3.3 Technique d’inversion proposée
4.1.2 Surfaces coniques généralisées
= −γ Z cos α + ρ(θ, β) cosθ + sin θ sin α − ζ(α, θ, β) cos α −r dsin α cos (β − φ) + Φ(α, β) i , (4.11) qe(α, β) = s rdαdr κ(β) sin α = s
ρ sin θ [ρ0sin θ + ρ cos θ] (dα dθ)−1
κ0(β) sin α , (4.12)
où γ ≡ kd, Z ≡ z−d
d et κ
0(β) un paramètre qui permet de conserver le transfert d’énergie.
Comme ce paramètre varie selon la surface rencontrée, il faut considérer une dépendance azimutale dans sa définition. Ce nouveau paramètre est donné par
1 = lim α→0 qe(α, β) 2 ; ∀β ∈ [0, 2π], (4.13) κ0(β) = lim α→0 ρ sin θ sin αρ 0sin θ + ρ cos θ dα dθ −1 . (4.14)
En conclusion, la théorie ERWT nécessite peu de modifications pour incorporer une dépen- dance azimutale générale. En fait, il faut seulement utiliser l’équation (4.1) et traiter conve- nablement les différents paramètres sans en changer la forme. De cette façon, en levant la dépendance azimutale, on retombe directement aux équations de l’extension proposée [17]. Il serait donc possible de trouver de nouvelles taches focales qui pourraient être optimales pour des applications données en raison du nouveau degré de liberté.
4.1.2 Surfaces coniques généralisées
Une fois les généralités exposées, il est intéressant de venir tester les ajouts proposés à la théorie. On utilise la définition d’une surface conique généralisée telle que
ρ(θ, β) = 1 + (β)
1 + (β) cos θ. (4.15)
En utilisant une relation (β) judicieusement choisie pour laquelle le résultat attendu est intui- tif, il est possible de vérifier de manière qualitative si la méthode proposée semble fonctionner. Cette définition permet une certaine flexibilité sur le genre de miroirs pouvant alors être dé- crits. De manière asymptotique, il serait possible de modéliser un miroir cylindrique (i.e.,
→ ∞ pour l’un des axes). Avec ce type de relations, si est une constante, on doit retomber sur les paramètres définis dans le contexte de l’extension du formalisme [17]. On note qu’il est difficile d’espérer d’obtenir des équations analytiques lorsqu’une dépendance azimutale est présente.
Mathématiquement, les relations importantes sont dρ dθ = ρ 2(β) sin θ 1 + (β) (4.16) α(θ, β) = 2 arctan sin θ (β) + cos θ (4.17) dα dθ = 2(β) cos θ + 2 (β)2+ 2(β) cos θ + 1 (4.18) θ(α, β) = 2 arctan 1 − q tan2(α 2) [1 − (β)2] + 1 tan α2 [(β) − 1] (4.19)
Les relations (4.11) et (4.12) sont inchangées. Il est à noter qu’à l’aide de la condition (4.14), toutes variations de l’excentricité de la surface peuvent être correctement modélisées.
Modélisation d’une excentricité sinusoïdale
Comme preuve de concept de la méthodologie proposée, une simplification est effectuée. L’illu- mination du miroir est simplement une fonction Dirac afin d’enlever l’intégrale selon θ (i.e., l0(θ) = δ(θ − θ0)). La focalisation de cette figure d’illumination produit une aiguille de lumière
[28; 29] et constitue donc un bon point de départ pour vérifier l’ajout de la dépendance au formalisme. La dépendance azimutale du miroir modélisé est
(β) = 0.25 + 0.01 cos β (4.20)
Cette excentricité variable vient modifier plusieurs paramètres (ρ, ζ,etc.) de l’extension et viendra modifier de manière appréciable la distribution au foyer calculée. En raison de la dépendance en fonction de β, ce miroir devrait avoir une symétrie selon β = π
2 − δβ, π 2 + δβ.
Comme dans l’axe où β = 0, 2π, la variation du miroir crée un effet semblable à un tilt ; un déplacement du point focal vers l’endroit où l’excentricité est plus élevée est attendu. Aussi, l’effet sur les rayons est moindre pour les cas où β = π
2, 3π
2 , mais comme tous les rayons passent
près de la focale du système sans la modification, une modulation plus ou moins forte est à s’attendre en raison de la variation azimutale.
La figure 4.2présente les résultats obtenus pour l’intensité d’une tranche radiale à la position focale du système (i.e., z0 = −1
(a) Sans dépendance azimutale (b) Avec dépendance azimutale sinusoïdale
Figure 4.2 – Intensité pour l’excentricité sinusoïdale modélisée avec θ0 = π2 et γ = 105 au
plan focal (i.e., z0 = −1/2) à différents angles φ. L’échelle du graphique a été coupée afin
mieux visualiser la variation de la tache focale. La figure d’intensité sans dépendance (a) est environ 4 fois plus élevée que celle pour φ = 0 en (b).
Figure 4.3 – Visualisation de l’aiguille de lumière produite par l’excentricité sinusoïdale mo- délisée avec les mêmes paramètres que la figure4.2. On note que pour la courbe comprenant la dépendance, la position r = 107λ a été utilisée puisque cette dernière correspond au maximum d’intensité radiale.
optique pour le point d’intensité maximale selon r. Les paramètres utilisés pour la simulation sont donnés dans le titre de la figure. Aussi, il est facile d’observer que la tache focale se déplace d’environ 107λ vers la direction où l’excentricité est maximale en ajoutant la dépendance sur l’excentricité. On observe donc le comportement anticipé pour ce type de dépendance. La modulation attendue pour φ = 0, π est aussi assez importante. Bien que l’excentricité soit exactement celle du cas sans dépendance, on observe que le pic central est pratiquement complètement disparu. On remarque que pour différents angles φ, le maximum d’intensité se rapproche de z0= −1
2. Ainsi, la tache est asymétrique. De plus, suivant la figure4.3, l’aiguille
de lumière est très affectée par la dépendance azimutale. Dans les deux cas, l’intensité n’ayant pas de la dépendance (i.e., (β) = 0.25) est environ 4 fois plus élevée que celle comprenant la dépendance.
On observe donc tout ce qui était attendu lors de cette brève démonstration d’une modélisation d’une dépendance azimutale directement appliquée à la surface du miroir. Il est facile de penser d’appliquer la même procédure pour une illumination gaussienne étroite ou toute autre fonction intéressante. Il serait alors nécessaire d’effectuer l’intégrale selon β et la situation serait un peu plus difficile. Aussi, il reste possible d’espérer des solutions analytiques aux champs pour certaines fonctions d’illumination particulières. Si la dépendance est uniquement sur le terme d’illumination, il est possible que des livres de référence tels Gradshteyn et coll. [58] fournissent des solutions analytiques. Autrement, la résolution numérique des équations sera nécessaire pour traiter le phénomène de focalisation en régime hautement non paraxial.