ANALYSE DES CONNAISSANCES DE BASE EN
MATHEMATIQUE ET EN PHYSIQUE CHEZ DES
ETUDIANTS ABORDANT UN PREMIER CYCLE
UNIVERSITAIRE EN SCIENCES
Jacques LEGA Laboratoire de Didactique de la Physique et d'Enseignement Assité par Ordinateur, Université Catholique de Louvain, Belgique.
MOTS CLES : Physique, Mathématique, Premier cycle Universitaire.
RESUME: Un test de connaissance en mathématique et en physique, effectué en début d'année, met en évidence d'importantes lacunes dans la maîtrise des outils mathématiques de base et de nombreuses difficultés à identifier les forces et les accélérations dans des situations concrètes. Effectué après trois mois d'enseignement, le même test montre une amélioration sensible des connaissances de base tout en confirmant les difficultés conceptuelles pour les forces et les accélérations.
AllSTRACT : A test of knowledge in mathematics and physics has been carried out at the begining of the year. It shows considerable deficiencies in the use of basic mathematical tools and large difficulties ta identify forces and accelerations in concrete situations. After three months of teaching, the same test shows a substantial improvement of basic knowledge but confirms the difficulties previously encountered in the understanding of forces and accelerations.
1. INTRODUCTION
La plupart des enseignements universitaires de physique générale débutent par l'étude de la mécanique classique. Celle-ci est basée sur un nombre relativement restreint de lois et de concept~ de telle sorte que son apprentissage ne nécessite qu'une faible mémorisation mais exige un effort important au niveau de la compréhension et du raisonnement. Dès lors, J'évaluation de l'acquis se fait généralement en testant la capacité de J'étudiant
à
appliquer les notins fondamentales dans des situations concrètes nouvelles, sous forme de résolution de problèmes.Nombreux sont les enseignants du premier cycle universitaire qui constatent que la grande majorité des étudiants éprouvent de sérieuses difficultés à acq uérir un tel savoir. Celles-ci sont principalement dues à une maîtrise insufisante des outils mathématiques de base, à une mauvaise compréhension de concepts physiques fondamentaux et
à
un manque de perception de la réalité physique.L'objet de la recherche présentée ci-dessous est d'analyser les connaissances de base en mathématique et en physique d'un échantillon d'une centaine d'étudiants abordant un premier cycle universitaire en sciences naturelles, et d'étudier J'évolution de ces connaissances après trois mois d'enseignement de la mécaniq ue classique.
2. METHODE UTILISEE
Lors du premier cours de l'année académique (le 24/09), un test de connaissance en mathématique et ne physique a été effectué auprès d'étudiants de première candidature en sciences biologiques, chimiques, géographiques, géologiques et minéralogiques. Les questions mathématiques portaient sur le calcul vectoriel, les relations trigonométriques dans les triangles rectangles, le calcul de dérivées et de primitives. Pour ce qui concerne la physique, les questions portaient sur l'identification des forces réelles agissant sur une masse ponctuelle en mouvement et la détem1ination de son accélération, ainsi que sur les forces réelles apliquées
à
un objet étendu, soit immobile, soit glissant ou roulant sur un plan. L'échantillon était constitué de 91nouveaux étudiants et de16 redoublants.
Le
même test a été ensuite réalisé auprès du même groupe d'étudiants après trois mois d'enseignement (le 17/12)à
raison de cinq heures par semaine de cours, d'exercices et de travaux pratiques sur la mécanique classique. L'échantillon comprenait alors 87 nouveaux étudianl~et 24 redoublants.3. RESULTATS
3.1. Questions de mathématique
Les réponses
à
la questin 1 montrent que, en début d'année, près de 20 % des étudiants, tant nouveaux que redou blants. ne parviennent pas encoreàadditionner deuxvecteurs orthogonaux. Les réponses fausses étaient constituées en général de la simple somme des normes des vecteurs ou, plus rarement,de la norme de leur produit vectoriel.
Les réponses à la question 2 indiquent qu'à peine un tiers des nouveaux étudiants parveinnent, en début d'année, à identifier les relations trigonométriques correctes dans un triangle rectangle présenté de manière inhabituelle. Bien que l'amélioration soit sensible après trois mois d'enseignement, le taux de réussit (60%) reste malgré tout assez faible chez les nouveaux étudiants.
QUESTION 1 Calculer la nonne de la résultante de deux vecteurs onhogonaux -: etlt
100,
L
82\ 91\
81 \
QUESTION2 Indiquer les relations correctes <Lins un triangle rectangle
24/9 t 7/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLNITS c c -=a. cos a c '" a/cosCl c - • sinCl c '" a/sinCl c : b cos a c a b/cos Cl c =b sin a c '" b/sinCl
QUESTION 3 Calculer les deux dérivées
d . ?
ax
smx= . 83% 69\ 60\d]
24/9 17/12 24/9 t7/12 NOlNEAUX REOOUBLANTS ;&sin2 2.=7 69\ 93\ 88\ 96\ 24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTS 56\ 58\d]rn
24/9 17112 24/9 17/12 NOUVEAUX REOO!JBLANTSLe calcul des dérivées (question 3) semble poser problème
à
de nombreux étudiants. En début d'année, près d'un tiers des nouveaux étudiants ne connaissent pas la dérivée d'un sinus mais la plupart d'entre eux parviennent à combler cette lacune après trois mois d'enseignement. Par contre, le calcul des dérivées de fonctions de fonctions n'est maîtrisé que par 20 % des nouveaux étudiants en début d'année et même pas par la moitié d'entre eux après trois mois. On constate également que les redoublants ne sont pas très performants pur cette dernière question, tant au début qu'à la fin de l'enseignement.QUESTION 4 Calculer les deux primitives
f
x3dx =? 75% 91% 94% 92% dx _?..JX - .
75% 75% 68% 45% .24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTS 24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTSLes étudiants semblent plus à l'aise dans le calcul des primitives (question 4) bien que plus de la moitié des nouveaux n'arrivent pas, au début de l'année, à intégrer une puisance quelconque de la variable (fractionnaire et négative dans ce cas-ci). On remarque aussi que les résultats des redoublants, meilleurs au départ, ne s'améliorent pas en cours d'année.
3.2. Questions de physique
La qustion 5 demandait aux étudiants d'identifier les forces réelles agissant sur une masse ponctuelle en mouvement, dans différentes situation, tandis que la question 7 consistait
à
déterminer la direction de son accélération.Dans le cas du tir oblique, on constate qu'il n'y a que la moitié des nouveaux étudiants qui perçoivent, en début d'année, que le poids est la seule force qui agit sur la masse lorsqu'on néglige le frottement de l'air. Les autres croient, en général, qu'il y a une force qui s'exerce dans le sens de la vitesse. Après trois mois d'enseignement, la réalité physique est heureusement beaucoup mieux perçue. Par contre, il est surprenant de constater que la plupart des étudiants ne font aucun lien entre la force appliquée et l'accélération dont la direction est généralement associéeàcelle de la vitesse.
Ce manque d'aptitude
à
déterminer la direction de l'acclération se retrouve étalement chez les redoublants.QUESTION 5 Dessiner les forces réelles agissant sur la masse en mouvement QUESTION 7 Dessiner l'accélération de la masse en mouvement dans chacun des cas suivant (on néglige le frottement de l'air).
y
-- lir oblique, ,
,
,
/,
,
,
l '-/7I111/1111ll/l IIl1ll" III
11111111111
/1JI/IIforces réelles ? accélération
52% 84% 75% 88% 46% 24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTS
• satellite sur une orbite circulaire
24/9 17/12 NOUVEAUX 24/9 17/12 REDOUBLANTS forces réelles 96% 89%
--
-
-
.... ", 1,
1@
\~
\ 1 "-,
accélération 66% 69% 61%JJJJ
24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTS 24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTSLe
cas du satellite sur une orbite circulaire renforce encore cette constatation puisque
[es résutats obtenus pour la question 7 sont nettement inférieurs
à ceux de la question
5. pendule forces réelles ? 83% 68% 50% accélération ? 34% 24% 24(9 17(12 NOUVEAUX - pendule conique 24/9 17(12 REOOUBLANTS ---> (1 vi = cte) 1 1 ..-"--..
_ 1 v · 0 ...__... -24(9 17/12 NOUVEAUX 24/9 17/12 REDOUBLANTS forces réelles ? 38% 38% n 1 9 % nCU
ru
accélération 24(9 17(12 NOUVEAUX 24/9 17(12 REDOUBLANTS 24/9 17/12 24(9 17(12 NOUVEAUX REDOUBLANTSaccélérLltion ?
En ce qui concernent le pendule, la détermination des forces pose un réel problème aux nouveaux étudiants qui ne perçoi vent en général pas le rôle de la corde et inventent des forces dans le sens de la vitesse. Mais, alors que leur aptitude à identifier les forces s'améliore sensiblement en cours d'année, leur capacité à déterminer l'accélération reste très médiocre. Après trois mois d'enseignement de la mécanique, les étudiants qui perçoivent l'importance de l'accélération normale dans un mouvement non rectiligne ne constituent encore qu'une petite minorité, même chez les redoublants.
Enfin, le cas du pendule conique montre que la dynamique du mouvement circulaire est très mal comprise au départ et qu'elle ne l'est encore que faiblement après trois mois d'enseignement. La grande majorité des étudiants pensent que la force centripète ou la force centrifuge sont des forces réelIes qui s'ajoutent aux autres forces présentes dans le problème.
QUESTION 7 Sommet dela trajectoire dans un tir vertical
63%
ft
Il Il Il Il li Il'1
li Il 11111111111/111ATTENTION : GRAPHISMES A FAIRE
50% 39%
24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTS
Les réponses
à
la question 7 concernant l'accélération au sommet de la trajectoire dans un tir vertical, montrent une nouvelle fois que l'accélération est liée à la vitesse dans l'esprit des étudiants puisque la majorité pense que l'accélération est nulle au sonunet de la trajectoire et qu'eUe est dirigée vers le haut quand le corps monte.QUESTION 6 Dessiner les forces réelles agissant sur la bille dans chacun des cas suivant~en veillant à placer l'origine du vecteur au point d'application de la force (on néglige le frottement de l'air)
11/1111 nQ1I11II111111 v =a 96., 63% 51\ 24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLN~TS I I I
d;-Cl
24/9 17/12 NOUVEAUXos
24/9 17/12 REDOUBLANTSQuant aux réponses
à
la question 6, portant sur les forces réelles appliquées à un objet étendu, soit immobile, soit glissant ou roulant sur un plan, elles montrent bien que la plupart des nouveaux étudiants n'ont jamais été amenés à analyser de telles situations physiques. Après trois mois d'enseignement, au cours desquels on leur a appris que c'est la réaction tangentielle du sol sur l'objet qui est responsable de son accélération angulaire, le cas de la bille qui roule sur un plan incliné est assez bien assimilé par la moitié d'entre eux. Par çontre les résultats concernant une bille roulantà
vitesse constante ou glissant sur un plan incliné, montrent que le rôle exact joué par la force exercée par le sol sur l'objet en mouvement n'est absolument pas compris puisque la grande majorité des étudiants, tant nouveaux que redoublants, font intervenir une composante tangentielle lorsque l'accélération de rotation est nulle.la bille glisse sans rouler la bille roule sans glisser
71%
cdJoJ
24/9 17/12 24/9 17/12 NOUVEAUX REDOUBLANTSII
2"/9 17/12 NOU\l~T\UX c"/9: L' REiX)UEU\.N'!,S4. CONCLUSIONS
En ce qui concerne les outils mathématiques de base, cette étude montre qu'il existe, chez les nouveaux étudiants, d'importantes lacunes dans la maîtrise des relations trigonométriques de base et du calcul des dérivées de fonctions de fonctions, mais que celles-ci semblent se résorber après quelques mois d'enseignement.
Pour la physique, de nombreuses préconceptions sont mises en évidence en ce qui concerne les forces qui sont souvent perçues de manière intuitive et sans aucune relation avec des inerractions physiques réelles. Mais le résultat le plus surprenant est le manque d'aptitude généralisé
à
déterminer la direction de l'accélération qui est, dans la plupart des cas, liée à celle de la vitesse et toutà
fait dissociée dans forces exercées sur le corps.Nous dirons, pour conclure, qu'il ne faut certainement pas sous-estimer l'effort important qui doit être effectué par la grande majorité des étudiants pour assimiler et dominer les bases de la mécanique classique au cours des premiers mois passés à
