3.3 Technique d’inversion proposée
3.3.1 Technique d’inversion selon l’axe optique
L’idée de notre implémentation est donc simple. Il suffit de déterminer une solution générale permettant d’inverser le formalisme de Richards-Wolf dans le contexte d’un système optique aplanétique. Il est alors possible de définir la fonction d’illumination en spécifiant la tache focale recherchée selon l’axe radial ou l’axe optique du système optique.
De l’équation (3.3), la distribution sur l’axe optique (i.e., r = 0) est strictement longitudinale et suit la relation Ez(z, 0) = E0 2 Z αmax 0
q(α)l0(α) sin2α exp[−ikz cos α]dα, (3.11)
comme J0(0) = 1 et J1(0) = 0. On observe alors que la définition du champ longitudinal est
celle d’une transformée de Fourier angulaire non unitaire de la forme Ez(z, 0) =
1 2π
Z ∞
−∞
f (a)eiazda. (3.12)
Pour ce faire, il est possible de changer les limites d’intégration sans problème comme l0(α)q(α) →
0 ∀ α 3 [0, αmax]. Il est nécessaire de faire le changement de variable suivant
a = −k cos α ; da = k sin αdα, (3.13)
ce qui permet d’obtenir une définition pour la fonction f(a) f (a) = t(a, k)E0π
k l0(α)q(α) sin α, (3.14)
où le changement de variable permettant de passer de α vers a est appliqué. Aussi, un critère artificiel t(a; k) est ajouté et défini
t(a; k) = (
1 −k cos αmax < a < k cos αmax
0 ailleurs . (3.15)
Ce dernier permet de limiter l’étendue du spectre d’ondes planes. Dans le cas où ce critère n’est pas respecté, la solution de l’inversion obtenue est non physique dans le contexte de la modélisation de focalisation par le formalisme de Richards-Wolf. Le champ sur l’axe optique est relié à la fonctionf(a)
f (a) = F {Ez(z, 0)} . (3.16)
Ainsi, la figure d’illumination devant être utilisée pour obtenir une distribution électrique sur l’axe optique pour un système optique général est obtenue
l0(α) = t(a; k)F {Ez(z, 0)}
k E0πq(α) sin α
Appliquer le critère t(a; k) est important comme il vient limiter le domaine du spectre d’ondes planes. Autrement, utiliser la figure d’illumination ne permet pas de former la distribution souhaitée. Les hautes fréquences nécessaires à la formation de la tache focale ne sont pas physiquement accessibles. Un exemple de cet effet est présenté plus tard dans la section3.3.2. On note aussi que la phase du champ Ez(z, 0)doit être explicitée sur l’axe et la technique ne
permet pas de faire l’inversion de l’intensité du champ électrique, du moins, dans la formulation actuelle.
Ce résultat est près de celui obtenu par Leutenegger et coll. [53]. Les avancées de notre méthode résident dans les points suivants : il est possible d’obtenir des solutions analytiques pour la fonction d’illumination et le critère (3.15) permet de vérifier si cette solution obtenue est physiquement accessible par le système optique aplanétique.
Test analytique : l’illumination presque gaussienne
En utilisant quelques approximations, Dehez et coll. [29] ont obtenu une solution approchée de la distribution électromagnétique obtenue par un miroir parabolique étant éclairé par une source à polarisation radiale suivant la définition
l0(α) = 1 √ π∆αe −α−α0 ∆α 2 . (3.18)
En posant notamment α0 ∆α, les auteurs concluent qu’il est possible d’approximer la tache
focale suivant la relation
Ez(z, 0) ≈ E0 2 q(α0) sin 2(α 0)e−(z/z0) 2 e−ik cos α0, (3.19)
où z0 = π sin αλ0∆α. Le facteur d’apodisation est celui d’un miroir parabolique, soit q(α) =
sec2 α 2
et les autres paramètres sont définis : α0= π2 et ∆α = 0.1. En enlevant les constantes
pour alléger la notation, le champ recherché devient ˆEz = exp−(z/z0)2
. En utilisant la technique présentée dans la section précédente, il est possible d’obtenir la relation analytique suivante
l0(α) = t(a; k)F { ˆEz}
k
E0π sec2 α2 sin α
, (3.20)
ce qui permet d’obtenir la solution analytique exacte que doit avoir l’illumination l0(α)pour
produire une tache gaussienne
l0(α) = t(a; k) 20 √ πe (−100 cos2α) cos2 α 2 csc α. (3.21)
La figure 3.2 présente le résultat de la technique d’inversion sur l’axe optique. On a omis de mettre le spectre angulaire de la fonction d’intérêt comme la transformée de Fourier d’une
(a) Distribution recherchée (b) Illumination obtenue et sa variation par rap- port à l’approximation
(c) Champ électrique Ez après RWT de l’illumi-
nation obtenue par l’inversion
(d) Variations absolues de la distribution obtenue par RWT de la fonction gaussienne et RWT de l’illumination obtenue de l’inversion
Figure 3.2 – Inversion d’une distribution Ez(z, 0) = exp −z2/z20
à l’aide d’un miroir para- bolique sur l’axe optique. La fonction gaussienne utilisée pour l’approximation en (b) et (d) est définie suivant la relation l0(α) = √π∆α1 exp
− (α − α0/∆α)2 où α0 = π2 et ∆α = 0.1.
La composante transverse Er est, par définition, nulle.
gaussienne est trivialement une gaussienne. On a préféré comparer l’illumination gaussienne utilisée par les auteurs à la solution analytique. La variation entre les deux méthodes est no- table dans la figure3.2(b). En utilisant la modélisation RWT et l’illumination obtenue suivant la technique d’inversion, le champ Ez(z, 0)est essentiellement le même que la distribution re-
cherchée. La partie imaginaire tombe exactement à zéro pour toutes valeurs de z
λ et la partie
réelle possède une erreur absolue normalisée inférieure à 2.5·10−12[-]. Cette valeur d’erreur est
inférieure au critère de convergence utilisé pour la routine numérique, soit 10−10 sur l’erreur
absolue. Dans la figure 3.2(d), il est facile de constater que la technique d’inversion possède une erreur des ordres de grandeur plus petite que celle de l’approximation proposée par April et ses collaborateurs. L’approximation des auteurs reste excellente et est très peu perceptible en considérant l’amplitude du champ Ez(z, 0)(une erreur absolue normalisée de 10−3) malgré
une variation notable sur la fonction d’illumination.
Il est possible d’inverser le phénomène de focalisation permettant de définir l’illumination à polarisation radiale en fonction d’une distribution longitudinale sur l’axe optique. Par le fait même, il est possible d’apprécier le travail d’approximation effectué par Dehez et coll. [29] dont les résultats restent excellents.
Bien entendu, cette technique analytique est applicable à une grande diversité de champs Ez(z, 0). Il suffit d’avoir une fonction pouvant être inversée et dont le contenu du spectre
d’ondes planes est limité à l’intérieur de a ∈ [−k, k].
On remarque aussi une petite subtilité. La fonction d’illumination est légèrement différente de la gaussienne qu’on s’attendrait à obtenir dans un contexte de focalisation en régime paraxial. C’est donc une signature du régime dans lequel le système focalisant est opéré. Il faut donc rester prudent lorsqu’on projette les connaissances acquises en régime paraxial directement vers le régime non paraxial comme le cas simple exposé ne suit pas exactement cette logique.
Test numérique : inversion d’un champ TM01
Dans le cas où le domaine des solutions analytiques n’est pas accessible, une solution numérique est souvent accessible par l’entremise de transformées de Fourier rapides (FFT) pour l’inversion sur l’axe optique. Le cas d’une distribution d’un champ électromagnétique correspondant au mode TM01est donné en exemple. Ce type de faisceau est particulièrement prisé en raison des
propriétés de focalisation le rendant intéressant pour la super-résolution. Apporter une nouvelle méthode permettant de produire ce type de faisceau sans méthode d’interférométrie [54] ou avec un appareillage optique important [55] est donc souhaitable. On cherche à déterminer l’illumination permettant d’obtenir une distribution focale ayant la forme
" Er Ez # = e−ka " 1 2j2(k ˜R) sin 2˜θ 2 3j0 k ˜R) + j2(k ˜R n 1 + 3 cos 2˜θo/4 # (3.22)
où les fonctions jv(x) sont des fonctions de Bessel sphériques, ˜R = pr2+ (z + ja)2 et ˜θ =
arccosz+ja˜
R .
La figure 3.3montre le résultat de l’inversion sur l’axe optique du champ Ez(z, 0)dans le cas
particulier dans le cas où a = λ pour un miroir parabolique. Comme l’inversion se fait de manière discrète, une interpolation de la fonction d’illumination obtenue a été nécessaire à l’aide d’une routine Python. De plus, le domaine spatial sur lequel s’étend la distribution sur l’axe optique vient changer la fonction d’illumination en raison de la nature périodique de la transformée. Un domaine de plusieurs fois la dimension de la tache focale est donc requis. Dans le cas ici présent, un domaine 25 fois plus grand a été utilisé de manière arbitraire. Pour plus d’information, voir la documentation d’une transformée de Fourier rapide [56] ou encore celle
de Numpy [57]. On note enfin que les champs ont été normalisés par rapport au maximum de la partie réelle de composante Ez(z, 0).
De la figure 3.3, on remarque facilement que les champs électriques obtenus sont encore une fois ceux attendus sauf dans le cas du champ Er(0, r)qui, si on montrait l’intensité, serait exac-
tement la courbe recherchée. De cette façon, l’une des définitions angulaires doit être erronée dans la méthode utilisée, mais le temps manque afin de résoudre cette problématique. Après l’inversion, une discontinuité numérique est observable en α = 0 pour l’illumination. Cette dis- continuité est en fait un artéfact puisque la composante fait diverger l’illumination. En effet, le facteur 1/ sin α diverge lorsque α → 0 est simplifié lors de la modélisation de la focalisation et lève cette situation non physique. Ainsi, s’il est possible de générer la figure d’illumination, il serait possible d’obtenir un champ TM01avec seulement un miroir parabolique et un champ
incident de polarisation radiale !
La méthodologie décrite dans la section précédente permet donc d’obtenir des solutions ana- lytiques dans certains cas de figure, mais elle n’est pas limitée à celles-ci comme on peut s’y attendre.