2016-2017

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ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2016-2017

CONTR ˆOLE CONTINU

Fonctions r´eelles - Comparaison locale et int´egration

Tous les exercices sont ind´ependants. Calculatrices autoris´ees

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 1. Donner le développement limité à l’ordre 2 de la fonction f : x 7−→ ln(cos(x))

puis en déduire un équivalent simple de f (x) en 0. 2. Donner un équivalent simple de la fonction

g : x 7−→√x2_{+ x −}√3

2x3_{+ 4x}2

au voisinage de +∞.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 1. Un calcul pr´eliminaire Soit

g : R∗+ −→ R

x 7−→ x − 1 − x ln(x)

On admettra que g est d´erivable sur son domaine de d´efinition. (a) Calculer g0(x) pour tout x > 0.

(b) En d´eduire les variations de g.

(c) Montrer que g(x) 6 0 pour tout x > 0. 2. Soit f la fonction r´eelle d´efinie par

f (x) = eln(x)x−1

(a) D´eterminer le domaine de d´efinition Df de f .

(b) Étude de la dérivée

i. Montrer que f est d´erivable sur Df et calculer f0(x) pour tout x ∈ Df.

ii. En d´eduire le tableau de variation de la fonction f .

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(c) Calculer les limites lim x→0> f (x) et lim x→+∞f (x) (d) ´Etude au voisinage de 1

i. `A l’aide du changement de variable x = 1 + h, montrer que f (x) = e − e

2(x − 1) + o((x − 1))

ii. Montrer que f se prolonge par continuité en 1 pour une valeur de f (1) que l’on précisera (on appellera encore f la fonction prolongée ainsi obtenue).

iii. Montrer que le prolongement f est dérivable en 1 et donner la valeur de f0(1) ainsi que l’équation de la tangente à la courbre Cf de f en 1.

(e) Tracer une esquisse de Cf. On fera en particulier apparaˆıtre la tangente `a Cf en 1

ainsi que l’asymptote de Cf en +∞.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 1. `A l’aide du changement de variables x = ln(t), calculer l’int´egrale I =

Z e

1

dt t + t(ln(t))2

2. `A l’aide de deux int´egrations par parties, montrer que

∀k ∈ N∗, Jk= Z π 0 t2 2π − t cos(kt) dt = 1 k2 ? ? ?

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CORRECTION

Exercice 1 :

1. Le d´eveloppement limit´e de la fonction cosinus donne cos(x) = 1 − x 2 2 + o(x 2₎ donc f (x) = ln 1 − x 2 2 + o(x 2 )

est de la forme ln(1 − u) avec u = x₂2+ o(x2) est d’ordre 2 en x et tend vers 0 en 0. D’autre part ln(1 − u) = −u + o(u) D’o`u f (x) = −x 2 2 + o(x 2₎ Donc f (x) =∼ 0 − x2 2 .

2. Les termes “importants” de l’expression f (x) = √x2_{+ x −}√3

2x3_{+ 4x}2 _{au voisinage de}

+∞ sont les plus grandes puissances de x. En factorisant dans chaque terme de la somme, on a f (x) = x2 1 + 1 x 1₂ − x3 2 + 4 x 1₃ = x " 1 + 1 x 1₂ − 2 + 4 x 1₃#

Le crochet ci-dessus tendant vers −1, on en d´eduit que le quotient f (x)

−x tend vers 1 et f (x) ∼ +∞−x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 : 1. (a) ∀x > 0, g0(x) = 1 − 1. ln(x) + x.1 x = − ln(x) (b)

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(c) D’apr`es le tableau ci-dessus, g atteint son maximum en x = 1. Or g(1) = 0 donc g(x) 6 0 pour tout x > 0.

2. (a) f (x) existe pour tout x > 0 tel que x 6= 1. Donc Df =]0, 1[∪]1, +∞[.

(b) i. f est une composée de fonctions dérivables sur leurs domaines. Elle est donc dérivable sur son domaine. De plus pour tout x ∈ Df, on a

f0(x) = 1 x.(x − 1) − ln(x).1 (x − 1)2 e ln(x) x−1 = x − 1 − x ln(x) x(x − 1)2 e ln(x) x−1

ii. D’apr`es le calcul ci-dessus, on a

∀x ∈ Df, f0(x) =

g(x) x(x − 1)2e

ln(x) x−1

Chaque facteur ci-dessus est de signe constant et seul g(x) est n´egatif. Donc f0_{(x) 6 0 pour tout x ∈ D}f. f est donc d´ecroissante sur son domaine de

définition. (c) lim x→0+f (x) = e +∞ = +∞ et lim x→+∞f (x) = e 0 = 1 (d) i. En posant x = 1 + h, on a f (x) = f (1 + h) = eln(1+h)h Or ln(1 + h) = h − h 2 2 + o(h 2 ) et eu = 1 + u + o(u) donc eln(1+h)h = e1− h 2+o(h) = e.e−h2+o(h) = e. 1 − h 2 + o(h) = e − e 2.h + o(h) En posant h = (x − 1), on a bien f (x) = e − e 2(x − 1) + o((x − 1)) ii. D’après le calcul précédent, on a

lim

x→1f (x) = e

Cette limite ´etant finie, on peut prolonger f en une fonction continue sur ]0, +∞[ en posant f (1) = e.

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iii. D’après le développement limité calculé plus haut, on a f (x) − f (1) x − 1 = − e 2 + o(1) −→x→1 − e 2

Le prolongement de f en 1 est donc dérivable en 1 et f0(1) = −e₂ et l’équation de la tangente à Cf en 1 est T1 : y = − e 2(x − 1) + e = − e 2x + 3e 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 : 1. I = Z e 1 1 t + t(ln(t))2dt = Z e 1 1 tdt 1 + ln(t)2 = x = ln(t) t = ex dx = 1_tdt dt = ex_dx x ∈ [0, 1] t ∈ [1, e] Z 1 0 dx 1 + x2 = [arctan(x)]1₀ = π 4 2. On pose u(t) = t 2 2π − t ⇒ u 0_{(t) =} t π − 1 v0(t) = cos(kt) ⇒ v(t) = 1 k sin(kt) et l’on a Jk = t2 2kπ sin(kt) π 0 − 1 k Z π 0 t π − 1 sin(kt)dt

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On pose u(t) = t π − 1 ⇒ u 0_{(t) =} 1 π v0(t) = sin(kt) ⇒ v(t) = −1 k cos(kt) et l’on a Jk = − 1 k −1 k t π − 1 cos(kt) π 0 + 1 kπ Z π 0 cos(kt)dt = 1 k2 − 1 πk2 Z π 0 cos(kt)dt = 1 k2 ? ? ?