TD4-Séries de Fourier

le 3 Janvier 2012 UTBM MT26

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

T D N

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Sur les s´eries de Fourier

Exercice 1 D´eterminer le domaine de convergence et la somme de la s´erie de terme g´en´eral :

u_n(x) = cos(nx)

aⁿ + sin(nx)

bⁿ , a >1, b >1.

Exercice 2 D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction de p´eriode 2π :

f(x) =x, ∀x∈]−π, π[.

Exercice 3 D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction de p´eriode π :

f(x) =x, ∀x∈]0, π[.

Exercice 4 1. D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction f, paire, 2π-p´eriodique ´egale `a π−x pour0≤x≤π.

2. La s´erie obtenue converge-t-elle simplement vers f? 3. La s´erie obtenue converge-t-elle uniform´ement sur [0,2π]? 4. D´eduire du d´eveloppement def, la valeur de ∑_∞

p=0 1 (2p+1)².

Exercice 5 D´evelopper en s´erie de Fourier la fonctionf(x) = ^π₄ pour0< x < π, impaire, de p´eriode 2π et en d´eduire la sommeS =∑_∞

p=0 (−1)^p

2p+1.

Exercice 6 On appelle courant redress´e un courant de la forme : { I(θ) =Imsinθ pour 0≤θ≤π,

I(θ) = 0 pour π≤θ≤2π.

o`uI_m∈R^∗.

Quel est le d´eveloppement en s´erie de Fourier de I(θ)?

1

Exercice 7 Soit f, la fonction paire,2π-p´eriodique telle que ∀x∈[0, π], f(x) = (π−x)². 1. Donner le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f,

2. En d´eduire ∑_∞

n=1 1 n², ∑_∞

n=1 1 n⁴, ∑_∞

p=0 1 (2p+1)⁴

Exercice 8 On consid`ere la fonction r´eellef(x) de la variable r´eellex de p´eriode 2π qui pour−π≤ x≤π prend la valeur x²−π².

1. Calculer sa s´erie de Fourier. Etudier sa convergence.

2. En d´eduire les valeurs des sommes des s´eries convergentes :

∑∞ n=1

1 n² et

∑∞ n=1

(−1)ⁿ n² . 3. Calculer ∑

n≥1 1 n⁴.

Exercice 9 D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction (d´efinie sur R) ϕ(x) = cos(ax) sur [−π, π[

avec 0< a <1,2π-p´eriodique.

Exercice 10 1. D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction f(x), impaire, de p´eriode 2π ´egale `a π−x pour0< x < π,

2. en d´eduire la somme S=∑_∞

n=1 1 n².

Exercice 11 Soitf :R−→C 2π-p´eriodique, impaire, telle que : { ∀t∈]0, π[, f(t) = 1

∀n∈Z, f(nπ) = 0 1) D´evelopper f en s´erie de Fourier.

2) Quelle est la convergence de cette s´erie ? 3) En d´eduire la somme

+∞

∑

p=1

(−1)^p p² .

Exercice 12 Soitα∈R−Z. Soitfα :R−→R 2π-p´eriodique telle que :

∀t∈[−π, π], f_α(t) = cos(αt).

1) Repr´esenter f_α.

2) D´evelopper f en s´erie de Fourier.

3) quelle est la convergence de cette s´erie ? 4) En d´eduire ∀x∈R−πZ,

+∞

∑

n=1

2x

π²n²−x² = 1

x −cotan(x) et

+∞

∑

n=1

2(−1)ⁿ⁺¹x

π²n²−x² = 1 sin(x) − 1

x

2

Exercice 13 Soitf, la fonction 2π-p´eriodique telle que ∀x∈]−π, π[, f(x) =e^x. a) D´eterminer le d´eveloppement complexe en s´erie de Fourier de f.

b) D´eriver F(x) = (αcos(nx) +βsin(nx))e^x et en d´eduire des primitives de x 7→ e^xcos(nx) et x7→e^xsin(nx).

c) D´eterminer les coefficients de Fourier r´eels de f.

Exercice 14 Soient les fonctionsf etg d´efinies par f(x) =|sin(x+^π₃)| etg(x) =|sin(x)|. a) Tracer les courbes repr´esentatives def et g.

b) Quel est le d´eveloppement de Fourier de g?

c) En d´eduire celui de f. Quels est son d´eveloppement complexe ? d) f et g sont-elles ´egales `a leur d´eveloppement de Fourier ? e) Calculer S₁=∑

n≥1 1

4n²−1 et S₂ =∑

n≥1 (−1)ⁿ 4n²−1. f ) D´eterminer une suite (un)n r´eelle telle que

∀t∈R,|sin(t)|=∑

n≥1

unsin²(nt).

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