Technique proposée d’inversion selon l’axe radial

Contrairement à la section 3.3.1 où le champ transverse disparaît naturellement sur l’axe optique, cette composante ne disparaît pas nécessairement pour un champ radial. En regardant l’équation (3.3), les composantes de la distribution en z = 0 sont données par

Ez(0, r) = E0 2 Z αmax 0 q(α)l0(α) sin2αJ0(kr sin α)dα; (3.23) Er(0, r) = iE0 2 Z αmax 0

q(α)l0(α) sin α cos αJ1(kr sin α)dα. (3.24)

Avant d’aller plus loin, plusieurs observations peuvent être faites. La parité du couple q(α)l0(α)

autour de α = π

2 vient influencer le résultat des calculs de Richards-Wolf. Respectivement,

la composante longitudinale ou transverse du champ électromagnétique sera nulle lorsque le couple q(α)l0(α) est impair ou pair par rapport à α = π₂. Dans la même lignée, Dehez et coll.

ont rapporté que pour une figure d’illumination gaussienne, le maximum de la composante transverse divisé par le minimum du champ longitudinal diminue jusqu’à tendre vers zéro lorsque la gaussienne est centrée autour de α = π

2 [29]. Comme l’accent de ce mémoire est

posé sur des situations en régime non paraxial, la technique présentée est développée pour des distributions longitudinales. La composante transverse est donc complètement négligée lors du processus d’inversion, mais il est nécessaire de la modéliser ultérieurement pour vérifier l’apport des différentes composantes formant la tache focale. Dans le cas où le champ transverse serait le champ d’intérêt pour une application donnée, la technique est facilement adaptable.

(a) Champ recherché Ez(z, 0) et son contenu spectral

(b) Illumination en utilisant la technique d’inversion

(c) Comparaison entre la composante Ez(z, 0) de RWT et de la relation

(d) Comparaison entre la composante Er(z, 0) de RWT et de la relation

théorique

(e) Comparaison entre la composante Er(0, r) de RWT et la relation théo-

rique

Figure 3.3 – Inversion de la distribution Ez(z, 0)du faisceau TM01avec a = λ pour un miroir

parabolique sur l’axe optique. En (a), les lignes pointillées représentent les limites physiques du contenu du spectre de l’onde plane. En (c) et (d), on remarque que le champ est pratiquement celui attendu. Cependant, on observe une discontinuité en α = 0 pour l’illumination en (b).

La figure d’illumination nécessaire à l’obtention d’une distribution longitudinale ne peut être directement évaluée par une transformée de Hankel inverse comme il l’a été fait lors de la précédente section avec des transformées de Fourier. Bien que la forme de l’équation (3.23) est pratiquement la définition de la transformée de Hankel, soit

Ez(0, r) =

Z ∞

0

f (b)J0(br)bdb, (3.25)

en utilisant b = k sin α, les limites d’intégrations deviennent pathologiques dès que αmax> π₂.

En effet, dès que αmax dépasse π₂, le changement de variable vers b provoque un retour sur

des valeurs qui ont contribué dans l’intégrale et donc, les contributions à l’intégrale se voient diminuées. Lorsque le domaine d’intégration de l’angle α couvre tout l’angle solide (i.e., α ∈ [0, π]), le résultat de l’inversion donne inévitablement une constante nulle. Mathématiquement, on observe que Ez(0, r) = Z k 0 + Z 0 k  f (b)J0(br)bdb = 0. (3.26)

L’inversion naïve suivant une technique analogue à Leutenegger et coll. [53] n’est pas possible dans ce cas de figure. Il est cependant possible de contourner ce problème en effectuant l’inver- sion sur un domaine angulaire restreint afin d’obtenir l’illumination d’une distribution radiale particulière avec la technique de Richards-Wolf.

Inversion radiale sur des sous-domaines

En utilisant le changement de variable b = k sin α, il est possible d’effectuer l’inversion sur une moitié du domaine, soit α ∈ [0,π

2]. À la manière de la section 3.3.1, on peut définir la fonction

f (b)comme

f (b) = t(b; k)E0

2k2q(α)l0(α) tan α, (3.27)

ce qui permet d’obtenir la fonction d’illumination l0(α)

l0(α)t(b; k) = H−1₀ {Ez(0, r)}

2k2 E0q(α) tan α

. (3.28)

Il est possible de déplacer le domaine angulaire d’inversion pour couvrir la seconde moitié du domaine α ∈ [π

2, π]. Cette procédure permet d’éviter le problème des bornes d’intégration. Il

faut alors utiliser le changement de variable c = k cos α ce qui permet d’écrire la relation f (c) = E0 2k2q  α +π 2  l0  α +π 2  cot α; (3.29) l0  α +π 2  = t(c; k)H−1₀ {Ez(0, r)} 2k2 E0q α + π₂
cot α . (3.30)

De cette façon, en utilisant les deux changements de variable, il est possible de couvrir le domaine angulaire complet. Comme le contenu spectral des deux solutions est le même en raison de la périodicité des changements de variable, la combinaison des deux solutions entraîne une superposition des distributions longitudinales. Une normalisation est nécessaire comme chaque transformée donne une solution complète au problème d’inversion posé. En raison de la parité du couple q(α)l0(α), la composante transverse est souvent déphasée en fonction du

changement de variable utilisé. En additionnant les deux parties, la composante transverse peut s’annuler. Une fois l’illumination obtenue, il faut donc effectuer la modélisation pour vérifier le champ électrique obtenu. Comme l’inversion se produit sur un domaine plus restreint que dans le cas sur l’axe optique, on pourrait s’attendre à une diminution des fréquences accessibles. Cependant, en raison du changement de variable périodique, le contenu spectral est symétrique entre les fréquences positives et négatives ce qui n’implique pas de perte d’information à ce niveau. Comme le contenu du spectre d’ondes planes est inchangé, les critères permettant de le limiter restent les mêmes.

Test analytique : distribution radiale sinc(2πr0)

La méthode d’inversion décrite dans la section précédente est appliquée pour une distribution longitudinale suivant la relation

Ez(0, r0) =sinc(2πr0), (3.31)

en utilisant encore une fois un miroir parabolique (i.e., q(α) = sec2 α 2

) et r0 ₌ r

λ. Les résultats

sont présentés à la figure3.4.

Comme attendu, peu importe le changement de variable utilisé, que ce soit b, c ou même les deux après la normalisation, on obtient la même distribution longitudinale sur l’axe radial en utilisant l’illumination de l’inversion dans le formalisme de Richards-Wolf. Dans la figure

3.4(a), une seule courbe est naturellement présentée et cette dernière est essentiellement celle de la définition recherchée. Sans surprise, on remarque que le contenu spectral est strictement à l’intérieur des limites dans la figure3.4(b). Encore une fois, la solution numérique est meilleure que la tolérance utilisée sans être montrée. Utiliser une combinaison des illuminations obtenues pour des sous-domaines permet d’obtenir une distribution purement longitudinale 3.4(d). Or, cette situation était attendue comme le couple q(α)l0(α) est symétrique autour de α = π₂.

La technique présentée permet l’inversion d’une multitude de champs longitudinaux tant et aussi longtemps que le critère t(b; k) montrant les limites du contenu spectral accessible est respecté. On note aussi que la fonction d’illumination pour le premier sous-domaine, soit le

(a) Composante Ez recherchée et celle obtenue

avec l’inversion

(b) Contenu spectral pour obtenir produire l’illu- mination de (c)

(c) Illumination dans le domaine angulaire (d) Calcul suivant RWT de la composante Erima-

ginaire après l’inversion

Figure 3.4 – Inversion sur différents sous-domaines d’un champ Ez(0, r) = sinc(2πr0) sur

l’axe radial pour un miroir parabolique en utilisant k = 2π. Les lignes grises dans la figure (b) sont les limites du contenu spectral et le champ obtenu est essentiellement celui recherché. En utilisant les deux changements de variable, la composante transverse Er est nulle. On note en

(c) que l’illumination diverge pour α → 0.

cas où α ∈ [0, π/2], est donnée par la fonction analytique suivante

l0(α) = 1 4π3/2cos 2α 2  cot α G₁₀01 "( {·} , 1/2 0 , {·} ) ,(k sin α) 2 4π2 # . (3.32) où k = 2π et la fonction Gmn pq "( ~ ap ~ bq ) , z #

est la fonction spéciale de Meijer G [58]. Certes, cette fonction est complexe, elle donne tout de même la distribution recherchée.

Test analytique : super-gaussiennes de tailles différentes

Dans le cas où l’inversion est appliquée pour une distribution de plus en plus petite, le contenu spectral s’étendra de plus en plus jusqu’à dépasser la limite physique accessible par le système optique.

(a) Contenu spectral de l’illumination pour diffé- rentes super-gaussiennes

(b) Champ Ez recherché et celui obtenu de par

l’inversion pour ∆r = 0.25 [-]

(c) Champ Ez recherché et celui obtenu de par

l’inversion pour ∆r = 0.5 [-]

(d) Champ Ez recherché et celui obtenu de par

l’inversion pour ∆r = 0.75 [-]

Figure 3.5 – Inversion sur différents sous-domaines d’un champ Ez(0, r) = exp −(r/π∆r)4

sur l’axe radial pour un miroir parabolique avec k = 2π. En (a), les lignes pointillées repré- sentent les limites physiques du contenu spectral. En (c) et (d), on remarque que le champ est pratiquement celui attendu. Cependant, lorsque le critère n’est pas respecté, la distribution focale n’est pas complètement formée (b).

pour l’axe radial est appliquée pour des champs focaux répondant à la relation suivante Ez(0, r0) = e(−(r

0_/π∆r)4₎

, (3.33)

où r0 ₌ r

λ est la position sur l’axe radial pour un miroir parabolique (i.e., q(α) = sec

2 α

2

) lorsque ∆r = 0.25, 0.5, 0.75. Pour obtenir les résultats de la figure 3.5, une limite dure a été implémentée sur b ou c = ±k dans la définition de l’illumination pour effectuer l’intégration de Richards-Wolf. Une borne plus graduelle aurait pu être utilisée par l’introduction d’un filtre spectral super-gaussien, par exemple. Cependant, comme cela ne ferait qu’accentuer l’effet observable. Ce choix n’a donc pas été fait. Dans le cas de la figure pour le paramètre ∆r = 0.25, il manque une portion de hautes fréquences permettant de former complètement le champ attendu. Cet effet est visible même si les contributions ne sont qu’une fraction infime en amplitude par rapport au centre du spectre montré sur la figure 3.5(a).

Cette observation est analogue à celle de Jahn et coll. [48] lorsqu’une très faible portion de l’énergie était hors de portée du système physique. Ainsi, respecter le critère sur les limites

du contenu spectral est impératif afin d’obtenir la distribution au foyer recherchée à l’aide de notre technique.