Confronter la modélisation pour différents miroirs va nous éclairer sur les performances du formalisme étendu et possiblement sur les causes des variations entre la théorie et la simulation numérique.
De cette façon, on a débuté avec des simulations en 2D très simples. Une impulsion gaus- sienne étroite est envoyée à une hauteur particulière pour être en régime non paraxial sur un miroir parfaitement réfléchissant. Comme on veut vérifier différents cas de figure, on fait varier l’excentricité du miroir. La surface des miroirs est définie suivant la relation
ρ(θ) = 1 +
Afin d’étudier des surfaces connues et d’autres ne pouvant pas être modélisées par la théorie classique, un miroir sphérique ( = 0), un miroir parabolique ( = 1) et deux miroirs elliptiques ( = 0.5, 0.8) ont été choisis pour notre étude. Les simulations FDTD permettent d’étudier l’évolution temporelle et spatiale d’un champ électromagnétique de manière compatible avec les équations de Maxwell. Pour faire l’analyse et conclure que le formalisme est compatible avec le résultat des équations de Maxwell, on doit utiliser l’intensité moyennée sur une grande période afin d’obtenir l’enveloppe du champ. La dépendance temporelle est donc levée, mais nécessite d’introduire des erreurs en raison d’un moyennage. Afin de diminuer l’influence des sources à la tache focale, leurs contributions sont soustraites. Pour comparer les résultats de l’algorithme FDTD à la théorie étendue de Richards-Wolf, cette dernière a été modélisée à l’aide d’une intégration numérique suivant une quadrature gaussienne implémentée en Python. Pour des raisons de temps de simulation et d’espace mémoire accessible, une grille d’environ 30 unités de longueur par 20 unités de hauteur a été simulée. Une symétrie de rotation est utilisée et la grille est discrétisée de manière à avoir 300 points par unité de longueur avec le pas temporel nécessaire pour assurer la stabilité de l’algorithme (voir l’équation (2.14)). En utilisant une longueur d’onde λsimpour les sources de 0.1 unité de longueur, on a pu modéliser
des miroirs mesurant environ 150λsim de rayon pour les différentes excentricités. Les miroirs
sont complètement entourés par la couche absorbante (PML). Avec ces paramètres, on dépasse agréablement la recommandation de 8 points par longueur d’onde de MEEP [38]. L’observation du phénomène d’interférence à la tache focale ne devrait alors pas être problématique. La fonction d’illumination utilisée à polarisation radiale est définie par
l0(α) = exp −(α − α0)2/∆α2, (2.21)
où α0 = π2 et ∆α = 0.1 pour être dans un régime non paraxial. La limite normalement acceptée
est d’environ α0≈ 10π.
La figure 2.3 montre le résultat final pour un miroir elliptique d’excentricité = 0.8. On remarque que la différence est sous 5% pour la partie sur l’axe optique et est moindre pour la partie radiale. Bien ces résultats montrent que la modélisation se rapproche bien des solutions des équations de Maxwell, est-ce qu’on pourrait faire mieux ? Dans le cadre de cette maîtrise, malheureusement non. Exposer différentes pistes d’explication semble donc nécessaire.
2.3.1 Problématique entourant l’illumination
Comme il a été mentionné, les sources dans MEEP sont définies comme des sources de courant dans un plan. Définir une fonction d’illumination directement sur le miroir était donc impos- sible et comme on simule des sources réalistes, elles sont divergentes. La fonction d’illumination obtenue possède donc une amplitude, une phase et une direction de propagation légèrement
(a) Distribution du champ (b) Erreurs normalisées
Figure 2.3 – Figure d’intensité et différences normalisées entre la simulation FDTD et le formalisme ERWT pour un miroir elliptique ( = 0.8).
différente que celle initialement posée dans la théorie ERWT. L’amplitude de la source est montrée dans la figure 2.4 et en effectuant des tests, il est possible de mesurer un rayon de courbure d’environ 250λsim du front de phase, ce qui commence à être non négligeable dans
notre cas.
Figure 2.4 – Différence entre les amplitudes des illuminations des méthodes numériques Cette variation vient directement jouer sur la figure de diffraction obtenue au plan focal du système optique. Pour lever cette difficulté, une interpolation peut être utilisée pour définir la fonction d’illumination du système avec la focalisation par les équations de Richards-Wolf étendue et corriger la tache focale. Ceci a été fait pour améliorer les figures obtenues.
Aussi, comme le front d’onde incident sur le miroir n’est pas totalement plan, apporter une correction au formalisme est souhaitable. Celle-ci aura certainement un impact sur la figure d’illumination obtenue comme l’énergie ne sera pas envoyée dans l’espace dans les mêmes pro- portions. Comme décrit dans la section 1.2, dans la thèse de Panneton [18], deux méthodes sont exposées afin de traiter ce type de champs incidents. Dans le contexte de ce projet, seule- ment la première méthode de correction dite paraxiale a été implémentée comme les fonctions d’illumination utilisées sont étroites et de forme gaussienne. Malheureusement, l’implémenta-
tion de cette correction a peu d’effet en comparaison à simplement utiliser l’interpolation de la fonction d’illumination de la simulation dans le modèle théorique ERWT. Ainsi, incorporer les résultats dans le présent mémoire semble superflu, mais digne de mention. Un traitement complet de la divergence semble donc nécessaire afin de lever les différences observées. L’utili- sation du formalisme modifié permettant de traiter l’angle de divergence sur un miroir serait souhaitable, mais n’a cependant pas été étudiée dans le présent mémoire.
Malgré tout, la modélisation par le formalisme de Richards-Wolf étendu reste un excellent outil permettant d’étudier le comportement au foyer. La difficulté rencontrée entourant l’illu- mination du miroir entre le cas théorique et le cas numérique montre la nécessité de connaître au mieux la fonction d’illumination arrivant sur le système. Ainsi, la question suivante est par- ticulièrement intéressante : que doit-on envoyer sur le système optique pour avoir un champ en particulier ? Or, c’est exactement cette question qu’on a approfondie dans le prochain chapitre
3.
2.3.2 Sensibilité aux paramètres utilisés
Selon les paramètres utilisés pour effectuer les simulations FDTD, le profil d’illumination peut changer de manière incontrôlée. Par exemple, en conservant tous les paramètres de la simulation (résolution de la grille de Yee, hauteur et largeur des sources, temps de moyennage long, grandeur du miroir, etc.) excepté pour la longueur d’onde d’émission de la source λsim
qui a été divisée par un facteur 2, le résultat obtenu est beaucoup moins satisfaisant comme on peut le constater dans la figure2.5. De cette façon, la technique actuellement utilisée n’est pas robuste. 20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation (a) λsim= λ 20 15 10 5 0 5 10 15 20 z/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (0 ,z )> t 3 2 1 0 1 2 3 r/λ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 < we (r ,0 )> t theorique simulation (b) λsim =λ2
Figure 2.5 – En changeant seulement la longueur d’onde d’un facteur 2, pour un même temps de moyennage, le profil d’intensité est dramatiquement modifié lors de la comparaison des simulations FDTD et de la théorie ERWT.
2.3.3 Limitations de l’algorithme
Bien qu’on pensait que cela ne serait pas problématique, la technique FDTD demande beau- coup de ressources autant du point de vue numérique que temporel. Un compromis a donc dû être fait et il a fallu se limiter en taille ou en résolution, autrement, celles-ci ne se terminent pas. Il était aussi difficile d’itérer sur différentes versions de la simulation et déterminer ce qui était problématique en raison du nombre possible de simulations à résolution intéressante par semaine.
La résolution de la simulation dicte la discrétisation de la surface réfléchissante. Comme la dimension de la simulation est petite, la fonction d’illumination sur le miroir est très étroite et la réflexion sur ce dernier en escalier peut affecter le résultat final. Cependant, une mesure de l’effet de cette pixélisation n’a pas été effectuée.
Aussi, l’une des pistes permettant d’expliquer une asymétrie de l’erreur observée dans la figure
2.3 vient du fait du moyennage temporel effectué. En raison de la géométrie du problème et la dimension de l’aiguille de lumière produite dans les simulations, les contributions selon l’axe radial sont contraintes à des variations moins importantes que sur l’axe optique. Ce fait pourrait expliquer pourquoi les résultats observés.
Initialement, on désirait tester des géométries variables avec plusieurs termes d’aberration pour une surface en 3 dimensions et cela à même guider le choix du type d’algorithme. Cependant, en raison des problématiques rencontrées avec une symétrie radiale, cette étude a complètement été laissée de côté. Or, l’un des objectifs identifiés de cette maîtrise est justement d’étudier la manière de traiter ce type de surface. L’étude de ce type de surfaces restera alors théorique et présentée dans le chapitre 4.