Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4
TD 8. S´eries enti`eres et ´equations diff´erentielles.
Exercice 1 1. On consid`ere le probl`eme diff´erentiel suivant : (S) : (E) : xy
00+ 2y0+ xy = 0
(CI) : y(0) = 1
(a) Montrer qu’il existe une unique solution de (S) d´eveloppable en s´erie enti`ere autour de 0. (On pourra chercher y sous la forme y(x) = P
n>0anxn, et d´eterminer des
conditions sur la suite (an).
(b) Quel est l’intervalle de d´efinition de y ? (c) Calculer y.
2. Mˆemes questions avec le syst`eme (S0) : x 2y00+ 4xy0+ (2 − x2)y = 1 y(0) = 1/2, y0(0) = 0 ******************** Exercice 2 Soit f : x → arcsin(x)√ 1 − x2 .
1. Montrer que f est solution d’une ´equation diff´erentielle (E) `a d´eterminer.
2. En d´eduire un d´eveloppement de f en s´erie enti`ere. (On pourra chercher une solution de (E) sous la forme d’une s´erie enti`ere, puis identifier `a f ).
3. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de g : x → (arcsin(x))2. ********************
Exercice 3 Soit (an)n∈N la suite r´ecurrente d´efinie par
( a0 = a1 = a2 = 1
an+1 = an−
an−2
2(n + 1)
1. Montrer que la suite (an) est d´ecroissante et que la suite (nan) est croissante.
2. En d´eduire le rayon de convergence de la s´erie P anxn.
3. Soit f la somme de la s´erie enti`ere P anxn. Montrer que f est solution d’un ´equation
diff´erentielle `a d´eterminer.
4. En d´eduire une expression de f `a l’aide des fonctions usuelles.
