Savoir exploiter une distribution focale particulière ainsi que sa polarisation est l’une des pistes permettant d’améliorer les performances d’un système optique pour une application donnée. En lien avec ce mémoire, les caractéristiques de focalisation en régime non paraxial ont été cruciales pour l’amélioration dans des domaines variés. Ces domaines sont notamment la microscopie super-résolution [4;42], le piégeage optique [9;10] et l’accélération d’électrons [6;7]. Bien entendu, la figure d’illumination est décisive afin d’obtenir une tache focale optimale à une certaine application [1;2;43;44;45] et obtenir des relations analytiques permet d’avoir une meilleure intuition du phénomène à l’étude.
Il est assez facile de trouver des lignes directrices dans la littérature permettant d’espérer tendre vers une distribution optimale au foyer. Par exemple, l’utilisation d’une polarisation radiale en régime non paraxial est présentée comme désirable afin d’obtenir une tache focale de plus faible dimension [3]. Ces guides s’appuient ensuite sur l’intuition du chercheur afin de poser une fonction d’illumination qui sera optimale pour ses besoins. Une inversion directe du phénomène de diffraction est donc souhaitable pour aider plus sérieusement les chercheurs à optimiser leur système. Les prochaines sous-sections présentent rapidement différentes implé- mentations se retrouvant dans la littérature avant de donner plus de détails sur la technique développée par le groupe de recherche.
3.2.1 Inversion par projection de fonctions propres
Cette technique d’inversion est dans les premières ayant été proposées permettant d’inverser un formalisme analogue à celui de Richards-Wolf. On effectue une décomposition du champ recherché sur une base donnée et en utilisant judicieusement les propriétés mathématiques des fonctions utilisées, l’inversion du processus de focalisation est possible. Le champ électrique
recherché est alors défini selon ~ E(~r; ci) = imax X i=1 ciφ0i(~r) (3.4)
où les coefficients de poids ci peuvent être complexes et sont à déterminer. Selon l’auteur,
les fonctions propres utilisées φ0i(~r) varient. En effet, les fonctions prolates sphériques [46]
ou encore des harmoniques Slepian vectorielles [47; 48] sont choisies parce qu’elles forment une base ayant les mêmes propriétés mathématiques que les fonctions intégrales devant être solutionnées lors de la focalisation. Ainsi, formuler l’inversion sur l’une de ces bases apparaît naturellement. Ces fonctions sont une combinaison linéaire de champs multipôles scalaires ou vectoriels. Par exemple, pour la version vectorielle [48], les fonctions propres en coordonnées sphériques sont φ0j(~r) = L X l=1 h ujl0M~l0(~r) + vjl0V~l0(~r) i (3.5) ~ Ml0(~r) = −2ilk [l(l + 1)]−1/2 ˆ eφ ∂ ∂θ − 1 sin θˆeθ ∂ ∂φ j1(kr)Yl0(θ, φ) (3.6) Vl0(~r) = − i k∇ × ~Ml0(~r) (3.7)
où j1(x)est la fonction de Bessel sphérique et Yl0(θ, φ)dénote l’harmonique sphérique scalaire.
Cette base est en fait une manière d’écrire le contenu spectral de l’onde plane d’un système focalisant sur une sphère unitaire [47] ou, autrement dit, une illumination ayant un angle solide de 4π.
Cependant, lors de l’inversion, ce type de méthode fait intervenir un processus itératif afin de minimiser l’erreur carrée de l’intensité du champ recherché dans un volume afin d’en extraire les poids ci. Aussi, cette stratégie peut s’avérer susceptible aux conditions limites ; des variations
sont visibles lorsque le volume utilisé pour déterminer les poids est insuffisant ou encore lorsque l’illumination d’un système réel ne permet pas la plage de fréquences nécessaire. Par exemple, dans l’article de Jahn et coll. [48], on présente qu’une variation de 0.54% du contenu spectral d’ondes planes accessible amène des variations non négligeables de l’ordre de 10% en intensité. De plus, bien qu’on obtienne des fonctions d’illumination analytiques, la base utilisée est peu intuitive.
3.2.2 Inversion par processus itératif
Une autre stratégie permettant d’inverser le formalisme est d’utiliser un algorithme itératif. Ce dernier cherche à modifier la fonction d’illumination afin de la faire converger vers une définition produisant le champ recherché après focalisation. L’algorithme de Gerchberg-Saxton [49] et les nombreuses itérations émanant de ce dernier sont particulièrement utilisés afin
d’obtenir la figure d’illumination. Récemment, Hao et coll. [50] ont proposé une itération de la méthode permettant d’inverser une distribution avec une phase imposée. L’organigramme de la technique itérative est présenté en figure 3.1.
Figure 3.1 – Organigramme du processus itératif permettant d’obtenir la polarisation et la phase permettant d’obtenir une distribution recherchée [50].
Cette technique d’inversion demande souvent un temps de calcul important et la convergence vers une solution n’est pas assurée. En raison de la nature itérative du schéma d’inversion, il n’est pas possible d’obtenir des solutions analytiques. Enfin, ce type d’inversion nécessite un appareillage permettant de modifier directement la polarisation du champ incident [50]. Ce type d’inversion n’apparaît donc pas optimal puisque cette technique n’inverse pas directement le phénomène de focalisation.
3.2.3 Inversion de la modélisation
Enfin, il est possible d’attaquer le problème de l’inversion directement au niveau du formalisme. Chen et coll. ont proposé une méthode permettant d’inverser une distribution d’amplitude, de phase et de polarisation définies en trois dimensions [51]. Similairement, Zhang et coll. ont présenté une méthode inverse permettant d’obtenir l’illumination nécessaire à l’obtention de taches focales d’intensité uniforme de forme variable [52]. Ces travaux suivent la description discrète du processus de focalisation effectuée par Leutenegger et coll. [53] pour ensuite l’inver- ser. Mathématiquement, cela revient à discrétiser le champ ~Et tout de suite après le système
focalisant respectant la condition d’imagerie d’Abbe selon une grille cartésienne uniforme (i.e., ∆x = ∆y). Ainsi, le formalisme de Richards-Wolf peut être formulé comme
~ E(xkl, ykl, z) = − iR2 λ0f M2 F F T eikzmnzE~t(θmn, φmn) cos θmn ! , (3.8)
θmn= arcsin ∆x f p m2+ n2 , (3.9) φmn= arctan n m , (3.10)
où M est le nombre de points utilisés lors de la discrétisation et le couple (m, n), un point donné appartenant à M venant contribuer au calcul de la distribution focale. On note que le terme ~Et comprend donc toute l’information sur la polarisation et la figure d’illumination.
Ainsi, en inversant cette méthode permettant de déterminer la distribution de la tache focale, Chen et coll. ainsi que Zhang et coll. ont pu définir l’illumination en fonction de la distribution recherchée.
Cependant, seules des solutions numériques peuvent être obtenues suivant les méthodes pré- sentées par les deux auteurs. Tout comme pour les processus d’inversion itératifs, les auteurs ont besoin d’un appareillage expérimental supplémentaire au système focalisant : un géné- rateur de faisceau vectoriel (VGB). Ce générateur est nécessaire pour garantir que la figure d’illumination obtenue est physiquement accessible par le système focalisant.