Em Oliveira et al. (2016) a modelagem do fluxo de calor e massa baseou-se na hipótese de que o problema matemático é discretizado através da divisão da tubulação em células. Onde a superfície cilíndrica da tubulação foi tomada como o volume de controle. Dessa forma, o balanço de energia e de massa podem ser expressos pelas Equações 5.1 e 5.2, respectivamente:
+ + + = + + + ∅ (5.1)
+ + + = + + + (5.2)
Considerou-se o sistema escoando em regime de fluxo laminar ou turbulento, a parede externa da tubulação em qualquer ponto tinha a mesma temperatura, ou seja, a temperatura na parede externa da tubulação é constante. O processo não possui geração de energia e nem de reação química, sendo esses itens nas Equações 5.1 e 5.2 são desprezados. A dissipação viscosa, ∅ , presente na Equação do balanço de energia para escoamento laminar e turbulento pode ser negligenciada, pois segundo Bird et al (2004), essa consideração só não poderia ser realizada se o sistema possuísse altíssimo gradiente de velocidade.
A difusividade térmica e mássica foi assumida apenas no sentido radial, supondo que a difusão axial pode ser desprezada por ocorrer de forma quase que instantânea, quando analisado tempo a tempo. O fluido na entrada do sistema, possui concentração de parafina pré- definida. Quando analisado em sistema fechado, essa concentração sofre alterações, visto que a parafina presente no fluido é depositada, diminuindo a concentração da mesma no fluido ao longo do tempo. Alterações na reologia do fluido devido à deposição da parafina foi desprezada.
O efeito da pressão no processo da deposição foi desprezado, pois de acordo com Cabonillas (2015) e Vieira et al. (2009), apenas em altíssimos gradientes de pressão é possível sentir o seu efeito, devido ao desprendimento das frações leves presente no fluido.
Analisando as Equações 5.1 e 5.2 para o escoamento com fluxo laminar e aplicando as considerações expostas anteriormente, obtemos as Equações 5.3 e 5.4.
= (5.3)
= (5.4)
Onde, é a temperatura, é a velocidade no perfil de velocidade, é a difusividade mássica da parafina, é a concentração da parafina e é a raio. Coeficiente de difusividade térmica = , é a capacidade calorífica do solvente a pressão constante, é a condutividade térmica do líquido e é a massa específica. Nessas equações podemos dizer que apenas a capacidade calorífica, a condutividade térmica, a massa específica do fluido, o coeficiente de difusividade, podem ser consideradas parâmetros constantes.
Lee (2008) mostrou que as equações de transferência de calor e massa para fluxo turbulento podem ser calculadas de uma maneira similar àquelas apresentadas para o fluxo laminar, porém faz-se necessário a inclusão do perfil de velocidade axial turbulento e as difusividades de eddy (turbilhão) na transferência térmica e mássica.
No escoamento turbulento as Equações 5.3 e 5.4 juntamente com as considerações expostas anteriormente, é possível obter as Equações 5.5 e 5.6.
= ( + ) (5.5)
= ( + ) + ( − ) (5.6)
Onde, é a concentração de equilíbrio na parede, é a taxa de precipitação, difusividade de Eddy (turbilhão) térmica e difusividade de Eddy (turbilhão) mássica.
Os valores para o perfil de velocidade, difusividade de Eddy (turbilhão) térmico e mássico, segundo Lee (2008), podem ser obtidos através das seguintes relações: para a difusividade de Eddy (turbilhão) térmica ≡ . , difusividade de Eddy (turbilhão)
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mássica ≡ . , onde, = 0.85 + . , = 0.85 + . , a velocidade na fase óleo
é obtida através de uma velocidade adimensional para fluxo turbulento = e próximo a fase sólida = 0.
Onde, é a difusividade de Eddy (turbilhão) térmico, é a difusividade de Eddy (turbilhão) mássica, é o número Schmidt, é o número de Prandtl, é o momento da difusão de Eddy (turbilhão), é tensão cisalhante.
O momento da difusividade de Eddy (turbilhão), , pode ser obtido em função da distância adimensional entre a interfase sólido-líquido, , e a velocidade adimensional, , através da Equação de Nikuradse e correlações de Van Driest (Deen, 2008; Azevedo Netto et al. ,1998; Van Driest, 1956). Na Tabela 5.1 são apresentados as correlações utilizadas na Equação de Van Driest (Equação 5.7) e essas correlações dependem do tipo de tubo que será empregado:
= ( ) 1 − − (5.7)
sendo, =0.4; =26, = ↔ 1 − .
Tabela 5.1-Correlações de Van Driest para tubo liso e tubo rugoso usada na Equação de Nikuradse.
Tubo Liso Tubo rugoso
= 0.305 . = 1 −2 log 3.7 ⁄ . = 2 1 + 1 + 4 [1 − (− ⁄ )] = 2 1 + 1 + (2 ) = ≤ 5 5 ( ) − 3.05 5 ≤ ≤ 30 2.5 ( ) + 5.5 ≥ 30 =1 1 − 1 + (2 ) 2 + ln 2 + 1 + (2 )
onde, f é o fator de fricção, é o número de Reynolds.
A taxa de precipitação, , de acordo com Lee (2008), só deve ser calculado quando a Temperatura Inicial do Aparecimento de Cristais (TIAC) for atingida. Huang et al. (2011) ainda mostra que o valor de é uma função da difusividade, densidade e diâmetro da partícula. Devido as misturas complexas do petróleo, os dois últimos itens não podem ser obtidos de forma precisa. A difusividade é um parâmetro que pode ser obtido de forma mais direta, fazendo uso de dados físico-químico da parafina e do solvente sendo diretamente proporcional, a temperatura de operação, como apresentado nas equações de Hayduk and, Equação 5.9.
Na Equação 5.8 é apresentado a dependência do com a difusividade, diâmetro de partícula e densidade da partícula. Os detalhes de cálculo para obter esse parâmetro, podem ser obtidos em Lee (2008).
=
( )
(5.8)onde, é o diâmetro da partícula, é a massa específica da partícula, ( ) é Difusividade da parafina na temperatura de operação.
= 1,33 . 10
.
. . ̈(5.9)
sendo = e ̈ = , − 0,791 ,
Onde, é a viscosidade do solvente, é o volume molar da parafina, é a massa molecular da parafina, é a massa específica da parafina, ̈ é uma função do volume molar da parafina.
Colocando as Equações 5.3, 5.4, 5.5 e 5.6 em função das variáveis adimensionais obtemos as Equações 5.10, 5.11 para fluxo laminar e 5.12 e 5.13 para fluxo turbulento, respectivamente. No sistema turbulento a velocidade , encontrada ao longo de na tubulação, trata-se de uma velocidade média obtida através de vários pontos radiais, no ponto axial em estudo. Essa simplificação foi implementada por se tratar de fluido turbulento logo, a velocidade na direção radial encontra-se completamente desenvolvida e praticamente igual em
qualquer ponto nessa direção. Dessa forma, pode-se dizer que = + e =
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∆
=
+
(5.10)sendo, = ( , ) ( )
( ) ; ∆ = ; = . ; =
Onde, ( , ) é a temperatura no ponto axial z e radial r, ( ) é a temperatura na parede no ponto axial z, é a temperatura na entrada da tubulação, é o raio útil inicial da parafina no ponto z ao longo de cada tempo t, é o comprimento total da tubulação, é a velocidade do fluido no ponto axial z e radial r.
∆
=
+
(5.11)sendo, = ( , )
( , ); = . ; ∆ = ; =
Onde, ( , ) é a concentração mássica no ponto axial z e radial r, ( , 0) é a concentração de equilíbrio no “Bulk” do líquido na posição axial z.
∆
=
+
(5.12)
∆
= + + ∆ − (5.13)
Foi aplicado o método das diferenças finitas nos modelos teóricos 5.10, 5.11, 5.12 e 5.13 a fim de se obter os modelos numéricos de balanço de massa e energia. A distribuição da temperatura e da fração molar no eixo radial para cada ponto axial só foi possível após as devidas substituições das derivadas parciais por suas aproximações por diferenças finitas, obtendo assim um sistema de equações algébricas.
As Equações 5.10, 5.11, 5.12 e 5.13 puderam ser discretizadas, formando conjuntos de equações algébricas. Sendo obtidas as equações 5.14 e 5.15 para o balanço de energia e 5.16 e 5.17 para o balanço de massa do sistema laminar. Para o sistema turbulento, as Equações 5.18 e 5.19 foram obtidas para o balanço de energia e as Equações 5.20 e 5.21 para o balanço de massa.
∆ ,− −1,
∆ = 2
, +1−2 ,+ , −1
∆ ,− −1, ∆ = 1 , +1− , −1 2∆ + , +1−2 ,+ , −1 ∆ 2 (5.15) ∆ ,− −1, ∆ = 2 , +1−2 ,+ , −1 ∆2 (5.16) ∆ ,− −1, ∆ = 1 , +1− , −1 2∆ + , +1−2 ,+ , −1 ∆ 2 (5.17)
Onde i e j correspondem aos pontos discretos ao longo da coordenada (axial) e ε (radial).
∆ ,− −1, ∆ = 2 , +1−2 ,+ , −1 ∆ 2 (5.18) ∆ ,− −1, ∆ = 1 , +1− , −1 2∆ + , +1−2 ,+ , −1 ∆2 (5.19) ∆ ,− −1, ∆ = 2 , +1−2 ,+ , −1 ∆ 2 (5.20) ∆ ,− −1, ∆ = 1 , +1− , −1 2∆ + , +1−2 ,+ , −1 ∆ 2 + ∆ , − , (5.21)
A temperatura na parede externa da tubulação foi considerada constante e igual a temperatura ambiente.
Para o processo de transferência de calor por convecção, fez-se uso da Equação 5.22.
ℎ = . (5.22)
onde, k é a condutividade térmica, Nu é número de Nusselt e Lcarac é o comprimento
característico.
Os parâmetros a serem utilizados na Equação 5.22 estão sendo apresentados na Tabela 5.2. Para a convecção interna, fez-se necessário calcular o número de Nusselt (Nu), número de Prandtl (Pr), número de Graetz (Gz) e número de Reynolds (Re).
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Tabela 5.2 - Parâmetros para o cálculo do coeficiente convectivo interno Fluido interno = =( ) = ( , ) Fonte: Oliveira P.J., 2014.
Onde, é a viscosidade cinemática, g é o valor da aceleração da gravidade, é o coeficiente de expansão térmica, é a temperatura da parede externa e é a temperatura ambiente,
é o diâmetro útil da tubulação.
Com os valores de coeficientes de transferência térmico do fluido interno e das condutividades da parafina e da tubulação, foi possível calcular o calor transferido e consequentemente a temperatura da parede interna. Dessa forma, através das Equações 5.14 – 5.17 para fluxo laminar e 5.18 e 5.21 para fluxo turbulento, foi possível obter o perfil de distribuição de calor e massa ao longo de toda a tubulação.