COURS 01 INTEGRALES 2020 2021

(1)

PSI1 Cours de maths 2020/2021

CHAPITRE 1

INT´

EGRATION

⊙

Avec le calcul différentiel, l’intégration forme le calcul infinitésimal. Les opérations de mesure de grandeurs physiques (longueur d’une courbe, aire, volume, flux, champ, ...) et de calcul de probabilités étant souvent soumises à des calculs d’intégrales, ce qui fait de l’intégration un outil scientifique fondamental.

Les différents domaines dans lesquels peuvent se rencontrer des intégrales ont conduit à donner plusieurs définitions pour des fonctions de moins en moins régulières. Entre autres théories, on trouve les intégrales de Riemann (vers 1850), de Stieltjes (vers 1880), de Lebesgue (vers 1900), de Denjoy (vers 1910), de Perron (vers 1910), de Daniell (vers 1920), de Bochner (vers 1910), de Kurzweil-Henstock (vers 1950).... Mais toutes ces d´efinitions co¨ıncident dans le cas des fonctions continues.

Nous utilisons l’int´_{egrale de Riemann mais beaucoup plus puissante est celle de Lebesgue qu’il a} lui-même comparée à l’int´_{egrale de Riemann : “ Imaginez que je doive payer une certaine somme ; je peux sortir} les pièces de mon porte-monnaie comme elles viennent pour arriver à la somme indiquée, ou sortir toutes les pièces et les choisir selon leur valeur. La première méthode est l’int´_{egrale de Riemann, la deuxième} correspond à mon intégrale. ” Il faut préciser que l’int´_{egration de Riemann “ parcourt ” le segment et} exploite au fur et à mesure la “ hauteur ”y de la fonction, alors que l’int´_{egration de Lebesgue exploite la} “ taille ” des ensembles de niveauf=ypour toutes les valeurs dey.

Le symbole math´ematique

∫

représentant l’intégration a ét´_{e introduit par Leibniz.}

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : continuit´e par morceaux

- 1 : fonctions continues par morceaux sur un segment. . . .page 2 - 2 : intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment. . . .page 2 - 3 : théorème fondamental de l’intégration et conséquences. . . .page 4

Partie 2 : comparaison locale des fonctions

- 1 : notations de Landau. . . .page 6 - 2 : pratique de la comparaison. . . .page 7

Partie 3 : int´egrales convergentes

- 1 : définitions, propriétés et exemples. . . .page 8 - 2 : fonctions positives et intégrales de référence. . . .page 10 - 3 : opérations sur les intégrales convergentes. . . .page 11

Partie 4 : fonctions int´egrables

- 1 : définitions, propriétés et exemples. . . .page 13 - 2 : comparaison. . . .page 14 - 3 : intégrales semi-convergentes. . . .page 16 - 4 : comparaison série-intégrale. . . .page 17 - 5 : espaces de fonctions intégrables. . . .page 17

(2)

PARTIE 1.1 : CONTINUIT´

E PAR MORCEAUX

1.1.1 : Fonctions continues par morceaux sur un segment

REMARQUE 1.1 : Soit ici K = R ou C eta etbdeux r´eels tels quea < b.

D ´EFINITION 1.1 :

Soit n ∈ N∗, on dit que σ = (a0, a1,· · ·, an) est une subdivision de [a;b] si on a les inégalités strictes a₀=a < a₁<· · ·< a_n=b. σ est dite une subdivision réguli`ere si : ∀k∈ [[0;n]], a_k=a+k

( b−a

n )

.

REMARQUE 1.2 : Soitσ et σ′ deux subdivisions de [a;b], on dit queσ′ est plus fine queσsi tous les termes deσ se trouvent dansσ′ ; on le noteσ≼σ′. On définit (une fois dans le bon ordre)σ∨σ′ : c’est la subdivision contenant tous les termes de σ et σ′ (en quelque sorte une réunion) ; et σ∧σ′ : c’est la subdivision contenant seulement les termes communs àσ etσ′ (en quelque sorte une intersection). La relation de finesse est une relation d’ordre partiel sur les subdivisions de [a;b].

Soitf: [a;b]→ K, on dit quefest une fonction continue par morceaux s’il existe une subdivisionσ de [a;b] telle que : ∀k∈ [[0;n−1]], f est continue sur ]a_k;a_k+1[ et fadmet une limite finie `a droite en a_k et `

a gauche en a_k+1 de sorte qu’il existe, pour tout k∈ [[0;n−1]], une fonction continue g_k : [a_k;a_k+1]→ K telle que ∀x∈]ak;ak+1[, gk(x) =f(x). On dit alors queσ est une subdivision adapt´ee `af.

On note C0_m([a;b],K) l’ensemble des fonctions continues par morceaux de [a;b] dans K.

EXEMPLE 1.1 : La fonctionx7→ ⌊x⌋ est continue par morceaux sur [0;3] etσ1= (0, 1, 1.2, 2, 2.4, 3)

est adaptée à f; et la subdivision la moins fine adaptée à cette fonction estσ= (0, 1, 2, 3).

REMARQUE 1.3 : • Les fonctions en escaliers (constantes par morceaux) font partie deC0_m([a;b],K). • De plus, si K = C etfcontinue par morceaux sur [a;b], on a|f| l’est aussi.

• Si K = R et (f, g)∈C0_m([a;b],R)2, f+= |f| +f 2 ,f

−_{= |}f| −f

2 , |f|,Sup(f, g),Inf(f, g) le sont aussi. • Toute fonction f: [a;b]→ K continue par morceaux sur un segment est born´ee ce qui nous permet de d´efinir||f||_∞,[a;b]= Sup

t∈[a;b]|

f(t)| ; mais elle n’atteint pas forc´ement ses bornes.

1.1.2 : Int´

egrale des fonctions continues par morceaux sur un segment

⊙

On suppose connue l’intégrale des fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un segment.

Soit f : [a;b] → K continue par morceaux, avec les notations de la définition précédente, on définit l’intégrale def entrea et b, notée

∫

b

a f, la quantit´e

∫

b a f= n∑−1 k=0

∫

ak+1 ak gk.

REMARQUE 1.4 : • La valeur de cette intégrale ne dépend pas de la subdivision adaptée àf. • Cette définition généralise l’intégrale des fonctions continues (σ= (a, b) adaptée).

• Elle représente encore une aire au sens algébrique si la fonction est réelle. • Sif: [a;b]→ C est continue par morceaux, on a encore

∫

b

a f=

∫

b

a Re(f) +i

∫

b

a Im(f).

(3)

CONTINUIT ´E PAR MORCEAUX 3

PROPOSITION SUR LA LIN ÉARIT É DE L’INT ÉGRALE, LA RELATION DE CHASLES ET LA CONDITION DE NULLIT É D’UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE 1.1 : Soit (f, g)∈C0_m([a;b],C)2, (λ, µ)∈ C2 _:

∫

b a(λf+µg) =λ

∫

b a f+µ

∫

b a g. Soitf∈C0_m([a;b],C) etc∈]a;b[, alors

∫

b a f=

∫

c a f+

∫

b c f (Chasles).

Soitf∈C0([a;b],R) telle quef>0, alors : f=0 ⇐⇒

∫

b

a f=0 (fest ici continue tout court).

Soitf∈C0([a;b],C), alors : f=0 ⇐⇒

∫

b

a |f| =0 (fest `a nouveau continue).

PROPOSITION SUR LA POSITIVIT É ET LA CROISSANCE DE L’INT ÉGRALE, SUR LES IN ÉGALIT ÉS DE LA MOYENNE ET DE CAUCHY-SCHWARZ 1.2 :

Soit (f, g)∈C0_m([a;b],R)2, on a en matière d’inégalités :

• f>0=⇒

∫

b a f>0 etf6g=⇒

∫

b a f6

∫

b a g. • Si ||f||_∞,[a;b]= Sup t∈[a;b] |f(t)|, on a

∫

b a f 6

∫

b a |f| 6 (b−a)||f||∞,[a;b] et

∫

b a fg 6 ||f||_∞,[a;b]

∫

b a |g|. • Soit (f, g)∈C0_m([a;b],R)2, alors :

∫

b a fg 6 √

_∫

b a f 2 √

_∫

b a g

2_(in´_egalit´_{e de Cauchy-Schwarz) avec}

égalité (sif, gcontinues) si et seulement si f etg sont colinéaires.

Soit (a;b)∈ R2 avec a>b et une fonction f∈C_m0( ][a;b],R), on définit l’intégrale de fde a à b, notée

∫

b a fou

∫

b a f(x)dxpar :

∫

b a f=−

∫

a b f sia > bet

∫

b a f=0 sia=b. ⊙

On réécrit les résultats précédents dans ce cadre où les bornes ne sont plus forcément dans l’ordre croissant.

TH ÉOR ÈME SUR LA POSITIVIT É ET LA CROISSANCE DE L’INT ÉGRALE, SUR LA RELATION DE CHASLES, LES IN ÉGALIT ÉS DE LA MOYENNE ET DE CAUCHY-SCHWARZ ( ÉNORME) 1.3 : Soit (α, β)∈ R2 ₍_{α < β}_{), (}_{f, g}₎_∈_C0 m([α;β],C)2, (a, b, c)∈ [α;β]3, (λ, µ)∈ R2 : •

∫

b a(λf+µg) =λ

∫

b a f+µ

∫

b a g. •

∫

b a f=−

∫

a b fet

∫

b a f=

∫

c a f+

∫

b c f. •

∫

b a f 6

∫

b a |f| 6 |b−a|||f||

∞,[a;b]g avec||f||∞,[a;b]g = Sup t∈[a;b]g |f(t)|. • Plus g´en´eralement :

∫

b a fg 6 ||f|| ∞,[a;b]g

∫

b a |g| . • Sia̸=b et fcontinue, on a : f=0 ⇐⇒

∫

b a |f| =0. •

∫

b a fg 6√

∫

b a |f| 2√

∫

b a |g| 2_.

Pour des fonctions r´eelles, on a toujours :

• Sia < b, f>0=⇒

∫

b a f>0 etf6g=⇒

∫

b a f6

∫

b a g. • Sia > b, f>0=⇒

∫

b a f60 etf6g=⇒

∫

b a f>

∫

b a g.

(4)

REMARQUE HP 1.5 : • On d´efinit la valeur moyenne defsur [a;b], c’estm= 1 b−a

∫

b a f. • Si (f, g)∈C0_m([a;b],R)2et g>0: Inf [a;b](f)×

∫

b a g6

∫

b a fg6_[a;b]Sup(f)×

∫

b a g.

• Siggarde un signe constant sur [a;b] et sifest continue sur [a;b] : ∃c∈ [a;b],

∫

b

a fg=f(c)

∫

b

a g.

• On en d´eduit que sifest continue : ∃c∈ [a;b], m=f(c).

• La valeur moyenne de fsur ][a;b] (sia̸=b) vaut toujours m= 1 b−a

∫

b a f.

EXERCICE 1.2 : D´eterminer lim x→0+

∫

3x x

cos(t)

t dt(vous avez quatre m´ethodes `a disposition).

1.1.3 : Th´

eor`

eme fondamental de l’int´

egration et cons´

equences

SoitI un intervalle r´eel et une fonctionf:I→ K. On dit quefest continue par morceaux sur Isi elle l’est sur chaque segment inclus dansI. On noteC0_m(I,K) l’ensemble des fonctions de ce type.

REMARQUE 1.6 : • Une fonction continue par morceaux sur un intervalle peut posséder une infinité de points de discontinuité et peut ne pas être bornée.

• Soit f :I → K continue où I est un intervalle réel, si F₀ est une primitive de fsur I, alors pour une fonction dérivable F:I→ R, on a : (F′=f) ⇐⇒ (∃k∈ R, F=F0+k).

EXEMPLE 1.3 : La fonction partie enti`ere est continue par morceaux sur R.

PROPOSITION 1.4 :

Soit a ∈ I et f : I → K continue par morceaux, alors la fonction F : I → K d´efinie par : ∀x∈I, F(x) =

∫

x

a fest localement lipschitzienne surI(donc continue) et d´erivable en toutx0∈I

en lequel fest continue avec F′(x0) =f(x0).

EXERCICE 1.4 : Tracer la fonctionF: R → R d´efinie par F(x) =

∫

x

0 ⌊t⌋dt.

TH ÉOR ÈME FONDAMENTAL DE L’INT ÉGRATION (PREMI ÈRE FORME) 1.5 : Soit a∈I etf:I→ K continue, alors la fonction F:I→ K définie par : ∀x∈I, F(x) =

∫

x

a fest de

classe C1 et c’est la primitive de f s’annulant ena : F′=f etF(a) =0.

REMARQUE 1.7 : On a deux expressions des primitives def:I→ K continues (aveca∈I fix´e) : • Les fonctionsF:I→ K d´efinies par : ∀x∈I, F(x) =

∫

x

a f(t)dt+ko`uk∈ K sont les primitives def.

• Les fonctionsG:I→ K d´efinies par : ∀x∈I, G(x) =

∫

x

α f(t)dto`uα∈Isont des primitives def.

TH ÉOR ÈME FONDAMENTAL DE L’INT ÉGRATION (SECONDE FORME) 1.6 : Soitf: g[a;b]→ K continue etF une des primitives defsur g[a;b] :

∫

b

a f(t)dt= [F(t)] b a=F(b)−F(a). REMARQUE 1.8 : Sia=a1+ia2∈ R :/

∫

β α 1 x−adx= [ 1 2ln ( (x−a1)2+a22 ) +i Arctan ( x−a₁ a2 )]β α . On admet (a∈ C \ R etn>2) que ( − 1 (n−1)(x−a)n−1 )_′ = 1 (x−a)n sur R.

(5)

CONTINUIT ´E PAR MORCEAUX 5

Si f:I→ K continue et u, v:J→I d´erivables, alors l’application G:J→ K est d´erivable si elle

est d´efinie par : ∀x∈J, G(x) =

∫

v(x)

u(x) f(t)dt et on a : ∀x∈J, G

′₍_x_{) =}_v′₍_x₎_f(_v₍_x₎)₋_u′₍_x₎_f(_u₍_x₎)_.

EXERCICE CONCOURS 1.5 : Mines PSI 2017 Alexandre Chamley

Pourx∈]0;1[, on posef(x) =

∫

x

2

x dt

ln(t). Justifier quefse prolonge par continuit´e en 0et en1. En d´eduire l’existence et la valeur de

∫

1

0 x−1 ln(x)dx.

EN PRATIQUE : Soitf:I→ K une fonction continue (I est un intervalle réel), pour étudier une fonction définie à l’aide defet d’intégrale avec des bornes variables, on se souviendra que :

• La d´eriv´ee dex7→

∫

x a f(t)dtestx7→f(x) surIsia∈I. • La d´eriv´ee dex7→

∫

a x f(t)dtestx7→ −f(x) surI sia∈I. • La d´eriv´ee dex7→

∫

v(x) u(x) f(t)dtestx7→v ′₍_x₎_f(_v₍_x₎)₋_u′₍_x₎_f′(_u₍_x₎)_sur_J_si_{u, v}_:_J_→_I_d´_eriv..

ORAL BLANC 1.6 : Centrale

Calcul, pourx∈ R, def(x) =

∫

sin

2_(x) 0 Arcsin( √ t)dt+

∫

cos 2_(x) 0 Arccos( √ t)dt. Indication : on pourra d’abord lister les caract´eristiques de la fonctionf.

TH ´EOR `EME 1.8 :

Soit f:I→ K une fonction de classe C1, alors si (a, x)∈I2, f(x) =f(a) +

∫

x

a f

′₍_t₎_dt_.

EXERCICE CONCOURS 1.7 : Centrale PSI 2013 Maxime Rona

Soitf: R → R de classeC1. ´Etudier les implications entre les assertions suivantes : (1) lim

x→+∞f(x) = +∞ (2) x→+∞lim f

′₍_x_{) = +}_∞ ₍₃₎_f _{est strictement croissante au voisinage de} ₊_∞_.

TH ÉOR ÈME SUR LES FORMULES D’INT ÉGRATION PAR PARTIES, DE TAYLOR RESTE INT ÉGRAL ET DE CHANGEMENT DE VARIABLE ( ÉNORME) 1.9 :

Soit u, v: g[a;b]→ K de classe C1, alors :

∫

b

a u ′₍_t₎_v₍_t₎_dt₌[_u₍_t₎_v₍_t₎]b a−

∫

b a u(t)v ′₍_t₎_dt_.

Formule de Taylor reste int´egral avec f: g[a;b]→ K de classe Cn+1, on a alors :

f(b) =f(a) +· · · + (b−a) n n! f (n)₍_a_{) +}

∫

b a (b−t)n n! f (n+1)₍_t₎_dt_.

Soit (a;b)∈ R2 _et_φ_{: g}_[_a_;_b_]_{→ R de classe} _C1 _et_f_:_I_{→ K continue (avec} _φ( g_[_a_;_b_])_⊂_I_{), alors par}

le changement de variable t=φ(u), on a :

∫

φ(b) φ(a) f(t)dt=

∫

b a f ( φ(u))φ′(u)du. D´emonstration : •

∫

b a u ′₍_t₎_v₍_t₎_dt₊

∫

b a u(t)v ′₍_t₎_dt₌

∫

b a ( u′(t)v(t)dt+u(t)v′(t))dt=[u(t)v(t)]b a

caruv′etu′vsont continues sur[]a;b], par linéarité de l’intégrale, et par le théorème fondamental de l’intégration.

•fest continue surI, elle y admet une primitive qu’on noteF.fest continue sur[φ(^a);φ(b)]⊂φ(][a;b])⊂I

et(f◦φ)×φ′ est continue sur[]a;b]et admet pour primitiveF◦φ. Toujours par le théorème fondamental de l’intégration, on a :

∫

φ(b) φ(a) f(t)dt= [ F(t)]φ(b) φ(a)= [ F◦φ(u)]b a=

∫

b a f ( φ(u))φ′(u)du.

(6)

EXEMPLE 1.8 : Calcul de

∫

π/3 −π/3

dt cos(t).

TH ´EOR `EME SUR LES SOMMES DE RIEMANN 1.10 :

Si f: g[a;b]→ C est continue par morceaux alors avec les subdivisions r´eguli`eres : lim n→+∞ (b−a) n n∑−1 k=0 f ( a+k(b−a n )) = lim n→+∞ (b−a) n n ∑ k=1 f ( a+k(b−a n )) =

∫

b a f(t)dt.

REMARQUE 1.9 : Si fest une fonction suppos´ee de classeC1 sur ][a;b], on a la majoration de l’erreur (b−a) n n∑−1 k=0 f ( a+k(b−a n )) −

∫

b a f(t)dt 6M1(b−a)2 2n en notantM1= Sup x∈ ][a;b] |f′(x)|.

EXEMPLE 1.9 : Calcul de lim n→+∞ n ∑ k=1 1 n+k.

ORAL BLANC 1.10 : a. Pourn∈ N∗, factoriser le polynˆomeX2n−1dans R[X].

b. Soita̸= ±1, grˆ_{ace aux sommes de Riemann, calculer}

∫

π

0 ln

(

a2−2a cos t+1)dt.

EN PRATIQUE : Calcul de I =

∫

b

a f(x)dx, on v´erifie en premier lieu que la fonction f est continue par

morceaux sur le segment ][a;b] et :

•I=F(b)−F(a) si on connaˆıt une primitiveFdef.

• Sifcontient desln et/ou desArctan... on peut tenter une IPP. • Sifest une fraction rationnelle, on la décompose en éléments simples.

• Sifest une fraction rationnelle enex, on pose le changement de variableu=ex. • Sifest une fraction rationnelle en√a+x, on poseu=√a+x.

• Sifest une fraction rationnelle en √ a±x b±x, on poseu= √ a±x b±x.

• Sifest une fraction rationnelle en√1−x2_{, on pose}_x₌_sin₍_u_{) ou}_x₌_cos₍_u_).

• Sifest une fraction rationnelle en√1+x2_{, on pose}_x₌_sh₍_u_).

• Sifest une fraction rationnelle en√x2−₁_{, on pose}_x₌_ch₍_u_).

• Sifest une fraction rationnelle encos(x) etsin(x), on pose le changement de variableu=sin(x) ou u=cos(x) ouu=tan(x) ouu=tan(x

2 )

. • On peut en dernier ressort essayerI= lim

n→+∞ (b−a) n n∑−1 k=0 f ( a+k(b−a n )) .

PARTIE 1.2 : COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS

1.2.1 : Notations de

Landau

Soit A ⊂ R et f, g : A → K = R ou C deux fonctions avec g qui ne s’annule pas sur A. On se donne a∈ R = R ∪ { −∞,+∞ } qui est un point “adh´erent” `a A. Tout ce qui suit est au voisinage dea.

• fest n´egligeable devantg, not´ef=

ao(g) ouf(x) =ao ( g(x)), si lim x→a x̸=a f(x)

g(x) =0(fest un “petit O” de g). • fest domin´ee par g, not´ef=

aO(g) ou f(x) =aO

(

g(x)), si f

g bornée au voisinage dea(“grand O”). • fest ´equivalente à g, notéf∼

ag ouf(x)∼ag(x), si limx→a

x̸=a

f(x) g(x) =1.

(7)

INT ´EGRALES CONVERGENTES 7

REMARQUE 1.10 : Ceci se traduit avec des quantificateurs par exemple sia∈ R (adapter sia=±∞) : • (f(x) = ao ( g(x))) ⇐⇒ ( ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x∈A, |x−a| 6α=⇒ |f(x)| 6ε|g(x)| ) . • (f(x) = aO ( g(x))) ⇐⇒ ( ∃m>0, ∃α > 0, ∀x∈A, |x−a| 6α=⇒ |f(x)| 6m|g(x)| ) . • (f(x)∼ ag(x) ) ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x∈A, |x−a| 6α=⇒ |f(x)−g(x)| 6ε|g(x)| ) . Les définitions de droite ci-dessus permettent de définir ces notions même sigs’annule surA. REMARQUE 1.11 : Traductions simples :

• f(x) =

aO(1) est équivalent à (fest bornée au voisinage dea).

• f(x) =

ao(1) est ´equivalent `axlim→af(x) =0.

• De plus, si f(x)∼

ag(x) et quexlim→ag(x) =ℓalors on a aussixlim→af(x) =ℓ.

1.2.2 : Pratique de la comparaison

TH ´EOR `EME 1.11 :

SoitA⊂ R et un point a∈ R = R ∪ { −∞,+∞ } “adhérent” àA, les fonctions qui suivent seront définies sur A et à valeurs dans K = R ou C certaines ne devront pas s’annuler sur A ; soit

(λ1, λ2)∈ K2 et φ:B→AoùB est une partie de R et b est adhérent à B :

(i) f= aO(f),f∼afetf∼ag⇐⇒f−g=ao(f)⇐⇒g−f=ao(g) (ii) f= ao(g) =⇒f=aO(g),f∼ag=⇒f=aO(g) et f∼ag⇐⇒g∼af. (iii) (f= aO(g) et g=aO(h) ) =⇒f= aO(h) et ( f∼ aget g∼ah ) =⇒f∼ ah. (iv) (f= ao(g) et g=aO(h) ) =⇒f= ao(h) et ( f= aO(g) et g=ao(h) ) =⇒f= ao(h). (v) (f1= aO(g) etf2=aO(g) ) =⇒λ1f1+λ2f2= aO(g) et ( f1= ao(g) et f2=ao(g) ) =⇒λ1f1+λ2f2= ao(g). (vi) (f₁= aO(g1) et f2=aO(g2) ) =⇒f₁f₂= aO(g1g2) et ( f₁∼ ag1 et f2∼ag2 ) =⇒f₁f₂∼ ag1g2. (vii) (f1= ao(g1) et f2=aO(g2) ) =⇒f1f2= ao(g1g2) et ( f1= aO(g1) et f2=ao(g2) ) =⇒f1f2= ao(g1g2). (viii) f∼ ag⇐⇒ 1 f∼a 1 g et ( f1∼ ag1 etf2∼ag2 ) =⇒ f1 f2∼a g1 g2 . (ix) (f= ao(g) et limb φ=a ) =⇒f◦φ= bo(g◦φ) et ( f= aO(g) et limb φ=a ) =⇒f◦φ= bO(g◦φ). (x) (f∼ aget limb φ=a ) =⇒f◦φ∼ bg◦φ. (xi) (f= ao(g) et g∼ah ) =⇒f= ao(h) et ( f= aO(g) et g∼ah ) =⇒f= aO(h). (xii) (f∼ aget g=ao(h) ) =⇒f= ao(h) et ( f∼ ag etg=aO(h) ) =⇒f= aO(h).

Si fetg sont des fonctions strictement positives et α∈ R :

(xiii) Si α > 0, f∼ ag⇐⇒f α_∼ ag α_,_f₌ aO(g)⇐⇒f α₌ aO(g α_{) et} _f₌ ao(g)⇐⇒f α₌ ao(g α_). (xiv) Si α < 0, f∼ ag⇐⇒f α_∼ ag α_,_f₌ aO(g)⇐⇒g α₌ aO(f α_{) et} _f₌ ao(g)⇐⇒g α₌ ao(f α_). (xv) (f∼ aget lima f=ℓ∈ R+\ {1} ) =⇒ln(f)∼ aln(g).

(xvi) Si fetg sont des fonctions r´eelles : lim

a (f−g) =0⇐⇒e f_∼

ae g_.

EXERCICE CONCOURS 1.11 : Centrale PSI 2013.

On d´efinit la fonctionf: R+→ R par : ∀t>0, f(t) = √ 1 t4₊_t2₊₁.

D´eterminer un ´equivalent quandxtend vers +∞ de

∫

x+1

x f(t)dt; puis de

∫

2x

(8)

PARTIE 1.3 : INT´

EGRALES CONVERGENTES

1.3.1 : D´

efinitions, propri´

et´

es et exemples

Soita ∈ R, K = R ou C et f∈C0_m([a; +∞[,K), si x7→

∫

x

a f(t)dt admet une limite finie en +∞, on dit

que l’int´egrale

∫

+∞

a f(t)dt converge et on d´efinit

∫

+∞ a f(t)dt = x→+∞lim

∫

x a f(t)dt (not´ee aussi

∫

+∞ a f).

Dans le cas contraire, on dit que l’int´egrale

∫

+∞

a f(t)dtest divergente. EXEMPLE 1.12 : Calcul de

∫

+∞ 1 dx x2(x+1)(x2+1). ⊙

Plus g´en´eralement sur n’importe quel type d’intervalle :

• Soita∈ R,a < b,b∈ R ∪ {+∞} et f∈C_m0([a;b[,K), six7→

∫

x

a f(t)dtadmet une limite finie enb

−_{, on}

dit que l’int´egrale

∫

b

a f(t)dt converge (divergente sinon) et on d´efinit

∫

b

a f(t)dt=xlim→b−

∫

x

a f(t)dt.

• Soita∈ R ∪ {−∞},a < b,b∈ R etf∈C_m0(]a;b],K), six7→

∫

b

x f(t)dt admet une limite finie ena +_{, on}

dit que l’int´egrale

∫

b

a f(t)dt converge (divergente sinon) et on d´efinit

∫

b

a f(t)dt=xlim→a+

∫

b x f(t)dt.

• Soita∈ R∪{−∞},a < betb∈ R∪{+∞} etf∈C0_m(]a;b[,K), on dit que l’int´egrale

∫

b

a f(t)dtconverge

(divergente sinon) s’il existe c∈]a;b[ tel que les deux int´egrales

∫

c

a f(t)dtet

∫

b

c f(t)dtconvergent.

Dans ce cas, on d´efinit son int´egrale defpar

∫

b

a f(t)dt=

∫

c a f(t)dt+

∫

b c f(t)dt. REMARQUE FONDAMENTALE 1.12 : • Sif∈C0_m([a;b[,K),a′∈]a;b[ :

∫

b a fconverge⇐⇒

∫

b a′fconverge. Alors :

∫

b a f=

∫

a′ a f+

∫

b a′f. • Sif∈C0_m(]a;b],K) etb′∈]a;b[ :

∫

b a fconverge⇐⇒

∫

b′ a fconverge. Alors :

∫

b a f=

∫

b′ a f+

∫

b b′f.

• Dans le cas de l’intervalle ]a;b[, la nature et la valeur de

∫

c

a f(t)dt+

∫

b

c f(t)dt sont ind´ependantes

dec∈]a;b[ ce qui l´egitime la d´efinition ci-dessus.

• La convergence des intégrales de f équivaut à l’existence de limites finies d’une (donc de toute) “primitive” Fdefaux bornes d’intégration. Exemple : si f: [a; +∞[→ K continue,

∫

+∞

a fconverge

si et seulement siFadmet une limite finie en +∞ et

∫

+∞

a f=x→+∞lim

(

F(x)−F(a))=[F(x)]+∞

a .

• L’ensemble des f∈C0_m(]a;b[,K) telles que

∫

b

a fconverge est un sous-espace deC 0

m(]a;b[,K).

• Sur ce sous-espace, l’applicationf7→

∫

b

(9)

EXERCICE 1.13 : Existence et calcul de

∫

+∞

0 ln ( 1+ 1 x2 ) dx. PROPOSITION 1.12 :

Si fest continue par morceaux sur g[a;b[ et si

∫

b

a f(t)dt converge : xlim→b

∫

b

x f(t)dt=0.

REMARQUE 1.13 : Ceci s’apparente au resteRn d’une s´erie convergente qui tend vers0.

EXERCICE 1.14 : Existence et calcul de

∫

1

0 ln_√(t)

t dt. REMARQUE 1.14 : • Si

∫

+∞

−∞ f(t)dt converge alorsx→+∞lim

∫

x

−xf(t)dt=

∫

+_∞

−∞ f(t)dt.

• Si

∫

+∞

0 f(t)dtconverge alorsnlim→+∞

∫

n

0 f(t)dt=

∫

+∞

0 f(t)dt.

EXEMPLE 1.15 : Les r´eciproques sont fausses : ∀x > 0,

∫

x

−xtdt = 0 mˆeme si

∫

+_∞

−∞ tdt est

divergente. De mˆeme, lim n→+∞

∫

n

0 sin(2πt)dt=0alors que

∫

+_∞

0 sin(2πt)dtest divergente.

D ´EFINITION 1.9 : Sia < b et si

∫

b a f(t)dtconverge, on pose

∫

a b f(t)dt=−

∫

b a f(t)dt. Et

∫

a a f=0.

REMARQUE 1.15 : On peut réécrire avec cette notation les résultats précédents : • D’abord Chasles, si les trois intégrales suivantes defconvergent :

∫

b

a f(t)dt=

∫

c

a f(t)dt+

∫

b

c f(t)dt.

• Soitf∈C0( ][a;b[,K) etFune primitive def. Alors

∫

b

a f(t)dtconverge si et seulement siFadmet une

limite finie enb− (oub+). Si c’est le cas

∫

b

a f(t)dt=xlim→bF(x)−F(a) =

[ F(x)]b

a (abus de notation).

• Soit f ∈C0( ]]a;b[,K) etF une primitive de f. Alors

∫

b

a fconverge si et seulement si F admet des

limites finies en a+ etb− (oua− etb+). Alors :

∫

b

a f=xlim→bF(x)−xlim→aF(x) =

[ F(x)]b a. EXEMPLE 1.16 : On a donc

∫

+∞ −∞ dx ch(x)=π. D ´EFINITION 1.10 :

On dit que deux int´egrales sont de mˆeme nature si elles sont soit simultan´ement convergentes soit simultan´ement divergentes.

REMARQUE FONDAMENTALE 1.16 : On peut changer d’intervalle d’int´egration :

• Sif: [a;b]→ K continue par morceaux, soitf_d(resp. f_g etf_gd) sa restriction à [a;b[ (resp. à ]a;b] et à ]a;b[), alors les intégrales

∫

b

a fd,

∫

b a fget

∫

b a fgdconvergent et

∫

b a f=

∫

b a fd=

∫

b a fg=

∫

b a fgd.

• Sif: [a; +∞[→ K continue par morceaux et si l’int´egrale

∫

+∞

a fconverge, soitfg la restriction def

`

a ]a; +∞[, alors l’int´egrale

∫

+∞

a fg converge (elles sont de mˆeme nature) et

∫

+∞

a f=

∫

+∞ a fg.

• Vous pouvez bien sûr adapter les autres types de restrictions qui ne changent ni la convergence ni la valeur de l’intégrale : de ]− ∞;b] à ]− ∞;b[ ou de ]a;b] à ]a;b[ par exemple.

(10)

ORAL BLANC 1.17 : Soitf: R → R continue telle que l’on ait lim

x→+∞f(x) =ℓetx→−∞lim f(x) =ℓ

′_.

Montrer la convergence et d´eterminer la valeur de

∫

+∞

−∞

(

f(x+1)−f(x))dx.

1.3.2 : Fonctions positives et int´

egrales de r´

ef´

erence

Soit f:I → R+ une fonction r´eelle positive continue par morceaux d´efinie sur un intervalle I.

Si c∈I, en notant Fc:I→ R d´efinie parFc(x) =

∫

x

c f(t)dtl’une quelconque de ses ”primitives” :

• SiI= [a;b[, alors

∫

b

a f(t)dt converge si et seulement siFc est major´ee.

• SiI=]a;b], alors

∫

b

a f(t)dt converge si et seulement siFc est minor´ee.

• SiI=]a;b[, alors

∫

b

a f(t)dt converge si et seulement siFc est born´ee.

EXEMPLE 1.18 : Justifier la convergence de l’int´egrale

∫

+∞

0

dx √

x4₊_x2₊₁.

PROPOSITION SUR LA POSITIVIT ´E ET LA CROISSANCE DE L’INT ´EGRALE 1.14 : Si f, g:I→ R sont continues par morceaux telles que

∫

If et

∫

Igconvergent :

• Sifpositive, alors

∫

b

a f>0 (positivit´e de l’int´egrale).

• Sif6g, alors

∫

b

a f6

∫

b

a g (croissance de l’int´egrale).

⊙

Quelques intégrales de référence :

TH ÉOR ÈME SUR LES INT ÉGRALES DE RIEMANN ET DES EXPONENTIELLES 1.15 : Soit α∈ R etfα: R∗+→ R+ définie par ∀x > 0, fα(x) = 1

xα : •

∫

+∞

1 fα converge si et seulement siα > 1 (crit`ere de Riemann).

•

∫

1

0 fα converge si et seulement si α < 1(crit`ere de Riemann).

Soit λ∈ R et gλ: R+→ R+ par ∀x>0, gλ(x) =e−λx :

•

∫

+∞

0 gλ converge si et seulement si λ > 0.

REMARQUE 1.17 : • Seulα=1est tel que

∫

1

0 fα et

∫

+∞ 1 fα divergent :

∫

1 0 dt t et

∫

+∞ 1 dt t divergent. • Siα > 1,

∫

+∞ 1 dx xα = 1 α−1. Siα < 1,

∫

1 0 dx xα = 1 1−α. Siλ > 0,

∫

+_∞ 0 e −λx_dx₌ 1 λ.

EXEMPLE FONDAMENTAL 1.19 : Justifier que

∫

1

(11)

TH ´EOR `EME DE COMPARAISON (CAS DES FONCTIONS POSITIVES) 1.16 : Soit (f, g)∈C0_m(I, R+)2,a=Inf(I)∈ R ∪ {−∞} et b=Sup(I)∈ R ∪ {+∞}.

• On suppose quef6gsur I : (i) si

∫

b a g converge alors

∫

b a f converge aussi ; (ii) si

∫

b a f diverge, alors

∫

b a g diverge aussi.

• Si I= g[a;b[ avec b∈ R ∪ {±∞} (et a∈I donc a∈ R)

(iii) Sif= bO(g) (ou f=bo(g)) alors : (

∫

b a gconverge ) =⇒ (

∫

b a fconverge ) . (iv) Si f∼ bg alors : (

∫

_b a f converge ) ⇐⇒(

∫

b a gconverge ) .

ORAL BLANC 1.20 : `A quelle condition surα∈ R a-t-on convergence de

∫

+∞ 0

t−sin(t) tα dt ?

1.3.3 : Op´

erations sur les int´

egrales convergentes

Si fest continue sur g[a;b[ et si

∫

b

a f(t)dt converge : F:x7→

∫

b

x f(t)dt est d´erivable etF

′ ₌₋_f_.

TH ÉOR ÈME SUR LA LIN ÉARITE ET LA RELATION DE CHASLES 1.18 : Soit f, g:I→ K continues par morceaux et a=Inf(I) ou−∞ et b=Sup(I) ou +∞ :

• Si

∫

b a fconverge etλ∈ K, alors

∫

b a(λf) converge et on a

∫

b a λf=λ

∫

b a f. • Si

∫

b a fet

∫

b a gconvergent, alors

∫

b a(f+g) converge et on a

∫

b a(f+g) =

∫

b a f+

∫

b a g. • Si

∫

b a fconverge et

∫

b a gdiverge, alors

∫

b a(f+g) diverge. • Si

∫

b a fconverge etc∈I :

∫

b a f=

∫

c a f+

∫

b c f (relation de Chasles). REMARQUE 1.18 : On a

∫

b a(f+g) =

∫

b a f+

∫

b

a g, si deux des trois int´egrales convergent.

EXEMPLE 1.21 : On ne peut pas ´ecrire

∫

+∞

0 t−sin(t) t3 dt=

∫

+_∞ 0 1 t2dt−

∫

+_∞ 0 sin(t) t3 dt. REMARQUE 1.19 : Sifest à valeurs complexes, la convergence de l’intégrale defsur l’intervalle équivaut `

a celle de ses parties r´eelle et imaginaire. Dans ce cas :

∫

b

a f=

∫

b

a Re (f) +i

∫

b

a Im(f).

EXEMPLE FONDAMENTAL 1.22 : Calcul de

∫

+∞

0 e

−t_cos₍_at₎_dt_pour_a_{∈ R.}

TH ´EOR `EME DE CHANGEMENT DE VARIABLE 1.19 :

Soit f∈C0_m( ]a;b[,K) etφ:]α;β[→]a;b[ une bijection strictement croissante de classeC1 :

• Les int´egrales

∫

b

a f(x)dx et

∫

β

α f◦φ(t)φ

′₍_t₎_dt _{sont de mˆ}_{eme nature.}

• Dans le cas de la convergence :

∫

b

a f(x)dx=

∫

β

α f◦φ(t)φ

(12)

REMARQUE 1.20 : Siφest une bijection strictement décroissante : les intégrales ont toujours la même nature et

∫

b

a f(x)dx=

∫

α

β f◦φ(t)φ

′₍_t₎_dt_{ce qui s’´}_{ecrit aussi}

∫

b

a f(x)dx=

∫

β

α f◦φ(t)φ

′₍_t)_dt_car_φ′₆₀_. ORAL BLANC 1.23 : CalculerJ=

∫

+∞

0 xdx x4+1. Puis d´ecomposerX 4₊₁_dans _R[_X_]. ´ Etablir queI=

∫

+∞ 0 dx x4+1 =

∫

+_∞ 0 x2dx

x4+1. En d´eduire la valeur exacte deI.

REMARQUE 1.21 : On peut proposer plusieurs adaptations du théorème de changement de variable : • On a la même conclusion sif∈C0_m([a;b[,K) etφ: [α;β[→ [a;b[ est C1 et strictement monotone. • On a le même résultat sif∈C0_m(]a;b],K) etφ:]α;β]→]a;b] estC1et strictement monotone.

TH ÉOR ÈME D’INT ÉGRATION PAR PARTIES 1.20 :

Soit f, g: g]a;b[ → K deux fonctions de classe C1, si les deux limites lim

x→af(x)g(x) et xlim→bf(x)g(x)

existent et sont finies, on note [f(x)g(x)]b a=lim

x→bf(x)g(x)−xlim→af(x)g(x) :

• Les deux int´egrales

∫

b

a f

′₍_x₎_g₍_x₎_dx_et

∫

b

a f(x)g

′₍_x₎_dx_{sont de mˆ}_{eme nature.}

• Si elles convergent :

∫

b a f ′₍_x₎_g₍_x₎_dx_{= [}_f₍_x₎_g₍_x_)]b a−

∫

b a f(x)g ′₍_x₎_dx_.

EXERCICE CONCOURS 1.24 : CCP PSI 2013 Mathieu Brandy

Montrer que la fonctionf:t7→ln (

1− 1 t2

)

est int´egrable sur ]1; +∞[. Calculer

∫

+∞

1 f.

REMARQUE 1.22 : On admet provisoirement (pour l’exercice suivant et le point m´ethode qui suit) que si

∫

b

a |f| converge (fest int´egrable) alors

∫

b

a faussi.

EN PRATIQUE : Soitf:I→ K, pour montrer la convergence de l’int´egrale

∫

b

a f(t)dto`ua=Inf(I) ou−∞

et b=Sup(I) ou +∞, on commence par v´erifier quefest bien continue par morceaux surI :

• On vérifie si des arguments de comparaison (avec critère de Riemann la plupart du temps) peuvent montrer directement l’intégrabilité defsurI.

• On montre l’existence des limites de la ”primitive”x7→

∫

x

c faux bornes de I(c∈I).

• Sifest positive, on montre qu’une telle ”primitive” est majorée, minorée, ou bornée. • On effectue un changement de variable licite sans changer la nature de l’intégrale.

• On fait une intégration par parties en vérifiant l’existence des limites du ”crochet” aux bornes pour se ramener à une fonction intégrable.

• On peut effectuer un développement limité (en a = 0 souvent) ou asymptotique (en ±∞) pour exprimer f comme la somme d’une fonction dont la convergence de l’intégrale est plus classique et d’une fonction intégrable.

• SiI = [a;b[, on peut trouver une suite strictement croissante (xn)n∈ N telle que l’on ait x0 =a et lim n→+∞xn=bet qui v´erifie ∑ n>0

∫

xn+1 xn

fconverge avec en plus lim n→+∞

∫

xn+1

xn |

(13)

FONCTIONS INT ´EGRABLES 13

REMARQUE 1.23 : Le dernier point n’est pas au programme : soit ε > 0, posonsS=

+∑∞ n=0

∫

xn+1 xn f. • ∃n0∈ N, ∀n>n0, n∑−1 k=0

∫

xk+1 xk f−S 6 ε 2 • ∃n1∈ N, ∀n>n1, 06

∫

xn+1 xn | f| 6 ε 2. •n2=Max(n0, n1),∀x∈ [ xn2;b [ , ∃!n>n2, xn6x < xn+1, x

∫

a f−S 6 n∑−1 k=0 x

∫

k+1 xk f−S+ x

∫

xn f 6ε. EN PRATIQUE : Soit f: I→ K, pour calculer

∫

b

a f(t)dt o`u a=Inf(I) ou−∞ et b=Sup(I) ou +∞, on

commence par v´erifier quefest bien continue par morceaux surI: • On d´etermine une de ses ”primitives”Fet on calcule

∫

b

a f(t)dt=xlim→b−F

(x)− lim x→a+F(x).

• On utilise la linéarité en vérifiant la convergence de chacune des intégrales écrites. • On effectue un changement de variable licite, les mêmes que pour sur un segment. • On effectue une intégration par parties pour se débarrasser desln, Arctan.... • On passe par les complexes s’il y a descoset dessin dans l’intégrale.

ORAL BLANC 1.25 : Centrale PSI 2013 Mathieu Brandy

SoitF: R∗+→ R d´efinie par : F(x) =

∫

1/x

0

dt x+sin2(t).

a. Montrer queFest bien d´efinie, ´etudier sa monotonie.

b. D´eterminer lim

x→0+F(x). Puis _x→+∞lim F(x).

c. Donner un ´equivalent simple de F(x) lorsquextend vers0+.

Indication : on pourra utiliser le changement de variableu=tan(t) sur des intervalles convenables.

PARTIE 1.4 : FONCTIONS INT´

EGRABLES

1.4.1 : D´

efinitions, propri´

et´

es et exemples

SoitI un intervalle,f:I→ K continue par morceaux,a=Inf(I)∈ R ∪ {−∞} etb=Sup(I)∈ R ∪ {+∞} ; on dit que l’int´egrale

∫

b

a f(t)dt est absolument convergente si

∫

b

a |f(t)|dt converge.

TH ´EOR `EME 1.21 :

Soit fcontinue par morceaux sur I,a=Inf(I)∈ R ∪ {−∞} et b=Sup(I)∈ R ∪ {+∞}.

Si

∫

b

a fconverge absolument, alors

∫

b a fconverge et

∫

b a f 6

∫

b a |f| (inégalité de la moyenne). D ÉFINITION 1.12 :

Une fonction continue par morceauxfsur un intervalleI est dite int´egrable surIsi son int´egrale sur Iest absolument convergente. On note

∫

If=

∫

b

(14)

REMARQUE FONDAMENTALE 1.24 :

• Sifest continue par morceaux sur [a;b[ eta′∈]a;b[, alors fest int´egrable sur [a;b[ si et seulement si elle l’est sur [a′;b[. Dans ce cas, on a

∫

[a;b[f=

∫

[a;a′]f+

∫

[a′;b[f.

• Sifest continue par morceaux sur ]a;b] etb′ ∈]a;b[, alorsfest int´egrable sur ]a;b] si et seulement si elle l’est sur ]a;b′]. Dans ce cas, on a

∫

]a;b]f=

∫

]a;b′]f+

∫

[b′;b[f.

• Sifest continue par morceaux sur ]a;b[ etc∈]a;b[,fest intégrable sur ]a;b[ si et seulement sifest intégrable à la fois sur ]a;c] et sur [c;b[. Dans ce cas, on a

∫

]a;b[f=

∫

]a;c]f+

∫

[c;b[f.

REMARQUE 1.25 : • Sif:I→ R+, l’intégrabilité deféquivaut à la convergence de

∫

b

a f.

• C’est aussi le cas par exemple sif: R+→ R et sifreste positive au voisinage de +∞.

• Sifest à valeurs complexes surI,fest intégrable surIsi et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont intégrables sur Iet on a alors

∫

If=

∫

IRe (f) +i

∫

IIm(f). PROPOSITION 1.22 :

Soitf:I→ K continue et intégrable sur I non réduit à un point. Alors :

∫

I|f| =0⇐⇒f=0.

EXEMPLE 1.26 : Soitf: [0;1]→ C continue avec

∫

1

0 |f| 2₌

∫

1

0 Re (f) =1. Montrer quef=1.

REMARQUE 1.26 : Relation entre int´egrabilit´e et limite : fcontinue par morceaux surI

• SiI= [a;b[ est un intervalle borné et sifest bornée surI (en particulier sifadmet une limite finie enb) alorsfest intégrable sur I. Mais on peut avoirfintégrable sur Isans quefne soit bornée surI. • SiI= [a; +∞[ n’est pas bornée, il n’y a aucun lien entre l’intégrabilité defsurIet le fait queftende vers0en +∞ ;t7→1

t tend vers0en +∞ mais n’est pas int´egrable sur [1; +∞[ et exemple suivant. • Une implication : si fest int´egrable surI= [a; +∞[ et sifadmet une limiteℓen +∞ alorsℓ=0.

EXEMPLE FONDAMENTAL 1.27 : Soit la fonctionf: R+→ R+telle quef(x) =2nsin∈ N∗

etx∈ [ n− 1 22n;n+ 1 22n ]

et0 sinon, alorsfest int´egrable sur R+ et on trouve

∫

R+

f=2bien que la fonctionfne tende pas vers0en +∞.

1.4.2 : Comparaison

TH ÉOR ÈME DE COMPARAISON ( ÉNORME) 1.23 : Soit (f, g)∈C0_m(I, K)2.

• On suppose que |f| 6 |g| :

(i) si g est int´egrable sur I alorsfl’est aussi ; (ii) si f n’est pas int´egrable sur I alorsg non plus.

• Si I= g[a;b[ avec b∈ R ∪ {±∞} (et a∈I donc a∈ R)

(iii) Sif=

bO(g) (ou f=bo(g)) alors : (g int´egrable sur I) =⇒ (f int´egrable sur I).

(iv) Si f∼

(15)

EXEMPLE 1.28 : La fonctionx7→x− 32sin(x) est int´egrable sur ]0; +∞[.

REMARQUE 1.27 : Il suffit que ces renseignements soient établis au voisinage des bornes deIpour que le résultat d’intégrabilité demeure. Par exemple, si f, g : [0; +∞[ sont continues par morceaux et qu’il existec > 0 tel que : ∀x>c, |f(x)| 6 |g(x)|, alors : gintégrable sur R+ impliquefintégrable sur R+.

EXEMPLE FONDAMENTAL 1.29 :

∫

+∞

0 e

−x2

dx(appel´ee int´_{egrale de Gauss) converge.}

Soita∈ R, f∈C0_m([a; +∞[,C) et α∈ R, alors on a les r´esultats suivants : • si ∃k̸=0, f(t) ∼

+∞ k

tα : (fint´egrable sur [a; +∞[ ) ⇐⇒ (α > 1). • siα > 1,f(t) = +∞O ( 1 tα )

(en particulier si lim t→+∞t

α_f₍_t_{) =}₀_{) :} _f_int´_{egrable sur [}_a_{; +}_∞[.

• si α61, ∃k > 0, |f(t)| > k

tα au voisinage de +∞ (en particulier si t→+∞lim t

α_f₍_t_{) = +}_{∞) :} _f

n’est pas int´egrable sur [a; +∞[.

Soita > 0, f∈C0_m(]0;a],C) et α∈ R, alors : • si ∃k̸=0, f(t)∼

0+

k

tα : (fint´egrable sur ]0;a] )⇐⇒ (α < 1). • siα < 1 etf(t) = 0+O ( 1 tα )

(en particulier si lim t→0+t

α_f₍_t_{) =}₀_{) :} _f _int´_{egrable sur ]}₀_;_a_].

• siα>1,∃k > 0, |f(t)| > k

tα au voisinage de0(en particulier sitlim→0+t

α_f₍_t_{) = +}_{∞) :} _f_n’est

pas int´egrable sur ]0;a].

EXERCICE 1.30 : Calculer

∫

+∞ 0 dt √ et+1 .

PROPOSITION SUR LES INT ´EGRALES DE BERTRAND 1.25 : Soit (α, β)∈ R2 _:

•

∫

+∞

2

dt

tα(ln t)β est convergente si et seulement si α > 1ou (α=1et β > 1). •

∫

12

0 dt

tα|ln t|β est convergente si et seulement si α < 1ou (α=1 etβ > 1).

REMARQUE 1.28 : C’est tellement classique qu’il faut connaˆıtre ces résultats par cœur mais c’est néanmoins hors-programme donc il faut savoir le démontrer.

EXERCICE CONCOURS 1.31 : Centrale PSI 2013

Soit (x, y)∈ R2 _{et la fonction}_f

x,y: [1; +∞[→ R d´efinie par ∀t>1, fx,y(t) = ln(1+t x_e−ty₎ 1+tx . ´

(16)

REMARQUE 1.29 : Soitf:I= [a;b[→ K continue par morceaux et (un)n∈ Ncroissante telle queu0∈I

et lim

n→+∞un=b. Alors : fest int´egrable surI ⇐⇒

∑

n>0

∫

un+1

un |

f| converge.

On choisira (un)n∈ Nen fonction def: un =nπpar exemple sifcontient sinet/oucoset siI= R+.

EXERCICE CLASSIQUE 1.32 : L’int´_{egrale de Fresnel}

∫

+∞

0 sin(x

2₎_dx_{est semi-convergente.}

EN PRATIQUE : Soitf:I= ][a;b[→ K continue par morceaux, pour montrer quefest int´egrable surI : • Sifest positive, on utilise les techniques sur la convergence des int´egrales.

• On utilise le théorème de comparaison en trouvantgde référence intégrable surI telle que|f| 6 |g| ouf=

bO(g) ouf=bo(g) ouf∼bg.

• Dans la plupart des cas, on calcule lim x→0+x

α_f₍_x_{) ou} _lim x→+∞x

α_f₍_x_{) en fonction de} _α _{et on utilise le}

crit`_{ere de Riemann et la position de}α par rapport `a1. • On montre la convergence de ∑ n>0

∫

un+1 un | f| o`uu0∈Iet lim n→+∞un=b. ORAL BLANC 1.33 : On poseI=

∫

π 2 0 ln(sin θ)dθet J=

∫

π 2 0 ln(cos θ)dθ(Euler).

Montrer queIetJconvergent. Justifier queI=J.

En calculant,I+J, grˆace au changement de variableα=2θ, trouver la valeur exacte deI.

1.4.3 : Int´

egrales semi-convergentes

Soitf:I→ K continue par morceaux,a=Inf(I)∈ R∪{−∞} etb=Sup(I)∈ R∪{+∞}, si l’int´egrale

∫

b

a f

est convergente mais quefn’est pas int´egrable sur I, on dit que l’int´egrale

∫

b

a fest semi-convergente.

REMARQUE FONDAMENTALE 1.30 : Si f n’est pas réelle positive (ou négative), on ne peut pas utiliser l’´equivalent dans le th´eorème de comparaison mais seulement le O ou leopour montrer la convergence.

EXEMPLE FONDAMENTAL 1.34 : Soitα∈ R∗₊ et a∈ R∗, alors : •

∫

+∞

1 eiat

tα dtconverge absolument si et seulement si α > 1. •

∫

+∞

1 eiat

(17)

EXEMPLE 1.35 : L’int´egrale

∫

+∞

0 sin_√(x) x dxconverge et on a clairement sin(x) √ x+sin(x)+∼_∞ sin_√(x) x . Pourtant, contrairement `a toute attente,

∫

+∞

0

sin(x) √

x+sin(x)dxdiverge.

1.4.4 : Comparaison s´

erie-int´

egrale

TH ÉOR ÈME DE COMPARAISON S ÉRIE-INT ÉGRALE ( ÉNORME) 1.26 : Soit f: R+→ R+ une fonction continue par morceaux, positive et décroissante.

La s´erie ∑

n>0

f(n) converge si et seulement si fest int´egrable sur R+.

REMARQUE 1.31 : C’est l’idée dont il faut s’imprégner : étudier la monotonie def, faire des dessins, encadrer, sommer et conclure à une convergence, une divergence ou un équivalent.

EXERCICE CONCOURS 1.36 : Centrale PSI 2013

Soits> −1. D´eterminer un ´equivalent de

n

∑

k=1 ks.

1.4.5 : Espaces de fonctions int´

egrables

On note L1(I, K) l’ensemble des fonctions continues par morceaux et intégrables surI à valeurs dans K. On note L2(I, K) l’ensemble des fonctionsf∈C0_m(I,K) de carré intégrable surI (|f|2 est intégrable).

PROPOSITION SUR LA LIN ÉARIT É DE L’INT ÉGRALE, LA RELATION DE CHASLES ET L’IN ÉGALITE DE CAUCHY-SCHWARZ 1.27 :

• L1(I,K) est un sous-espace de C0_m(I,K) o`u f7→

∫

Ifest une forme lin´eaire ; c’est-`a-dire que si

(α, β)∈ K2 _{et (}_{f, g}₎_∈_L1₍_I,_K)2 _alors _αf₊_βg_∈_L1₍_I,_{K) et}

∫

I(αf+βg) =α

∫

If+β

∫

Ig.

• Soit f∈C0_m(I,K) et c∈I. Alors f est int´egrable sur I si et seulement si f est int´egrable sur

I∩ ] − ∞ ;c] et sur I∩ [c; +∞[. Dans ce cas, on a

∫

If=

∫

I∩ ]−∞ ;c]f+

∫

I∩ [c ;+∞[f. • Si (f, g)∈L2(I,K)2 alorsf×g∈L1(I,K).

• L2(I,K) est un sous-espace vectoriel de C0_m(I,K). • In´egalit´e de Cauchy-Schwarz : (f, g)∈L2(I, K) =⇒

∫

Ifg 6 √

_∫

I|f| 2 √

_∫

I|g| 2_.

REMARQUE 1.32 : Il n’y a pas d’inclusion en g´en´eral entreL1(I,K) etL2(I,K) : • t7→ 1

t est de carré intégrable sur [1; +∞[ mais n’y est pas intégrable. • t7→ √1

(18)

REMARQUE 1.33 :

• SiIcontient au moins deux valeurs distinctes et si K = R, (f, g)7→

∫

Ifgd´efinit un produit scalaire

surL2(I,R) ∩ C0(I,R) (fonctions continues de carr´e int´egrable surI ).

• Si l’intervalle I est borné et si f de carré intégrable sur I, alors f est intégrable par l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Alors par exemple :

∫

[a;b[|f| 6 √ b−a √

∫

[a;b[|f| 2_.

ORAL BLANC 1.37 : Soitf: [0; +∞[→ R de classeC1.

On suppose quef2 etf′2 sont int´egrables. D´eterminer la limite defen +∞.

COMP´

ETENCES

• dire qu’une fonction est continue (ou continue par morceaux) pour parler de son intégrale. • manipuler les équivalents, dominations, majorations pour établir l’intégrabilité.

• retenir toutes les primitives et fonctions usuelles et les intégrales de référence. • étudier une fonction dont la variable est dans les bornes d’une intégrale.

• calculer efficacement lors des intégrations par parties, changement de variables, formule de Taylor. • penser lors des calculs d’équivalents ou de limites d’intégrales à :

- minorer et/ou majorer par des intégrales plus simples à calculer. - la comparaison série-intégrale dans le cas d’une fonction monotone. - une intégration par parties pour faire “sortir” le terme prépondérant. • utiliser les inégalités de la moyenne et de Cauchy-Schwarz pour majorer.