#2 Les séries de Taylor

(1)

2. S´

eries de Taylor

MTH1101

C. Audet, G. Jomphe, S. Le Digabel Polytechnique Montr´eal

A2019

(2)

Plan

1. S´eries enti`eres

1. D´eveloppement de Taylor

3. Convergence

(3)

1. D´eveloppement de Taylor 3. Convergence

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S´

eries enti`

eres

Soit x ∈ R. Unes´erie enti`ere est de la forme

∞

X

n=0

bnxn= b0+ b1x + b2x2+ b3x3+ . . .

On peut aussi l’´ecrire comme centr´ee en a ∈ R:

∞ X n=0 bnxn= ∞ X n=0

cn(x−a)n= c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+c3(x−a)3+. . .

Les coefficients bn et cn peuvent d´ependre de n

Attention : Les puissances de x doivent ˆetre ≥ 0 : La s´erieP∞

n=0 x1

n

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Rayon de convergence d’une s´

erie enti`

ere

Pour toute s´erie enti`ereP∞

n=0cn(x − a)n, il existe unrayon de

convergenceR ≥ 0 tel que

I La s´erie converge pour tout x ∈]a − R; a + R[

I La s´erie diverge pour tout x tel que |x − a| > R

I La s´erie peut converger ou diverger pour x = a ± R Remarques :

I Si R = 0, la s´erie converge uniquement pour x = a

I Si R = ∞, la série converge pour tout x ∈ R Exemple : Pour la série géométrique P∞

n=0xn, R = 1 et

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Convergence d’une s´

erie enti`

ere : Test de

d’Alembert

Soit la s´erie enti`ere

∞ P n=0 an= ∞ P n=0 cn(x − a)n et L = lim n→∞ an+1 an On sait que

I Si L < 1 : La s´erie converge, et donc que x ∈]a − R; a + R[

I Si L > 1 : La s´erie diverge et donc |x − a| > R

I Si L = 1 : On ne peut rien dire. Ainsi, on peut en d´eduire que

R = lim n→∞ cn cn+1

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Convergence d’une s´

erie enti`

ere : Test de Cauchy

∞ P n=0 an= ∞ P n=0 cn(x − a)n et L = lim n→∞ n p|an|

I Si L < 1 : La s´erie converge, et donc x ∈]a − R; a + R[

I Si L > 1 : La s´erie diverge et donc |x − a| > R

I Si L = 1 : On ne peut rien dire. On peut en d´eduire que

R = 1

lim

n→∞

n

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Int´

egration et d´

erivation d’une s´

erie enti`

ere

∞

P

n=0

cn(x − a)n. Sous certaines hypoth`eses, on

aura I d dx _∞ P n=0 cn(x − a)n = ∞ P n=0 d dx[cn(x − a)n] I R _∞ P n=0 cn(x − a)n dx = ∞ P n=0 R cn(x − a)ndx

Le rayon de convergence ne change pas mais les extr´emit´es de l’intervalle de convergence peuvent changer.

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Polynˆ

omes

I Forme générale d’un polynôme en (x − a) de degré n : Pn(x) = c0+ c1(x − a) + c2(x − a)2+ . . . + cn(x − a)n

I Peut se réécrire sous la forme équivalente

Pn(x) = b0+ b1x + b2x2+ . . . + bnxn

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Formule de Taylor avec reste int´

egral

I Soit f une fonction telle que ses dérivées (n+1)ièmes existent et sont continues sur [a; x].

I Le d´eveloppement de Taylor de f autour de a est

f (x) = f (a)+f 0_{(a)(x − a)} 1! + f00(a)(x − a)2 2! +. . .+ f(n)(a)(x − a)n n! +Rn(x)

I Reste int´egral de Laplace d’ordre n :

Rn(x) = x Z a f(n+1)_{(t)(x − t)}n n! dt

I Pour n = 1 : f (x) = f (a) + f0(a)(x − a) +

x

R

a

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D´

eveloppement de Taylor

f (x) = f (a) +f0(a)(x−a)_1! + f00(a)(x−a)_2! 2 + . . . + f(n)(a)(x−a)_n! n + Rn(x)

I f (x) = Pn(x) + Rn(x)

I Pn(x) est lepolynˆome de Taylor.

I D´eveloppement de Taylor de f autour du point a : f (x) = ∞ X n=0 f(n)(a)(x − a)n n!

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D´

eveloppement de MacLaurin

Led´eveloppement de MacLaurinest le d´eveloppement de Taylor

avec a = 0 : f (x) = f (0) +f 0_(0)x 1! + f00(0)x2 2! + . . . + f(n)(0)xn n! + Rn(x) = ∞ X n=0 f(n)(0)xn n!

(14)

Approximation d’une fonction par un polynˆ

ome

I On peut approximer f (x) par le polynôme suivant d’ordre n : f (x) ' Pn(x) = n X k=0 f(k)(a)(x − a)k k! I Erreur d’approximation : |f (x) − P_n(x)| = |Rn(x)| ≤ précision exigée

I Pn(x) convergera vers f (x) si et seulement si

lim

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Majoration du reste

I Pour obtenir la valeur de f (x), avec une pr´ecision donn´ee, on cherche un majorant de Rn(x) et une valeur de n telle que ce

majorant soit inférieur à la précision exigée.

I Il suffit ensuite d’´evaluer Pn(x) pour obtenir la valeur

approximative de f (x). I Un majorant est : |Rn(x)| = x Z a f(n+1)(t)(x − t)n n! dt = |f (x) − Pn(x)| ≤ f (n+1)_(c) |x − a|n+1 (n + 1)! avec c ∈ [a; x]

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Exemple 1

1. Calculer le d´eveloppement en s´erie de Taylor de la fonction f (x) = ex autour du point a = 0

2. Sachant que x ∈ [0; 1], donner un majorant du reste |Rn(x)|

3. Quel devrait être le degré n minimum du polynôme qui assure que |f (x) − Pn(x)| ≤ 0.01 ?

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Exemple 2

1. Calculer le d´eveloppement en s´erie de Taylor de la fonction f (x) = (1 + x)p autour de a = 0

2. Qu’observe-t-on pour p = −1 ?

(18)

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Convergence non obligatoire vers f (x)

f (x) = ( 0 x = 0 e −1 x2 x 6= 0

I Toutes les d´eriv´ees de f (x) sont nulles en 0.

I Le polynˆomome de Taylor de f (x) autour de 0 est nul.

I Mais Pn(x) ne converge pas vers f (x) pour toutes valeurs de x 6= 0 :

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 Série

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Exemple 3

Autour de a = 0, pour |x| < 1 : 1 1 − x= 1 + x + x 2_{+ x}3_{+ . . . =} ∞ X n=0 xn 1 1 + x2 = 1 − x 2_{+ x}4_{− x}6_{− . . . =} ∞ X n=0 (−1)nx2n

(21)

(22)

Techniques

I D’autres techniques que la formule de Taylor existent pour exprimer une fonction sous la forme d’une s´erie de Taylor.

I Il suffit de connaˆıtre le d´eveloppement en s´erie de Taylor de quelques fonctions de base.

I Puis utiliser des techniques comme la substitution, la d´erivation, et l’int´egration.

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Technique de substitution

I Soient f et g des fonctions dont la s´erie de Taylor converge vers les fonctions f et g sur les intervalles If et Ig

I Alors la série de Taylor de la composition h(x) = f (g(x)) peut être obtenue en substituant la série de Taylor de g dans celle de f , puis en regroupant les termes.

I La s´erie ainsi obtenue convergera vers h(x) pour tous les points x tels que x ∈ Ig et g(x) ∈ If

(24)

Technique de substitution : Exemples

I Exemple 4 : En consid´erant g(x) = x2 et f (x) = ex, trouver le d´eveloppement de Taylor de h(x) = f (g(x)) = ex2 autour de 0.

I Exemple 5 : Trouvez le d´eveloppement de Taylor de ecos x autour de 0.

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Technique de d´

erivation

I Cette technique consiste à dériver chacun des termes de la série associée à une fonction pour obtenir celle recherchée.

I Exemple 6 : Trouver la s´erie de Taylor de cos x autour de 0 en sachant que la s´erie de Taylor de sin x autour de 0 est

sin x = ∞ X n=0 (−1)n x 2n+1 (2n + 1)!

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Technique d’int´

egration

I Cette technique consiste à intégrer chacun des termes de la série associée à une fonction pour obtenir celle recherchée.

I Exemple 7 : Trouver la s´erie de Taylor de arctan x autour de 0 en sachant que la s´erie de Taylor de _1+x1 2 autour de 0 est

1 1 + x2 = ∞ X n=0 (−1)nx2n