Mme LE DUFF Seconde générale et technologique
- 1 -
Fiche méthode 2.1 : seconde générale – Etude des variations d’une fonction.
Etude des variations.
Rappel : Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous les nombres a et b de cet intervalle, si a<b alors f(a)<f(b) : f conserve l’ordre sur I.
La méthode consiste donc à prendre deux nombres a et b quelconques dans l’intervalle d’étude et à comparer leurs images.
Exemple 1 :
Soit f définie sur IR par f(x)=−3x²+12x.
a) Montrer que pour tout réel x f(x)=−3(x−2)²+12 b) Démontrer quel est le sens de variations de f sur
]
−∞;2]
. c) Démontrer quel est le sens de variations de f sur[
2;+∞[
.a) Pour tout x réel : développons
) ( 12 ² 3 12 12 12 ² 3 12 ) 4 4 ² ( 3 12 )² 2 ( 3 x f x x x x x x x = + − = + − + − = + + − − = + − − b) Soient a,b∈
]
−∞;2]
, tels que a<b<2 : a-2<b-2<0 )² 2 ( )² 2(a− > b− car a-2 et b-2 sont négatifs )² 2 ( 3 )² 2 ( 3 − <− −
− a b car on a multiplié par un nombre négatif dans l’inégalité f(a)<f(b).
f conserve l’ordre donc f est croissante sur
]
−∞;2]
. c) Soient a,b∈[
2;+∞[
, tels que 2<a<b :0<a-2<b-2 )² 2 ( )² 2
(a− < b− car a-2 et b-2 sont positifs )² 2 ( 3 )² 2 ( 3 − >− −
− a b car on a multiplié par un nombre négatif dans l’inégalité f(a)>f(b).
Mme LE DUFF Seconde générale et technologique
- 2 - Exemple 2 :
Soit g la fonction définie par
6 2 9 4 ) ( + + = x x x g sur IR\{−3}.
(a) Montrer que pour tout x de Dg :
6 2 3 2 ) ( + − = x x g .
(b) Montrer la conjecture du (b) sur ] − ∞ ; −3[, puis sur ] -3 ; + ∞ [. (c) Dresser le tableau de variations de g.
⇒
(a) Pour tout x∈IR\{−3}. : ( )
6 2 9 4 6 2 3 12 4 6 2 3 6 2 ) 6 2 ( 2 6 2 3 2 g x x x x x x x x x + = + = + − + = + − + + × = + −
(b) Etude des variations sur ] − ∞ ; −3[ :
Soient a et b deux réels de ] − ∞ ; −3[ tels que a<b
3 − < <b a 6 2
2a< b<− Multiplier par 2 avec 2 > 0 2a+6<2b+6<0Ajouter 6 6 2 1 6 2 1 + > + b
a Appliquer la fonction inverse à deux nombres négatifs. La fonction inverse est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0[ donc l’ordre change.
6 2 3 6 2 3 + − < + − b
a Multiplier par −3 avec −3 <0
6 2 3 2 6 2 3 2 + − < + − b a Ajouter 2 ) ( ) (a g b g <
Par conséquent l’ordre est conservé donc la fonction g est strictement croissante sur ] − ∞ ; −3[.
Etude des variations sur ] -3 ; + ∞ [ :
Soient a et b deux réels de ] -3 ; + ∞ [.tels que a<b b a< < −3 b a 2 2 6< <
− Multiplier par 2 avec 2 > 0 0<2a+6<2b+6 Ajouter 6 6 2 1 6 2 1 + > + b
a Appliquer la fonction inverse à deux nombres positifs. La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; + ∞[ donc l’ordre change.
6 2 3 6 2 3 + − < + − b
Mme LE DUFF Seconde générale et technologique - 3 - 0 6 2 3 2 6 2 3 2 < + − < + − b a Ajouter 2 ) ( ) (a g b g <
Par conséquent l’ordre est conservé donc la fonction g est strictement croissante sur ] -3 ; + ∞ [. (c) Le tableau de variations de g est alors :
![Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)