possédant un état de polarisation quelconque. En effet, il suffit de projeter le champ sur cette base et en utilisant les propriétés des transformées de Fourier et de Hankel, il est possible de résoudre l’illumination nécessaire à l’obtention de la distribution recherchée.
3.3.4 Généralisation vers le formalisme étendu
Comme il a été mentionné dans les sections 3.2.2et3.3.1, il est facile de traiter l’inversion de distributions qui ne donnent pas de solutions analytiques en utilisant une transformée discrète. Analogue à la situation sur l’axe optique, avoir une implémentation d’une transformée de Hankel discrète permettrait de déterminer l’illumination pour l’axe radial. Il serait cependant nécessaire d’implémenter cette routine afin d’effectuer la transformée de Hankel quasi discrète [59;60] comme il ne semble pas y en avoir dans les librairies scientifiques usuellement utilisées. Dans le cas où l’on tenterait d’effectuer l’inversion pour le formalisme de Richards-Wolf étendu (ERWT), la situation est certainement plus complexe. Cependant, en regardant la forme des
équations étendues Er Ez Hφ = 1 2 Z αmax 0 q(α)l0(α) sin α iE0cos αJ1(kr sin α) E0sin αJ0(kr sin α) H0J1(kr sin α) exp[iφ(α, z)]dα, (3.35)
avec les relations importantes pour la phase Φe= −γ
Z cos α + ρ cos θ + ρsin θ
sin α − ζ cos α
, (3.36)
ζ = −ρ [cos θ − sin θ cot α] , (3.37)
on observe qu’il est possible d’utiliser les mêmes changements de variable présentée précédem- ment dans ce chapitre afin de permettre l’inversion du formalisme étendu. Les fonctions θ et ρ sont seulement dépendantes de l’angle α. Ainsi, les relations (3.17), (3.28) et (3.30) auront la même forme avec des facteurs additionnels permettant de bien modéliser la phase dans le système focalisant. Les mêmes conditions permettant d’assurer que l’illumination obtenue de la technique d’inversion est physiquement valide et accessible tiennent (i.e, le critère t(a; k)). Encore une fois, la phase de la distribution spatiale du champ électromagnétique doit être définie. Une démonstration numérique permettant l’inversion dans le contexte du formalisme étendu n’est pas présentée dans ce mémoire.
Enfin, ce chapitre a permis de montrer différentes stratégies permettant d’inverser la focali- sation modélisée par le formalisme de Richards-Wolf sur un axe donné. Si le contenu spectral est valide et accessible par le système focalisant, la distribution est, par définition, en ac- cord avec la physique. Les techniques d’inversion présentée sont simples à utiliser et, comme le montrent les nombreux exemples fournis dans ce chapitre, exactes. Dans certains cas, des solutions analytiques peuvent être obtenues ; autrement, l’utilisation d’une routine discrète permet d’obtenir des solutions numériques comme pour le champ TM01. La méthode permet
aussi de traiter l’inversion du formalisme étendu de Richards-Wolf ; il suffit de faire attention au changement de variable dans les multiples de définitions.
Chapitre 4
Étendre l’extension pour des surfaces
réfléchissantes de forme libre
La généralisation du formalisme proposée par le groupe de recherche a permis de traiter la focalisation de surfaces focalisantes qui étaient jusqu’alors impossibles à traiter par le for- malisme de Richards-Wolf. Cependant, l’extension a été développée pour traiter des surfaces coniques et donc, des systèmes optiques à symétrie de révolution. Afin d’inclure des aberrations possédant une dépendance azimutale à l’extension du formalisme de Richards-Wolf, il reste nécessaire d’utiliser une correction scalaire sur la phase (i.e., le terme Φ(α, β)). Ce chapitre cherche à répondre à cette lacune en adaptant la technique [17] à des systèmes qui restaient encore non traités ou, tout simplement, hors de portée.
4.1
Modifications de l’extension du formalisme de
Richards-Wolf pour traiter une dépendance azimutale
Le formalisme de Richards-Wolf permet de traiter la focalisation dans un contexte non pa- raxial. Pour certains cas, il est possible d’obtenir des équations analytiques venant simplifier le travail de modélisation. Le formalisme permet toutefois de traiter des systèmes pouvant être beaucoup complexes. Le traitement mathématique sera appliqué pour une polarisation radiale pour les prochaines sections, mais pourrait facilement être porté vers les autres types de polarisation. Ainsi, la définition du champ électrique en tout point près du volume focalpour une illumination à polarisation radiale est donnée par l’équation [19;27;29] E(r, φ, z) = E0 4π αmax Z αmin 2π Z 0
q(α, β)l0(α, β)ˆa(α, β) exp[−iΓ(α, β, r, φ)] sin αdαdβ, (4.1)
ˆ
a(α, β) ≡ ˆaxcos α cos β + ˆaycos α sin β + ˆazsin α, (4.2)
Γ(α, β, r, φ) ≡ 2π
λ [z cos α − r sin α cos (β − φ) + Φ(α, β)] , (4.3) où, on rappelle, ˆa(α, β) correspond au vecteur unitaire dans la direction de la polarisation du champ électrique près du foyer, Φ(α, β) est une fonction d’aberrations [27] et Γ(α, β, r, φ) comprend toutes les corrections sur la phase, mais généralisée par Panneton et coll. [17]. Ainsi, ce formalisme est tout indiqué pour traiter des variations azimutales. En fait, partant de la généralisation du formalisme de Richards-Wolf, plusieurs cas de figure de dépendances azimutales seront étudiés dans les prochaines sous-sections.
Le cas où la dépendance azimutale affecte uniquement la figure d’illumination est le plus simple à étudier. Cependant, comme la dépendance ne provient pas directement des propriétés focalisantes du système optique considéré, il est simple d’adapter les relations (4.1) à (4.3) en insérant la dépendance selon β uniquement dans le terme d’illumination, soit la situation l0(α, β). Ce cas n’est pas étudié plus en détail dans ce mémoire, mais ce type de dépendance
reste intéressant. En effet, elle permette de focaliser des fonctions d’illumination de faisceaux cylindriques d’ordre supérieur [61;62] ou encore comportant des vortex [63] par exemple.