2016-2017

(1)

ISA BTP ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2016-2017

CONTR ˆOLE CONTINU Fourier - Laplace

Dur´ee : 1h30 Calculatrices autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la pr´esentation et de la r´edaction.

Exercice 1 Associer `a chaque signal Si sa transform´ee de Fourier Ti. On justifiera les associations.

S1 S2 S3

S4 S5

T1 T2 T3

T4 T5

(2)

1. Tracer le graphe de f sur [−4π, 4π] et donner sa parité (sans justifier). 2. Déterminer les coefficients de Fourier réels puis la série de Fourier de f . 3. Montrer que ∀t ∈ R, f (t) =2π 2 3 − 4 +∞ X n=1 (−1)n n2 cos(nt)

4. D´eterminer les sommes suivantes : S1= +∞ X n=1 (−1)n+1 n2 , S2= +∞ X n=1 1 n2, S3= +∞ X n=1 1 n4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 1. Donner la d´efinition de la transform´ee de Laplace L(f ) d’une fonction f . 2. Pour tout n ∈ N, on note

fn : t 7−→ tn.H(t)

où H est la fonction échelon définie par H(t) =

1 _{si t > 0}

0 sinon et l’on note Fn(p) la transform´ee de Laplace L(fn)(p).

(a) `A l’aide de la d´efinition, calculer F0(p) en fonction de p.

(b) `A l’aide d’une int´egration par parties, exprimer Fn+1(p) en fonction de Fn(p).

(c) En d´eduire Fn(p) en fonction de n et p.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 4 1. On consid`ere la fonction f d´efinie par

∀t ∈ R, f (t) = H(t) − 2H(t − 1) + H(t − 2) où H est la fonction échelon définie par H(t) =

1 _{si t > 0} 0 sinon (a) Tracer le graphe de la fonction f sur [−1, 4].

(b) Calculer la transformée de Laplace F (p) de f . 2. On note (P ) le problème différentiel défini par

(P ) :

y0+ y = f (t) y(0) = 0

où f est la fonction définie à la question 1. On admet que ce problème admet une unique solution (encore notée y) et l’on note Y (p) sa transformée de Laplace.

(a) Montrer que y est solution de (P ) si et seulement si Y (p) = 1 p− 1 p + 1 − 2 1 p− 1 p + 1 e−p+ 1 p− 1 p + 1 e−2p

(b) En d´eduire y(t) sous forme explicite. On donnera d’abord y en fonction de la fonction H puis on pourra distinguer les cas

t < 0, _{0 6 t < 1,} _{1 6 t < 2,} _{t > 2} (c) Superposer `a la courbe de f la courbe de y.

? ? ?

(3)

CORRECTION

Exercice 1 : S1↔ T3 S2↔ T1 S3↔ T2 S4↔ T4 S5↔ T5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 : 1.

-10

-5

5

10

2

4

6

8

10

2. Puisque f est p´eriodique de p´eriode T = 2π, on a ω =2π_T = 1. Ainsi, pour tout n > 0, on a an(f ) = 2 T Z [T ] f (t) cos(nωt)dt = 1 π Z π −π (π2− t2_{) cos(nt)dt} = 2 π Z π 0

(π2− t2_{) cos(nt)dt} _{car f est paire}

En posant u(t) = π2_{− t}2 _⇒ _u0_(t) ₌ _−2t v0(t) = cos(nt) ⇒ v(t) = _n1sin(nt) on a an(f ) = 2 π π2_{− t}2 n sin(nt) π 0 +2 n Z π 0 t sin(nt)dt = 4 nπ Z π 0 t sin(nt)dt En posant alors u2(t) = t ⇒ u02(t) = 1 v0₂(t) = sin(nt) ⇒ v2(t) = −_n1cos(nt) on a an(f ) = 4 nπ −t ncos(nt) π 0 + 1 n Z π 0 cos(nt)dt = −4(−1) n n2

(4)

π ₀ π 3 ₀ 3 Enfin, puisque f est paire, pour tout n ∈ N on a bn(f ) = 0.

La s´erie de Fourier de f est donc

Sf(t) = 2π2 3 − 4 +∞ X n=1 (−1)n n2 cos(nt)

3. Puisque f (−π) = f (π) = 0, f est continue sur R. Elle est donc partout égale à sa série de Fourier et ∀t ∈ R, f (t) = Sf(t) 4. S1 : on pose t = 0. On a alors π2= f (0) = 2π 2 3 − 4 +∞ X n=1 (−1)n n2 = 2π2 3 + 4S1 d’où S1= +∞ X n=1 (−1)n+1 n2 = 1 4 π2−2π 2 3 =π 2 12 S2 : on pose t = π. Puisque cos(nπ) = (−1)n, on a alors

0 = f (π) =2π 2 3 − 4 +∞ X n=1 ((−1)n)2 n2 = 2π2 3 − 4S2 d’où S2= +∞ X n=1 1 n2 = 1 4. 2π2 3 = π2 6 S3 : d’après l’égalité de Parseval, on a

1 2π Z π −π f (t)2dt = a0(f ) 2 4 + +∞ X n=1 an(f )2+ bn(f )2 2 = 4π 4 9 + 1 2 +∞ X n=1 16 n4 = 4π4 9 + 8S3 Or 1 2π Z π −π f (t)2dt = 1 π Z π 0 π2− t22 dt = 1 π Z π 0 (π4− 2π2_t2_{+ t}4_)dt = 1 π π4t − 2π 2_t3 3 + t5 5 π 0 = π4 1 −2 3 + 1 5 =8π 4 15 d’o`u 8π4 15 = 4π4 9 + 8S3 ⇐⇒ S3= π4 8 8 15− 4 9 = π 4 90 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

(5)

1. Par définition, on a L(f )(p) = Z +∞ 0 f (t)e−ptdt 2. Par définition, F0(p) = Z +∞ 0 f0(t)e−ptdt = Z +∞ 0 eptdt = −1 pe −pt +∞ 0 = 1 p 3. Pour tout n ∈ N, on a Fn+1(p) = Z +∞ 0 fn(t)e−ptdt = Z +∞ 0 tn+1e−ptdt En posant alors _u(t) ₌ _tn+1 _⇒ _u0_(t) ₌ _{(n + 1)t}n v0_(t) ₌ _e−pt _⇒ _v(t) ₌ ₋1 pe −pt on a Fn+1(p) = −t n+1 p e −pt +∞ 0 +n + 1 p Z +∞ 0 tne−ptdt =n + 1 p Fn(p) 4. Par récurrence, on montre alors que

∀n ∈ N, Fn(p) =

n! pn+1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 4 :

1. (a) La courbe de f est constitu´ee de quatre parties : — si t < 0, f (t) = 0, — si 0 6 t < 1, f (t) = 1, — si 1 6 t < 2, f (t) = 1 − 2 = −1, — si t > 2, f (t) = 1 − 2 + 1 = 0. d’o`u

-1

1

2

3

4 -1

-0.5

0.5

1

(b) `A l’aide de la table des transform´ees de Laplace, on obtient F (p) =1 p− 2 e−p p + e−2p p = 1 p 1 − 2e −p_{+ e}−2p

(6)

⇐⇒ Y (p) = 1 p + 1F (p) = 1 p(p + 1) 1 − 2e −p_{+ e}−2p Or pour tout p 6∈ {0, −1}, on a 1 p(p + 1) = 1 p− 1

p + 1. En développant et recombinant les termes de la somme obtenue, on obtient l’égalité cherchée.

(b) D’après la table des transformées de Laplace, la transformée inverse de la fonction p 7→ 1 p−

1 p+1

est donn´ee par

1 p−

1

p + 1 L;−1H(t) − e

−t_{.H(t) = (1 − e}−t_).H(t)

D’apr`es la formule du retard, on a alors 1 p− 1 p + 1 e−p _; L−1(1 − e −t+1_{).H(t − 1)} et 1 p− 1 p + 1 e−2p ; L−1(1 − e −t+2_{).H(t − 2)} Ainsi, y(t) = (1 − e−t).H(t) − 2(1 − e−t+1).H(t − 1) + (1 − e−t+2).H(t − 2) y(t) =        0 si t < 0 1 − e−t si _{0 6 t < 1} e−t(2e − 1) − 1 si _{1 6 t < 2} −e−t_{(e − 1)}2 _si t > 2 (c) On obtient